重難點專題15三角恒等變換八大題型匯總

題型1輔助角公式的運用..........................................................1

題型2輔助角公式與最值..........................................................4

題型3湊角求值(互余互補，拆角和與差，拆角30+-a,)............................................................9

?類型1誘導公式法..........................................................9

?類型2拆角...............................................................12

題型4分式型湊角求值...........................................................14

題型5正切恒等變形.............................................................17

?類型1正切化簡求值.......................................................18

?類型2與其他知識結合....................................................23

題型6正切求角.................................................................29

題型1二倍角公式與升幕降幕....................................................33

題型8正余弦和差積問題.........................................................38

題型1輔助角公式的運用

10?^1]#6

非特殊角的輔助角應用，雖然可以用公式tanp=：,但是處理拔高題，僅僅簡單的用此公

式1是遠遠不夠的，要學會推導過程.知其然知其所以然.并且,

",更要會"化余".

?------ab

asina+bcosa=Ja2+b2(R^ina+R^cosa)

ab

<^^cos(p—j----sin(p_j二

asina+bcosa=Ja2b2(J^sina+J^?cosa)=J

+a2^2(cos(psina+sincpcosa

)=Va2+b2sin(a+tP)

【例題1】(2023?全國?高三專題練習)用輔助角公式化簡:siW—VL3cos-X=____________.

【答案】2sin修冶)

【分析】直接利用輔助角公式化簡即可.

【詳解】sin；V^cos|=2?s嗚-烏cos])=2(s嗚cos1一cos|s嗚)=2sin每一/).

故答案為：2sing-H)

【變式1-1】1.(2023秋?湖南永州?高三校聯考開學考試)已知cosa+V3sina=1,則

cos(a-第=()

A.|B.C.D.

【答案】B

【分析】利用輔助角公式進行求解.

【詳解】cosa+V3sina=1,由輔助角公式得2cos(a-歐=1,故cos(a—歐=

故選：B.

【變式1-1】2.(2023秋?廣東揭陽?高三校考階段練習)已知方<"手，f<"°，

且sina+sin￡=8(cosa+cos/?),則下列結論一定不正確的是()

A.cos(a—S)=—lB.sin(a—S)=0C.cos(a+^)=-1D,sin(a+0)=-苧

【答案】D

【分析】根據輔助角公式化簡，再根據角的范圍找到和差角的關系判斷各個選項即可.

【詳解】sina+sin/?=V3(cosa+cos/?),???sina—V3cosa+sin/?—V3cos/?=0,

???2sin(a—、)+2sin(夕—1)=0,2sin(a—/)=—2sin(g—])=2sin停—p),

?—?n>/3Rn/c/八rnii"jTT7TC5TT,Cn,nTT,TTy-).5TT

且5<a<T，-2<P<°<則胃<a-]<刀一石<￡_]<一§，-??<?-/?<T-

當”a+/?=芋時,cos(a+￡)=—I，sin(a+￡)=當,C選項正確,D選項不正確;

當a一石+石一0=n,a—0=T[日寸,COS(a—0)—1,

sin(a一S)=0,sin(a+/?)=sin(n+2夕)=-sin20,一n<20<0,sin(a+3)=一sin2s

<0?A,B選項正確，D選項不正確.

故選:D.

【變式1-1】3.(2023秋?內蒙古包頭?高三統考開學考試)函數了⑶=sin2x+cos2x的一

條對稱軸是()

A.%=-fB.%=-7C.x=fD.x=7

【答案】C

【分析】利用輔助角公式，結合代入法、正弦型函數的對稱性逐一判斷即可.

【詳解】/(x)=sin2x+cos2x=V^sin(2x+段).

A:因為/'(一Q)=V5sinQx(—(+可=0t土

所以本選項不符合題意；

B:因為/'(—I)=V^sinpx(_乎+用=—14士

所以本選項不符合題意；

C:因為/'(9)=V^sin(2x￡+卷)=

所以本選項符合題意；

D:因為f6)=V^sin(2x^+^)=1V2,

所以本選項不符合題意，

故選：C

【變式1-1】4.(2023秋?江西南昌高三南昌二中校考開學考試)已知f(久)=singx+g

-V3cosgx+^),則/⑴+〃2)+…+f(2023)的值為()

A.2V3B.V3C.1D.0

【答案】B

【分析】根據三角恒等變換得到f(x)=2sinfx,求出最小正周期，并求出f(l)+/(2)+/(3)

+f(4)+f(5)+f(6)=0,利用周期分組求解，得到答案.

