考前回顧06概率與統(tǒng)計(jì)(知識清單+易錯(cuò)分析+23年高考真題

+24年最新模擬)

i.分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有機(jī)種不同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法，那

么完成這件事共有N=M±2種不同的方法.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有機(jī)種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那么完成這件事共

有N=￡2L種不同的方法.

3.排列

(1)排列的定義：從〃個(gè)不同元素中取出加(租W")個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從〃個(gè)不同元

素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

⑵排列數(shù)的定義：從〃個(gè)不同元素中取出制mW”)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從"個(gè)不同元素中

取出根個(gè)元素的排列數(shù)，用符號例表示.

(3)排列數(shù)公式：A孑=〃("-1)(〃一2)…

(4)全排列：把n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，AN=-1)(〃一

2)X-X3X2X1=?!.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為A#=;七~，這里規(guī)定0!=L

------------------(n—m)!一

4.組合

(1)組合的定義：從n個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的

一個(gè)組合.

(2)組合數(shù)的定義：從w個(gè)不同元素中取出相SW")個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從幾個(gè)不同元素中

取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號禺表示.

4A!；!n!”1)(〃—2)…〃z+1).十.?

(3)組口數(shù)的計(jì)算公式：Cn—Arn=j_/-=j，由于0!=1，所以C"=L

(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①C4=￡F%②C料尸C葉CTL

5.二項(xiàng)式定理

3+〃=(2%"+0-廠宓H-----------------HC敝"(/GN*).

這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)”的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)C拆左=0,1,2,…，力叫

n

做二項(xiàng)式系數(shù).式中的式系r"叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用7kl表示，即展開式的第4+1項(xiàng)：Tk+l=C^a~

V.

6.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即—.

(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，中間一項(xiàng)或兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.二項(xiàng)式系數(shù)為C￡,當(dāng)上“一

時(shí)，c￡隨發(fā)的增加而增大；由對稱性知，二項(xiàng)式系數(shù)的后半部分，&隨左的增加而減小.

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)C?取得最大值；

n-\n+l

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)c］和相等，且同時(shí)取得最大值.

(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和

m+切”的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2",即C9+C,!+戢+…+C5+…+c；=￡.

二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即ci+cHcH-cHcHd

+…=2"-i.

7.概率的計(jì)算公式

(1)古典概型的概率計(jì)算公式

明事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

“A)一樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

(2)互斥事件的概率計(jì)算公式

P(AUB)=P(A)+P(B).

(3)對立事件的概率計(jì)算公式

P(A)=1—尸(4).

(4)條件概率公式

產(chǎn)(AB)

P(B|A)=

(5)概率的乘法公式

P(AB}^P(A)P(B\A).

(6)全概率公式

一般地，設(shè)4，A2,4是一組兩兩互斥的事件，AiUA2U???UA?=i2,且P(A)>0,z=l,2,???,n,則

n

對任意的事件21。，有尸(8)=21尸(4*(即4).

我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一.

*(7)貝葉斯公式

設(shè)4，AT,???,A”是一組兩兩互斥的事件，AiUATUUAn=i2,且尸(4)>0,i=l,2,…，n,則對任意事

件匹。P(B)>0,

+5、尸(A,)P(3,)

有尸⑷8)=—p?

P(A,)P(B|A,)

t,P(Ak)P(B\A?)

z=l,2,…，n.

在貝葉斯公式中，P(A‘)和P(A,⑻分別稱為先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.

8.統(tǒng)計(jì)中四個(gè)數(shù)據(jù)特征

(1)眾數(shù)：

①在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù).

②頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，位于中間的那個(gè)數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的

個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).

(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，

——1

即X=~(X1+X2H-----Hx”).

(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差：反應(yīng)樣本數(shù)據(jù)的分散程度.

1————

方差：52=-[(Xl—X>+(無2—XpH------|-(X?—XA].

標(biāo)準(zhǔn)差：

S=N%(X1-X>+(X2—X)2-1------X)2].

9.離散型隨機(jī)變量

(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)

?p,-^O(z—1,2,???,ri)-,②pi+p2H---bp“=l.

(2)均值公式

n

E(X)=Xim+x2〃-I------==》必.

i=l

(3)均值的性質(zhì)

①E(aX+b)=aE(X)+b；

②若X?B(n,p),則E(X)=w；

③若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=2

(4)方差公式

222

D(X)=(xi—E(X))-Pl+(尤2-E(X))-p2+-+(x?-E(X))-p?,標(biāo)準(zhǔn)差為赤丙.

