微重點(diǎn)08立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題是高考立體幾何問(wèn)題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面等元素，

給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時(shí)，由于“動(dòng)態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，

將立體幾何問(wèn)題與平面幾何中的解三角形問(wèn)題、多邊形面積問(wèn)題以及解析幾何問(wèn)題之間建立橋梁，使得它們

之間靈活轉(zhuǎn)化.

知識(shí)導(dǎo)圖

一—?考點(diǎn)一：動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

★立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題------?考點(diǎn)二：折疊、展開問(wèn)題

考點(diǎn)三：最值、范圍問(wèn)題

ill考點(diǎn)分類講解

考點(diǎn)一：動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

規(guī)律方法解決與幾何體有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的方法

（1）幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定.

（2）定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問(wèn)題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)法進(jìn)行計(jì)算.

（3）特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長(zhǎng)度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.

【例1】（2024?浙江溫州?一模）如圖，所有棱長(zhǎng)都為1的正三棱柱ABC-A4G，BE=2EC,點(diǎn)歹是側(cè)棱

懼上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=2CG，a為線段R5上的動(dòng)點(diǎn)，直線C"c平面=M,則點(diǎn)M的軌跡為（）

A.三角形（含內(nèi)部）B.矩形（含內(nèi)部）

C.圓柱面的一部分D.球面的一部分

【變式1］（多選）（23-24高三上,貴州安順,期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A閏CQ中，點(diǎn)￡、

F、G、”分別為棱CG、GQ、42、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)加為棱4用上動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.點(diǎn)、E、F、G、X共面B.的最小值為1+6

C.點(diǎn)8到平面ABC的距離為氈

D.DELA^H

3

【變式2】（2023?貴州?一模）如圖，已知正方體ABCD-A4GA的棱長(zhǎng)為2,M,N,尸分別為棱

441,CG，AD的中點(diǎn)，。為該正方體表面上的點(diǎn)，若M,N,P,。四點(diǎn)共面，則點(diǎn)0的軌跡圍成圖形的面

積為_________

【變式3】（2023?寧波聯(lián)考）正方體43。-42〈1￡）1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)/3滿足筋=/詼+〃血僅，〃GR）,則下

列說(shuō)法正確的有（）

A.若計(jì)〃=1,則4P_LADi

B.若4+〃=1,則三棱錐4—POG的體積為定值

C.若點(diǎn)P總滿足抬，8。1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線

D.若點(diǎn)尸到點(diǎn)A的距離為小，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是一個(gè)面積為幾的圓

考點(diǎn)二：折疊、展開問(wèn)題

規(guī)律方法畫好折疊、展開前后的平面圖形與立體圖形，抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：不變的線線關(guān)系、不變的數(shù)量關(guān)

系.

【例2】（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）為體現(xiàn)市民參與城市建設(shè)、共建共享公園城市的熱情，同時(shí)搭建城市共建

共享平臺(tái)，彰顯城市的發(fā)展溫度，某市在中心公園開放長(zhǎng)椅贈(zèng)送點(diǎn)位，接受市民贈(zèng)送的休閑長(zhǎng)椅.其中觀景

草坪上一架長(zhǎng)椅因其造型簡(jiǎn)單別致，頗受人們喜歡（如圖1）.已知A3和C。是圓。的兩條互相垂直的直

徑，將平面ABC沿翻折至平面ABC,使得平面ABC'_L平面ABD（如圖2）此時(shí)直線AB與平面CBD

所成角的正弦值為（）

c正

2

【變式1］（22-23高三上,浙江?開學(xué)考試）如圖，矩形A3CD中,AD=2,AB=3,AE=2EB將VADE沿直

線OE翻折成△A。%若M為線段AC的點(diǎn)，滿足CN=2M4,,則在VADE■翻折過(guò)程中（點(diǎn)A不在平面

DEBC內(nèi)）,下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（）

Ai

A.〃平面AQE

B.點(diǎn)〃在某個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)

C.存在某個(gè)位置，使。AC

D.線段84的長(zhǎng)的取值范圍是（若,3）

【變式2】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖1,在等邊一ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊A5、AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿

DE

足.DE"BC,記.將VADE沿QE翻折到的位置，使得平面AIDE,平面OECB,連接MB,

MC,如圖2,N為MC的中點(diǎn).

A

M

⑴當(dāng)E/V//平面的時(shí)，求;l的值.

⑵隨著彳的值的變化，二面角KD-E的大小是否改變？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)求出二面角

的正弦值.