【詳解】/■(%)=singr+號)-Vicos停工+歐=2sin停x+￡冶)=2sinfx,

所以最小正周期為二=6,

3

且f(1)+/(2)+f(3)+/(4)+/(5)+/(6)

IT2Tl4n5Tl

=2sin—+2sin—+2sinn+2sin—+2sin+2sin2f[

=V3+V3+0-V3-V3+0=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+-??+f(2023)

=[/(l)+=2)+=3)+=4)+f(5)+=6)]

+…+[/(2017)+f(2018)+/(2019)+f(2020)+f(2021)+f(2022)]+/(2023)

=/(I)—V3.

故選：B.

【變式1-1]5.(2023?全國?高三專題練習)設d為動點P(cos0,sin8)到直線x-y-2=0的

距離，貝呦的最大值為()

A.V2-1B.乎C.1+V2D.3

【答案】C

【分析】由距離公式及輔助角公式計算可得.

【詳解】點P(cos8,sin8)到直線比—y—2=0的距離d=^V券上

VL十1一，)=1My/2I,

因為一1工cos(e+y41,則一y/2—2<V^cos(8+藍)-24—2,

所以當COS(9+?)=一1時dmax=匕等^=1+V2.

\4/V2

故選：c

題型2輔助角公式與最值

【例題2】(2023?陜西寶雞統考二模)已知函數/(久)=2sinx+4cosx在x=,處取得最大值,

則COS0=()

A.等B.旁C.普D.-等

【答案】A

【分析】根據題意，由輔助角公式即可得到sin。,cos。的值，然后由誘導公式化簡即可得到結

果.

【詳解】因為/(%)=2sinx+4cosx=2V5sin(%+0),

其中sine=Rj=后cose=^=方，

當X=9時，f(x)取得最大值，

即◎+8=5+2kTT,keZ,以9=萬一6+2kTT,keZ,

所以COS0=cos?-9+2/cn)=sine=嘉=等

故選：A

【變式2-1］1.(2023?河南?校聯考模擬預測)若關于x的方程sin2x+2cos2x=-2在［0,碼

內有兩個不同的解%/?,貝Ucos(a—。)的值為()

A.-*B.旁C.-等D.等

【答案】D

【分析】利用輔助角公式化簡已知方程，求得a-0,進而求得cos(a-8).

【詳解】關于%的方程sin2x+2cos2x=一2在［O,TT)內有兩個不同的解a,0,

即爭in(2x+0)--1(cos0=拳sin。=等，取。為銳角)

在［0,可內有兩個不同的解a,￡,

即方程sin(2x+0)=-竽在［0JT)內有兩個不同的解a/.

不妨令0Wa<￡<TT,由xe[0,ir),貝[J2x+。e⑹2TT+。),

所以sin(2a+。)=—/^,sin(2/7+。)=—

所以sin。=—sin(2a+6)=—sin(2￡+.貝[|2a+9=TC+8,20+。=2Tl—3,

即2a—2s=—TC+2。，

所以a—0=—會+acos(a-0)=cos(6-])=sin。=

故選：D.

【變式2-1]2.(2023秋?江西吉安?高三吉安一中校考開學考試)已知。e(0,鄉，且sin

(a—2￡)+3sina=0,則tana的最大值為()

A.一逗B.返C.—在D.叵

4444

【答案】B

【分析】利用兩角差的正弦公式展開，并利用同角三角函數的商數關系化為關于tana的方

程，根據已知角的范圍和三角函數的性質得到tana>0,利用三角函數的輔助角公式和三角

函數的有界性得到關于tana的不等式，求得其最大值.

【詳解】,.,sin(a—2/?)+3sina=0,/.sintzcos2/3—cosasin2s+3sina=0,

「.tanacos2夕一sin2s+3tana=0,.\tana(3+cos2/?)=sin20,

.SE(0'與)'."S€(0,TI)，,sin2s>0,

又「3+cos2^?>3—1=2Z/.tana>0,

由tanacos2/?—sin2s+3tana=0得tancrcos2s—sin2(3=-3tana,

存在0GR使得址aMa+lcos(2￡+w)=-3tana,.*.cos(2/?+(/?)=—jta/a+i

.——3tan0<l/.9tan2a<tan2a+1,/.tana<

^/tan2a+14

由于2se(0,n),20+3的取值范圍達到余弦函數的半個周期，|cos(2￡+租)|的值必能取到

1,因此這里能夠取到等號，所以tana的最大值為乎，

故選：B

【變式2-1】3.(2023秋?陜西漢中?高三統考階段練習)已知函數人支)=sin%+3cosx,當

/(久)取得最大值時，tanx=.