(5)方差的性質(zhì)

①。(aX+6)=迤血

②若X?B(n,p),則D(X="P(1—0)；

③若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)=p(l-p).

(6)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式

P(AB}=P(A)P(B).

(7)?重伯努利試驗(yàn)的概率計(jì)算公式

P(X=k)=C￥pk(l—pY50=0,1,2,…，n.

10.一元線性回歸模型

[Y—bx+a+e,

稱、2為y關(guān)于X的一元線性回歸模型.其中y稱為因變量或響應(yīng)變量，尤稱為自變量或解

釋變量,幺稱為截距參數(shù)，〃稱為斜率參數(shù)；e是上與近土色之間的隨機(jī)誤差，如果e=。，那么F與x之間

的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述.

11.獨(dú)立性檢驗(yàn)

利用隨機(jī)變量/=(°+6)(；￡需?；①的取值推斷分類變量X和y是否獨(dú)立的方法稱

為Z2獨(dú)立性檢驗(yàn).

12.正態(tài)分布

如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X~N@,O2).

滿足正態(tài)分布的三個(gè)基本概率的值是

(1)尸(〃一cWXW“+㈤公0.6827；

⑵叫一2c+2/0.9545；

(3)P(u—3o/XW〃+320.9973.

4易錯(cuò)提醒

1.關(guān)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的注意事項(xiàng)

分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題，區(qū)別在于：分類加法

計(jì)數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)

數(shù)原理針對“分步”問題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.

2.排列、組合問題的求解方法與技巧

(1)特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排.(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.(3)排列、組合混合問題先選后排.(4)相鄰問題

捆綁處理.(5)不相鄰問題插空處理.(6)定序問題排除法處理.(7)正難則反，等價(jià)條件.

3.二項(xiàng)式定理應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)

(1)注意區(qū)別“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”，審題時(shí)要仔細(xì).

項(xiàng)的系數(shù)與。，b有關(guān)，可正可負(fù)，二項(xiàng)式系數(shù)只與〃有關(guān)，恒為正.

(2)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0,±1.

4.應(yīng)用互斥事件的概率加法公式時(shí)，一定要先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，

再求和.

5.正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定

是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.

6.易混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)

據(jù)的頻率求錯(cuò).

7.要注意概率尸（用2）與尸（AB）的區(qū)別

（1）在P（A|B）中，事件A,B發(fā)生有時(shí)間上的差異，2先A后；在尸（A8）中，事件A,2同時(shí)發(fā)生.

（2）樣本空間不同，在尸（川2）中，事件B成為樣本空間；在尸（AB）中，樣本空間仍為Q,因而有P（A|B）^P（AB）.

8.（1）易忘判定隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，盲目使用二項(xiàng)分布的均值和方差公式計(jì)算致誤.

⑵涉及求分布列時(shí)，要注意區(qū)分是二項(xiàng)分布還是超幾何分布.

2易錯(cuò)分析

易錯(cuò)點(diǎn)1忽略部分均分問題造成重復(fù)致誤

1.［湖北高中名校2023第二次聯(lián)合測評］為進(jìn)一步了解和鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，某縣選派7名工作人員到A,

B,C三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行調(diào)研活動(dòng)，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少去1人，恰有兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)所派人數(shù)相同，則不同的安排方式種數(shù)

為（）

A1176B.2352C.1772D.1302

2.［廣東汕頭一中2022月考］某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球、速滑、花滑三場比賽，每場比賽至少有

1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往觀看，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)為（）

A.48B.54C.60D.72

易錯(cuò)點(diǎn)2綜合問題中情況考慮不全致誤

3.［江西八校2022第一次聯(lián)考］校園某處并排連續(xù)有6個(gè)停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機(jī)上

下車，規(guī)定：當(dāng)有汽車相鄰?fù)７艜r(shí)，車頭必須同向；當(dāng)沒有汽車相鄰時(shí)，車頭朝向不限，則不同的停車方法

共有種.（用數(shù)字作答）

易錯(cuò)點(diǎn)3不能正確理解二項(xiàng)式系數(shù)的最值而致誤

4.（多選）［重慶名校2022第一次聯(lián)考］若［x+工］的展開式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中

二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（）

A第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

5.［河南平頂山、許昌、濟(jì)源2022第二次質(zhì)檢］在尤一的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且

所有項(xiàng)的系數(shù)之和為0,則含/的項(xiàng)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