【變式3】（2023?邵陽(yáng)模擬）如圖所示，在矩形ABCD中，AB=^3,A￡）=1,AP_L平面ABC￡>,且AP=3,點(diǎn)

E為線段CD（除端點(diǎn)外）上的動(dòng)點(diǎn)，沿直線AE將△D4E翻折到△?AE,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)E固定在線段CD的某位置時(shí)，點(diǎn)。'的運(yùn)動(dòng)軌跡為球面

B.存在點(diǎn)E,使A3,平面。'AE

C.點(diǎn)A到平面BCF的距離為坐

D.異面直線EF與BC所成角的余弦值的取值范圍是普，留

考點(diǎn)三：最值、范圍問(wèn)題

規(guī)律方法在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大（小）、角的范圍等問(wèn)題，常用的解題思路是

（1）直觀判斷：在變化過(guò)程中判斷點(diǎn)、線、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值.

（2）函數(shù)思想：通過(guò)建系或引入變量，把這類動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最

值.

【例3】（多選）（2023?鞍山模擬）如圖，正方體ABC。-45CQi的棱長(zhǎng)為1,尸是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.四面體出。欣的體積為定值

B.AP+PC的最小值為2吸

C.4P〃平面AC。

7T

D.直線4P與AC所成的角的取值范圍是［。，f

【變式1】（2023?青島模擬）三面角是立體幾何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問(wèn)題的重要

依據(jù).三面角P—ABC是由有公共端點(diǎn)P且不共面的三條射線總，PB,PC以及相鄰兩射線間的平面部分

所組成的圖形，設(shè)NAPC=a,/BPC=p,ZAPB^y,二面角4一尸。一2為仇由三面角余弦定理得cos6

cosy-cosa-cosB,_..,

=~tinasin/"在二棱錐P—ABC中,PA=6,ZAPC=60°,ZBPC=45°,ZAPS=90°,PB+PC=6,

則三棱錐P-ABC體積的最大值為（）

A27sc27〃9「9

B-yC,2D.4

【變式2］（23-24高三下?北京?開學(xué)考試）正方體ABCD-A4C。的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M在線段C&上，動(dòng)

點(diǎn)尸在平面AqGR上，且AP2平面上出2.線段AP長(zhǎng)度的取值范圍是（）

【變式3】（2023?黑龍江哈爾濱?三模）已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，底面

45co，尸。=A□，點(diǎn)E是線段尸8上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與平面P3C所成角的最大值為（）

71717171

A.—B.一C.—D.一

6432

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023?云南保山?二模）己知正方體ABC。-AAG。，。為上底面44GA所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線

DQ與DA1的所成角為45。時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為（）

A.圓B.直線C.拋物線D.橢圓

2.（2023?全國(guó)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，P為圓尤2+y2=i6上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)4（-3,2）.現(xiàn)將y軸左側(cè)半

圓所在坐標(biāo)平面沿y軸翻折，與y軸右側(cè)半圓所在平面成、的二面角，使點(diǎn)A翻折至A,2仍在右側(cè)半圓

和折起的左側(cè)半圓上運(yùn)動(dòng)，則A,P兩點(diǎn)間距離的取值范圍是（）

A.[713,375]B.[4-V13,7]C.14-疝3司D.[713,7]

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知矩形ABC。中，E為線段CO上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記=

現(xiàn)將VADE沿直線AE翻折到VAPE的位置，記直線CP與直線AE所成的角為A,則（）

D.sincr<cos/?

4.（2023?上海寶山二模）在空間直角坐標(biāo)系。-型中，已知定點(diǎn)4（2,1,0）,3（0,2,0）和動(dòng)點(diǎn)

C（OJ/+2）4O）.若.（MC的面積為S,以O(shè),A,3,C為頂點(diǎn)的錐體的體積為V,則2的最大值為（）

A.—A/5B.-y/5C.土亞D.-V5

155155

5.（23-24高三上?河北衡水,階段練習(xí)）正三棱柱ABC-A與G中，/山=2,/切=6,0為BC的中點(diǎn)，M為

MNMO

棱BG上的動(dòng)點(diǎn)，N為棱期上的動(dòng)點(diǎn)，且蕨=加，則線段MN長(zhǎng)度的取值范圍為（）

瓜4小

A.*近B.

7

D.[6

6.（23-24高三下?山西?階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-AgGA中，E是8的中點(diǎn)，歹是CG上的

動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐A-DEF外接球半徑的最小值為（）

A.3B.2石C.713D.715

7.（2023?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)尸是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABIGA的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以

下不正確的是（）

A.當(dāng)尸在平面BCC畫上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐尸-A4QQ的體積不變

7171

B.當(dāng)尸在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。/與AG所成角的取值范圍是y,-

C.使直線AP與平面ABCD所成的角為45。的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為兀+40

D.若尸是4片的中點(diǎn)，當(dāng)尸在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足尸尸//平面2cA時(shí)，尸產(chǎn)長(zhǎng)度的最小值是不