【答案】|

【分析】利用輔助角公式及正弦函數性質易得久比)取得最大值有x+<P=i+2fcn,fceZ,進

而求tanx.

【詳解】由/'(久)=sinx+3cosx=V10sin(x+cp)曰tanp=3,

所以/(x)max=V10,此時X+0=3+2kTl,keZ,

所以久=7+2kn-<p,keZ,故tang+2kn-<p)=嵩=

故答案為：!

【變式2-1】4.(2023秋福建廈門?高三廈門一中校考階段練習)已知函婁好(久)=sinwx-

Kcoss?>0),若/(x)的圖像在區間(0,IT)上有且只有1個最低點，則實數3的取值范圍

為.

【答案】1〈34

【分析】根據題意，由輔助角公式化簡，然后由條件列出不等式，代入計算，即可得到結果.

【詳解】由題意得/'(X)=Sintox-V3cos(ox=2sin(3尤-歐，因為xG(0,n),

所以3久-/e(—￡,3口—，

因為/(x)有且只有1個最低點，所以9<3TT—太與，解得當<3WK

故答案為：曰<3<篙

【變式2-1】4.(2021秋?廣西南寧?高三統考階段練習)已知函數f(x)f/G

(sin2x+4cosx)+2sinx,貝！］f(x)的最大值為()

A.4V3B.-y-

C.6D,5V3+2

【答案】B

【分析】先將sin2%展開，提公因式并結合拼湊法可得/(%)=2(V3cosx+l)(sinx+2)-4,

結合防<(等)2放縮，聯立輔助角公式化簡，即可求解.

【詳解】/(%)=V3(sin2x+4cosx)+2sinx=V3(2sinxcosx+4cosx)+2sinx

=2V3cosx(sinx+2)+2(sin%+2)—4=2(V3cosx+l)(sinx+2)—4,由sin%+2>0可知,

要求f(久)最大值，只需Kcosx+1>0即可，結合基本不等式防<(彎)2可得

_(V3cosx+14-sin%+2\

/(x)=2(V3cosx+1)(sinx+2)—4<2-I-------------------1—4

_(2sin(x+:+3)2[

17.,.fV3cosx+1=sinx+2_一」,,,

0當且僅當[sin(x+)l，即時7r等號成立，因此當x，n+2

i7

k再kez時/(%)的最大值為萬.

故選：B

【變式2-115.(2023秋?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯考開學考試)若函數/(

x)=sinx—V3cosxzxe的值域為[—1,2],貝切—血的取值范圍為

【答案】黑期

【分析】由輔助角公式得到fO)=2sin(x—%結合函數圖象得到皿=￡+25,keZ,同

時正怦+2所b—/(2k+2)/fceZ,從而得到n-me停號卜

【詳解】由輔助角公式得/'(%)=2sin(x-/),

令2sin(x—/)=-1,解得％=—5+2/CTE或％=]+2/CTT,kGZ,

令*2sin(%—石)=2,彳導%=~~+2/CTT,kEZ,

畫出函數圖象如下,

^+(2fc+2)n],feeZ,

所以九—me停，用

故答案為：俘，期

【例題3-1】(2023?河南開封?統考三模)已知sin(a+》—cosaj則cos(a+如

)

A.|B.C.|D.4

【答案】D

【分析】根據三角恒等變換得到sin(a-。=吉再利用誘導公式求出答案.

【詳解】因為sin(a+段s/3,11■14口門.

一coscr=—sincr+-cosa—cosa——sina--cosa=-z艮sin

4

5;

所以cos(a+^)=cos[(a—4

+=—sin(a—段

75,

故選：D

【變式3-1】1.（2023秋?江蘇南通?高三統考開學考試）已知sin（a+勺=半，貝頓曬-2a

)

A.-苧B.苧C.-1D.1

【答案】C

【分析】利用換元法，結合誘導公式及二倍角公式，即可求得本題答案.

【詳解】設a+￡=t,貝!|a=t-%,sint=乎

=sin段一2(t—￡)]=sin(￡—2t)=2

???sin居一2acos2t=1—2sin2t=1—2x

1

3,

故選：C

【變式3-1]2,（2023秋?山東?高三沂源縣第一中學校聯考開學考試）已知sin（x+^）=-

則COS(*2K)=()

A-iB.1C.-9D.-J

【答案】C

【分析】利用誘導公式、二倍角公式化簡可得答案.

