二次函數的圖像與性質典型考點專題練

2025年中考數學一輪復習備考

一、單選題

1.（2023?福建三明?中考）平面直角坐標系中，拋物線>=爾-3依+c（awO）與直線y=2x+l上有三個

不同的點A（Xi，；〃），C（x3,m）,如果〃=再+W,那么相和”的關系是（）

A."7=2"—3B.m=n2—3C.m=2n—5D.m=n1—5

2.（2024?福建莆田?中考）坐標平面上有兩個二次函數的圖像，其頂點V、N皆在x軸上，且有一

水平線與兩圖像相交于A、B、C、O四點，各點位置如圖所示，若AB=12,BC=4,CD=6,則

3.（2024?福建南平?中考）已知垂直于y軸的直線/與拋物線y=/-2x+4交于。5,力）

兩點，則％+%的值（）

A.%+馬<2B.再+%>2C.%I+%2=2D.玉+%223

4.（2024?福建福州?中考）己知點A（〃z,〃）、B（m+ln）,是二次函數y=x2+6尤+c圖象上的兩個點,

若當x<2時，，隨x的增大而減小，則根的值可能是（）

A.-4B.-1C.1D.2

5.（2023?福建泉州?中考）已知二次函數y=/-2x-3,將該二次函數在x軸下方的圖象沿x軸翻折

到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新的函數圖象（如圖所示），當直線與新圖象

有3個交點時，〃?的值為（）

1391

A.-1B.5C.3或一D.3或工

44

6.（2024?福建?中考真題）己知二次函數y="26+a（"0）的圖象經過83〃,%）兩點，

則下列判斷正確的是（）

A.可以找到一個實數。，使得％>aB.無論實數。取什么值，都有

C.可以找到一個實數。，使得內<。D.無論實數。取什么值，都有必<。

7.（2024?福建漳州?中考）已知拋物線>=（》+1）（無-機）（機為常數，m>l）與x軸交于點A,B（點A

在點8左邊），與y軸交于點C,連接BC,拋物線的對稱軸與2C交于點。，與x軸交于點E,連接

AQ,OQ（。為原點），下列結論中錯誤的是（）

A.WB.拋物線的對稱軸是直線x=

OBm2

C.若AQ=3C。，則m=3D.若△OEQ與AOAC相似，則機的值為0+1

8.（2023?云南昭通?中考）如圖是二次函數了=0?+云+。（。彳0）圖象的一部分,函數圖象經過點（2,0）,

②4a-2Z?+c>0；

③a+b+c>0；

@a-b+c=-9a.

其中正確結論的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.（2022.福建廈門.中考）已知點尸（-3,%）,9（5,%），以（加,%）均在拋物線丁=潑+知+。上，其

中2。m+/?=0.若丹??%>%，則機的取值范圍是（）

A.m<—3B.m>1

C.-3<m<1D.l<m<5

10.（2023?四川自貢?中考真題）經過A（2-3仇〃7）,g（46+c-l,m）兩點的拋物線y=-〃+2c

（尤為自變量）與x軸有交點，則線段長為（）

A.10B.12C.13D.15

11.（2024.河北邯鄲?中考）已知，二次函數，=62+法-1（4,6是常數，且。*0）的圖象經過

A（2,1）,B（4,3）,C（4「l）三個點中的兩個點，平移該函數的圖象，使其頂點始終在直線y=x-l上，

則平移后所得拋物線與y軸交點的縱坐標（）

A.有最大值為1B.有最大值為

C.有最小值為1D.有最小值為-g

12.（2024?山西?中考）已知拋物線y=aY+/zx+c上某些點的橫坐標x與縱坐標》的對應值如下表:

X-4-3-2-10

y-3P1Pm

有以下幾個結論：

①拋物線；y=依2+Z?x+c與y軸的交點坐標是（0,-3）；

②拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線龍=-2；

③關于尤的方程a>c2+bx+c=O的根為-3和T；

④當y<。時，尤的取值范圍是-3<x<-l.

