微重點02函數的公切線問題(4大考點+強化訓練)

函數的公切線問題，是導數的重要應用之一，利用導數的幾何意義，通過雙變量的處理，從而轉化為零

點問題，主要利用消元與轉化，考查構造函數、數形結合能力，培養邏輯推理、數學運算素養.

【知識導圖】

?考點一：求兩函數的公切線

?考點二：與公切線有關的求值問題

考點三：判斷公切線條數

?考點四：求參數的取值范用

o【考點分析】

考點一：求兩函數的公切線

規律方法求切線方程時，注意區分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線，曲線y=Kx)在點P(.XO,>0))

處的切線方程是y—/Uo)=f(尤0)?(無一無o);求過某點的切線方程，需先設出切點坐標，再依據已知點在切線

上求解.

【例1】已知拋物線G：y=f+2x和C2：y=-x2+。，如果直線/同時是C1和C2的切線，稱/是G和CZ的

公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.

(1)“取什么值時，G和C?有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

(2)若C］和Q有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分.

【變式】(2023,云南保山,統考二模)若函數〃x)=41nx+l與函數g(x)=：d-2尤g>o)的圖象存在公切

線，則實數。的取值范圍為()

a-H]B.卜力

U5[3)D」[皆33]J

考點二：與公切線有關的求值問題

規律方法利用導數的幾何意義解題，關鍵是切點，要充分利用切點既在曲線上又在切線上構造方程.

【例2】(2024下?重慶?高三重慶一中校考開學考試)已知/(x)=e，+sinx,g(x)=aln(x+l)-l.

⑴若在(0J(0))處的切線也與g(x)的圖象相切，求。的值；

(2)若/W+g(x)之。在尤e(-1,+8)恒成立，求a的取值集合.

【變式】設蜂0,點P&0)是函數〃可=/+依與g(x)=b/+c的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點

尸處有相同的切線.

(1)用，表示a,b,c；

⑵若函數尸/?-g(%)在(-1,3)上單調遞減,求t的取值范圍.

考點三：判斷公切線條數

規律方法運用導數與斜率之間的關系可以將兩曲線公切線的切點表示出來，構造新的函數，通過零點存在

定理判斷函數零點個數，即方程解的情況.

【例3】曲線Ci：y=e”與曲線C2：y=lnx公切線的條數是。

【變式】曲線Ci：/（%）=曲線C2：g（x）="公切線的條數是（）

3%與

A.0B.1C.2D.3

考點四：求參數的取值范圍

規律方法利用導數的幾何意義，構造參數關于切點橫坐標或切線斜率上的函數，轉化成函數的零點問題或

兩函數的交點問題，利用函數的性質或圖象求解.

【例4】（2022?全國?統考高考真題）已知函數/（x）=Y-x,g（尤）=/+。，曲線y=/（尤）在點（占,〃占））處的

切線也是曲線y=g。）的切線.

⑴若玉=-1,求a；

（2）求a的取值范圍.

【變式】若函數/。）=履2（左/0）,g（x）=lnx有兩條公切線，試求人的取值范圍。

【強化訓練】

一、單選題

1.若曲線/(%y)=o上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線〃x,y)=o的"自公切線下列方

程：①--9=1；②y=f一忖；③y=3sin尤+4COS尤；④閔+1=對應的曲線中存在"自公切

線”的有

A,①②B.①④C.②③D.③④

2.已知直線/是曲線C：y=/與曲線Cdy=lnx,xe(O,l)的一條公切線，若直線/與曲線CI的切點為

P,則點尸的橫坐標，滿足()

C11,

A.0</<—B.—</<1

22

C.—<t<y/2D.72<?<5/3

2

3.已知直線/是曲線％=/與曲線％=/*-2的一條公切線，/與曲線為=/-2切于點(4,6),且。是函

數/(X)的零點，則“X)的解析式可能為()

A./(x)=e2t(2x+21n2-l)-lB./(x)=e2v(2x+21n2-l)-2

C./(x)=e2x(2^-21n2-l)-lD./(x)=e2r(2x-21n2-l)-2

4.(2021上?四川成都?高三成都七中期中)如果直線/與兩條曲線都相切，則稱/為這兩條曲線的公切線，

如果曲線G：y=lnx和曲線=T(尤>0)有且僅有兩條公切線，那么常數a的取值范圍是()

X

A.(-ao,0)B,(0,1)C.(l,e)D.