【詳解】因為sin（%+3=—；，所以

—2x)=cos(n一裝-2x)=—cos管+2x)=—

cos1—2sin2（x+期

=-]=-l

故選：C.

【變式3-1】3.（2022秋?新疆巴音郭楞?高三八一中學校考階段練習）設仇為銳角，若cos

(a+段)4則sin("=()

A-TIB--T!C-TD.V2

【答案】B

【分析】利用角的變換表示sin(a—S)=sin(a+￡—勺，再利用兩角差的正弦公式，即可

求解.

【詳解】因為a€(0,。a+、e，書，且cos(a+》=B，

所以sin(a+^)=|,

sin(aT)=sin(a+L

=y[sin(a+f)-cos(a+期=孝(|一白=—系

故選：B

【變式3-1】4.(2023秋?河北?高三校聯考階段練習)已知sin(￡—a)=—?，且ae

(。吟)，則sin僖+2a)=()

A.—當B.當C.gD.-4

9999

【答案】A

【分析】利用誘導公式、同角三角函數的基本關系式、二倍角公式求得正確答案.

【詳解】依題意，a40,?￡—ae(—忠)，

而sin?_a)=_￥<0,所以5_ae(_20),

所以cos停-a)=Jl—sin2停—a)=J1一|=日，

所以sin(]+2a)=sinn—(^+2a)]=sin傅—2a)

=2sin(H_a)cos(n_a)=2x(_學x^=—亨.

故選：A

?類型2拆角

【例題3-2](2023秋?河南洛陽?高三洛寧縣第一高級中學校考階段練習)已知a,￡均為銳

Q

角，且tana=3,sin(a+/?)=-,則cos^=()

A13國B逗C曳邁D逗或生叵

?50,10e50?10/50

【答案】B

【分析】由條件結合三角函數同角關系式求sina,cosa,再由三角函數的性質求出a+。的范

圍，再利用兩角差的余弦公式，由cos￡=cos[(a+夕)一a]求出結果.

【詳解】因為a為銳角，且tana=3,所以sina=3cosa,又siMa+cos2a=1,

所以sina=cosa=哪.

因為sina>sin(a+/?),且0<a<a+￡<n,所以a+￡為鈍角.

因為sin(a+0)=5,所以cos(a+)?)=-1,

則cos0=cos[(a+0)—a]=cos(a+￡)cosa+sin(a+4)sina=—^x嘿+|x壬?=嚕.

故選：B.

【變式3-2】1.(2022秋?陜西渭南?高三渭南市瑞泉中學校考階段練習)若a/都是銳角,

且cosa=普，sin(a+0)=|,則cos0=

A2V5B2V5c2V5^2V5口在成正

A.25b-5J25取555取25

【答案】A

【分析】先計算出cos(a+0),再利用余弦的和與差公式，即可.

【詳解】因為%。都是銳角，且cosa=^<3,所以女a<9,又

sin(a+0)=|<乎，所以方<a+￡<兀，所以cos(a+￡)=-yjl-sin2(?+/?)=一：

sina=Jl—COS2a=等,COS/?=C0S(a+S—a)=cos(a+0)cosa+sin(a+S)sina=

等，故選A.

【點睛】本道題考查了同名三角函數關系和余弦的和與差公式，難度較大.

【變式3-2】2.(2022?云南?云南民族大學附屬中學校考模擬預測)已知sina=孚，cos

("￡)=半，且0<&<空，0<0<生，貝頓呼=()

A9后n11V10rV15nVIo

?35?35?-35~?-35~

【答案】A

【解析】易知sin￡=sin(a—(a—0)),利用角的范圍和同角三角函數關系可求得cosa和sin

(a-S),分別在sin(a-￡)=平和一半兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得sin￡,結

合S的范圍可確定最終結果.

【詳解】vSina=當<曰且。VaV0<a<cosa=-1-sin2a=

又0V/?〈苧，."苧<"S<3，sin(a一<)=±Ji一cos2(a—〈)=±半.

當sin(a—B)=時/

sin/?=sin(a—(a—0))=sinacos(ct—S)-cosasin(a—/?)=平x等—1x半=—票，

???0<"苧，.??范邛>0,??.克邛=一票不合題意，舍去;

當sin(a—￡)=—半，同理可求得sin0=蜜，符合題意.

綜上所述：5也￡=需.

故選：A.

【點睛】易錯點睛：本題中求解cosa時，易忽略sina的值所確定的a的更小的范圍，從而誤

認為cosa的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.

