重難點專題11導數解答題之零點問題八大題型匯總

題型1一個零點問題..............................................................1

題型2兩個零點問題.............................................................10

題型3三個零點問題.............................................................17

題型4判斷零點個數.............................................................25

題型5最值函數的零點問題.......................................................36

題型6同構法解零點問題.........................................................46

題型7零點差問題...............................................................54

題型8割線法切線法與零點.......................................................66

題型1一個零點問題

【例題1](2024秋?重慶?高三校聯考階段練習)已知函數f(x)=aln%-5(aeR).

⑴討論/(%)的單調性;

(2)若函數g(x)=f(x)+日在區間(1,+8)上恰有一個零點，求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)(1〈—e

【分析】(1)討論參數a,利用導數研究函數單調性；

xz

(2)問題化為axlnx-e+e=。在(1,+8)上僅有一個解,構造@(x)=axlnx-e+e,

利用導數研究其在(1,+8)的單調性，結合零點存在性判斷區間零點個數，即可求參數范圍.

【詳解】(1)由廣(%)=(+善=用三S.XG(0,+00),

當a20,則廣(盼>。,此時/⑶在(。,+8)上遞增；

當a<0,貝!|0<x<—寸，/'(X)>0,即f(x)在(0,—$上遞增；

x>-釉尸(x)<0,即/x)在(一:+8)上遞減;

綜上，a>0,/(%)在(0,+8)上遞增；

a<0,f。)在(0,—$上遞增,在(一2+8)上遞減.

(2)由題設9(久)=a\nx-^+^=。在(1,+8)上僅有一個解，

x

所以axlnx-e+e=。在(1,+8)上僅有一個解，

xx

令？(%)=ax\nx—e+ez貝!1。(%)=a(lnx+1)+e,

當aNO時，。(%)>0恒成立，此時9(%)遞增，且"(%)>9(1)=0,

所以0(%)=0在(L+8)上無解；

當a<0時，令6(%)=。(%)=alnx+e*+Q,貝!J巾'(%)="二,

令九(%)=a+%eX/則"(%)=(%+l)ex>0,即%(%)遞增，則%(%)>九⑴=a+e,

i.當一ewavo時,h(x)>0,即巾<%)>0恒成立,即加(%)=。(%)遞增，

所以。(%)>e⑴=e+a>0,故8(%)遞增，此時◎(%)=。在(1,+8)上無解;

ii.當a<—e時，h(l)=a+e<0,%趨向正無窮時h(%)趨向正無窮，貝歸％oe(L+8)使九(0

)=0,

(1,g)上MX)v0,即a(%)vo,6(%)遞減；

(g,+oo)±h(x)>0,即力口)>0,巾(%)遞增；

由巾(1)=e+a<0z%趨向正無窮時6(%)趨向正無窮，

所以巾(%)在(L%o)恒負，在(刈+8)上存在一個零點%1,

故(L%i)上6(%)=。(%)v0,?(%)遞減;

01，+8)上巾(%)=(p<x)>0,0(%)遞增；

由于0(1)=0,%趨向正無窮時0(%)趨向正無窮，

所以0(%)在上恒負，(%1，+8)上僅有一個零點，此時滿足題設；

綜上，a<-e.

【點睛】關鍵點點睛：第二問，問題轉化為axlnx—e+e*=O在(1,+8)上僅有一個解，構

造中間函數并應用導數研究零點.

【變式1-U1.(2023?河北保定?河北省唐縣第一中學校考二模)已知函數f(%)=(久+2)ex

+%2+ax,其中常數aCR,e是自然對數的底數.

(1)若。=—3,求f(x)的最小值；

(2)若函數g(x)=/(%)-2cosx恰有一個零點，求a的值.

【答案】⑴2

(2)a=-3

【分析】(1)根據題意,求導得r(x),令八(%)=((尤)，然后分XW—3與x>—3討論，即可

得到結果；

(2)根據題意，由條件可得0是函數以久)的一個零點，構造k(%)=g'(x),分3+a<0,

3+a>0以及3+a=0討論，再結合(1)中的結論，即可得到結果.

【詳解】⑴當a=-3時，f(x)=(x+2)ex+x2-3x,則「(x)=(x+3)ex+2x-3,7'(0)

=0,

記h(x)=f'(x),則“(%)=(x+4)ex+2,

①當久<—3時，(x+3)ex<0,2x-3<-9,可得r(x)<0,可知函婁好(x)在區間(一s,—3]

上單調遞減；

②當x>—3時，(%+4)ex>0,h'(x)>0,可知函數版x)單調遞增，又由"0)=0,可知當

-3<%<0時，h(x)<0;

