考前回顧07解析幾何(知識清單+易錯分析+23年高考真題+24

年最新模擬)

i.直線方程的五種形式

(1)點斜式：xo)(直線過點尸o(xo,jo)，且斜率為左，不包括>軸和平行于〉軸的直線).

(2)斜截式：>=而+人3為直線/在歹軸上的截距，且斜率為左，不包括y軸和平行于》軸的直線).

(3)兩點式：口^==9(直線過點尸1(X1,勿)，P2(X2,H),且X1WX2,力力/,不包括坐標軸和平行于坐標

y2~yiX2-xi

軸的直線).

(4)截距式：工+2=l(a,b分別為直線的橫、縱截距，且aWO,b次0,不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原

ab

點的直線).

(5)一般式：/x+3y+C=0(其中/,8不同時為0).

2.直線的兩種位置關系

(1)當不重合的兩條直線/1和h的斜率都存在時：

①兩直線平行：h//1?妗k\=ki.

②兩直線垂直：Shk2=-1.

提醒當一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在時，兩直線也垂直，此種情形易忽略.

(2)直線方程一般式是4x+5y+C=0.

①若直線/i：A\x-\~C\—Qlit4加+32歹+。2=0,則/i〃，20-5/2=0且41c2—ZzGWO(或SG

=

②若直線/i：B\y-\-C\Q,h：4加+82歹+。2=0,則/I_L/2O/I42+5I&=0.

提醒無論直線的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起來更方便.

3.三種距離公式

(1)已知4(X1，%)5(X2，歹2)，兩點間的距離

22

\AB\=\J(X2-xi)+(y2-yi).

⑵點到直線的距離1=悝獨舉吐口(其中點P(xo,yo),直線方程為及+為+。=0(，2+82/0)).

山2+爐

2

(3)兩平行線間的距離其中兩平行線方程分別為/i：Ax+By+Q=O,/2：Ax+By+C2=0(A+

52^0)).

提醒應用兩平行線間距離公式時，注意兩平行線方程中x,y的系數對應相等.

4.圓的方程的兩種形式

(1)圓的標準方程：(x—a)2+(y—6)2=戶.

(2)圓的一般方程：/+聲+瓜+宜，+尸=0(r>2+N—4Q0).

5.直線與圓、圓與圓的位置關系

(1)直線與圓的位置關系：相交、相切、相離.

(2)弦長的求解方法

根據半徑，弦心距，半弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系產=屋+，其中/為弦長，r為圓的半徑,

d為圓心到直線的距離)，弦長/=26。.

(3)圓與圓的位置關系：相交、內切、外切、外離、內含.

(4)當兩圓相交時，兩圓方程相減即得公共弦所在直線方程.

6.圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質

名稱橢圓雙曲線拋物線

|尸網=PM點尸不

\PFi\+\PF2\=2a\\PFi\~\PF2\\=2a

定義在直線/上，尸

(2a>|FiF2|)(0<2a<|FiF2|)

交/于點M

|+1=1(?>Z?O)[Y=l(a>0,6>0)

標準方程儼=20加>0)

圖形

范圍\x\^ax20

頂點(±q,0),(0,±b)(士Q,0)

對稱性關于x軸，y軸和原點對稱關于X軸對稱

焦點(土c,0)

幾

軸長軸長2a,短軸長2b實軸長久，虛軸長額

何

_c_

性e=一=

ae=-=A/l+^(e>l)

離心率e=l

質a\laz

p

準線x=—匕

2

y=A

漸近線

a

7.直線與圓錐曲線的位置關系

判斷方法：通過解直線方程與圓錐曲線方程聯立得到的方程組進行判斷.

弦長公式：\AB\—%2|,

或歷一P2|（左WO）.

▲.易錯提醒

1.不能準確區分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關系，導致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范

圍時出錯.

2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據直線在兩軸上的截距相等設方程時，忽視截距為0的情

況，直接設為工+±=1;再如，過定點尸（祝，次）的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設為夕一次=左（》一xo）

aa

等.

3.討論兩條直線的位置關系時，易忽視系數等于零時的討論導致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜

率不存在，另一條直線的斜率為0.當兩條直線的斜率相等時，兩直線平行或重合，易忽視重合.

