第12課二次函數(shù)壓軸題-存在性問題

一、解答題

1.如圖，拋物線y/=af+c的頂點為加，且拋物線與直線>2=丘+1相交于A、2兩點，且點A在X軸上,

點8的坐標為(2,3),連結AM、BM.

(1)。=,c=,k=(直接與出結果)；

⑵當力<”時，則X的取值范圍為—(直接寫出結果)；

(3)在直線AB下方的拋物線上是否存在一點尸，使得AABP的面積最大？若存在，求出AABP的最大面積及

點P坐標.

【答案】(1)1,-1,1；

(2)-1<x<2；

的最大面積為二；點尸坐標為(J,-f-).

824

【分析】⑴將點8的坐標(2,3)代入/=丘+1求得左=1,得到竺=尤+1,求出A(-1,0),將A(-1,

0)、B(2,3)代入以=加+。解得。=1,c=-1；

(2)根據(jù)A(-1,。)、B(2,3),結合圖象可得：當”時，貝心的取值范圍為-l<x<2；

(3)設平行于直線”=尤+1和拋物線相切的直線解析式為*=x+6,由%=廠［解得>=-之，A=x_5

=x+b44

求得P(1,-j),此時，△ABP的面積最大，設》=尤-：與無軸交于點C則點C(T，0),過點C作

2444

CDLAB,可知線段。的長度即為AABP的高的長度，證明AACD為等腰直角三角形，根據(jù)AC=g-(-1)

=7,求得CZ)_AC_4_9底，求出48=5(2+1)2+32=3五,算出△48尸的面積為！x3虛x述=幺.

4一正一次一丁288

(1)

將點8的坐標(2,3)代入丫2=日+1得：

3=2%+1,

解得:k=l,

.\y2=x+l,

令m=0得：O=x+1,

解得：x=-1,

?，-A(-1,0),

將A(-1,0)、B(2,3)代入刃=一+c得：

f0=a+c

[3=4a+c'

解得：a=l,c=-1,

故答案為：1,-1,1；

(2)

VA(-1,0)、B(2,3),

；?結合圖象可得：當刃<”時，貝Ix的取值范圍為-1<x<2,

故答案為：-l<x<2；

(3)

在直線AB下方的拋物線上存在一點P,使得AAB尸的面積最大.

如圖，設平行于直線N2=x+1的直線解析式為：”=x+6,

由卜「X一1得：尤2_1=x+"

[y3=x+b

/.x2-x-1-=0,

令△=0得：1-4(-1-b)=0,

解得:&=-(,

4

???/二釬：，

Ax2-x-1+9=0,

4

解得：XI=X2=g,

5153

..X

42~4~~4

-2)

，當點。坐標為(|,4)時，△叱的面積最大

設”一：與X軸交于點C,則點C坐標為：G，0),過點C作皿越

由平行線間的距離處處相等，可知線段CD的長度即為△ABP的高的長度,

y2=x+l與x軸所成銳角為45。,

△ACD為等腰直角三角形,

9

AC=-~(-1)

44

9

CD_AC4_9/,

~8

A(-1.0).B(2,3),

22

AB=A/(2+1)+3=3A/2,

尸的面積為：-x3V2x—=—

288

在直線A5下方的拋物線上存在一點尸，使得AABP的面積最大；△A8P的最大面積為《27；點尸坐標為

8

(?-1

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何綜合，解決問題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式綜合

運用一次函數(shù)性質和二次函數(shù)性質，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握函數(shù)與不等式的關

系.

2.如圖，拋物線y=-；尤2+云+。與x軸交于點A(-2,0)和點8(8,0),與y軸交于點C,頂點為D連

接AC,BC,8C與拋物線的對稱軸/交于點E.

(1)求拋物線的表達式；

7

(2)點尸是第一象限內拋物線上的動點，連接尸2,PC,當SP8C二五時，求點尸的坐標；

(3)點N是對稱軸/右側拋物線上的動點，在射線加上是否存在點使得以點N,E為頂點的三角形

與402C相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=gd+3x+8

(2)P；(1,10.5),P2(7,4.5)

(3)存在，(3,8)或(3,5+岳)或(3,11)

【分析】(1)直接將A(-2,0)和點B(8,0)代入尤2+公+。(“￥()),解出％,c的值即可得出答案;

(2)先求出點C的坐標及直線8C的解析式，再根據(jù)圖及題意得出三角形P8C的面積；過點P作尸G,無

軸，交x軸于點G,交BC于點尸，設尸”,：/+3尤+8),根據(jù)三角形尸2。的面積列關于「的方程，解出r的

值，即可得出點尸的坐標；

(3)由題意得出三角形BOC為等腰直角三角形，然后分MN=EM,MN=NE,A?=EM三種情況討論結合

圖形得出邊之間的關系，即可得出答案.