【變式3-2】3.(2022秋?山東日照?高三校考階段練習)已知a,￡6(0爪)，tan(a+￡)=

日,cos(g+Q=苧,則cos(2a-S)=()

5V3B一昱Q5V3口立

A.~9~'V'~9~"~

【答案】D

【分析】根據待求式的結構，2a—0=2(a+勺—(0+》—融解即可.

【詳解】解：因為cos(2a—d)=cos[2(a+])—(￡+￡)-m=sin2(a+勺一(￡+磯

=sin2(a+y)cos(/?+^)-cos2(a+j)sin(/34-1).

Sin[/a,-2sin，a+當cc“a+當-2sm(a+￡)c°s(“+歸____2ta;(呷_

sm[2(a+初一2sm(a+3)cos(a+3)-sin2(a+H)+cos2(a+H)-tan2(a+n)+1~--

22l-tan2(a+^)

/2卜+班=cos2(a+巳)一sin2(a+今cos(a+^)—sin(a+^)1

cos2(a+^)+sin2(a+^)tan2(a+^)+13Z

3步半，（S+我（嗚），

所以sin1+/=空,

故cos(2a-0)=g

故選：D.

題型4分式型湊角求值

【例題4】（2021.湖北黃岡.黃岡中學校考一模）求值：

A.—2—V3B.y/3—2C.2—D.2+V3

【答案】B

【解析】利用三角函數誘導公式將cos65。、sin65。轉化為sin25。、cos25。，利用兩角和與差

的正弦、余弦公式進一步化簡分式，最后利用兩角差的正切公式可求得-tanl5。.

sinl00cosl5°—sin25°sinl00cosl50—sinl00cosl50—cosl00sinl5°

【詳解】原式=

sinl00sinl5°4-cos25osinl00sinl50+cosl00cosl50-sinl00sinl5°

—cosl00sinl5°-tanl5°=tan450-tan300;=V3—2.

cosl00cosl5°14-tan45°-tan30

故選：B

【點睛】本題考查三角函數誘導公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，屬于基礎題.

tan27.5°+l

【變式4-111.（2023?吉林長春?東北師大附中校考模擬預測）求值

tan27.5°-8sin27.5°+l

【答案】竽//

【分析】先用同角三角函數基本關系切化弦，同角正余弦平方和化為1,再利用倍角公式,

化為可以求值的角的三角函數.

tan27.5°+lsin27.5°+cos27.5°

【詳解】tan27.5°-8sin27.5o+lsin27.5°-8sin27.50cos27.5°+cos27.50

~l-2sin215°-cos30°-

故答案為：竽.

【變式4-1】2.(2022?全國?高三專題練習)計算求值:

cosl00-2V3cos(-100°)

⑴計算2?的值;

Vl-sinl0°

(2)已知a、￡均為銳角，sina=義，cos(a+￡)=普，求sin/7的直

【答案】⑴2四

⑵甯

【分析】(1)利用誘導公式、輔助角公式、二倍角的正弦公式化簡可得結果;

(2)利用同角三角函數的基本關系可求得cosa、sin(a+°)的值，再利用兩角差的正弦公

式可求得si叩的值.

1'主解1/1、紀?2cosl0°-21os(-100°)_2cosl0°-2V^cosl00°_2cos10°-2V^cos(90°+10。)

L許用牛」()解.Vl-sinlO°-Vl-sinlO°-Vl-sinl00

(1oV3,\

_2cosl0°+2V3sinlO°_4\2cos10+^-sin10)_4cos(60°-10°)

V1—sinlO°V1—2sin5°cos5°cos5°—sin5°

4cos50°4cos50°「

2

=V2(cos45°cos5°=—sin45°cos5°)TV2c-o-s-5-0-°--=2A/2.,

(2)解：,??&￡都為銳角,則0＜戊+￡＜兀,

sin(a+0)=,1-cos2(a+°)=Jl一(4/=coscr=Jl—(1)=竽，

sin/?=sin[(?+￡)—a]=sin(a+0)cosa-sinacos(a+￡)=器入竿一?*誓=

【變式4-1】3.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三黑龍江實驗中學校考階段練習)化簡求值：

(〔、sin200-sin400

(^cos200-cos40°

C)cos400+sin50°g+y?tan100)

sin70°V1+cos40°

【答案】⑴-b

(2)72

【分析】（1）將20。,40。看作是30。,10。的和差，再利用正余弦的和差公式化簡分子分母，從

而求得結果；

(2)先利用三角函數的商數關系、輔助角公式、倍角公式、誘導公式化簡sin50。

(1+V3tan10°)-^sin70°7l+cos40°，再代入化簡，即可求得結果?