易錯(cuò)點(diǎn)4混淆互斥事件與對立事件致誤

6.（多選）［湖北八市2023聯(lián)考］連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A="第一

次出現(xiàn)2點(diǎn)"，B="第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，0="兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)"，D="兩次點(diǎn)數(shù)之和為9"，則下列

說法正確的有（）

A.A與B不互斥且相互獨(dú)立

B.A與D互斥且不相互獨(dú)立

C.B與D互斥且不相互獨(dú)立

D.A與C不互斥且相互獨(dú)立

7.［湖北八市2022聯(lián)考］從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球，下列選項(xiàng)中是互斥而不對立的兩

個(gè)事件的是（）

A.“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球”

B.“恰好有1個(gè)紅球”與“恰好有1個(gè)黑球”

0.“至少有1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”

D.“都是紅球”與“都是黑球”

8.［湖北武漢武昌區(qū)2023質(zhì)量檢測］已知隨機(jī)事件滿足。〈尸（A）＜1,O＜P（B）＜1,O＜P（C）＜1,

則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.不可能事件①與事件A互斥B.必然事件。與事件A相互獨(dú)立

C.P（A|C）=P（AB\C）+P^AB\C）D.若尸則P（A）=P（,）=g

易錯(cuò)點(diǎn)5混淆正態(tài)分布中的方差與標(biāo)準(zhǔn)差致錯(cuò)

9.（多選）［江蘇常州2023調(diào)研］已知在數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，某校學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N（HO,81）,其中90

分為及格線，則下列結(jié)論中正確的有（）（附：若隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布，則

P（〃—4<〃+2。卜0.9545）

A.該校學(xué)生成績的期望為110B.該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為9

C.該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為81D.該校學(xué)生成績及格率超過95%

易錯(cuò)點(diǎn)6對期望和方差的應(yīng)用認(rèn)識不到位致誤

10.［北京豐臺區(qū)2022—模］為研究某地區(qū)2022屆大學(xué)畢業(yè)生畢業(yè)三個(gè)月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該

地區(qū)2022屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取了1000人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下:

繼續(xù)學(xué)習(xí)

畢業(yè)去向單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)

深造

人數(shù)2005601412898

假設(shè)該地區(qū)2022屆大學(xué)畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨(dú)立.

（1）若該地區(qū)一所高校2022屆大學(xué)畢業(yè)生的人數(shù)為2500,試根據(jù)樣本估計(jì)該校2022屆大學(xué)畢業(yè)生選擇

“單位就業(yè)”的人數(shù).

（2）從該地區(qū)2022屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取3人，記隨機(jī)變量X為這3人中選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的人

數(shù).以樣本的頻率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

（3）該公司在半年后對樣本中的畢業(yè)生進(jìn)行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的。

（0＜。＜98）人選擇了上表中其他的畢業(yè)去向，記此時(shí)表中五種畢業(yè)去向?qū)?yīng)人數(shù)的方差為s'.當(dāng)。為何值

時(shí)，S?最小？（結(jié)論不要求證明）

易錯(cuò)點(diǎn)7混淆條件概率P（B|A）與積事件的概率。（AB）致錯(cuò)

11.［北京石景山區(qū)2022—模］長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校

大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1h,這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1h的學(xué)生中任意調(diào)

查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）

2353

A-B.-C.-D.-

5884

日高考真題

一.選擇題（共12小題）

1.（2023?乙卷）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛（x,y）|探上之+,24｝內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A,

則直線的傾斜角不大于工的概率為（）

4

A.-B.-C.-D.-

8642

2.（2023?上海）根據(jù)所示的散點(diǎn)圖，下列說法正確的是（）

90-

80-

70-

體6n

重60-

50-

40-

30-

liolio170180內(nèi)0

身高

A.身高越大，體重越大B.身高越大，體重越小

C.身高和體重成正相關(guān)D.身高和體重成負(fù)相關(guān)

3.（2023?新高考II）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)

查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則

不同的抽樣結(jié)果共有（）

A.種B.儡?謂種

C,喝C北種D-C篇C器種

4.（2023?乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同

的選法共有（)

A.30種B.60種C.120種D.240種

5.（2023?甲卷）某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛

好滑雪，在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

6.（2023?北京）（2x--）5的展開式中，X的系數(shù)是（）

X

A.-40B.40C.-80D.80

7.（2023?甲卷）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校

文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

8.（2023?乙卷）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、

乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

9.（2023?全國）在2、3、5、6中任選2個(gè)不同數(shù)字，其乘積能被3整除的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6736