(1)

解：：拋物線y=-；/+6尤+。過點A(-2,0)和點8(8,0),

?*ay=-不(尤+2)(了-8)

拋物線解析式為：y=-；/+3x+8;

⑵

解:當x=0時，y=8,

，C(0,8),

直線BC解析式為:y=-x+8,

,?,^C=1-AB-OC=1X10X8=40,

.7

,,SBCP=與SABC=14

過點P作尸軸，交x軸于點G,交BC于點F,

設尸。,；/+3f+8),

:，F(xiàn)(t,-r+8),

1?

:.PF=——t2+4t、

2

=

??SBCP14,

即:]fx8x/=14,

?*-ti=l,念=7,

.,.Pi(1,10.5),P2(7,4.5)；

(3)

解：存在，點M的坐標為：(3,8),(3,5+厲)或(3,11).

VC(0,8),B(8,0),/COB=90。,

...△02C為等腰直角三角形，

1-b-3--

拋物線丁=萬/+3工+8的對稱軸為“一2a-2x(_JL)—，

.?.點E的橫坐標為3,

又：點E在直線BC上，

...點E的縱坐標為5,

???￡(3,5),

設A/(3,/w),N(“,L』+3/7+8)

2

①當MN=EM,/EMN=90°,

m-5=n-3

ANME^ACOB,貝叫12，

——n+3n+8=m

I2

?=6n=—2

解得加=8或(舍去))

m=n(J

???此時點M的坐標為（3,8）,

②當ME=EN,當NM&V=90。時,

m—5=n—3

則1

——/+3〃+8=5'

I2

m=5+y/15仁盛（舍的

解得：或4

〃=3+厲1

此時點〃的坐標為（3,5+后）；

③當MN=EN,ZMNE=90。時,

此時△MNE與4COB相似，

此時的點M與點E關于①的結果(3,8)對稱,

設M(3,in),

貝IJ"7_8=8-5,

解得m=11,

/?A/(3,11)；

此時點M的坐標為(3,11)；

故在射線上存在點使得以點N,E為頂點的三角形與△O8C相似，點M的坐標為：(3,8)或

（3,5+岳）或（3,11）.

【點睛】本題是一道綜合題，涉及二次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定及性質、等腰三角形的性質、勾股

定理、正方形的性質等知識點，綜合性比較強，解答類似題的關鍵是添加合適的輔助線.

3.如圖，拋物線與x軸，y軸分別交于A,D,C三點，已知點4(4,0),點C(0,4).若該拋物線與正方形

0ABe交于點G且CG:G8=3:1.

(1)求拋物線的解析式和點D的坐標；

(2)若線段。4,OC上分別存在點E,F,使EnLPG.

已知OE=m,OF=t.

①當t為何值時，機有最大值？最大值是多少？

②若點E與點R關于直線FG對稱，點R與點Q關于直線0B對稱.問是否存在。使點。恰好落在拋物線

上?若存在，直接寫出/的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=-爐+3》+4,點￡)的坐標為(-1,0)；

⑵①當r=2時，加有最大值，加最大=g；②存在，當/=11±省7時點G恰好落在拋物線上

【分析】(1)先求得點G的坐標，再用待定系數(shù)法求解即可；

(2)①證明△EOFS^BCG,利用相似三角形的性質得到相關于f的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質即可

求解；

②根據(jù)軸對稱的性質以及全等三角形的判定和性質先后求得點EG町2。，點。(2。-利)，代入二次函數(shù)的

解析式得到方程，解方程即可求解.

(1)

解：?.?點4(4,0),點C(0,4),且四邊形。42c是正方形，

OA=OC=8C=4,

VCG:GB=3:1.