其中正確的個數有（）

A.1B.2C.3D.4

13.（2024?湖北?中考）已知點為拋物線>-2〃尤+1（。為常數，4>0）上的

兩點，當玉<%+1,，+2<%2<，+3時（）

A.若貝B.若%>%，貝

C.若t2—1,則％%D.若%<%,貝!J/21

14.（2023?湖北黃石?中考）若二次函數丁=1尤2-法―的圖象，過不同的六點、8（5,〃-1）、

C（6,"+l）、0（4,%）、E（0,%）、歹（2,%）,則外、為、%的大小關系是（）

A.B.c.2VMD.y2<yi<y3

二、填空題

15.（2023?福建泉州?中考）已知拋物線y=/-3x+l與X軸交于A,8兩點（點A位于點8的左側）,

尸是拋物線上的一個動點，若S.產與，則所有滿足條件的點尸的橫坐標之和是.

16.（2023?福建寧德?中考）已知拋物線y=-d+26x+”僅>0）的頂點為A,交y軸于點2；拋物線

>=尤2+2云+機的頂點為。，交y軸于點D若機-〃=6,且以A,B,C,。四點為頂點的四邊形為

矩形，則6=.

17.（2024?福建廈門?中考）已知拋物線Z1：y=a（x-/2）2-2（aN0）的頂點為點C,與x軸分別交于點

A,B（點A在點8左側），拋物線右與拋物線右關于x軸對稱，頂點為點若四邊形ACBD為正

方形，則。的值為.

18.（2024四平?中考）已知了=依2_4以（4<0）上有4（〃2,%）和3（2私％）兩點.若點4B都在直線

y=-3。的上方，且%>%，則根的取值范圍是.

19.（2023?江蘇無錫?中考真題）二次函數y=a（x-l）（x-5）［a>m的圖像與x軸交于點A、B,與V

軸交于點C,過點加（3,1）的直線將VABC分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，貝

的值為.

20.（2023?湖北武漢?中考）已知函數、=依2+/+1（。為常數）的圖象經過點（1,0）.下列結論：①

a+b=-\；②當。<0.5時，4a+2Z?+l<0；③若awl,則函數圖象與x軸有兩個公共點；④若。<一1,

則當x<o時，y隨尤的增大而增大，其中正確的結論是（填寫序號）.

參考答案

1.c

根據題意可知，A?,利），B{x2,m）,C（w，間為直線丁=%與拋物線丫=加-3q+或"0）和直線

y=2尤+1的交點.

設A（X],7W）,3（%2，H）在拋物線、=加-3ax+c（g0）上，。（不，m）在直線＞=2x+l上.

根據題意，得

ax?—3ax-\-c=m.

移項，得

cue2—3ax+c—m=0.

可得

—3a與

X+無2=-----=3.

a

根據題意，得

m=2忍+1.

可得

m-1

X-i—.

32

則

_m-1

〃=%+々+七=3H———.

可得

m=2n-5.

故選：C.

2.B

本題考查了二次函數的圖像與性質，線段長度的相關計算，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.由

AB,BC,的長度以及根據二次函數的對稱性可以知道，M和C,N和。和3橫坐標的差，

從而推出M和N的橫坐標之差，得到的長度.

由A、B、。、。四點在同一水平線，可以知道四點縱坐標相同

???AB=12,BC=4,CD=6,

AC=AB+BC=16,BD=4+6=10

ACBD「

：'XC~XM=^~=8o，^N~XB=~=5

X,.,xc-xB=BC=4

_%B)

MN=xN—xM=+(%_%〃)一(%—xfi)=5+8—4=9.

故選：B.

3.C

本題主要考查了二次函數的圖象與性質，求出拋物線y=V—2%+4關于直線無=1對稱，即可作答.

*.*y=x2-2%+4=(x-1)2+3,

拋物線y=--2%+4關于x=1對稱，

??,垂直于y軸的直線/與拋物線y=%2—2X+4交于尸(公乂)，。(%,%)兩點，

占+%2=2,

故選：C.

4.D

解：??,點B(m+l,n),是二次函數y=/+云+。圖象上的兩個點，

???對稱軸為直線X=烏尸，開口向上，

?.?當x<2時，y隨X的增大而減小，

??.該二次函數圖象的對稱軸為直線X=2或在其右側，

2m+1.

-------->2

2

解得：〃/3，

只有2符合題意，

故選：D.

5.D

-2x-3,令y=0,貝hx=3或T,則點A(3,0),二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸

丫——+2%_|_3

，消去y整理得：*+3x+3=0,

｛y=-x+m

21

令△=(),求得，"==，結合圖象即可求解.