【詳解】⑴因為sin20°-sin40°=sin(30°-10°)-sin(30°+10°)=sin30℃os10°-cos30°sin10

°-(sin30°cos10°+cos30°sin10°)=-2cos300sin100=-V3sin10°,

COS20°-COS40°=COS(3O°-1o°)-cos(3o°+lo°)=cos30℃os10°+sin30°sin100-

(cos30°cos10°-sin30°sin10°)=2sin30°sin10°=sin10°,

.匚|”sin20°-sin40°_-Vgsin100一0

所以cos200-cos40°—sin10°-V3-

(2)因為sin50。。+V3tan10°)=sin500(1+g*)=sin50。x祥mo。

二Gin50cx2sin(100+30°)=2sin50°sin40°二2sin50°cos50°二sin100°二sin(900+l0。)=cos10。二1

cos10°cos10°cos10°cos10°cos10°cos10°'

sin7007i+cos40o=sin7007l+2cos220°-1=sin(90°-20°)xV1cos20°=cos20°x應

COS20°=V2COS220°,

砧嚴40°+sin50°g+V1tan10°)_cos40°+l._2cos220°-1+1_§

所以sin70°Vl+cos40°-V2cos220°-V2cos220°

【變式4-1】4.(2023?全國?高三專題練習)化簡：

)_____1+sina_____+______l_sina_____/如)

(Vl+cosa—V1—cosaVl+cosa+V1—cosa(五仇2)'

化嚴(*)tanf(l+3a)(0＜。＜

Vl—cosa

【答案】(1)—&COS^

(2)—2V2cos^

【分析】(1)先求出與的范圍，再利用二倍角公式和同角三角函數間的關系化簡計算即可，

(2)利用半角公式，誘導公式和二倍角公式化簡即可.

【詳解】(D因為TT＜a〈萼，所以用＜*乎,

a,7aa,oa

sin2^+2sin-COS--FCOSZ-sin2^—2sin5COS--l-cosz-

22222222

所以原式=

2cos2>

aa\2aa\2

sin]+cos-2Jsin2-cos2；

—V2cos寫—V2sin&+—V2cos與+V2sin多

2

V2/aa\y/2faa\

=—73口5+cosJ+萬-(sinE-cos'J

—V2cos^.

.a<■,.aa

(2)因為tan]=_Zsin/os]_sina

2cos2?l+cosa1

所以(1+cosa)tan^=sina.

2

又因為cos—a)=—sina,且1—cosa=2sin1z

一sina-sina-2sina2V2sin|cof

所以原式=卜嗎=可前=-S

sinlsinfl

因為0<a<7T,所以0<5<5所以sinf>0.

所以原式=-2V2cos^.

題型5正切恒等變形

-*一劃重點

兩角和的正切公式的常見四種變形:

T(a+@：

①tana+tan￡=tan(a+￡)(1-tanotan￡);

②tana+tan￡+tanatan尸tan(a+?=tan(a+?;

tana+tanB

④tanatanp-1-------------------.

tanDa+加

_tana+tanB

④1-tanatan0=-----------------;

tanDa+/?□

Tg-后：

①tanaltan￡=tan(a1?(1+tanotan肉;

②tan6rtan￡-tancrtan尸tan(?后二tan(2￡);

_tana—tanp

@tana-tan/?=tan(a_p)-1

_tana—tanp

@1+tanatarip=tan(a_p)；

?類型1正切化簡求值

【例題5-1](2023秋?湖北武漢?高三武漢市第四十九中學校考階段練習)若ae

(一1,—￡),且cos2(z+cos(乎+2a)=-g則tan(a—￡)=

【答案】2

【分析】由已知可得cos2a+sin2a=-：，分母"1"化平方關系、弦化切得tan2a+4tana

+3=0,結合范圍求得tana=-3,最后應用差角正切公式求值.

【詳解】由cos2a+cos(—+2a)=COS2a+sin2a=—i貝__1

kp-rnj-rJmI2/2Z人」cos2a+sin2a1+tan2a2,

所以tan2a+4tana+3=(tana+3)(tana+1)=0,貝(Jtana=—3或tana=—1,

又ae故tanae(—8,-1),貝！]tana=—3,

由12乂"勺=詈院=[=2.