ACG=3,BG=1,

???點G的坐標為(3,4),

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

16。+4/?+。=0

把A(4,0),C(0,4),G(3,4),代入戶62+次+。得(c=4,

9〃+3Z?+c=4

a=-1

解得b=3,

c=4

拋物線的解析式為y=-/+3x+4,

令y=0,則-X2+3X+4=0,

解得x=4或x=-l,

二點。的坐標為(-L0)；

(2)

解：①AZEOF=ZGFE=ZGCF=90°,

???/EFO+/FEO=/EFO+/CFG=9U。,

：.ZFEO=ZCFG,

，叢EOFs叢FCG,

.OEOF日口mJ

CFCG4-Z3

?1,41,…4

..m=--12+—t=~~(t-2y+—,

3333

4

...當r=2時，機有最大值，最大值為§;

②?.?點A(4,。)，點C(0,4),且四邊形。4BC是正方形，

.??點B的坐標為(4,4),

設直線0B的解析式為y=kx,

把(4,4),代入得：4=4匕解得仁1,

二直線OB的解析式為產(chǎn)x,

過點R作RSJ_y軸于點S,

,/點E與點R關于直線FG對稱，EFLFG,

：.RF=EF,NRFS=/EFO,

：.^RFS^^EFO,

：.RS=EO=m,FS=FO=t,貝S0=2f,

；?點尺的坐標為Gm,2f),

,?1點R與點。關于直線OB對稱.

同理點。的坐標為(2/,-優(yōu))，

把Q(20-/")代入y=-/+3x+4,得：-zn=-4f?+6/+4,

14

由①得m=--t2+—t,

14

：,-t2--t=-4t2+6t+4,

33

解得公11+標,「七里(舍去)，

113213

?.?0W%?4,.，?當'1+歷時點G恰好落在拋物線上.

13

【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次

函數(shù)的性質、軸對稱圖形的性質，根據(jù)題意畫出圖形是解答問題的關鍵.

4.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點.

(D求拋物線的解析式；

(2)若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為町AAMB的面積為S,求S關于的函數(shù)關系

式，并求出S的最大值；

(3)若點P是拋物線上的動點，點。是直線＞=-x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P,Q,B,O為頂點

的四邊形為平行四邊形(要求尸直接寫出相應的點。的坐標.

【答案】⑴yJl+xT

⑵：S=-/-4%,當根=-2時，S的最大值為4

⑶Q(-2+262-2回或卜2-2行,2+2回或(-4,4).

【分析】(1)先假設出函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；

⑵設出M點的坐標，5=SAAOM+SAOBM-SAAOB,即可進行解答；

(3)由PQ〃O8,貝IJO8,PQ是平行四邊形的邊，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，列出方程求解即可.

【解析】(1)解：設此拋物線的函數(shù)解析式為：>=江+公+。(W0),

將A(-4,0),8(0,-4),C(2,0)三點代入函數(shù)解析式得：

116a-4A+c=0

ic=-4

；4〃+2Z?+c=0

i1

1a=—

I2

解得〃=1,

ic=-4

i

i

所以此函數(shù)解析式為：y=^x2+x-4；

(2)解：連接。河,

點的橫坐標為見且點M在這條拋物線上，

點的坐標為;皋,《川+小4,

秒2

S=S^AOM+S^OBM-S^AOB=yx4x(--m2-m+4)+yx4x(-m)-Jx4x4

2222

=-(m+2)2+4,

*.*-4<m<0,

當初=-2時，S有最大值為：S=0+4=4.

答：加=-2時，S的最大值為4；

(3)解：設尸(尤，^x2+x-4).

根據(jù)平行四邊形的性質知「?！?。8,且尸。=。尻貝【JOB,尸。為平行四邊形的邊,

二。的橫坐標等于尸的橫坐標，

又：直線的解析式為y=-尤,

則Q（尤，-x）.

由尸0=02,得-X-覆f+尤-4=4,

整理得：-；/-2x+4=4,

所以-工彳2_2x+4=4或-工/_2x+4=-4,

22

解得x=0或-4或一2±2若（x=0不符合題意，舍去）.

由此可得：0（-2+2班,2-2君）或「2-2石,2+2回或（-4,4）.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到平行四邊形的性質、面積的計算等，有一定的綜合性，

熟練的利用二次函數(shù)的性質與平行四邊形的性質解題是關鍵.