8.（2023?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）四棱柱A8CD-ABG0中，側(cè)棱"一底面ABC。，ABCD,

2AB=BC=CD,BCLCD,側(cè)面AAB瓦為正方形，設(shè)點(diǎn)。為四棱錐A-CCQ。外接球的球心，E為

。。上的動(dòng)點(diǎn)，則直線4E與。3所成的最小角的正弦值為（）

嶼2遙1

A.Lr(---------------D.-

555

二、多選題

1.（23-24高三下?江蘇蘇州?開學(xué)考試）在正方體A5CQ-AgGA中，點(diǎn)M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則

（）

A.平面ABCQ，平面4。河

B.平面平面4。/

TTTT

c.AM與BG所成角的取值范圍為

D.AM與平面ABCA所成角的取值范圍為7,7

64_

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖①，四邊形ABC。是兩個(gè)直角三角形拼接而成，AB=1,BD3,

ZABD=ZC=90°,/3DC=45。.現(xiàn)沿著3。進(jìn)行翻折，使平面平面BCD,連接AC,得到三棱錐

A-BCD（如圖②），則下列選項(xiàng)中正確的是（）

圖①圖②

A.平面ABC/平面AC。

B.二面角AD-C的大小為60。

C.異面直線與8c所成角的余弦值為追

3

D.三棱錐A-3CD外接球的表面積為兀

3.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,矩形用BCG由正方形用8AA與AACG拼接而成.現(xiàn)將圖形沿4人對(duì)折

成直二面角，如圖2.點(diǎn)P（不與瓦,C重合）是線段用C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線段A3上，點(diǎn)p在線段

4G上，且滿足PELAB,PF±AG,則（）

PE=PFB.B|C_L平面PEF

NEP尸的最大值為二D.多面體CE4EP的體積為定值

1.（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-A/iGR中，尸是棱加式不包含端點(diǎn)）上一

動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐尸-的體積的取值范圍為.

2.（2023?江蘇淮安?模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)參加課外航模興趣小組活動(dòng)，學(xué)習(xí)模型制作.將一張菱形鐵片ABCD

進(jìn)行翻折，菱形的邊長(zhǎng)為1，ZABC=60°,E是邊BC上一點(diǎn),將-CDE沿著。E翻折到一.C力E位置，使

平面C'DEL面ABED,則點(diǎn)A與C'之間距離最小值是.

3.（23-24高三上?河北保定?期末）如圖，在棱長(zhǎng)為8的正方體中，E是棱人4上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①若尸為22上的動(dòng)點(diǎn)，則收的最小值為4?;②。到平面BE2的距離的最

大值為空；③M為8C的中點(diǎn)，尸為空間中一點(diǎn)，且PD與平面ABCD所成的角為30。，PM與平面

ABCD所成的角為60。，則尸在平面ABC。上射影的軌跡長(zhǎng)度為3屆，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)

是.

四、解答題

1.（2023?河南?二模）如圖所示，正六棱柱ABCDEF-ABGRE；月的底面邊長(zhǎng)為1,高為6，P為線段

DFt上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：AP〃平面4BC；

（2）設(shè)直線AP與平面所成的角為內(nèi)求sin。的取值范圍.

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在正方體A3C。-4耳￡。中，E、尸分別是B瓦、8的中點(diǎn).

⑴求AE與所成的角;

（2）設(shè)相=2,在正方形ABCD內(nèi)（或上），是否存在點(diǎn)K使得三棱錐K-4RE的體積為1?若存在，求出

動(dòng)點(diǎn)K的軌跡；若不存在，說(shuō)明理由.

3.（2023?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=^3,AD=4,點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，沿

仍將.ABE翻折至，ABE，使二面角A—8E—C為直二面角.

A'

⑴當(dāng)AE=3時(shí)，求證：AB±CE；

（2）當(dāng)=時(shí)，求二面角C-AZ-E的正弦值.

4.（22-23高三下?安徽?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ASCD中，所有棱長(zhǎng)都相等，AB±AD,E,R分別

是棱PC,PB的中點(diǎn)，G是棱A3上的動(dòng)點(diǎn)，且AG=/IAB.

（1）若2=證明：GF〃平面BDE.

⑵求平面3DE與平面PDG夾角余弦值的最大值.

5.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱ABC-A冉G中,AB=AC=A4)=1,AB±AC,AA垂直于

平面ABC.點(diǎn)尸，E,尸分別為邊AG，AA，AC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括頂點(diǎn)），且滿足AE=A/=A尸.

4P

⑴求三棱錐瓦-A/E的體積的最大值;

（2）記平面3所與平面BCP所成的銳二面角為凡當(dāng)。最小時(shí),求cos。的值，并說(shuō)明點(diǎn)尸所處的位置.