故答案為：2

【變式5-1】1.(多選)(2023?河南信陽信陽高中校考模擬預測)已知96(0,2汨，。為

坐標原點，8終邊上有一點M(sin普—cos柒sin手+cosR.則()

A.。=專B.\0M\=V2

C.tan。<1D.cosd>g

【答案】AB

【分析】對于A,利用任意角的三角函數的定義結合已知條件分析判斷，對于B,利用距離

公式求解判斷，對于CD,利用三角函數的單調性分析判斷即可

?3n.3n3-n.^

sin百+cosm_tan-^-+i一普tan、=-tanT=tan。故"當+fcn

【詳解】tan0=~3n5TT—~5TT7

sin-^--cos-^-tan^--1

84

(fcez),

又si喏一cos?>0,si得+cos空>0,故。是第一象限角，

又0e(0,2n),故8=普，故A正確；

對于B,|0陽2=Qin號一cos部+(sin手+cos書=2,故|0M|=也故B正確；

對于C,因為y=tanx在(0,乎上單調遞增，且尊>以所以tan。=ta糕>tan?=1,故C

錯誤；

對于D,因為y=cos%在(0,同上單調遞減，空渭，所以cose=cos*<cos"?,故D

錯誤.

故選：AB.

【變式5-1]2.(2023?全國?高三專題練習)當x=出時，函數f(x)=sin久-2cosx取得最

大值，則tan(xo+苧)=.

【答案】-3

【分析】利用輔助角公式得出f(x)=V^sin(x—0),分析可得出&=8+]+2/OT(keZ),

利用誘導公式及兩角和的正切公式可求解.

【詳解】利用輔助角公式/'(%)=sinx-2cosx=V5sin(x-哈,其中tan?=2

當x=x()時，函數f(x)取得最大值，則%0-鄉=]+2/OT(keZ),

所以久o=0+]+2kn(keZ),

所以tan(xo+9=tan(9+5+2/OT+*)=tan(0+*+?=^^^^=::

]

—-tan(9+學

又tan(W+苧)=?S=E*,

所以tan(%o+*)=-3

故答案為：—3.

【變式5-1]3.(2023春?江西贛州?高三校聯考階段練習)已知角a,0e(0,n),且sin(a+0)

+2cos(a-°)=O,sinasin°+2cosacos°=0,則tan(a+￡)=()

A.1B.|C.|D.-2

【答案】C

【分析】根據正余弦的和差角公式化簡，由Sin(a+S)+2COS(a-0)=。可得黑黑=-2,

再根據sinasin/?+2cosacos^=。可得tanatan/?=-2,進而求解即可.

【詳解】由sin(a+/?)+2C0S(a—6)=0可得sinacos/?+cosasin/?+2coscrcos/?+2sinasin/?

Hnsin?cos/?+cosasin^i,tana+tan^?

,民cosacosQ+sinasin/?—,司^l+tanatan0-2.

又sincrsirijg+2cosacos^=0,故sinasin/?=-2cosacospt即tanatan^=—2,代入

2可得tana+tan”2.

tana+tan^

故tan(a+s)=2

1—tanatarijS3

故選：c

【變式5-1]4.(2023?四川成都?校聯考二模)在銳角△4BC中，角A,B,C的對邊分別

為a,b,c,tan力sin4(tanBtanC-1)=2tanBtanC,sinB>sinC,且bsinB+csinC=masin

A,則實數機的取值范圍為.

【答案】(1,煙

【分析】由兩角和的正切公式化簡可得sin2/l=2sinBsinC,再根據三角形形狀以及正弦、余

弦定理可限定出ge(1,1+V2),將參數巾表示成巾=+。再利用函數單調性即可求得其

范圍.

【詳解】在△ABC中，由4+8+C=TT可得tan4=-tan(B+C)=:嚷:;1,

又因為tanZsinA(tan8tanC_1)=2tanBtanC,

所以sin力(tanB+tanC)=2tanStanC,即需黑=高

EII211cosBcosCsinCcosB+cosCsinBsin(C+B)sin/1

111II-----=-----------------=-----------------=---------------------------=-------------=------------

八」sinZtanBtanCsinBsinCsinBsinCsin^sinCsinBsinC

所以可得si/A=2sinBsinC,由正弦定理得小=2bc.

又sinB>sinC可知8>C.又△48C為銳角三角形，所以cosB>0,

由余弦定理得cosB=之鏟>0.所以我衿>0,

即2兒+c2-b2>0,所以GY<1+2（1）,

解得1-V2<g<1+V2.