二、多選題

5.(2024上?山西運城?高二統考期末)若直線y=f是曲線y=2f+3尤+4與>=-^+"曲線的公切線，

則()

A.m=-1B.機=2

C.〃=3D.〃=—3

三、填空題

6.(2023下?遼寧沈陽?高二校聯考期中)若直線>=4尤+.是曲線y=x3-〃x+13與曲線y=/+21nx的公

切線，則〃+〃2=.

7.(2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預測)曲線y=〃z+lnx過點(-2,0)的切線也是曲線>=6"的切

線，則加=;若此公切線恒在函數〃尤)=—+&3>+|-1的圖象上方，則a的取值范圍

是.

8.(2024下?重慶?高二重慶一中校考開學考試)已知函數/(?=lnx,g(x)=xa(x>0,4片0),若存在直

線/,使得/是曲線y=/(x)與曲線y=g(x)的公切線，則實數。的取值范圍是.

四、解答題

9.判斷曲線/'(x)=e*T與曲線g(x)=/nx的公切線的條數，并說明理由.

10.(2022?全國?統考高考真題)已知函數/(x)=x3-x,g(x)=Y+a,曲線y=/(x)在點(占,〃占))處的切

線也是曲線y=g(x)的切線.

⑴若%=T,求a；

(2)求a的取值范圍.

11.已知函數〃尤)=lnx-

x-1

(1)討論7W的單調性，并證明?(才有且僅有兩個零點；

(2)設xo是/(x)的一個零點，證明曲線"Inx在點A(xo,In%o)處的切線也是曲線y=e、的切線.

微重點02函數的公切線問題（4大考點+強化訓練）

函數的公切線問題，是導數的重要應用之一，利用導數的幾何意義，通過雙變量的處理，從而轉化為零

點問題，主要利用消元與轉化，考查構造函數、數形結合能力，培養邏輯推理、數學運算素養.

對【知識導圖】

?考點一：求兩函數的公切線

?考點二：與公切線有關的求值問題

考點三：判斷公切線條數

?考點四：求參數的取值柩用

口

【考點分析】

考點一：求兩函數的公切線

規律方法求切線方程時，注意區分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線，曲線y=/U）在點P（尤o，?xo））

處的切線方程是y—兀%）=//（xo>（x—尤o）;求過某點的切線方程，需先設出切點坐標，再依據已知點在切線

上求解.

【例1】已知拋物線C］：y=f+2x和Cryn-V+a,如果直線/同時是C1和C2的切線，稱/是G和G的

公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.

（1）。取什么值時，C和C?有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

（2）若G和G有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分.

【答案】（1）。=-：；>

24

⑵證明見解析.

【詳解】（1）函數C］：y=f+2元的導數y=2x+2,

曲線G在點尸（％，X1+2%）的切線方程是團y-（%；+2西）=（2%+2）（%-%1）,

BPy=（2芭+2）%一x；①，

函數尸_爐+〃的導數y=_2x,

曲線G在點。（%2,-%；+。）處的切線方程是y-+〃）=-2%2（%-工2），

即y=-2X2X+xf+a②,

如果直線/是過尸和。的公切線，

則①式和②式都是/的方程，則2%+2=-2%,-x；=x；+〃，

消去巧得方程2x；+2玉+1+。=0,

11

判另IJ式A=4-4x2（l+a）=。時，即〃=_^時解得石=—于此時點P與。重合.

即當時，C,和C?有且僅有一條公切線，

由①得公切線方程為y=x-；；

（2）證明：由（1）可知.當a<-1時G和C?有兩條公切線，

設一條公切線上的切點為回產（國,%）,。（馬，必），

其中尸在G上，Q在。2上，則有玉+工2=-1，

%+=%：+2玉+（—X；+OL）—X；+2玉一（%+1）2+d——1+Q,

故線段P。的中點為（-9二^）,

同理求得另一條公切線段尸'。’的中點也是（-3三或）

所以公切線段PQ和P'Q'互相平分，即若G和c2有兩條公切線，相應的兩條公切線段互相平分.