微重點(diǎn)08立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題是高考立體幾何問(wèn)題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面等元素，

給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時(shí)，由于“動(dòng)態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，

將立體幾何問(wèn)題與平面幾何中的解三角形問(wèn)題、多邊形面積問(wèn)題以及解析幾何問(wèn)題之間建立橋梁，使得它們

之間靈活轉(zhuǎn)化.

知識(shí)導(dǎo)圖

?考點(diǎn)一：動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

★立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題------?考點(diǎn)二：折疊、展開問(wèn)題

考點(diǎn)三：最值、范圍問(wèn)題

考點(diǎn)分類講解

考點(diǎn)一：動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

規(guī)律方法解決與幾何體有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的方法

（1）幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定.

（2）定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問(wèn)題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)法進(jìn)行計(jì)算.

（3）特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長(zhǎng)度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.

[例1]（2024?浙江溫州?一模）如圖，所有棱長(zhǎng)都為1的正三棱柱ABC-AB?,BE=2EC,點(diǎn)尸是側(cè)棱

AA上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=2CG，H為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線“c平面A￡G=M,則點(diǎn)M的軌跡為（）

4

5

R

A.三角形（含內(nèi)部）B.矩形（含內(nèi)部）

C.圓柱面的一部分D.球面的一部分

【答案】A

【分析】根據(jù)題意首先保持//在線段EB上不動(dòng)（與歹重合），研究當(dāng)點(diǎn)廠運(yùn)動(dòng)時(shí)M的軌跡為線段建V,

再根據(jù)H點(diǎn)在線段砥上運(yùn)動(dòng)的軌跡即可得出點(diǎn)M的軌跡為一MNE及其內(nèi)部的所有點(diǎn)的集合.

【詳解】如下圖所示：

首先保持H在線段網(wǎng)上不動(dòng)，假設(shè)H與尸重合

根據(jù)題意可知當(dāng)廠點(diǎn)在側(cè)棱AA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若尸點(diǎn)在A點(diǎn)處時(shí)，G為C&的中點(diǎn),

此時(shí)由AF=2CG可得滿足FM=2MC>

當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖中耳位置時(shí)，易知M=2CG「取AG|CC《=P,可得［P=2尸C,

取棱AC上的點(diǎn)N,滿足⑷V=2NC，根據(jù)三角形相似可得“，N,P三點(diǎn)共線，

當(dāng)點(diǎn)尸在側(cè)棱AA上從％點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)軌跡即為線段MN；

再研究當(dāng)點(diǎn)H在線段FB上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)H在線段FB上從點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，M點(diǎn)、的軌跡是線段ME,

當(dāng)點(diǎn)7/在線段￡8上從點(diǎn)耳運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，"點(diǎn)的軌跡是線段尸E,

因此可得，當(dāng)點(diǎn)尸是側(cè)棱AA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，”在線段FB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)加的軌跡為JVCVE及其內(nèi)部的所有點(diǎn)的

集合；

即可得M的軌跡為三角形（含內(nèi)部）.

故選：A

【變式1】（多選）（23-24高三上?貴州安順?期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-ABC中，點(diǎn)￡、

F、G、〃分別為棱CG、GA、AA、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為棱A再上動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.點(diǎn)、E、F、G、”共面B.的最小值為1+6

C.點(diǎn)2到平面儆C的距離為2叵

D.DEYA.H

3

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意建立空間之間坐標(biāo)系,利用平面向量基本定理可對(duì)A判斷，利用向量的垂直表示可對(duì)D

判斷；利用正方體面展開圖可對(duì)B判斷；利用等體積法可對(duì)C判斷.

【詳解】如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。（0,0,0）,E（0,2,l）,F（0,l,2）,G（l,0,2）,”（2,1,0）,

對(duì)A：EF=（O,-l,l）,EG=（1,—2,1）,EH=（2,-1,-1）,

oi

設(shè)EF=/EG+〃EH,即（0,—1,1）=+,解得彳=§,〃=_1,

所以E￡EG,EH共面，故A正確.

對(duì)B：將正方體沿A3剪開展開如下圖，連接G”交A用于一點(diǎn)，此點(diǎn)為M點(diǎn),

此時(shí)|GN|+WM為最小值斤方=屈，故B錯(cuò)誤;

對(duì)C：由等體積法可知/一儆C二%-ABC，即:$陰c?d=：SMC?忸4|,

由SMe='血'忘xsif=立，SABC=\x2x2=2,求解得］二38,故C正確.

AB'C23223

對(duì)D：0（0,0,0）,4（2,0,2）,0^=（0,2,1）,A方=（°，1，一2）

DEA.H=2-2=0,則所以故D正確.

故選:ACD.