4.求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數不相等，而直接代入公式隼二型，導致錯解.

5.利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線的定義中，有

兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，0<2心巧尸2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差

為常數，而不是差的絕對值為常數，那么其軌跡只能是雙曲線的一支.

6.易混淆橢圓的標準方程與雙曲線的標準方程，尤其是方程中a,兒c三者之間的關系，導致計算錯誤.

7.已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時，易忽視討論焦點所在坐標軸導致漏解.

8.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構成的方程組有實數解，消元后得到的方程中要注意：二次項的

系數是否為零，判別式/20的限制.尤其是在應用根與系數的關系解決問題時，必須先有“判別式；

在求交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應在“/>0”下進行.

易錯分析

易錯點1忽略對參數取值的檢驗致誤

1.［江蘇宿遷2023調研］若直線ll:ax+2ay+l=0與直線Z2:（a-l）x-（?-1）j-1=0垂直，則a的值為

（）

A.0B.-1C.-2D.-3

易錯點2忽視對截距為0時情況的討論而致錯

2.［浙江杭師大附中2023期中］過點尸（2,3）且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是.

3.［重慶一中2022期中］過點（1,2）作直線/,滿足在兩坐標軸上截距相等的直線/有（）.

A.1條B.2條C.3條D.4條

4.［山東背澤2023期中］已知直線/：x—y+2=0與圓C:￡+必—2y—2加=0相離，則實數掰的取值范

圍是（）

&［-P4］B.。-］

易錯點4忽視對斜率不存在情況的討論而致錯

5.［四省八校2022質量檢測］直線（2加一l）x+/即+2=0和直線加x+3y+l=0垂直，則實數加的值為

（）.

A.0或TB.-1C.3+46D.3+46

易錯點5忽視二次方程表示圓的條件而致錯

6.［浙江2022模擬］已知圓C的方程是x2+y2+2x+m=0,則實數m的取值范圍是,若C上

恰有三個點到直線x+y-l=0的距離為1,則實數m=

易錯點6對雙曲線定義的理解不透徹致錯

7.［河南TOP二十名校2023二模］已知"BC的頂點2（—6,0）,8（6,0）.若A/BC的內切圓圓心在直線

x=3上，則頂點C的軌跡方程是（）

4二-光=1B,=-武=1C,二-廿=l（x〉3）D.二-匕=1（X〉3G）

8.［天津和平區2022期中］已知點2（2,3）,8（5,7）,若歸/|—|必|=5,則點P的軌跡為（）.

A.橢圓B,雙曲線C.雙曲線的一支D.射線

易錯點7忽視拋物線焦點所在軸而丟解致錯

9.（多選）［重慶巴蜀中學2023第六次月考］已知拋物線C的焦點在直線x+2y+3=0上，則拋物線C的標

準方程為（）

A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=-6yD.x2=6y

10.頂點在原點，對稱軸為坐標軸，焦點為直線3x-4y-12=0與坐標軸的交點的拋物線的標準方程為

（）

A.x2--12y或儼=16xB.x2-12y或）二-16%

C.x2=9y或J?=12%D.x2=—9,或y2=-12%

易錯點8求軌跡時忽視限制條件致錯

11.[遼寧名校2022聯考]已知點2(-5,0),8(5,0),動點尸(/〃,")滿足：直線PZ的斜率與直線必的斜率

之積為-竺，貝l]4療+/的取值范圍為().

25

A.[16,100]B.[25,100]C.[16,100)D.[25,100)

高考真題

一.選擇題(共15小題)

1.(2023?乙卷)已知實數x,y^&x2+y2-4x-2y-4=Q,則x-y的最大值是()

3/?