【點睛】本題考查了導數的幾何意義的應用，即利用導數的幾何意義解決曲線的公切線問題，解答時要能

熟練的求解曲線的切線方程和利用一元二次方程的相關知識解決問題.

【變式】（2023?云南保山?統考二模）若函數〃x）=41nx+l與函數g（x）=%2-2Ma>0）的圖象存在公切

線，則實數。的取值范圍為（）

【答案】A

【分析】先求得公切線方程為y=3x+41n-3,聯立方程組，結合A=0,得至Ui"，令

t——=-------

a3-41nZ

<2V4(2+1]f+41n1-l

，求得〃⑺t，令。⑺=f+41nr—1,求得d(f)>0和0(l)=0,得到函

3(3-43)2

數欠。的單調性和最小值6⑺1m?=3,進而得到即可求解.

【詳解】由函數〃x)=41nx+l,可得尸(x)=：

因為a>0,設切點為。,41nf+l),則-⑺=3,

44

則公切線方程為V-41nf-1=7(X一。，即>=7》+41皿一3,

與y=—x2—2x聯立可得—*-(2H—41n/+3=0,

aa\tJ

所以A=(2+d]—4xLx(3—41nr)=0,整理可得1(j+"，

\tJCl一二-------

a3-41nr

f<2>03

又由(〉0,可得3—41n，>0,解得0</</，

4r2+]V+41nr-l

令,其中0</<尸可得//(。=(Jt

/()=2

3-41n/(3-41nr)

3\

令9(0=7+41nt—1,可得"(/)=l+；＞0,函數在10,胸)上單調遞增，且9(1)=0,

7

當0</<1時，夕(。<0,即此時函數力。)單調遞減,

當[</</時，小(。>°，即此時函數人(。單調遞增，

所以且當r-0+時，〃⑺->+8,所以函數/巾)的值域為[3,+8),所以且。>0,

解得0<。4；，即實數。的取值范圍為(0,g.

故選：A.

【點睛】方法技巧：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；

2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造

的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放

縮法，注意恒成立與存在性問題的區別.

考點二：與公切線有關的求值問題

規律方法利用導數的幾何意義解題，關鍵是切點，要充分利用切點既在曲線上又在切線上構造方程.

【例2】(2024下?重慶?高三重慶一中校考開學考試)已知〃x)=e'+sinx,g(x)=aln(x+l)-l.

⑴若/(x)在(0J(0))處的切線也與g(x)的圖象相切，求。的值；

⑵若/W+g(x)2。在尤w(T,+℃)恒成立，求a的取值集合.

【答案】⑴a=2e

(2)M

【分析】(1)根據導數的幾何意義先求得了(M在(。"(。))處的切線方程，再根據直線與g(x)的圖象相切，

設切點(1，%)，再根據導數的幾何意義，切點既在曲線上又在切線上，求得。的值；

(2)根據必要性可求得。=-2,再代入數據計算函數在上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，計算

即可求解.

【詳解】(1)由己知了'(x)=e*+cosx,則/'(0)=e°+cos0=2,又/(0)=e°+sin0=1,

所以切點為(0,1),切線的斜率為2,

所以切線方程為＞=2尤+1,

又g'(無)==，設切點為(毛,%),所以8'(/)=’7，

X+1玉)+1

-^—=2

所以＜x0+l,解得a=2e；

2x0+1=〃In+1)-1

(2)設加(x)=e，+sinx+Qln(x+l)-l,貝口mr(x)=e%+cosxd■——,

必要性：因為，"(o)=o,函數在尤=0的左右均大于等于a(o),

所以x=0是極值點，所以/⑼=e°+cos0+a=0,所以。=-2；

2

充分性：當〃=一2時，加(x)=e"+cosx-----,

x+1

2

當xe(—1,0］時，ev+cosx<2>——2,所以7〃(x)40,

所以加⑴在(T,0］上單調遞減，

22

當xe(O,y)時，設”(Rn^+cos尤-----，則〃'(x)=e'_sinx+-

x+1(x+1)

22

因為ex-sinx+而/>1-1+而子>0,所以“(x)單調遞增，

即〃/(x)單調遞增，

又〃/(￡)>/(0)=0,所以機(x)在(0,+8)上單調遞增，

所以〃z(x)在(T0］上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，

故m^x)>?77(0)=0,

所以。=—2,

故實數。的取值集合為{-2}.