【變式2】（2023?貴州?一模）如圖，已知正方體ABC。-A4GA的棱長(zhǎng)為2,M,N,P分別為棱

AA，CG，A。的中點(diǎn)，。為該正方體表面上的點(diǎn)，若M,N,P,。四點(diǎn)共面，則點(diǎn)。的軌跡圍成圖形的面

【答案】3A/3

【分析】根據(jù)題意找出點(diǎn)。的軌跡圍成圖形為正六邊形呵FGM即可求解.

【詳解】如圖,

取用G，a片的中點(diǎn)分別為跳G,

則點(diǎn)。的軌跡圍成圖形為正六邊形PENFGM,

且邊長(zhǎng)為面對(duì)角線的一半，即也，

所以點(diǎn)。的軌跡圍成圖形的面積為6xg0（可-目=35

故答案為：36.

【變式3】（2023?寧波聯(lián)考）正方體48。一481。。1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)2滿足證=/1比+〃5瓦（/1，〃GR）,則下

列說(shuō)法正確的有（）

A.若;1+〃=1,則4P_LAOi

B.若什〃=1,則三棱錐A—PDG的體積為定值

C.若點(diǎn)P總滿足EALBd，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是一條直線

D.若點(diǎn)尸到點(diǎn)A的距離為小，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是一個(gè)面積為兀的圓

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,因?yàn)樽濉ň拧–R）且4+〃=1,由向量基本定理可知，點(diǎn)81,C,尸共線，如

圖，連接ADi,AiC,BCi,BiC,

在正方體ABCO—AiSGDi中，BiCXBCi,Ai6_L平面BBCC,

因?yàn)锽GU平面BBiCiC,所以43i_LBG,又BiCC46=6,

所以平面A1B1C,

在BG上任取一點(diǎn)P,連接AiP,

則4PU平面48C,所以8C」AiP,

在正方體ABC。一481GO1中，

因?yàn)锳8〃ACi,且AB=DiCi,

所以四邊形ABCid為平行四邊形，

所以4功〃8。，貝1]4。」小尸，故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于B,如圖，連接BCi,CiD,AiD,BiC,

因?yàn)榍埃?4病+〃麗（九〃GR）且2十〃=1,由向量基本定理可知點(diǎn)Bi,C,尸共線，即點(diǎn)P在直線8C上，

在正方體ABC￡）—Ai8iCiQi中，

因?yàn)?8i〃DC,且48i=OC,所以四邊形AiBCD為平行四邊形，所以小。〃84,4Z）u平面4G。，

BCZ平面4C。,所以BiC〃平面AC。,則直線BiC上任意一點(diǎn)到平面AiGD的距離相等，又因?yàn)椤?G。

的面積為一定值，所以三棱錐4—POG的體積為定值，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,如圖，連接AC,BD,ABi,BDx,BXC,BQi,

在正方體ABC。一481GO1中，AC±BD,8511.平面ABCZ),

因?yàn)锳CU平面ABC。，

所以B3i_LAC,又BBiCBD=B,

所以AC_L平面BBiD。，BDiU平面BBidD,

所以ACLBd,

同理又A8iCAC=A,

所以BAJ_平面ABC,因?yàn)辄c(diǎn)尸滿足加=%反:+〃麗（九M^R）,所以點(diǎn)尸在側(cè)面BBICC所在的平面上運(yùn)

動(dòng)，且加，瓦九所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是直線8C,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,因?yàn)辄c(diǎn)尸到點(diǎn)A的距離為小，所以點(diǎn)尸的軌跡是以A為球心，小為半徑的球面與平面821cle的

交線，即點(diǎn)P的軌跡為小圓，設(shè)小圓半徑為廣，因?yàn)榍蛐腁到平面881GC的距離為1,則7他）2_]=

啦，所以小圓的面積5=%片=2兀，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤

考點(diǎn)二：折疊、展開問(wèn)題

規(guī)律方法畫好折疊、展開前后的平面圖形與立體圖形，抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：不變的線線關(guān)系、不變的數(shù)量關(guān)

系.

【例2】（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）為體現(xiàn)市民參與城市建設(shè)、共建共享公園城市的熱情，同時(shí)搭建城市共建

共享平臺(tái)，彰顯城市的發(fā)展溫度，某市在中心公園開放長(zhǎng)椅贈(zèng)送點(diǎn)位，接受市民贈(zèng)送的休閑長(zhǎng)椅.其中觀景

草坪上一架長(zhǎng)椅因其造型簡(jiǎn)單別致，頗受人們喜歡（如圖1）.已知A3和8是圓。的兩條互相垂直的直

徑，將平面ABC沿翻折至平面ABC,使得平面ABC_L平面ABD（如圖2）此時(shí)直線A3與平面C'BD

所成角的正弦值為（）

圖1圖2

近

rA\.1RD.V3L.U.6

3322

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的正弦值.