5.如圖，拋物線y=?x2+2x+c（°<0）與x軸交于點A和點8（點A在原點的左側，點B在原點的右側）,

與y軸交于點C,OB=OC=3.

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；

（2）如圖1,連接BC,點。是直線BC上方拋物線上的點，連接。。CD,0D交BC于點、F,當S^/SCOB

=1：3時,求點尸的坐標；

3

（3）如圖2,點E的坐標為（0,-y）,在拋物線上是否存在點P,使/。8尸=2NO8E?若存在，請求出點

尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y——%2+2x+3；

（3）存在，尸（；吊）或（怖）

【分析】(1)先求出點8、C的坐標，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)由Sc“：Sc°B=l：3可得。點橫坐標為1,則。(1,4),分別求出直線BC和直線。。的解析式，

聯(lián)立解析式成方程組即可求得點尸的坐標；

(3)先求出tan/08E=過點。作于N,在BE上截取過點M作M乩LAB于H,

_4

再求出tan/OMN=由題意可得/OMN=N08P,過P點作PGJ_x軸于G,設尸(t,-產(chǎn)+2/+3),則

tanZOMN=tanZPBG=——---,-,求出f的值即可得到點尸的坐標.

BG\3-t\3

(1)

解：'：OB=OC=3,

-■B(3,0),C(0,3),

(c=3

將點8⑶0),C(0,3)代入y="2+2x+c得：

[9。+6+。=0

[a=—1

解得:。，

[c=3

...拋物線的函數(shù)解析式為：y=-x2+2x+3；

(2)

SCOD：SCOB=1：3,OB=3,

點橫坐標為1,

-■D(1,4),

設直線。。的解析式為丫=依，

代入。(1,4)得：4=匕

???y=4x,

設直線BC的解析式為y=k'x+b\

3k'+b'=0

代入8(3,0),C(0,3)得：

b'=3

k'=-l

解得

b'=3

???直線3。的解析式為y=-1+3,

y=-x+3

聯(lián)立

y=4x

x=—3

解得11,

ry

“(13'TI?);

(3)

存在點尸，使/0BP=2/0BE；

3

??,點E的坐標為(0.

-'OE-2'

???O5=3,

tanZOBE=g,

如圖，過點。作0N，5石于N,在BE上截取5M=。M,過點M作"于”,

3_

：.HB=

2

■an/HBM=*=g

：.HM

：.BM

23

OBOE3x]=36

：.ON=

BE3^/5-5

F

***tanNOBN-=—,

BN2

：?BN=2ON=成,

5

20

3.

,ON-V4

：.tanZOMN=w=T=-

MN9753

20

*：ZOMN=2ZOBE,ZOBP=2ZOBE,

：.NOMN=ZOBP,

過尸點作PG，龍軸于G,

設尸（兀-產(chǎn)+2,+3）,

PG卜/+2/+3|4

tanZOMN=tanZPBG=—=J~~：——；~^=一

BG\3-t\3

17

解得：/=3（舍）或片耳或片-十

圖2

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，待定系數(shù)法的應用，一次函數(shù)的交點問題，解直角三角形，勾

股定理的應用，等腰三角形的性質等知識，熟練掌握待定系數(shù)法及函數(shù)圖象交點坐標的求法是解題的關鍵.

6.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=/+b尤+c與直線相交于A,B兩點,其中A(-3,-4),

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式.

(2)點P為直線下方拋物線上的任意一點，連接出，PB,求面積的最大值.

(3)在二次函數(shù)的對稱軸上找一點C使得△A3C是等腰三角形，求滿足條件的點C的坐標.

27

【答案】(1)y=/+4x-1；(2)—；(3)C點坐標為G(-2,-L+W),Q(-2,-l-^),C3(-2,^+V17),

o

Q(-2,-1-717),C5(-2,-1)

【分析】(1)直接把A、8坐標代入拋物線解析式求解即可；

(2)先求出直線AB的解析式為y=x-1,設尸(a,o2+4a-1),則。(a,a-1),PQ=-a2-3a,可得

i3327

=7X3x(一—3。)=—7(〃—不)2+,利用一次函數(shù)的性質求解即可；

2228

(3)分當AB=BC時，當AB=AC時，當BC=AC時，三種情況討論求解即可.