【點睛】方法點睛：利用導數研究曲線上某點的切線問題，利用導數的幾何意義求出斜率，利用點斜式表

示切線方程，若無切點，要設出切點坐標，切點既在曲線上又在切線上，列出方程即可；利用導數研究函

數恒成立問題，由必要性求得參數的值，然后證明充分性，利用導數研究函數的單調性求得最小值.

【變式】設蜂0,點P,。)是函數/(可=/+◎與g(x)=bd+c的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點

產處有相同的切線.

⑴用f表示a,b,c；

⑵若函數V=/(x)-g(x)在(-1,3)上單調遞減，求t的取值范圍.

【答案】⑴。=-：,b—t,c=—t3；

(2)(-<X>,-9］U［3,-HO).

【分析】(1)由題意得到戶+af=f(/+a)=O,bt2+c=0,結合言0求出°=-》,對兩函數求導，利用兩函

數的圖象在點P處有相同的切線，得到3產+〃=26，結合.=-產表達出b=t,c=-t\

(2)在第一問的基礎上，得到y=〃x)-g(x)=x3-/x-]+/,x4-l,3),求導后因式分解，轉化為

)/=(3%+/)(%-/)40在了?-1,3)上恒成立問題，分/<0與7>0兩種情況，求出y=(3尤+/)(%-/)W。的解

集，與xe(T,3)比較端點，得到不等式組，求出f的取值范圍.

【詳解】(1)由題意得：t3+at=t(t2+a)=0,bt2+C=0,

因為f/0,所以戶+0=0,即°=-產，

/,(x)=3x2+a,g(x)=2bx,

因為兩函數的圖象點尸處有相同的切線，

所以3產+a=2bt，

將a=-產代入上式，且,大0,解得：b=t,

將6=/代入初?+c=o中，c—,

綜上：a=-t2,b=t,c=—t3;

(2)y=/(x)-g(x)=x3+OX-Z?%2-c=x3-?2x-tv2+t3,%e(-l,3),

則y'—3x2—2tx—t2=(3尤+。(%—。40在尤e(—l,3)上恒成立，

當f<0時，(3尤+。W。的解集為f4尤4—§,

當r>0時，(3x+r)(x—的解集為一(vxvr,

由題意得：函數y=/(x)-g。)在(-1,3)上單調遞減，

則(T,3)u或(-l,3)q?,-1,

此3[_33

所以(人<或｛3~,解得：9或噂3,

所以》的取值范圍是(—，-9]U[3,y)

考點三：判斷公切線條數

規律方法運用導數與斜率之間的關系可以將兩曲線公切線的切點表示出來，構造新的函數，通過零點存在

定理判斷函數零點個數，即方程解的情況.

【例3】曲線C：P二產與曲線a：y=lnx公切線的條數是。

【答案】2

【詳解】根據常用函數的導數可知

y=ex=>y'=e。

y=lnx=>y'=；

則兩函數在點(xi,%)和(如㈤處的切線分別為

y—yi=e*(x-xi),

1.、

y—y2=-{x—X2),

X2

化簡得y=爐x+(l—石)ex',

y=Lr+ln1,

x2

Je*i—_1

由題意可得vX2

x,

(1-xx)e=Inx2-L

化簡得荀照+用一小+1=0=々='―-從而e*二石+1

X]+1-1

令/Xx)=exg(x)=W畫出函數f(x),g(x)的圖像，兩個圖像有2個交點,

'x-1,

所以方程/=四有兩個不相等的根，所以曲線Ci：y=e”與曲線C2：y=lnx有2條公切線。

x—\

【變式】曲線Cl：y(x)=曲線C2：8(%)=6工公切線的條數是()

3x與

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【詳解】設公切線為/,PQ1,")是/與段)的切點，由/(X)=一-—,