如圖所示，直線在圖示位置時，直線與新圖象有3個交點,

令y=0,貝卜=3或一1,則點A（3,0）,

二次函數在無軸上方的圖象沿尤軸翻折到x軸下方，對應的函數表達式為：y=-d+2x+3,

v—_丫2|?3

聯立，消去y整理得：一/+3%+3—m=0,

y=—x+m

A=9+4（3—m）=0,

解得：加二9亍1，

???當相=3或7時，直線y=%+根與這個新圖象有三個交點，

4

故選：D.

6.C

解：???二次函數解析式為y=%2-2ox+a（aw0）,

二二次函數開口向上，且對稱軸為X=--Y~=a,頂點坐標為a-/）,

、［/.at.ct232

當X——n,y=------4+〃=QQ，

2-44

當a>0時，0<￡<Q,

2

/.a>yx>a-a,

當a<0時，a<^<0,

2

a—a<yx<a,

故A、B錯誤，不符合題意；

二?當a>0時，0<av2a<3a,

由二次函數對稱性可知，為>〃>。，

當avO時，3〃<2av〃v0,由二次函數對稱性可知，為>〃，不一定大于0,

故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；

故選：C.

7.C

對于拋物線y=（x+i）（x-，〃），令y=o,得到占=-1,x2=m,得到點A,8的坐標，從而判斷選項A；

根據拋物線的對稱性及點A,B的坐標，可得拋物線的對稱軸，從而判斷選項B；對于拋物線

y=（x+l）（X-m）,令*=0,得到點C坐標，采用待定系數法求出直線8C的解析式，進而求得點。的

坐標，根據兩點間的距離公式求出AQ,CQ的長，由AQ=3C。求出機的值，判斷選項C；由

QAQQQAQC

與△Q4C相似得到后=￡入或許=￡不，分別求解得到機的值，判斷選項D.

EOEQEQEO

對于拋物線丁=（%+1）（工一根），令y=0,貝!!（尤+1）（無一根）=。，

解得：再=-1,x2=m,

*.*m>1,且點A在點5左邊，

A（-1,O）,

OA=1,OB=m,

nAi

A-=-.A選項正確.

OBm

,拋物線y=（x+l）（x-，w）與X軸交于點A（-1,O）,B（m,O）,

，對稱軸為％="+（T=S.B選項正確.

22

把x=0代入）=（%+1）（%-㈤中，得丁=一根，

設直線BC的解析式為Y=kx+b,

??,直線5c過點5（租,0）,C（O,-m）,

fmk+b=0（k=l

,解得八，

[b=—m=—m

???線BC的解析式為y=x-m,

.?.?寸巴X=《冽一-1代八、入、y=得,=_m_—+1,

（m—1m+1^

VA（-1,O）,C（O,-m）

；?AQ=1），

1/拋物線的對稱軸x=M與x軸交于點E,

2

?,?”小

?.?A（TO）,C（O,-m）,O,-甘］

m+1m—1

：.OA=1,OC=m,EQ=——,EO=——.

22

?.?△OEQ與△QIC相似，

?空=生或空=如

?EOEQ0EQEO'

1m

OAOC,

當t---=---0\l*,m-1m+1,

EOEQ

22

解得：7"=應+1或加=-四+1（不合題意，舍去）；

當=時，機+1"?-1，該方程無解?

EQE0-^―-^―

故若△OEQ與AQ4c相似，則機的值為0+1.D選項正確.

故選：C

8.D

???拋物線的對稱軸為直線x=-L,

:.b=2a,即2a—b=0,所以①正確；

:拋物線開口向下，對稱軸為直線*=-1,拋物線與x軸的一個交點坐標為（2,0）,

/.拋物線與無軸的另一個交點坐標為（-4,0）,

.,.當x=-2時，y>0,

即4a—2b+c>0,所以②正確；

由圖形可知，當x=l時，y>0,

即a+》+c>0,所以③正確；

?：b=2a,拋物線與無軸的一個交點坐標為（2,0）

「?4〃+2Z?+c=0,

c=-8a

.,.當x=_］時，y=a-b+c=-9a,所以④正確；

所以正確的結論有4個，

故選：D.