【解析】解：(1)將A(-3,-4),B(0,-1)代入y=/+6x+c,

[-4=9—36+c

得1，

c=-1

[0二4

解得「

[c=-l

六拋物線解析式為y=『+4尤-1;

(2)設直線A8的解析式為7=為+“

\-3k+b=^X

則71-

[D--1

解得[「I，

^=-1

???直線A3的解析式為y=x-1,

設尸(a,a2+4a-1),則。設a-1),

PQ=-4_3a,

]33227

3AB=-x3x(-a?_3〃)=--(<2--)+—,

3

——<0,

2

???當〃二13■時，△B45的面積有最大?值7?；

28

(3)V拋物線解析式為y=A~+4.r-1,

拋物線的對稱軸為-b二=-2,

2a

設點C(-2,>),

VA(0,-1),B(-3,-4),

AAB2=32+32=18,BC2=22+(y+1)2,AC2=12+(y+4)2

①當=時，

：.22+(y+1)2=18,

解得y=-1土,

Cj(—2,—1+y/14),C2(—2,—1—V14)；

12+(y+4)2=18,

解得y=-4±Vn,

G(-2T+M，G(-21—加；

：.22+(y+1)2=12+3+4)2

7

解得y=

7

綜上所述：C點坐標為G(—2,-1+巧)，C2(-2,-1-714),G(-2,Y+W),G(—2,T-W),C5(-2,--)

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點距離公式，等腰

三角形的性質等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識.

7.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-/+丘-2左伏＜0)與無軸正半軸交于點C,與y軸

的交點為A.

(1)若拋物線經(jīng)過點B(-3,1),求拋物線的解析式；

(2)無論左取何值，拋物線都經(jīng)過定點加，求點M的坐標；

(3)在(1)的條件下，點尸是拋物線上的一個動點，記AAB尸的面積為S/,AABM的面積為S2,設S2=

nSlt若符合條件的點尸有三個，求〃的值.

【答案】(1)y=f=2x+4；⑵點M的坐標為(2,-4)；⑶〃的值為奪.

【分析】(1)直接把點B(-3,1)代入拋物線解析式進行求解即可；

(2)由拋物線解析式為y=—無日—2左=一一+(%—2泳，則當尤=2時，y=-4,函數(shù)值與/的取值無關,

由此即可得到答案；

（3）設直線的解析式為y=￡x+6,直線于y軸的交點為E,可求得直線8M的解析式為y=-x-2,

得到E點坐標為（0,-2）,從而求出現(xiàn)4刎=15；如圖所示，在直線A2上方作直線乙〃45且直線4與拋物

線只有一個交點匕，對應的在直線A8下方作直線4//AB,其中直線乙與直線A8的距離等于直線4與直線

AB的距離，則S”如=5"牝=右加丹（等底等高），根據(jù)除去尤居，得這三個位置外，符合邑的尸點的

個數(shù)為4個或2個；推出邑="S△曲，由此先求出直線AB的解析式為y=x+4,則可設直線乙的解析式為

y=x+b2,聯(lián)立[尸二%，得一+3》-4+,=0,求得"=?從而求出點片的坐標為（-1,當，

[y=-%—21+4424

過點片作X軸的垂線交AB于H,根據(jù)SVABR=S、P、BH+S、P、AH,求出&AB4即可得到答案.

【解析】解：⑴?..拋物線y=-v+區(qū)一24經(jīng)過點8（-3,1）,

：.1=-（-3）2-3k-2k,

?*.k=—2,

???拋物線解析式為y=_f_2x+4；

（2）：拋物線解析式為y=——+丘—2左=一無2+（x-2欣，

當x=2時，y=T,函數(shù)值與左的取值無關，

；?點/的坐標為（2,-4）；

（3）:拋物線y=-f-2x+4與y軸交于點A,

???點A的坐標為（。，4）,

設直線BM的解析式為y=kxx+b,直線于y軸的交點為E,

.[-3kx+b=\

一12左+1Z?=—4'

.妝=T

??[b=-2'

/.直線BM的解析式為y=-X-2,

???E點坐標為（0,-2）,

XX

,"SVABM=SyABE+SvAME=]人召'M人召,（~B）=15,

如圖所示，在直線AB上方作直線4〃A8,且直線（與拋物線只有一個交點片，對應的在直線下方作直

線l2//AB,其中直線4與直線AB的距離等于直線4與直線AB的距離,

S/\A56-S/XABP?.S4ABP3（等底等高）,

:除去片，P2,8這三個位置外，符合邑刁耳的尸點的個數(shù)為4個或2個；

**?S?-n^^ABPi.

設直線AB的解析式為y=k2x+b1,

.J-3左2+4=1

’,日=4

%2=1

4=4'