3%

得f(X)=(y,設。(%2,>2)是I與g(x)的切點，

由g(x)=e],得屋(x)=ex,

所以I的方程為y—yi=-^-r(x—xi),

3x

因為X=---，

12

整理得y=-j-x----,

同理y->2=匕巧(龍—檢)，

因為”=e巧，

整理得y=6巧％+e%(1—X2),

1%

3元1

依題意，可得11

2

----=(I-4)*

〔3%-

消去XI,得彳3(1—々),2/2—1=0,

33

令h(x)=-(l-x)2ex-lh(x)=-(x2-l)ex

4，則4

令今(%)=0,則冗=±1,

當x<—1或x>l時，h'(x).>0；

當一1<X<1時，h'(x)<0,

3

所以"(%)有極大值為力(-1)=——1>0

e,

%(x)有極小值為7z(l)=-l,

3

因為/Z(X)=—(1—X)92/—1

4

當x趨近于一8時，/i(x)趨近于-1；

當尤趨近于+8時，/z(x)趨近于+8,

故"(x)的大致圖象如圖.

根據函數/z(無)零點存在定理可知函數有3個零點，所以，曲線Ci、與C2有3條公切線。

考點四：求參數的取值范圍

規律方法利用導數的幾何意義，構造參數關于切點橫坐標或切線斜率左的函數，轉化成函數的零點問題或

兩函數的交點問題，利用函數的性質或圖象求解.

【例4】(2022?全國?統考高考真題)已知函數/(了)=三一x,g(x)=/+a,曲線y=/(尤)在點&,〃％))處的

切線也是曲線>=g(x)的切線.

⑴若%=T,求a；

(2)求a的取值范圍.

【答案]⑴3

(2)[-1,^0)

【分析】(1)先由AM上的切點求出切線方程，設出g(x)上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再由函數

值求出。即可；

(2)設出g(x)上的切點坐標，分別由人元)和g(x)及切點表示出切線方程，由切線重合表示出。，構造函

數，求導求出函數值域，即可求得。的取值范圍.

【詳解】(1)由題意知，/(-I)=-1-(-1)=0,/V)=3X2-1,廣(一1)=3-1=2,則>=/(元)在點(—1,0)處

的切線方程為了=2。+1),

即y=2x+2,設該切線與g(x)切于點伍屈9)),g")=2x,貝!|g，(％)=2%=2,解得々=1,貝|

g⑴=1+。=2+2,解得。=3；

(2)1(%)=3%2—1,則y=/(x)在點區〃石))處的切線方程為y—(4―玉)=(3%；—1卜%—%)，整理得

y=(3片,

設該切線與g（x）切于點（％，8（/）），g'（x）=2x,則/（々）=2工2，則切線方程為+。）=2々（*-々），整

理得y=2X2X-xl+af

呼「=2},整理得°=考一2x；=2牙=；x：_2x：_|x；+；,

則

—2%]=-%+a

93cl1

令/i(x)=—x4-2x3——x2+—,則hf(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+l)(x-1),令hr(x)>0,解得——<x<0或

4243

x>l,

令〃(x)<0,解得x<-g或0<x<l,則x變化時，的變化情況如下表：

1H'0)

X(0,1)(1,+00)

-301

/（X）-0+0—0+

5￡

h(x)/-1/

274

則為（無）的值域為［-L~）,故。的取值范圍為［-L~）.

【變式】若函數/。）=叱（人0）,g（x）=lnx有兩條公切線，試求人的取值范圍。

【答案】0+8）

【詳解】第一步：確定切點

設公切線與f（x）=kx1的切點為6（X1，何2）

第二步：求斜率

/'（%）=2kx,斜率為2Axi

第三步：點斜式確定切線方程

則它的切線方程是y-g？=2g（x-xj即y=2kxi?x-kx；.

，，

同理：設公切線與g（x）=lnx的切點為￡（々,111々）

則切線方程為y='-x+lnx2T

第四步：公切線應用（斜率相同，截距相等）

-=2kx1

x2

In%-1=-kxj；且每一組解(刈，X2)對應一條公切線。

由以上方程組消X2,整理得

Ax；2-ln(2AX])-l=0

第五步：切線條數轉化為方程根的個數

函數f(x)和g(x)有兩條公切線，所以方程封2/(2好)-1=0有兩個根

令/z(x)=Ax?-ln(2Ax)-1則"(x)=2去一工

，x

(1)當左<0時，/i(x)的定義域為(-8,0),此時/z'(x)>0,/z(x)在(-oo,0)上單調遞增;

h(x)與x軸至多有1個交點，與題意不符；

(2)當k>0時，h(x)的定義域為(0,+8)

令"(x)=0,得

所以，當xe(O,jL1)時，》(尤)<0,〃(x)在(0,J工)上單調遞減;

V2kV2K

U,+8)時，"%)〉0,〃⑴在(J'1,+8)上單調遞增;

當XW(.