9.B

先證得點”）是該拋物線的頂點，根據點P（-3,yJ,。（5,%）,均在拋物線上，可知該拋物線

開口向下對稱軸是直線尤=m，從而可以求得相的取值范圍，本題得以解決

b

,?.拋物線y=〃%+"+c的對稱軸為：x=-—,

2a

又2am+b=0,

b

m-----,

2a

加（加,力）在對稱軸上，

當。＞0時，力是最小值，這與力相矛盾，

此情況不存在，

當a＜0時，

二對稱軸在P,。點之間且靠近。點，則亮越=1.

即機＞1.

故選B.

10.B

ix----b-=------b----=b7

解：???拋物線＞=一5/+"一/+2。的對稱軸為直線2a2x（_J

,/拋物線經過42-3b,m）,B（4b+c-1,刈兩點

.2-3Z?+4Z?+c-l7

..--------------=b,

2

BPc=b—l,

y——%2+bx—Z?2+2c=—兀？+bx—b2+2b—2,

22

???拋物線與x軸有交點,

***A=b2—4-ac>0,

即/一4x[-g]x（一/+2。一2”（）,

即62_仍+440,即（6-2）240,

:?b=2,c=b—l=2—l=l,

2—3b=2—6=—4,4b+c—1=8+1—1=8,

/.AB=4/?+c-l-（2-3&）=8-（^）=12,

故選：B.

11.B

解：?.?A（2,l）,3（4,3）在直線y=x-l上，

.,.點A或點B是拋物線的頂點，

\?點8、C的橫坐標相同，

拋物線不會同時經過2、C兩點，

???該拋物線經過點A、C,

把A（2,l）,C（4,-l）代入＞="2+法_1得:

J4a+26-1=1

[16々+4。-1=-1'

1

,,a=—

解得：2,

b=2

11,

A二次函數解析式為y=---r+2x-l=--（x-2）-+l,

:其頂點始終在直線，=工-1上，

???拋物線向左、向下平移的距離相同,

1

設平移后的拋物線為y=-：（%-2+間92+1_加,

12112

令x=0,貝[jy=_豆（％_2+根）+l-m=——m2—2+2m+l—m=-—（m-1）

2

???平移后所得拋物線與y軸交點的縱坐標有最大值為一：,

故選：B.

12.C

解：由表格可知該拋物線的對稱軸為彳=后[=-2,故②正確;

根據對稱軸可得當尤=0時，與x=T時）的值相同，均為-3,所以拋物線、=加+6元+?與y軸的交

點坐標是（0,-3）,故①正確；

:丁=辦2+區+。與y軸的交點坐標是（0,-3）,

.**c=-3,

由表格可知該拋物線過（T-3）,（-2,1）,

???[f1—=3=4416-a2—64-b3—3'解得[（a==-14

拋物線方程為：y=-x2-4x-3,

令—x2—4x—3=0,解得占=-3或%=-1,

ax?+bx+c=0的根為一3和一1,故③正確；

'/y=一尤2-4x-3,中a=—1<0,

該拋物線開口向下，

...當y<。時，尤的取值范圍是X<—3或X>—1,故④錯誤；

綜上①②③是正確的，

正確的個數有3個，

故選：C.

13.D

—2a

解：由>=依2-2依+1（a為常數，a>0）知，其開口向上，對稱軸為了=----=1,

2a

當x=0時，y=l,且r<±<r+l,廣+2<%</+3,則占</，

A.當t=l時，1<再<2,3<%<4,則點A、B均為對稱軸的右側，故％<必，

故A錯誤，不符合題意；

B.若%>%，則點A、8在對稱軸異側或左側，

當A、8在對稱軸異側時，則lT-lNf+2-1,解得：/<-1；

當4、2在對稱軸左側時,則r+341,解得：t<-2,

綜上，故B錯誤，不符合題意；

C.當/=-!時，貝！]—1<玉<0,1<工2<2,止匕時1_西>%2_1，

故c錯誤，不符合題意;

t<x

D.當％<>2時，i<^+1,t+2<x2<t+3,

則點A、2在對稱軸異側或右側，

當A、8在對稱軸異側時，則7+2-摩1-。+1）,解得：f>-1；

當A、8在對稱軸右側時，貝卜21,

綜上，fN-不，則/21正確；故D正確，符合題意；

故選：D.