直線A3的解析式為y=x+4,

可設直線4的解析式為y=x+b2l

；二；1+4得尤2+3x-4+8=。，

聯(lián)立

2

**.A=3+4（4—Z>2）=0,

,9

.**x+3xH——0,

4

3

解得x=-1

2

工點耳的坐標為（-3李?19）

過點月作x軸的垂線交AB于H,

3

.?.點”的橫坐標為-今

點H的縱坐標為!■,

2

9

??SyA期―S~p1BH+SvqAH

27

T

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，平行線間距問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，解

題的關鍵在于能夠利用數(shù)形結合的思想進行求解.

4

8如圖,在平面直角坐標系中，直線y=§%+4與x軸交于點A,與y軸交于點C拋物線y=a?+"+c（Qwo）

經(jīng)過A、。兩點，與x軸的另一交點為點5.

y

(1)求A、C兩點的坐標；

(2)當ABC為軸對稱圖形時，求拋物線的解析式；

(3)當ABC關于y軸成軸對稱時，若點/、N是拋物線上的動點，且有肱V〃尤軸，點P是龍軸上的動點,

在坐標平面內是否存在一點。，使以M、N、P、。為頂點的四邊形構成正方形？若存在，求出。點坐標：

若不存在，請說明理由.

2O

【答案】(1)A(-3,0),C(0,4);(2)當=時，y=-^x+4；當AB=3C時,y=--(x+3)

21|,oj；。3(6,0)，。4(-6,0);

當小=AC時,「…號心仁+3)。+8)⑼存在，當

【分析】(1)分別令x=o,y=o代入解析式求出坐標即可；

(2)當ABC為軸對稱圖形時時，要進行分論討論所有存在的情況，求出點8的坐標，根據(jù)兩根式求出解

析式；

(2)利用分論討論思想和圖形關于y軸的對稱性來求解.

4

【解析】解：⑴當尸0時，0=-x+4,解得：x=_3；當x=0時，y=4;

.-.A(-3,0),C(0,4),

(2)當C4=CB時，有一種情況：

設B(x,0),CA=CB,由兩點間距離公式得：

7(0+3)2+(4-0)2=7X2+(0-4)2,

解得：x=3,x=-3(與重合A(-3,0),舍去)

A(-3,0)、8(3,0)、C(0,4)

根據(jù)兩根式，設拋物線的解析式為：y=a(尤-3)(x+3),

4

將點C(0,4)代入上式，解得：°=q,

:.y=--x2+4

9

當AB=3C時，有一種情況：

同理：設8(x,0),AB=BC,由兩點之間的距離公式得：

J(X+3)2=JY+(O_4)2,

7

解得：X=g

0

4(一3,0)、喉,0)、C(0,4)

7

由兩根式，設拋物線的方程為：y=〃(尤-二)(x+3),

6

Q

將點。(0,4)代入上式，解得：a=,

_8,/71

..y=-y(x+3)lX--I

當AB=AC時，有兩種情況：

同理：設8(無,0),AB=AC,由兩點之間的距離公式得：

7(%+3)2=732+42,解得：尤=2,元=一8,分論如下：

4-3,0)、3(2,0)、C(0.4)

由兩根式，拋物線的方程設為:y=a(尤-2)(尤+3),

2

將點。(0,4)代入上式,解得：〃=_；,

二,=_》+3)(尤_2)

4-3,0)、8(-8,0)、C(0,4)

由兩根式，拋物線的方程設為：y=a(x+3)(x+8),

將點。(0,4)代入上式，解得：

6

...y='（無+3）（尤+8）

O

4

（3）由⑵知，拋物線解析式為y=-《/+4

當MN為正方形一邊時，設Q(%,0),

43

1.2k=—k9+4,k=—6,k=—

92

a

①當MN在冗軸上方，且為正方形一邊時，k=j,根據(jù)對稱性；

有嗚,。)4iq；

②當MV在無軸下方，且為正方形一邊時，k=—6,根據(jù)對稱性：

有Q(6,0)，Q(-6,0)；

當MN為正方形對角線時時，設。(0,外

解得：人出警

,-9+3岳

③當MV在無軸上方，且為正方形對角線時,k=---------------

4

有。5

,-9-3月

④當MN在x軸下方，且為正方形對角線時,k=---------------

4

【點睛】本題考查了求解函數(shù)與坐標軸的交點坐標，分類討論求解二次函數(shù)的解析式，動點問題，是函數(shù)

與幾何問題的綜合題型，題目較難，解題的關鍵是：利用數(shù)形結合的思想，進行分類討論，逐一解決.