A.1+—B.4C.1+3V2D.7

2

2.(2023?全國)拋物線/=2px過點(1,百)，求焦點()

A.(―,0)B.(―,0)C.(-,0)D.(-,0)

12642

3.(2023?新高考I)過點(0,-2)與圓尤2+y2-4x-l=0相切的兩條直線的夾角為a,貝!]sine=()

4.(2023?北京)已知拋物線C:/=8x的焦點為尸，點M在C上，若M到直線x=-3的距離為5,則||=(

)

A.7B.6C.5D.4

22

5.(2023?新高考I)設橢圓G：A+/=l(a>l),C,:工+「=1的離心率分別為q,e2.若q=出外,則

a4

”()

A.氈B.V2C.V3D.V6

3

6.(2023?全國)。為原點，P在圓C(無-2)2+(y-1)2=1上，O尸與圓C相切，則|OP|=()

A.2B.2V3C.V13D.V14

丫2_.

7.(2023?甲卷)設片，鳥為橢圓C：g+/=1的兩個焦點，點P在C上，若尸不產居=0,貝小尸片HP修=(

)

A.1B.2C.4D.5

8.(2023?新高考^)已知橢圓C：q+必=1的左焦點和右焦點分別為￡和直線y=x+/與C交于點/,

3兩點，若△片/B面積是△6A3面積的兩倍，則m=（）

2*5

RV2n

AD.C.----------D.

-1333

22

9.（2023?天津）雙曲線二-彳=1（"0,6>0）的左、右焦點分別為片，F,.過用作其中一條漸近線的垂

a"b-

線，垂足為尸.已知|尸月|=2,直線期的斜率為中，則雙曲線的方程為（）

22222222

AX>1

A.------=1B.土-匕=1C.土-匕=1D.土-匕=1

84484224

22

10.(2023?甲卷)已知雙曲線二-《=1（。>0,6>0）的離心率為石，其中一條漸近線與圓

ab

(x—2)2+Q-3)2=1交于4,B兩點，貝!!|/切=()

?V5?275D.拽

A.-D.-------C.-----

5555

22

已知橢圓上+匕=1，

11.(2023?甲卷)Fx,月為兩個焦點，。為原點，尸為橢圓上一點，COSZFPF=-

96{2

貝U|PO|=()

12.（2023?乙卷）已知。。的半徑為1,直線尸/與。。相切于點/,直線P5與。。交于8,C兩點，D為

3C的中點，若|尸。|=&,則莎?麗的最大值為（）

A.9口1+2收

r).---------C.1+V2D.2+V2

22

22_

13.（2023?甲卷）已知雙曲線。:1-勺=1（"0乃>0）的離心率為后，C的一條漸近線與圓

ab

（x—2）2+0—3）2=1交于N,8兩點，貝力/切=（）

,V5D2^/5_3V5c4石

5555

2

14.（2023?乙卷）設/,3為雙曲線，-5=1上兩點，下列四個點中，可為線段N5中點的是（）

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（-1,-4）

15.（2023?上海）已知產，。是曲線T上兩點，若存在〃點，使得曲線「上任意一點尸都存在。使得

\MP\-\MQ\=\,則稱曲線「是“自相關曲線”.現有如下兩個命題：①任意橢圓都是“自相關曲線”；②存

在雙曲線是“自相關曲線”，則（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

二.多選題（共1小題）

16.（2023?新高考II）設。為坐標原點,直線>=-百（x-1）過拋物線C:/=2px（o>0）的焦點，且與C交

于N兩點，/為。的準線，則（）

O

A.p=2B.\MN\=-

C.以為直徑的圓與/相切D.AOMN為等腰三角形

三.填空題（共8小題）

17.（2023?乙卷）已知點/（I,石）在拋物線C:/=2/上，則A到C的準線的距離為

18.（2023?北京）已知雙曲線C的焦點為（-2,0）和（2,0）,離心率為血，則C的方程為

19.（2023?上海）已知圓C的一般方程為/+2x+y2=0,則圓C的半徑為

20.（2023?上海）已知圓X2+y2-4x-m=0的面積為1,貝加=

若雙曲線C焦點在X軸上，漸近線為>=土咚X,則C離心率為

21.（2023?全國）

22.（2023?新高考H）已知直線x-肛y+l=0與。C:（x-l）2+j?=4交于N,5兩點，寫出滿足“A42c面

積為的〃z的一個值

5

22

23.（2023?新高考I）已知雙曲線C:三-==1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為片，鳥.點/在C上，點

ab

8在y軸上，~F\AY1\B,事=-|亭，則C的離心率為.