14.C

a2+b-c=n

解：根據題意，把點A（—L"）、5（5,〃—1）、C（6,〃+l）代入y=一凡一%<25a2—5b—c=n—1

36/一6/7—。=〃+1

f24/_AA=_1

消去C,得35"-7『,整理得成=59/

-h59

A拋物線的對稱軸為直線x=-9=3，

2a226

???。（4,必）關于對稱軸的對稱的點坐標為［5J

59

???由函數的圖象與性質可知，當冗<打時，y隨著x的增大而減小

26

%>%>%

故選C.

15.6

解：設A（%0）,B（XB,O）,

:拋物線>=尤2-3》+1與x軸交于A,8兩點（點A位于點8的左側），

??工人+XR=3,,XQ—1,

ABX22

=XB-XA=-,）2=yl（xA+xB）-4XAXB=V3-4xl=如,

設尸（利〃）,則％”凈.因灣葉

??S_6

,^/XABP-'

.II75

解得〃=±1,

當〃=1時，m2—3m+l=l,解得機=。或根=3；

當〃=一1時，根2-3切+1=-1,解得機=1或機=2.

???符合題意的點尸的坐標為(0,1)或(3,1)或或(2,-1),共有4個不同的點，

???所有滿足條件的點尸橫坐標之和為6.

故答案為：6.

16.石

解：由題意可得，

2b70

當X'-T；~~=b時，y=n+b,當％=0時，y=n,

2x(-1)

A(b,n+b2),B(0,H),

2h

當％=-----=—匕時，y=m-b2,當%=0時，y=m,

2x1

2

???，D(0,m)fc(-b,m-b)f

???該四邊形是AC、作對角線，

'??四邊形為矩形，m-n=6,

AC2=BD?,即：(2b)2+(n-m+2b2)2=(n-m)2,

化簡得：1+/+(〃一根)=o,

解得b產布,b2=-y/5(不符合題意，舍去)，

故答案為：75.

17.-/0.5

2

本題考查拋物線與x軸的交點，二次函數圖象與幾何變換，正方形的性質，關鍵是解方程求出A,B,

C,。坐標.

根據拋物線。：求出頂點C的坐標，再令>=。，解方程求出A,3坐標，得出45=也，再根據拋

a

物線4與拋物線4關于X軸對稱，求出頂點。的坐標，然后根據正方形得到鉆=8列出關于。的方

程，解方程求出〃的值.

解：,?,拋物線小y=g-〃r-2("0)的頂點為點C,

.?.C(A-2),

,拋物線4：尸。。-〃)2-2("0)與無軸分別交于點人，B(點A在點8左側)，

.-.a>0,拋物線開口向上，

當y=0時，a(x-h)2-2=0,

7

整理得：(x-h)2=-

af

解得x=h土叵,

a

,??點A在點8左側，

:.A(h--,O),,0),

aa

?AR1八?岳zr后、

..AB=h-\--------(n--------)=-------,

aaa

??,拋物線人與拋物線。關于％軸對稱，頂點為。，

；.D(h,2),

/.CD=2-(-2)=4,

??,四邊形ACBD是正方形，

:.AB=CD,

則冬旦=4(°>0),

a

1

u.=-?

2

經檢驗，。是方程的解，也符合題意，

2

故答案為：.

_43

18.—<m<—

32

根據題意列出不等式組求解即可.

2

解：把點代入y=。/一4〃%(〃<0)得：％=am-4amf

22

把點B(2m,%)代入y=ax-4ax(〃<0)得：y2=4am-8am,

??,點A,B都在直線y=-3a的上方，且切〉內，

f4am2-8am>-3a..[4m2-8m+3<0

：.\22，整理得：2，

[am—4am>4am-8am[—3m+4m<0

22

令Zi=4m-8m+3,z2=-3m+4m,

當4=。時，4根2—8根+3=0,

13

解得：m=7或不，

22

當z2=°時，—3m2+4m=0,

解得：機=：或0,

畫出4*2的函數圖象如圖所示，

13

由圖可知：當不＜相＜不時，4機2一8機+3＜0,

22

、4

當機＜0或機時，-3m2+4加＜0,

解：由丁=。(％—1)。一5),令％=0,解得：y=5a,令y=0,角軍得：=l,x2=5,

AA(l,0),5(5,0),C(0,5a),

設直線BM解析式為y=kx+b,

/+b=0

[3k+b=l

k=—

2

解得：

b=-

l2

直線BM解析式為y=_；x+g當x=0時，