2kV2k

Mx)與X軸至多有2個交點，所以h(x)=O要有兩根，還須滿足

唱)=唱1)2-心也1-「-皿瘍一；1<0,

解得k>—；

2k2k22e

由于人(2)=左"-2左-2=0,

A(^—)=左(^—)2-ln(^—)-1=>0

2k-e2k-e2k-e4k-e2

1

所以，在和+8)上’分別存在不，%,使/2(毛)=秋為)=。

2k

綜上所述'Q*

【強化訓練】

一、單選題

1.若曲線Ax,y)=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線〃x,y)=0的"自公切線下列方

程：①￡_9=1；②丫=%2一此③y=3sinx+4cosx；④兇+1="4-：/對應的曲線中存在"自公切

線”的有

A.①②B.①④C.②③D.③④

【答案】C

【詳解】①f-/=1是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；

丫2丫丫][1

②、=尤2_國={-八在》=一彳,無=彳處的切線都是丁=:故②有自公切線.

x+x尤<0224

③y=3sinx+4cosx=5sin(x+0),此函數是周期函數，過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點

的切線都重合，故此函數有自公切線.

④國+1=反7，即f+2忖+9-3=0,結合圖象可得，此曲線沒有自公切線.

故答案為C.

2.已知直線/是曲線G：y=V與曲線G：y=lnx,xw(0,l)的一條公切線，若直線/與曲線G的切點為

P,則點尸的橫坐標f滿足()

11

A.0</<一B.—</<1

22

C.—<z<V2D.V2<?<>/3

2

【答案】D

【分析】記直線/與曲線G的切點為(孤lnm)Me(O,l),再根據導數的幾何意義，根據公切線的兩種表達

方式列式可得In⑵)-〃+1=。,"3,再構造函數〃x)=ln(2x)-x2+Lx>：求導分析單調性，結合零點存

在性定理求解即可

【詳解】記直線/與曲線C?的切點為(〃7,血7)即?0,1),則直線/的方程為〉-1的=3》-叫又直線/的方

m

程為y"=2《xT),從而3=：且出根_1=_汽消去旭得]n：_i=v2,即3(2。一產+l=0j>g,設

/(x)=ln(2x)-x2+l,x>1,^廣(X)=，-2X=L2L令力^)>0解得工0<立,則函數〃尤)在;

2xX22

上遞增，又心,1］無零點，八力<0得“X)在上單調遞減.又

/(V2)=ln(2V2)-l>0,/(V3)=ln(2V3)-2<ln4-2<0,所以fe(應，道)

故選：D.

3.已知直線/是曲線％=e，與曲線y2=e2=2的一條公切線，/與曲線%=e?，-2切于點(a,6),且。是函

數/(X)的零點，則"%)的解析式可能為()

A./(x)=e2x(2x+21n2-l)-lB,f(x)=e2x(2%+2ta2-l)-2

C./(x)=e2r(2x-21n2-l)-lD./(x)=e2r(2x-21n2-l)-2

【答案】B

【分析】設公切線在曲線y：=e，上的切點坐標為(狐e'"),在曲線%=j-2上的切點坐標為(a,e2fl-2),

_2e2a

利用導數的幾何意義可得出，"二\2。.，消去加可得出關于。的等式，即可得出函數/(無)

e(1—ntj=li-.Q)e-L

可能的解析式.

【詳解】由％=e>可得y；=e1由必=十一2,可得解=2e".

設公切線在曲線父=e，上的切點坐標為(叫e'"),

2am2a

在曲線丫2=e"-2上的切點坐標為(a,e-2),則e=2e,

整理可得%=2a+ln2①.