24.（2023?天津）過原點的一條直線與圓6：0+2）2+/=3相切，交曲線/=2。X0>0）于點尸，若|。尸|=8,

則p的值為

四.解答題（共10小題）

25.（2023?甲卷）設拋物線。：/=28（夕〉0）,直線x—2>+1=0與。交于4,3兩點,且［45|=4A.

<1）求p的值;

（2）尸為爐=2px的焦點，M,N為拋物線上的兩點，且礪?沛=0,求AWF面積的最小值.

26.（2023?上海）已知橢圓「二+2=1（加＞0且加片6）.

m3

（1）若加=2,求橢圓「的離心率；

（2）設4、4為橢圓「的左右頂點，橢圓「上一點E的縱坐標為1,且詞?就=-2,求實數加的值；

22

（3）過橢圓r上一點p作斜率為3的直線/,若直線/與雙曲線二-土=1有且僅有一個公共點，求實數

5m25

m的取值范圍.

27.（2023?上海）已知拋物線「:/=4x,在:T上有一點/位于第一象限，設/的縱坐標為＞0）.

（1）若/到拋物線「準線的距離為3,求a的值；

（2）當。=4時，若x軸上存在一點8,使N5的中點在拋物線「上，求。到直線AS的距離；

（3）直線/:x=-3,P是第一象限內「上異于/的動點，尸在直線/上的投影為點“，直線/尸與直線/的

交點為。.若在P的位置變化過程中，|〃0|＞4恒成立，求a的取值范圍.

22]

28.(2023?全國)己知橢圓C:\+4=l(a>6>0)的離心率為工，直線>=-!■交C于/、3兩點,

ab32

\AB|=36.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右焦點分別為耳、F2,過耳斜率為1的直線交C于G、”兩點，求△BGH的周長.

29.（2023?天津）設橢圓］+《=1（。>6>0）的左、右頂點分別為4，4,右焦點為尸，已知刃=3,

ab

"1=1?

（I）求橢圓方程及其離心率；

（II）已知點尸是橢圓上一動點（不與頂點重合），直線4P交y軸于點。，若的面積是△玲￡?面

積的二倍，求直線4尸的方程.

30.（2023?北京）已知橢圓￡:0+3=l（a>b>O）的離心率為三-,A>C分別為E的上、下頂點，B、

。分別為￡的左、右頂點，|/C|=4.

（1）求￡的方程；

⑵點P為第一象限內E上的一個動點，直線PD與直線BC交于點M,直線產/與直線y=-2交于點N.求

證：MN//CD.

31.（2023?乙卷）已知橢圓C:g+|^=l（a>6>0）的離心率為，，點/（-2,0）在C上.

（1）求。的方程；

（2）過點（-2,3）的直線交C于點P,。兩點，直線/尸，與y軸的交點分別為/,N,證明：線段“N

的中點為定點.

32.（2023?新高考H）已知雙曲線C中心為坐標原點，左焦點為（-20，0）,離心率為退.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為4，4,過點（-4,0）的直線與。的左支交于W,N兩點，M在第二象限,

直線"4與私交于尸，證明尸在定直線上.

33.（2023?甲卷）已知直線x-2y+l=0與拋物線C:/=2px（°>0）交于N,8兩點，|/為=4而.

C1）求p；

（2）設尸為。的焦點，M,N為C上兩點，且兩?兩=0,求AAffN面積的最小值.

34.（2023?新高考I）在直角坐標系附中，點P到x軸的距離等于點P到點（0,式的距離，記動點P的軌

跡為少.

（1）求沙的方程；

（2）已知矩形48CD有三個頂點在沙上，證明：矩形48CD的周長大于36.