9.如圖，拋物線尤(a>0)過點E(8,0),矩形ABC。的邊A3在線段OE上(點A在點B的左

側)，點C、。在拋物線上，/胡。的平分線AM交BC于點點N是C。的中點，已知04=2,且。4：

AD=1：3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接M、N、G、尸構成四邊形MNG尸，求四邊形MNG尸周長

的最小值；

(3)在x軸下方且在拋物線上是否存在點P,使AODP中。。邊上的高為5叵？若存在，求出點尸的坐

5

標；若不存在，請說明理由；

【答案】(1)y=^x2-4x；(2)12^/2；(3)存在，點尸坐標為(6,-6)滿足使△尸中邊上的高

*6M

為二一

5

【分析】(1)由點E在x軸正半軸且點A在線段OE上得到點A在x軸正半軸上，所以42,0)；由OA=2,

且Q4:AD=1:3得AD=6.由于四邊形ABCD為矩形，故有？所以點O在第四象限，橫坐標與A

的橫坐標相同，進而得到點。坐標.由拋物線經(jīng)過點。、E,用待定系數(shù)法即求出其解析式.

(2)畫出四邊形由于點尸、G分別在x軸、丁軸上運動，故可作點M關于x軸的對稱點點AT,

作點N關于丫軸的對稱點點N',得FM=FM'、GN=GN'.易得當M'、F、G、N'在同一直線上時

N'G+GF+FM，=MN最八、故四邊形MNGF周長最小值等于MV+MN'.根據(jù)矩形性質、拋物線線性質等

條件求出點V、M，、N、V坐標，即求得答案.

(3)因為。。可求，且已知AOD尸中。。邊上的高，故可求AODP的面積.又因為AODP的面積常規(guī)求法

是過點尸作尸。平行y軸交直線。。于點Q,把AODP拆分為AOPQ與ADPQ的和或差來計算，故存在等量

關系.設點P坐標為f,用f表示PE的長即列得方程.求得f的值要討論是否滿足點P在*軸下方的條件.

【解析】解：(1)點A在線段OE上，E(8,0),OA=2,

A(2,0),

OA-.AD=V.3,

.AD=3OA=6,

四邊形ABC。是矩形，

:.AD±AB,

0(2,-6),

拋物線y=af+bx經(jīng)過點。、E,

J4tz+2Z?=-6

一164"+汕=0'

1

d——

解得：2,

b=-4

二拋物線的解析式為>=白2-4x,

(2)如圖1,作點M關于x軸的對稱點點AT,作點N關于，軸的對稱點點N',連接助T、GN'、M'N',

M

1i

x29-4x=—(x-4)92-8,

???拋物線對稱軸為直線％=4,

點C、O在拋物線上，且CD//x軸，。(2,-6),

「?無=%=-6,即點C、。關于直線％=4對稱，

.,.2=4+(4-與)=4+4-2=6,BPC(6,—6),

,\AB=CD=4,3(6,0),

AM平分44。，ZBAD=ZABM=90°,

：.ZBAM=45°,

:.BM=AB=4,

???”(6,-4),

點M、M'關于x軸對稱，點廠在x軸上，

??M(6,4),FM=FM',

QN為CO中點，

??.N(4,-6),

,「點N、N’關于y軸對稱，點G在y軸上，

.?.N'(T,-6),GN=GN,

二?C四邊形MVG尸=MN+NG+GF+FM=MN+NG+GF+FM：

當M'、F、G、N'在同一直線上時，NG+GF+FM，=MN最小,

C四邊mvGF=MN+M'N'=7(6-4)2+(-4+6)2+7(6+4)2+(4+6)2=20+10夜=12應，

，四邊形MNGV周長最小值為120.