曲線％=e'在點(加,e'")處的切線方程為y—e"=e"(x—〃。，即y=e"*+d"(l—回，

曲線％=/-2在點(a,/-2)處的切線方程為y-(游-2)=2e2"(x-a),gpy=2e2fl%+(l-2a)e2a-2,

所以，em(l-m)=(l-2fl)e2a-2,gp2e2a(1-m)=(1-2?)e2a-2(2),

將①代入②中整理可得e2"(2a+21n2-1)-2=0.

因為〃是函數的零點，所以〃元)的解析式可能為/(x)=e2%2x+21n2-l)-2.

故選：B.

4.(2021上?四川成都?高三成都七中期中)如果直線/與兩條曲線都相切，則稱/為這兩條曲線的公切線,

如果曲線G：y=lnx和曲線c,:y=土段(尤>0)有且僅有兩條公切線，那么常數a的取值范圍是()

X

A.B.(0,1)C.(l,e)D.(e,+co)

【答案】B

【分析】把曲線和曲線C?有且僅有兩條公切線，轉化為衣(In玉-2)=-2后有且僅有兩解.

記〃尤)=&(lnx-2),">0),利用導數研究單調性和極值，建立不等式-2<-26<0,即可解得.

【詳解】曲線￡:y=lnx上一點A(&lnM，?=■，切線方程為：y=-x-l+ln^.

x—a/?a],aa，2a

x+

曲線G：y=----(%>o)上一點B々J—，y=F,切線方程為：y=~^—.

XI%2J*2X2X2

1_a

若直線/與兩條曲線都相切，則有?之，消去巧得：毒(In%-2)=-26.

^^-1=1--

%

因為曲線G：y=lnx和曲線。2：,=土心(％>0)有且僅有兩條公切線，

X

所以嘉(In%-2)=-2y[a有且僅有兩解.

t己/(x)=?(lnx-2),(x>0)貝"⑴=總"2)+?子等,

令制x)>0,得所以在(1,+8)上單增；/'(力<0,得0<x<l,所以在(0,1)上單增.

所以〃力皿=〃1)=-2.

又有f(x)=0,解得：尤=0(舍)或無=e2.

當x.o+,貝1]/(司—0；當xfoo,則/(x)->+oo；

而-2&W0,所以要使在0nX]-2)=-2后有且僅有兩解,

只需-2<-2，?<0,解得：O<A<1.

故選：B

【點睛】導數的應用主要有：

(1)利用導函數幾何意義求切線方程;

(2)利用導數研究原函數的單調性，求極值(最值)；

(3)利用導數求參數的取值范圍.

二、多選題

5.(2024上?山西運城,高二統考期末)若直線丫=-彳+加是曲線＞=2爐+3彳+4與〉=-產"曲線的公切線，

貝U()

A.m=-lB.m=2

C.〃=3D.n=—3

【答案】BD

【分析】借助導數的幾何意義計算即可得.

【詳解】令/(力=2/+3彳+4,貝i]/'(x)=4x+3,

令[(X)=4X+3=—1,有X=—1,則/(-1)=2-3+4=3,

即有y—3=—(x+1),即y=—x+2,故/”=2,

令g(x)=Yi,則＜(x)=.e』，

令g'(尤)=-ex+n=-1,有x=-〃,則g(-n)=-e°=-1,

即有y+l=—(x+")，BPy,

故有—”一1=2,即〃=—3.

故選：BD.

三、填空題

6.(2023下?遼寧沈陽?高二校聯考期中)若直線y=4x+加是曲線＞=尤3一”x+13與曲線y=/+21nx的公

切線，則〃+m=.

【答案】5

【分析】由直線y=4x+%是曲線y=/+21nx的切線求解機=-3,可得切線方程，再設直線y=4尤-3與

曲線y=V-ax+13的切點，由切點處的導數值等于切線的斜率，且切點處的函數值相等列式求解力則答

案可求.

2?、

【詳解】由丁=/+2111元,得y'=2%+—,由2%+—=4,解得無=1(%＞。)，

xx

則直線丁=4x+相與曲線y=Y+21nx相切于點(1,4+m)，

團4+m=l+21nl=l,得加=-3,

回直線y=4無一3是曲線丁=彳3-7a+13的切線,

由、=彳3-加+13,得>'=3》2-〃，設切點為，，戶-川+13）,

則3/一〃=4,且/一〃r+i3=4r-3,聯立可得3?-/一嶼+4=4,

t

解得r=2,所以幾=8.