最新模擬

一.選擇題（共5小題）

22

1.（2024?曲靖模擬）已知片，凡分別為雙曲線餐-==1（。>0,6>0）的左、右焦點，P為雙曲線左支上任

ab

一點，若此廣的最小值為8a,則雙曲線的離心率e的取值范圍是（）

陷1

A.(l,+oo)B.(0,3]C.(1,3]D.(0,2]

22

2.（2024?昌樂縣校級模擬）已知圓C:x2+v2-10y+21=0與雙曲線二-烏=l(a>0,6>0)的漸近線相切,

ab

則該雙曲線的離心率是（）

A.V2B.-C.-D.V5

32

22

3.（2024?興慶區校級一模）如圖，已知雙曲線。:二-勺=1（。>0,6>0）的左焦點為片，右焦點為巴，雙

ab

曲線C的右支上一點它關于原點。的對稱點為2,滿足/月/月=120。，且I因|=3|/工I，則雙曲線C

D.叵

2

4.（2024?越秀區校級一模）經過第一、二、三象限的直線/:ax-by+4=0與圓C:x2+y2+2x-2y-l=0相

交于4,5兩點，若|45|=6,則仍的最大值是（）

A.8B.4C.2D.1

5.（2024?重慶模擬）已知橢圓二+二=1（。>6>0）的左焦點片，。為坐標原點，點P在橢圓上，點。在

ab

—.>FPFO

橢圓的右準線上，若尸0=2片0,耳0=〃^^+』~）（2>0）則橢圓的禺心率為（）

C垂-1D.^±1

AD.-------

-I2,24

二.多選題（共4小題）

6.（2024?南昌一模）己知圓O:x?+『=4與直線/:》=叼+若交于/,B兩點，設AO48的面積為S（m）,

則下列說法正確的是（）

A.SO）有最大值2B.5（間無最小值

C.若加尸加z，貝!]S（叫）wS（嗎）D.若S（%）（加2），則加]片牝

7.（2024?云南一模）已知P是直線/:y=x+20上的動點，。為坐標原點，過尸作圓。:/+/口的兩條

切線，切點分別為/、3,則（）

A.當點P為直線/與x軸的交點時，直線N3經過點（-?,-4后）

B.當AAP2為等邊三角形時，點P的坐標為（-百，&）

C.N4P8的取值范圍是（0,§

D.|尸。|的最小值為血

8.（2024?中山市校級模擬）如圖，過拋物線C:Y=4了焦點下的直線/與拋物線交于4,3兩點，弦48的

中點為M,過/,B,M分別作準線4的垂線，垂足分別為4，用,N,則下列說法正確的是（）

A.以為直徑的圓與4相切B.NFVAB

11D嚀+工的最小值為4

----------1----------

FA\\FB\

9.（2024?晉城一模）雙曲線。:/_「=機2（機＞o）的左、右焦點分別為片，此,p@,S）（SN0）為C的右

支上一點，分別以線段P片，P耳為直徑作圓圓a，線段。儀與圓。2相交于點“，其中。為坐標原點,

則（）

A.||=y/im

B.|OM|=m

c.點0,0）為圓q和圓a的另一個交點

D.圓q與圓■有一條公切線的傾斜角為￡

三.填空題（共3小題）

10.（2024?芝景區校級模擬）圓X?+y2-2x-6y+9=0關于直線2x+y+5=0對稱的圓的方程是.

11.（2024?泉州模擬）已知直線/:x+y=2,圓C被/所截得到的兩段弧的長度之比為1:3,則圓C的方程

可以為—.（只需寫出一個滿足條件的方程即可）

12.（2024?廣州一模）已知曲線C是平面內到定點F（0,-2）與到定直線/:夕=2的距離之和等于6的點的軌

跡，若點P在C上，對給定的點T（-2J）,用m（t）表示|PF|+1P71的最小值，則加⑺的最小值為.

四.解答題（共6小題）

13.（2024?陜西模擬）已知拋物線V=2px（0>O）的焦點為歹，點/（2,%）為拋物線上一點，且|AF|=4.

（1）求拋物線的方程；

（2）不過原點的直線/:y=x+m與拋物線交于不同兩點P,Q,若OP，。。，求加的值.

14.（2024?當陽市校級模擬）已知橢圓。:[+口=15>6>0）的長軸長為2若，且過點（T立）.

ab3

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線y=?x-0）（左>0），與橢圓C相交于/，3兩點（點/在點B的右側），點B關于x軸的對稱

點為點玄，設直線。夕的斜率分別為尢，k2,且右-左=2,求后的值.