【詳解】依題意，而平面ABC_L平面ABD,平面ABC'i平面=

又OCu平面A3C,ODu平面AB。，則OC_L平面ABD,OD1OC,

因此直線8,08,OC兩兩垂直，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線。氏OC'分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

令圓半徑0。=1,則0(0,0,0),Z>(1,0,0),B(0,l,0),C'(0,0,1),

OB=(0,1,0),BC'=(0,-l,l),BD=(l,-l,0),設(shè)平面C'BD的一個(gè)法向量J=(x,y,z),

n-BC'=-y+z=0

則.?,令y=l,得〃=(1,1,1),設(shè)直線AB與平面C5￡)所成的角為

n-BD=x-y=0

nOB1

.zjI/nnw\'\6

貝miI(sin0=|cos<n,OB)|=----------=------=——,

\n\\OB\lxV33

所以直線A3與平面C'BD所成角的正弦值為也.

3

故選：B

【變式1】（22-23高三上?浙江?開學(xué)考試）如圖，矩形A3CD中，AD=2,AB=3,AE=2EB,將VADE沿直

線DE翻折成△AOE,若"為線段AC的點(diǎn)，滿足。0=2%,則在VADE翻折過(guò)程中（點(diǎn)A不在平面

OEBC內(nèi)），下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（）

A.〃平面AQE

B.點(diǎn)M在某個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)

C.存在某個(gè)位置，使DE，AC

D.線段BA的長(zhǎng)的取值范圍是（君,3）

【答案】ABD

【分析】由已知，選項(xiàng)A,在。C上取一點(diǎn)N,令CN=2ND,可通過(guò)面面平行的判定定理證明平面

1T

8MN〃平面ADE,從而證明敏/平面選項(xiàng)B,可通過(guò)Z4OE=NMNB=w，

4

NM=3,EB=2應(yīng)，借助余弦定理可知2”為定值，從而確定M點(diǎn)的軌跡；選項(xiàng)C,可先假設(shè)OE，AC

成立，然后借助線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到DELS,然后在二DHC中，利用勾股定理驗(yàn)證是否

滿足，即可做出判斷；選項(xiàng)D,可通過(guò)點(diǎn)4運(yùn)行軌跡，分別找出最大值和最小值點(diǎn)，然后求解即可做出判

斷.

如上圖所示，在。。上取一點(diǎn)N,令CN=2ND，連接NB,

在矩形ABCD中，AB=CD且ABCD,又因?yàn)锳E=2￡B，CN=2ND，

所以EB=NE）且EBND,所以四邊形EBND為平行四邊形，所以A?ED,

又因?yàn)镹BO平面ADE,DEu平面AOE,所以平面4汨，

又因?yàn)镃N=2ND,CM=2MA[,所以NM\D,

又因?yàn)镹M<Z平面ADE,D4]U平面ADE,所以M0平面ADE,

又因?yàn)镹MNB=N且NM、NBu平面所以平面BMN〃平面ADE,

又因?yàn)镸Bu平面比W7V,所以平面A]OE,選項(xiàng)A正確；

TT

由NBED,NMA。，的=鈕=2,可得/4。石=/93=^，

24

由CN=2ND，皿=2惚可知，NM^-\D=-,而EB=ND=2應(yīng),

由余弦定理可知，為定值，而B為定點(diǎn)，故加在以B為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng)B正

確；

取的中點(diǎn)H,連接HC,在△ADE中，AD^AE=2,

所以假設(shè)OELAC成立，ACu平面AHC,所以O(shè)E2平面4HC,又因?yàn)镃”u平面

AHC,所以￡>E_LCW,

而，在中，DH=y[2,DC=3,CH=45,所以故DE_LCW不成立，所以假設(shè)不成

立，該選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

在DC上取一點(diǎn)4，令%=26。，

在VADE翻折過(guò)程中，線段的最大值是4與A點(diǎn)重合，此時(shí)BA,=3,

線段BA的最小值是A與4點(diǎn)重合，此時(shí)網(wǎng)=&,又因?yàn)辄c(diǎn)A不在平面OEBC內(nèi)，

所以線段8A的長(zhǎng)的取值范圍是(6,3),選項(xiàng)D正確；

故選：ABD

【變式2】(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))如圖1,在等邊ABC中，點(diǎn)￡＞、E分別為邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿

DE

定DE"BC,記*；=幾.將VADE1沿DE翻折到MDE的位置，使得平面MDE_L平面。EC8,連接MB,

BC

MC,如圖2,N為MC的中點(diǎn).

⑴當(dāng)硒//平面M2。時(shí)，求4的值.