10.（2023?天津）鶯是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)?大雅?旱麓》曰“鶯飛戾天，魚躍于淵”.鶯尾花因花瓣形如鶯

尾而得名（圖1）,寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長度和花瓣

長度（單位：cm）,繪制對應(yīng)散點(diǎn)圖（圖2）如下：

7.21

6.8

4.8

4.4

4

圖1圖2

計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為0.8642,利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為￡=0.7501x+0.6105.根據(jù)以上

信息，如下判斷正確的為（）

A.花萼長度和花瓣長度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花萼長度和花瓣長度負(fù)相關(guān)

C.花萼長度為7皿的該品種鶯尾花的花瓣長度的平均值約為5.8612皿

D.若選取其他品種鶯尾花進(jìn)行抽樣，所得花萼長度與花瓣長度的樣本相關(guān)系數(shù)一定為0.8642

11.（2023?甲卷）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù),

則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

12.（2023?上海）如圖為2017-2021年上海市貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列對于進(jìn)出口貿(mào)易額描

B.從2018年開始,進(jìn)出口總額逐年增大

C.從2018年開始,進(jìn)口總額逐年增大

D.從2018年開始,2020年的進(jìn)出口總額增長率最小

二.多選題（共2小題）

13.（2023?新高考I）有一組樣本數(shù)據(jù)占，/，尤6，其中西是最小值，血是最大值，貝"（）

X

A.X2,尤3，尤4，5的平均數(shù)等于士，尤2，x6的平均數(shù)

x

B.x2,尤3，41%的中位數(shù)等于％,x2,%的中位數(shù)

C.x2,x3,x4,4的標(biāo)準(zhǔn)差不小于石，x2,,x6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.x2,x3,x4,%的極差不大于西，x2,%的極差

14.（2023?新高考II）在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送。時(shí)，收到1的概率為?（0<?<1）,

收到0的概率為1-々；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為收到1的概率為1-￡.考慮兩種傳輸方

案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次.收到

的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)

多的即為譯碼（例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1）（）

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（1-0（1-尸產(chǎn)

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為〃（1-A）?

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為6（1-夕了+（1-￡）3

D.當(dāng)0＜。＜0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

三.填空題（共9小題）

15.（2023?新高考I）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門

或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有一種（用數(shù)字作答）.

16.（2023?上海）已知事件A的對立事件為無，若尸（A）=0.5,則尸（x）=.

17.（2023?天津）甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5:4:6.這三個(gè)盒子中

黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率

為—；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為—.

18.（2023?上海）某校抽取100名學(xué)生測身高，其中身高最大值為186cm,最小值為154a〃，根據(jù)身高數(shù)據(jù)

繪制頻率組距分布直方圖，組距為5,且第一組下限為153.5,則組數(shù)為—.

19.（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個(gè)季度的GDP（億元），第一季度GDP為232（億元），第四季度GDP為

241（億元），四個(gè)季度的GDP逐季度增長，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的GD尸為—.

20.（2023?上海）設(shè)（l-2x）4=g+4尤+°2了2+%尤=則％+的=.

21.（2023?天津）在（29一工）6的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為.

X

22.（2023?上海）為了學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校學(xué)生理論宣講團(tuán)赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名

女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為.

100

23.（2023?上海）已知（1+2023x）10°+（2023-幻儂=/+卬尤+?/+++aloox,若存在々e{0,1,

2,,100}使得ak＜0,則k的最大值為.

四.解答題（共8小題）

24.（2023?新高考H）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，

經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性，此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(C)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率0(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率夕(c)；

(2)設(shè)函數(shù)/(c)=p(c)+q(c).當(dāng)ce[95,105],求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間[95,

105]的最小值.

25.(2023?乙卷)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對

試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的

橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為七,%"=1,2,…10).試驗(yàn)結(jié)

果如下：

試驗(yàn)序12345678910

號i

伸縮率545533551522575544541568596548

伸縮率536527543530560533522550576536

記馬=%-%(7=1,2,,10),記Z2,,Z]0的樣本平均數(shù)為2,樣本方差為d.

(1)求彳，$2;

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高.(如果

則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則

Z..2VJ—io,

不認(rèn)為有顯著提高)

26.(2023?甲卷)一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到

試驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)

境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位:g).試驗(yàn)結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；

(2)(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)機(jī)再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于機(jī)與不小于力的數(shù)據(jù)的個(gè)

數(shù)，完成如下列聯(lián)表;

<m

對照組

試驗(yàn)組

(ii)根據(jù)⑺中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加

量有差異？

以4n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

P(K2..k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

27.（2023?北京）為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如

表所示，在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下跌”,

即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同.