15.(2024?廈門模擬)已知N(2,0),5(-2,0),P為平面上的一個動點.設直線AP,AP的斜率分別為尢，

1

k2,且滿足瓦?內=-;，記P的軌跡為曲線

(1)求「的軌跡方程；

(2)直線尸/,尸8分別交動直線x=l于點C、D,過點C作網的垂線交x軸于點〃.成?麗是否存在

最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.

16.(2024?惠州模擬)如圖，已知半圓。］：/+了2=62(%0)與》軸交于/、3兩點，與》軸交于￡點，半

橢圓C?:與+j=l(v>0,a>6>0)的上焦點為尸，并且A43歹是面積為G的等邊三角形，將由6、C,構

ab~

成的曲線，記為

(1)求實數a、6的值；

(2)直線/:y=6x與曲線「交于“、N兩點，在曲線「上再取兩點5、7(5、T分別在直線/兩側)，使

得這四個點形成的四邊形MSN7的面積最大，求此最大面積；

(3)設點K(0,P是曲線「上任意一點，求|PK|的最小值.

17.（2024?墊江縣校級模擬）在平面直角坐標系xQy中，橢圓。:4+/=1，圓。：/+/=5,P為圓。上

任意一點.

（1）過尸作橢圓。的兩條切線12,當與坐標軸不垂直時，記兩切線斜率分別為左，k2,求左?右

的值；

（2）動點。滿足詼=（而，設點。的軌跡為曲線E.

⑴求曲線￡的方程；

（拓）過點/（當,手）作曲線￡的兩條切線分別交橢圓于R,T,判斷直線RT與曲線￡的位置關系，并說

明理由.

18.（2024?遼寧模擬）已知直線/與橢圓交于尸（國，%），Q（X2,力）兩不同點，且AOP。的

面積SA8O=^，其中。為坐標原點?

（I）證明X；+考和）；+式均為定值；

（II）設線段P。的中點為求|。河川尸0的最大值；

（IID橢圓C上是否存在點。，E,G,使得若存在’判斷皿TG的形狀；

若不存在，請說明理由.

考前回顧07解析幾何(知識清單+易錯分析+23年高考真題+24

年最新模擬)

1.直線方程的五種形式

(1)點斜式：y—vo=A：(x—xo)(直線過點Po(xo,yo),且斜率為左，不包括y軸和平行于y軸的直線).

(2)斜截式：夕=日+以6為直線/在夕軸上的截距，且斜率為比不包括y軸和平行于y軸的直線).

(3)兩點式："?(直線過點尸1(X1,J1),尸2(X2,㈤，且X1WX2,力力加不包括坐標軸和平行于坐標

y2~yiX2-xi

軸的直線).

(4)截距式：工+'=1(°,6分別為直線的橫、縱截距，且aWO,bKO,不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原

ab

點的直線).

(5)一般式：/x+3y+C=0(其中/,8不同時為0).

2.直線的兩種位置關系

(1)當不重合的兩條直線/1和4的斜率都存在時：

①兩直線平行：(〃120kl=k%

②兩直線垂直：(_1_/2<=>左血=-1.

提醒當一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在時，兩直線也垂直，此種情形易忽略.

(2)直線方程一般式是/x+3y+C=0.

①若直線/i：^ix+Sij+Ci=O,Z2：A2X+B2y+C2=0,貝U/1〃/20432—31也=0且4c2一色。1/0(或8C2

—民"0).

②若直線Zi：/ix+8iy+Ci=0,I2：/加+82夕+。2=0,則A_1_，2臺/遇2+8182=0.

提醒無論直線的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起來更方便.

3.三種距離公式

(1)已知/(xi,yi),3(X2,72)-兩點間的距離

1=\j(x2—xi)2+(y2-yi')2.

⑵點到直線的距離d=也與”其中點尸a。，詡，直線方程為及+為+。=0(/2+4》0)).

■\IA2+B2

2

(3)兩平行線間的距離其中兩平行線方程分別為/1：Ax+By+Ci=O,h：Ax+By+C2=O(A+

/片0)).