(2)隨著2的值的變化，二面角3-地＞-石的大小是否改變？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)求出二面角

B—MD—E的正弦值.

【答案】(l)2=g

(2)不是，平

【分析】(1)取M3的中點(diǎn)為P,連接。尸，PN,推出7WBC,證明NEDP為平行四邊形，利用比例關(guān)系

求解即可.

(2)取。E的中點(diǎn)。，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用

空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦函數(shù)值然后求解即可.

【詳解】(1)如圖，取MB的中點(diǎn)尸，連接。尸，PN.

因?yàn)镹為MC的中點(diǎn)，所以NPUBC,NP=-BC.

又DE"BC,所以NP/IDE,即N,P,D,E四點(diǎn)共面.

因?yàn)槲?/平面MB。，ENu平面NEDP,平面NEDPc平面=OP,

所以EN//DP,即四邊形NED尸為平行四邊形，所以NP=Z）E,

即。E=LgC,所以彳=」.

22

（2）取EQ的中點(diǎn)。，連接M。，則

因?yàn)槠矫嫫矫鍰ECB,平面地比。平面DECB=DE,MOu平面MDE,

所以MO_L平面DECB.

不妨設(shè)3c=2,則M（0,0,炳,0（2,0,0）,

所以MD=（40,-后），￡>B=（1-2,A/3（1-2）,0）.

設(shè)平面M3。的一個(gè)法向量為機(jī)=（羽y,z）,

MD-m=Ax—y/3Az=0,x=A/3Z,

則I.L即4L

DB-m=（l-2）x+V3（l-2）y=0,[%=-,3y,

令x=g,所以相=（班,一1」卜

由題意可知n=（0,1,0）為平面MDE的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角B-MD-E的平面角為,,則|儂。|=|儂九*搦二2

因止匕sin/=Jl—cos?1=拽,所以二面角3-也-5的正弦值為名后.

55

【變式3】（2023?邵陽(yáng)模擬）如圖所示，在矩形4BCD中，AB=小,AD^l,AF_L平面ABCD且AE=3,點(diǎn)

E為線段C￡＞（除端點(diǎn)外）上的動(dòng)點(diǎn)，沿直線AE將△DAE翻折到△/）'AE,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)E固定在線段CD的某位置時(shí)，點(diǎn)O'的運(yùn)動(dòng)軌跡為球面

B.存在點(diǎn)E,使A3,平面O'AE

C.點(diǎn)A到平面8b的距離為坐

D.異面直線EF與8C所成角的余弦值的取值范圍是。停，喘

【答案】D

【解析】選項(xiàng)A,當(dāng)點(diǎn)E固定在線段CD的某位置時(shí)，線段AE的長(zhǎng)度為定值，AD'±D'E,過(guò)。'作

D'HLAE于點(diǎn)X,X為定點(diǎn)，D'"的長(zhǎng)度為定值，且。'"在過(guò)點(diǎn)"與AE垂直的平面內(nèi)，故。'的軌

跡是以H為圓心，D'X為半徑的圓，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,無(wú)論E在CD(端點(diǎn)除外)的哪個(gè)位置，AB均不與AE垂直，故AB不與平面A。'E垂直，故B錯(cuò)

誤；

選項(xiàng)C,以贏，AD,亦分別為x,y,z軸的方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則40,0,0),尸(0,0,3),B他,0,0),C(V3,1,0).

求=(0,1,0),浙=(一小，0,3),AB=(yf3,0,0),

設(shè)平面BC尸的法向量為〃=(x,y,z),

n-BC—y—Q,

則_

?濟(jì)=一小x+3z=0,

取〃=(/，0,1),

I—I

則點(diǎn)A到平面8CF的距離/=耳半=9,故C錯(cuò)誤；

I川2

選項(xiàng)D,設(shè)E他入,1,0),Ae(0,l),病=(0,1,0),

EF=（一小入,—1,3）,

設(shè)所與BC所成的角為仇

質(zhì)?別

貝Icos6—

\^\\BC\

_L1Y小幽

一用而113，10/故D正確.

考點(diǎn)三：最值、范圍問(wèn)題

規(guī)律方法在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大（小”角的范圍等問(wèn)題，常用的解題思路是

（1）直觀判斷：在變化過(guò)程中判斷點(diǎn)、線、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值.

（2）函數(shù)思想：通過(guò)建系或引入變量，把這類動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最

值.