（I）試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；

（II）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的，在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4

天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

（III）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”、“下跌”

和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大.（結(jié)論不要求證明）

28.（2023?新高考I）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命

中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由

抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第，次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且尸（X,=1）=1-尸（X,=0）=q,,z=l,2,,n,則

E（fx,）=fq一記前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為乙求E（y）.

i=li=l

29.（2023?全國）盒中有4個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字1、1、2、3,從中隨機(jī)取2個(gè)球.

（1）求取到2個(gè)標(biāo)有數(shù)字1的球的概率；

（2）設(shè)X為取出的2個(gè)球上的數(shù)字之和，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

30.（2023?甲卷）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到

試驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)

境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

（1）設(shè)X表示指定的兩只小鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）試驗(yàn)結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

⑴求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)加，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于機(jī)與不小于機(jī)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成

如下列聯(lián)表：

<m..m

對照組

實(shí)驗(yàn)組

（zz）根據(jù)⑺中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量

有差異？

⑷n（ad-bc，

(a+b)(c+d\a+c)(b+d)

P(K，k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

31.（2023?上海）2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會(huì)在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個(gè)汽車

模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：

紅色外觀藍(lán)色外觀

棕色內(nèi)飾128

米色內(nèi)飾23

（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件A為小明取到紅色外觀的模型，事件5為小明取到棕色

內(nèi)飾的模型，求尸（B）和尸（B|A）,并判斷事件A和事件3是否獨(dú)立；

（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車模型，給

出以下假設(shè)：

假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)

飾同色；

假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；

假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元；

請你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎(jiǎng)金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望.

最新模擬

一.選擇題（共3小題）

1.（2024?江西模擬）（2》-工）6的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）

x

A.160B.-160C.80D.-80

2.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件.下列各種情況是互斥事件的有（

）

①A：“所取3件中至多2件次品”，3：“所取3件中至少2件為次品”；

②A：”所取3件中有一件為次品”，3：“所取3件中有二件為次品”；

③A：”所取3件中全是正品”，B：”所取3件中至少有一件為次品”；

④A：“所取3件中至多有2件次品”，3：“所取3件中至少有一件是正品”；

A.①③B.②③C.②④D.③④

3.（2024?泉州模擬）某學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，徑賽類共設(shè)100米、200米、400米、800米、1500米5個(gè)項(xiàng)目，

田賽類共設(shè)鉛球、跳高、跳遠(yuǎn)、三級跳遠(yuǎn)4個(gè)項(xiàng)目.現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)均選擇一個(gè)徑賽類項(xiàng)目和一個(gè)田賽類

項(xiàng)目參賽，則甲、乙的參賽項(xiàng)目有且只有一個(gè)相同的方法種數(shù)等于（）

A.70B.140C.252D.504

二.多選題（共4小題）

4.（2024?湛江一模）某養(yǎng)老院有110名老人，經(jīng)過一年的跟蹤調(diào)查，過去的一年中他們是否患過某流行疾

病和性別的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

性別是否患過某流行疾病合計(jì)

患過該疾病未患過該疾病

男61=20ba+b

女Cd=50c+d

合計(jì)a+c80110

下列說法正確的有()

參考公式：z2=----------"(ad-be)-------,其中〃=。+6+。+小

(a+b)(c+d\a+c)(b+d)

附表:

a0.10.050.0250.010.001

%2.7063.8415.0246.63510,828

A.-

a+bc+d

B.力2>6.635

C.根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)

D.根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)推斷是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)

5.（2024?昌樂縣校級模擬）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：飯）分別服從正態(tài)分布N（4,5；）,N（〃2,M），

其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.甲類水果的平均質(zhì)量4=0.4依

B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右

C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量小

D.乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)可=1.99

6.（2024?南通模擬）己知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NQ1）,定義函數(shù)/（尤）為X取值不小于x的概率，即

f（x）=P（X..x）,則（）

A./（%）+/（-%）=1B.f（x）>f（2x）C./（無）為減函數(shù)D.7（幻為偶函數(shù)

7.（2024?重慶模擬）已知一組樣本數(shù)據(jù)玉，x2,xn（n,.4）,其中玉<0<x,，若由％=2%+1（左=1,2,

…，〃）生成一組新的數(shù)據(jù)%,%，…，%，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)可能相等的量有（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差

三.填空題（共3小題）

8.（2024?昌樂縣校級模擬）從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取

1張，則抽到的2張卡片上數(shù)字的奇偶性不同的概率是—.