提醒應用兩平行線間距離公式時，注意兩平行線方程中x,y的系數對應相等.

4.圓的方程的兩種形式

(1)圓的標準方程：(x—a)2+(y—6)2=產.

(2)圓的一般方程：C+92+瓜+￡曠+尸=0(。2+￡2—4Q0).

5.直線與圓、圓與圓的位置關系

(1)直線與圓的位置關系：相交、相切、相離.

(2)弦長的求解方法

根據半徑，弦心距，半弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系戶=屋+，其中/為弦長，r為圓的半徑,

d為圓心到直線的距離)，弦長/=26二7.

(3)圓與圓的位置關系：相交、內切、外切、外離、內含.

(4)當兩圓相交時，兩圓方程相減即得公共弦所在直線方程.

6.圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質

名稱橢圓雙曲線拋物線

|PF|=FM點尸不

|PFi|+|PF2|=2a\\PFx\-\PF2\\=2a

定義在直線/上，尸

(2?>|FIF|)(0<2a<|FiF|)

22交/于點M

5Y=im>0,b>0)

標準方程…)y2=2px(p>0)

圖形

范圍X三Wx20

頂點(±Q,0),(0,±b)(士Q,0)M

對稱性關于X軸，y軸和原點對稱關于X軸對稱

焦點(土cO)

幾

軸長軸長2a,短軸長2b實軸長出,虛軸長2b

何

c

性e=~=

ae=-=A/l+^(e>l)

離心率e=l

質a7a'

(…)

p

準線x——

2

產&

漸近線

a

7.直線與圓錐曲線的位置關系

判斷方法：通過解直線方程與圓錐曲線方程聯立得到的方程組進行判斷.

弦長公式：\AB\=A/1+P|XI—X2I，

或依尸一陽(左WO).

，^易錯提醒

1.不能準確區分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關系，導致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范

圍時出錯.

2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據直線在兩軸上的截距相等設方程時，忽視截距為0的情

況，直接設為工+2=1；再如，過定點尸(如陽的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設為XO)

aa

等.

3.討論兩條直線的位置關系時，易忽視系數等于零時的討論導致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜

率不存在，另一條直線的斜率為0.當兩條直線的斜率相等時，兩直線平行或重合，易忽視重合.

4.求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數不相等，而直接代入公式隼二導致錯解.

\IA2+B2

5.利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線的定義中，有

兩點是缺一不可的：其一,絕對值；其二，0<2°<舊仍|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差

為常數，而不是差的絕對值為常數，那么其軌跡只能是雙曲線的一支.

6.易混淆橢圓的標準方程與雙曲線的標準方程，尤其是方程中a,b,。三者之間的關系，導致計算錯誤.

7.已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時，易忽視討論焦點所在坐標軸導致漏解.

8.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構成的方程組有實數解，消元后得到的方程中要注意：二次項的

系數是否為零，判別式的限制.尤其是在應用根與系數的關系解決問題時，必須先有“判別式/20"；

在求交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應在“/>0”下進行.

易錯分析

易錯點1忽略對參數取值的檢驗致誤

1.［江蘇宿遷2023調研］若直線4:ax+2ay+l=0與直線〃：(a—l)x—(a—l)y—1=0垂直，則a的值為

()

A.0B.-1C.-2D.-3

本題考查根據直線一般式方程判斷垂直關系，需要滿足44+4月=0,求出參數值后，切記

要對參數的取值進行檢驗，如本題，容易誤認為。=0也滿足題設條件導致增解.

因為直線lx'.ax+lay+1=0與直線Z2:(<2-l)x-(?-l)v-l=0垂直，所以

-1）一2a（a+l）y-1=0,解得a=0,或a=—3.

當a=0,時，直線4不存在，故舍去；當。=-3時，滿足題意，故選￡）.

【答案】D

易錯點2忽視對截距為0時情況的討論而致錯

2.［浙江杭師大附中2023期中］過點產（2,3）且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是.

直線在兩坐標軸上的截距相等，應分為直線過原點（即截距都為零）與直線不過原點（即截距

都不為零）兩種情況討論，分別求出直線方程，過原點的情況最容易被忽略.