團〃+機=8+（-3）=5.

故答案為：5.

7.（2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預測）曲線丁=加+1n不過點（-2,0）的切線也是曲線丁=/的切

線，則加=;若此公切線恒在函數〃x）=aeT+g-3卜+|-1的圖象上方，則。的取值范圍

是.

2

【答案】-6/<-e2

e

【分析】根據導數的幾何意義可求出機；將此公切線恒在函數/（司=?'-/+[-3]X+彳-1的圖象上

方，轉化為a<-+3x+l恒成立,再構造函數g（x）=Y+：x+l,利用導數求出最小值即可得解.

ee

【詳解】由y=冽+lnx得了=’,

x

設曲線y=772+ln尤過點（-2,0）的切線的切點為（尤o，〃z+lnXo）,

1,1

則切線的斜率為一，切線方程為y-〃Llnx0=一（z％-尤0）,

%M

2

由于該切線過點（一2,0）,所以一加-lnx°=——1,

%

設該切線與曲線>=/切于（再,y）,因為y=e）所以y=e，，所以該切線的斜率為d,

所以切線方程為y-e"=9（》-%）,將（一2,0）代入得0-e4=e氣-2-%）,得西=-1,

1122

所以一=d=一，所以Xo=e,所以一加―lne=----1,所以〃?=—.

玉）eee

1i1?

由以上可知該公切線方程為丫-±=±（尤+1）,即y=

eeee

若此公切線恒在函數〃x）=aeT+&3）尤+11的圖象上方，

則工x+2>oe*-尤2+（工一3）x+2-1,即a<廠+3》+1恒成立，

eeeeex

2

+3x+1(2x+3),e"-(尤?+3x+1),e'-x—x+2

令g(尤)=‘貝”'(x)=

令g'(x)>0,得-x+2>0,得—2<x<l,

令g'(x)<0,得_/_彳+2>0,得x<—2或x>l,

所以g(x)在(-8,-2)上單調遞減，在(-2,1)上單調遞增,在(1,+8)上單調遞減,

因為x>0時，g(x)>0,所以當x=-2時，g(x)取得最小值g(-2)=-e2.

所以4<-e2.

【點睛】關鍵點點睛：求解第二個空時，轉化為不等式恒成立，利用導數求解是解題關鍵.

8.(2024下?重慶?高二重慶一中校考開學考試)已知函數f(x)=lnx,g(x)=xa(x>0,awO),若存在直

線/,使得/是曲線>=/(尤)與曲線y=g(元)的公切線，則實數。的取值范圍是.

【答案】［o,1”1,+動

【分析】分別設出直線/與兩曲線的切點坐標(%J。))，(/，g(々))，利用導數的幾何意義求出切線方程,

根據題意得至!!(a-l)(lnx-x")+lna+l=。,記/z(x)=(a-l)(lnx-x")+lna+l,m(x)=lnx-x",分類討論a

與1的大小關系，利用導數與函數的單調性結合零點存在性定理分析求解.

【詳解】設直線/為曲線〃x)=lnx在點(%"(%))處的切線，/U)=-,

x\

所以/:y—ln玉=—(x-xj,gp/：y=—x+ln^-1.

再引

設直線/為曲線g(X)=X"(X>0,"o)在點(％，g(無2))處的切線，g'(X)="尸,

所以/:y—芯=ax7(%—石)，即/:y=ax^~lx+(1-a)x^；

—=a-[

由題意知《玉ax2,因為％1>0,%2>0，可知〃>0,

In^-1=(1-0)X2

由‘二ax1可得In%=-Ina-(a-1)Inx,

xi。2

將其代入In%]-1=(1一。)只可得：(a—D(lnx—兀")+111々+1=0,

令/2(%)=(3-1)(111%-%")+1皿+1,則力(犬)在(0,+8)上有零點,

令m(x)=lnx-xfl,則m(x)=匕>0,x>0,

x

八11

令機(力>0,解得令加(x)v。，解得

aaaa

/\(\

加(X)在區間0,1上單調遞增，在區間1，+加上單調遞減,

Iaa)\aa)