【例3】（多選）（2023?鞍山模擬）如圖，正方體ABCO—AIBCLDI的棱長(zhǎng)為1,P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.四面體BALDIA的體積為定值

B.AP+PC的最小值為2小

C.4P〃平面AC。

7T

D.直線4尸與AC所成的角的取值范圍是[o,f

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,由正方體可得平面D4Ami〃平面BCGS,且8,PG平面3CC/1,

所以點(diǎn)B到平面DAAiDi的距離等于點(diǎn)P到平面DAA\Di的距離，

所以四面體PA\DiA的體積％4平=匕尸加產(chǎn)六例取x1=3X2X1X1x1=6,

所以四面體E4i￡）iA的體積為定值，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)尸與2重合時(shí)，AP+PC=AB+BC^2<2y[2,

所以AP+PC的最小值不為2吸，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,連接4G,AiB,

由正方體可得A4i=CCi,AAx//CCi,

所以四邊形A41GC是平行四邊形，所以AC〃4G,

因?yàn)锳CU平面AC）,ACi。平面ACOi,

所以4cl〃平面AC。，

同理可得8cl〃平面AC￡h

因?yàn)锳iGC8Ci=Ci,AiCi,BCiU平面AC/,

所以平面A\C\B//平面ACD\,

因?yàn)锳iPu平面ACiB,

所以AiP〃平面ACDi,故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)锳C〃4Ci,

所以NB41G（或其補(bǔ)角）為直線4P與AC所成的角，

JT

由圖可得當(dāng)尸與2重合時(shí)，此時(shí)NB41cl最大為

當(dāng)尸與Ci重合時(shí)，此時(shí)NB41G最小為0,

所以直線4P與AC所成的角的取值范圍是［0,3J-故D正確.

【變式1】（2023?青島模擬）三面角是立體幾何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問(wèn)題的重要

依據(jù).三面角P—A2C是由有公共端點(diǎn)尸且不共面的三條射線E4,PB,PC以及相鄰兩射線間的平面部分

所組成的圖形，設(shè)NAPC=a,/BPC=B，NAPB=y,二面角4一「。一2為仇由三面角余弦定理得cos9

cosy-cosa-cosB.__,.,

R在二棱錐P-ABC中,%=6,ZAPC=60°,=90°,PB+PC^6,

=—7si~not,.si.nLj"ZBPC=45°,ZAPS

則三棱錐P-ABC體積的最大值為（）

27蛆八2799

AA.^-B，YC，2D.4

【答案】C

【解析】如圖所示，作2。垂直于CP于點(diǎn)。，

設(shè)點(diǎn)8在平面APC中的射影為M,連接MD,

由題意得Vp-ABC

設(shè)二面角A—PC—B為0,

。-我坐

亭,問(wèn)0,兀）,

則…K

/.sinNBDM=*,

BM^BDsinZBDM^

,x/6xl?>

^PBsinZBPC=^PB,

S^APc=\-PA-PC-smAAPC=^--PC,

：?Vp-ABC=gSAAPCBM=/PB?PC

=1-PB(6-PB)

=~^PB2+3PB

=—2(P^—3)2+^,

9

當(dāng)PB=3時(shí)，Vp—ABC的最大值為亍

【變式2］（23-24高三下?北京?開學(xué)考試）正方體A3CD-A4GP的棱長(zhǎng)為L(zhǎng)動(dòng)點(diǎn)〃在線段CQ上，動(dòng)

點(diǎn)尸在平面上，且AP2平面上出2.線段AP長(zhǎng)度的取值范圍是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA,DC,DD、分別為x,y,z軸的正半軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸

則4(1,0,0),3(1,1,0),°(0,0,1),則AP=(a_l,6,l),3R=(_L-M),A?；=(O,-Ll_t),

因?yàn)锳PI平面所以

APBD.=l-a-b+l=0Cl=t+1

即《二，解得

b=l-t

AP-MDf=-b+l-t=Q

所以AP=&1T,1),所以|AP|=，產(chǎn)+(1—)2+1=

又。Ml,所以當(dāng)€時(shí)，即M是CG的中點(diǎn)時(shí)，網(wǎng)取得最小吸,

當(dāng)f=o或I,即"與點(diǎn)c或G重合時(shí)，網(wǎng)取得最大值3，

所以線段AP長(zhǎng)度的取值范圍為,A/2,

故選：C

【變式3】（2023?黑龍江哈爾濱?三模）已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PDL底面

ABCD,PD=AD,點(diǎn)E是線段尸8上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與平面P3C所成角的最大值為（）

717171兀

A.—B.—C.-D.一

6432

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到結(jié)果.

卜z.

【詳解】\

由題意，因?yàn)锳BCD為正方形，且尸￡>，底面A8CD,

以。為原點(diǎn)，以。CD尸所在直線分別為無(wú),％z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PD=AD=1,則0（0,0,0）,3（1,1,0）,C（0,LO）,P（0,0,1）,

所以PB=（l,l,-l）,PC=（O,l,T）,設(shè)尸E=/le[0,l],

則PE=(44-4),所以以/U,l—⑷，即DE=(2,2,1-