9.（2024?越秀區(qū)模擬）二項(xiàng)式（V+1）”的展開式中，只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為一.

10.（2024?天津模擬）學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運(yùn)動(dòng)于健康體魄，持之己久、行之愈遠(yuǎn)愈受益.為實(shí)現(xiàn)中華民

族偉大復(fù)興，全國各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的高潮.某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，

他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對的題數(shù)如下表：

天數(shù)X1234567

一次最多12151618212427

答對題數(shù)

y

777

參考數(shù)據(jù)：x=4,y=19,￡X；=140,WX=2695,=600,^6?2.45,

Z=11=11=1

Z（%一丁）（y—y）^x^-iuy

相關(guān)系數(shù)r=]"TK=7“-I，

2

心（&_君2歹）2px；-疝2-域

由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對題數(shù)y與天數(shù)x之間是—相關(guān)（填“正”或“負(fù)”），其相關(guān)

系數(shù)廠。—（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

四.解答題（共9小題）

11.（2024?咸陽模擬）陜西省從2022年秋季啟動(dòng)新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”為全國統(tǒng)一高考

科目的語文、數(shù)學(xué)、外語，“1”為首選科目，要求從物理、歷史2門科目中確定1門，“2”為再選科目，要

求從思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門科目中確定2門，共計(jì)產(chǎn)生12種組合.某班有學(xué)生50名，在選科

時(shí)，首選科目選歷史和物理的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

歷史合計(jì)

物理

男生22325

女生81725

合計(jì)104050

附：%2=------幾(血-be)-------,其中H=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生選擇歷史與性別有關(guān);

（2）從選擇歷史的10名學(xué)生中任意抽取3名同學(xué)參加學(xué)校“銘記歷史，強(qiáng)國有我”演講比賽，設(shè)X為抽

取的三名學(xué)生中女生的人數(shù)，求X的分布列，并求數(shù)學(xué)期望和方差.

12.（2024?周口模擬）滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史

原型，滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比

賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進(jìn)行第2局

比賽，來替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為

各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.

2

（I）求前3局比賽甲都取勝的概率；

（II）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

13.（2024?徐州模擬）某中學(xué)對該校學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和預(yù)習(xí)情況進(jìn)行長期調(diào)查，學(xué)習(xí)興趣分為興趣高和興趣

一般兩類，預(yù)習(xí)分為主動(dòng)預(yù)習(xí)和不太主動(dòng)預(yù)習(xí)兩類.設(shè)事件A：學(xué)習(xí)興趣高，事件3：主動(dòng)預(yù)習(xí).據(jù)統(tǒng)計(jì)顯

一--3-14

小，P（A\B）=~,P（A\B）=-P（B）=-.

445

（1）計(jì)算尸（A）和尸（A|2）的值，并判斷A與3是否為獨(dú)立事件；

（2）為驗(yàn)證學(xué)習(xí)興趣與主動(dòng)預(yù)習(xí)是否有關(guān)，該校用分層抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為〃7（〃7eN*）的樣本，

利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得爐=1.350.為提高檢驗(yàn)結(jié)論的可靠性，現(xiàn)將樣本容量調(diào)整為原來的*feN*）倍，

使得能有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)興趣與主動(dòng)預(yù)習(xí)有關(guān)，試確定f的最小值.

附：72=----------n(ad-bc￥------,其中〃=a+6+c+d.

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

P(x2..k)0.100.050.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

14.（2024?晉中一模）為豐富校園文化生活，學(xué)校舉辦了乒乓球比賽.決賽采用五局三勝制的比賽規(guī)則（先

贏得3局的隊(duì)伍獲勝并結(jié)束比賽）.已知甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入決賽，且根據(jù)以往比賽統(tǒng)計(jì)得知，在每局比賽中甲

隊(duì)獲勝的概率為p（0<p<l）,乙隊(duì)獲勝的概率為1-每局比賽的結(jié)果互不影響.

（I）若p=比賽結(jié)束時(shí)甲隊(duì)獲勝的局?jǐn)?shù)記為X,求X的分布列及均值；

（II）若比賽打滿5局的概率記為了（初，求/（初的最大值及此時(shí)p的值，并解釋此時(shí)的實(shí)際意義.

15.（2024?沙依巴克區(qū)校級模擬）高一年級某個(gè)班