(3)存在點尸，使AODP中。。邊上的高為小區(qū).

5

過點P作「?！ǎ据S交直線。。于點Q,

￡)(2,-6),

OD=V22+62=2M,直線。。解析式為y=-3x,

設點尸坐標為?,1f2-4r)(0<r<8),則點。(r,-3f),

①如圖2,

當0</<2時，點P在點。左側，

1,1,

二.尸。=%一丁產(chǎn)二一3/一(5%-4t)=--t+t,

ODPAPQQX2中邊上的

S^=S0+S^=—PQ?xp+—PQ?(D-xp)=—PQ(xp+xD-xp)=—PQ?xD=PQ=--t+tAODPOD

_6A/10

1=]/l=---------->

5

SXODP=_OD?h.

.L+uLz?迦，

225

方程無解，

②如圖3,

當2<,v8時，點尸在點。右側,

1919

PE=yP—yE=-t—4?—(-30=-t—t,

SAODP=SAOPQ_Sap。=—PQ,Xp—-PQ^xp-xD)=—PQ(xp-xp+xD)=—尸Q?和二萬產(chǎn)T,

.1121義2皿等,

?,一r

22

解得：。=-4(舍去)，L=6,

「?尸(6,-6),

綜上所述，點P坐標為(6,-6)滿足使AODP中。。邊上的高為處.

5

【點睛】本題考查了矩形的性質，二次函數(shù)的圖象與性質，軸對稱求最短路徑問題，勾股定理，坐標系中

求三角形面積，拋物線的平移，解題的關鍵是對點。、C、8坐標位置的準確說明，及明白點。左側不存

在滿足的P在點。左側的討論.

1711

2

10.在平面直角坐標系中，拋物線C外：y=--x--x+l,拋物線C內：y=or+bx的對稱軸為直線*=

6610

且C內的圖象經(jīng)過點4(-3,-2),動直線x=f與拋物線C內交于點與拋物線C外交于點N.

(1)求拋物線C內的表達式

(2)當AMN是以為直角邊的等腰直角三角形時，求f的值；

(3)在(2)的條件下，設拋物線C外與V軸交于點8,連結AM交V軸于點P,連結PN.

①在尸點上方的y軸上是否存在點K,使得/?VP=NONS?若存在，求出點K的坐標，若不存在，說明

理由.

②若平面內有一點G,且PG=1,是否存在這樣的點G,使得/GNP=NONB?若存在，直接寫出點G的

坐標，若不存在，說明理由.

①存在，K(0,-4)；②存在，滿足條件的G點坐標為：(0,-4),

【分析】(1)根據(jù)對稱軸公式及點A坐標利用待定系數(shù)法求值即可；

⑵表示出點M、N的坐標，分/ANM=90。、/AMN=90。兩種情況，利用等腰直角三角形的性質計算判

斷；

⑶①先求出直線AM的表達式從而得到點P坐標，再利用ASA證明△MN絲△03N,利用全等三角形

性質即可求出點K坐標；

②根據(jù)題意畫出滿足條件的圖形，由①可找到第一個滿足條件的G,再通過延長和圓的對稱性找到剩余三

個點，利用兩點間的距離進行計算.

【解析】解：(1)拋物線C內：>=依2+法的對稱軸為直線式=-2，且C內的圖象經(jīng)過點A(-3,-2),

<2。10,

9(2-3/?=-2

5

a=—

解得：6,

b=——

16

5o11

???拋物線C內：y=~~7X；

66

(2),?,動直線％=，與拋物線C內交于點M,與拋物線C外交于點N,

I66

當NANM=90。，AN=MN時，此時AN〃x軸,

VA(-3,-2),

解得:—

當r=2時，N（2,-2）,M（2,-7）,此時AN=MN=5,符合題意，

當/=—9時，N（-9,-2）,M（-9,-51）,此時ANrMN,不符合題意，故舍去；

當/AMN=90。，AM=MN時，此時AM〃x軸，

4

解得：%=-3,

當f=-3時，不符合題意，故舍去，

當，='時，AM#MN,不符合題意，故舍去,

綜上所述，r的值為2;

（3）①存在，K（0,-4）.

如圖所示，此時=

由⑵知，N(2,—2),M(2-7),

二直線AM表達式為：y=-x-5,

???P(0,-5),

?,.PN=