又￡>1,所以+期.

22

又因為bsinB+csinC=masinAz所以匕2+c=ma,

令*x,貝卜€（1,1+煙，則6=X%+J.

因為f（X）在（1,1+或）上單調遞增，又-1）=1,/（1+V2）=V2,

所以實數小的取值范圍為（1,魚）,

故答案為：（1,近）

【點睛】方法點睛：求解解三角形綜合問題時一般會綜合考慮三角恒等變換、正弦定理、余

弦定理等公式的靈活運用,再結合基本不等式或者通過構造函數利用導數和函數的單調性等

求出參數取值范圍.

【變式5-1】5.（2023?全國?高三專題練習）在銳角△4BC中，三內角4B,C的對邊分別為a,

b,c,且a=2bsinC,則tan4+tanB+tanC的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】首先由正弦定理和三角恒等變形得到tanB+tanC=2tanBtanC,再根據正切公式

得至（JtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=:?tanBtanC,最后再換元，利用基本不

等式求最小值.

【詳解】由正弦定理可知2RsinZ=2x2RxsinBsinC=sinZ=2sinBsin&

又因為sin4=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sinBcosC+cosBsinC=2sin8sinC,

因為是銳角三角形，所以cosBcosC>0z

上式兩邊同時除以cosBcosC,可得tanB+tanC=2tan8tanC,①

tanB+tanC

又因為

tan/=—tan(B+C)tanBtanC—1>0z

???tanB+tanC=tan?l(tanFtanC—1),

???tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=--~~——-tanBtanC,

令tanBtanC-1=m>0z由①可知tanB+tanC=2(m+1)

所有tanZ+tanB+tanC=2方］?(m+1)=

=4+2m+—>4+2/2mx—=8,

當且僅當2m=5時，即zn=l時，取等號，此時tanBtanC=2,

所以tan力+tanB+tanC的最小值是8.

故選：D

【點睛】本題考查解三角形，三角恒等變換，基本不等式求最值，重點考查轉化，變形，計

算能力，邏輯推理能力，屬于中檔題型.

【變式5-1】6.（2023春?上海閔行?高三上海市七寶中學校考階段練習）已知△ABC的三個

內角分別為A,B,C,則下列判斷正確的是（）

命題p:對任何銳角A,都存在△ABC,使得cos4+cosB=cosC;

命題q：對任何銳角A,都存在△ABC,使得tanA+tanB=tanC.

A.p是真命題，q是真命題B.p是真命題，q是假命題

C.p是假命題，q是真命題D.p是假命題，q是假命題

【答案】A

【分析】利用和差角的余弦公式變形cos力+cosB=cosC推理判斷p,利用和角的正切結合

已知推理判斷q作答.

【詳解】命題p,cosA+cosB=cosC,

在△48c中，cosC=cos(-^-++cos(-^---y)=2cos-^-cos-^-

;;2

=2cos(5—7)cos^7^=2sin^cos^T-/貝！Jl—2sin^-=2sin品

令sin?=zn,cos-^=n,則有27n2+2mn—1=0,即幾=與普，

于是0<T4l,又血>0,因此與?，而正弦函數y=Sin'在(03上遞增，

乙1TlZZJ

則arcsirr^i<|<-j,即Zarcsin^^<C<^,亦即2arcsin^iWTT—(4+B)<5，

所以對任何銳角A,都存在△力BC,使得cos4+cosB=cosC,p是真命題；

命題q,tan力+tanS=tanC,

在斜△ABC中，tanA+tanB=tan(4+B)(l—tanAtanB)=—tanC(l—tanXtanF),

于是tan4+tanB+tanC=tanAtanBtanC,將tan力+tanB=tanC代入得：2tanC=tan/ltanB

tanC,即有tanAtanB=2,則對任何銳角A,都存在△ABC,q是真命題，

所以選項A正確，BCD錯誤.

故選：A

【點睛】思路點睛：三角函數是以角為自變量的函數，因此解三角函數題，首先從角進行分

析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導公式、同角三角函數基

本關系、兩角和與差的公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當的公式是解決三角問題的

關鍵，明確角的范圍，對開方時正負取舍是解題正確的保證.

?類型2與其他知識結合

【例題5-2](2022?全國?高三專題練習)已知等差數列｛冊｝中國=d=1,bn=tana,廣tan

斯+iOeN*),貝u數歹D｛%｝的前n項和Sn=

【答案】喑歲iT(MN*)

【解析】利用兩角差的正切公式可得到tana?tan￡