當x>0時，%(%)>0,可知函數f(x)在區間(-3,0)上單調遞減，在區間(0,+8)上單調遞增，

由①②知函數f(x)的減區間為(一8,0),增區間為(0,+8),故有f(x)min=/(0)=2；

(2)因為函數g(x)=/(x)-2cosx恰有一個零點,

且g(0)=0,0是函數g(x)的一個零點,又g'(x)=(%+3)ex+2x+a+2sinx,

不妨設卜(久)=g'(x),函數定義域為R,則k'O)=(x+4)ex+2+2cosx,

當x>—4時，%+4>0,又e">0,2+2cosx>0,

所以。+4)e%+2+2cosx>0在(一4,+8)恒成立，

則函數僅久)在(-4,+8)上單調遞增，即函數夕(%)在(-4,+8)上單調遞增，

又g'(0)=3+a,

當3+a<0時，可得歐0)<0,且XT+8時,g'(x)>0,

則存在ae(0,+8),使得g，(a)=0,此時在(0,a)上，有g'(a)<0,

在(a,+8)上，g<a)>0,故。(久)在(0,a)上為減函數，在(a,+8)上為增函數，

故當06(0,a)時,g(x)<g(0)=0,而XT+8時,g(x)7+8,

故g(x)在(0,+8)上存在一個零點，

則此時函數9。)至少存在兩個零點，又因為0是函數儀久)的唯一零點，故不符合題意;

當3+a>。時，可得/(0)>0,又7(—4)=—e-4—8—a—2sin4<0,

所以在區間(一4,0)上存在一點。，使得夕(S)=0,

故當在(6,0)上，有以久)>0,在(一4⑼上，有夕(久)<0,

故9(久)在(0,0)上為增函數，在(-4,0)上為減函數，

故當久6(6,0)時，9(%)<0,而當XT—8時,g(x)T+8,

故此時函數g(久)在(-8,0)上至少存在一個零點，

又因為0是函數g(x)的唯一零點，故不符合題意；

當3+a=0時，即a=-3時，由(1)知，當久=0時，函數g(x)取得最小值，

最小值。(0)=/(0)-2cos0=0,

當x牛。時，因為。(久)>2-2cosx>0,符合題意.

綜上，滿足條件的a值為-3.

【點睛】思路點睛：知道函數零點的個數，要求參數的取值范圍，需結合導數的符號和函數

的單調性來處理，分類討論時注意利用已有的確定零點來確定一段范圍上的函數值的符號

【變式1-1】2.(2023秋?江西?高三統考開學考試)已知函數/(%)=久(a+lnW—a久2

(aGR).

(1)當a=。時，求曲線y=f(x)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)若久久)在(1,+8)上僅一個零點，求a的取值范圍.

【答案】⑴X7-1=0

⑵(0,1).

【分析】(1)由a=0得到/(%)=xlnx,利用導數的幾何意義求解；

(2)將問題轉化為a+Inx-ax=。在(1,+8)上僅有一個實數解，設g(x)=Inx-ax+a

(%>1),求導'g(x)=5-。=三^,分aWO,a21,0<a<1討論求解.

【詳解】⑴解：當a=0時,/(x)=xlnx,所以f⑴=0,即切點為(1,0),

又「⑶=lnx+1,則/'(1)=Ini+1=1,

故曲線y=f(x)在(1/(1))處的切線方程為y-0=即％—y—1=0.

(2)由題意知，方程x(a+Inx)-ax2=0在(1,+oo)上僅有jt?實數解，

則方程a+Inx-ax=。在(1,+8)上僅有一^實數解.

設g(x)=Inx-ax+a(x>1),則g'(x)=[-a=

當aWO時，g'(%)>0,所以9(%)在(l,+8)上單調遞增，

又g(l)=Ini-a+a=0,所以x>1時g(x)>0,則g(x)在(1,+8)上沒有零點；

當a>1時，x>1時,ax>1,貝蚓(無)<0,所以g(x)在(1,+8)上單調遞減，

又9(1)=0,所以g(x)<0,則g。在(1,+oo)上沒有零點;

當0<a<l時，i>1,當xe(l，0時,g'(x)>0,當xeg,+8)時，g'(x)<0,

所以g(x)在(1常)上單調遞增，在&+co)上單調遞減，

則gg)>g(i)=o,所以g(x)在(1,/)上無零點.

設八(X)=/—X(x>0),則〃(x)=/-1>0,所以僅x)>八(0)=1,

11

則e*>x,所以加>5.

設3(%)=e"—1-/(%>0),貝W'(x)=e*—2%,

令巾(x)=ex—2x(%>0),則m'(x)=ex-2,

當xe(o,ln2),m'(x)<0,

所以爪(x)在(0,ln2)上單調遞減，在(ln2,+8)上單調遞增，

則m(x)>m(]n2)-2—21n2=In號>0,即陽x)>0,

所以火久)在(0,+8)上單調遞增，

111-1

又0(0)=0,所以9(%)>0,則e*-l>x2,所以則1一加<-忘,

又e、eg,+8),則g(e：)=a-ae展+[=41-a)+5<-0,

又g(x)在+8)上單調遞減，且99)>0,

所以g(x)在+8)上有且僅有一個零點.

綜上可知，a的取值范圍為(0,1).

【點睛】方法點睛：f(%)在(1,+8)上僅一個零點，即方程a+In%—ax=。在(1,+8)上僅

有一^實數解，構造函數9(%)=Inx-ax+a(x>1),求導=}-a='竺,分aW0,a

>10<a<l,討論函數的圖象在(1,+8)上與x軸有唯一的交點而得解.

【變式1-U3.(2023春?江西贛州?高三校聯考階段練習)已知函婁好⑶=/—2alnx-a2

b.

(1)當。=1時，若f(x)的最小值為2,求實數6的值;

(2)若存在ae[&e3],使得函婁好(x)恰有一個零點，求實數b的取值范圍.

【答案】(1)b=—1

⑵[-別

【分析】(1)利用導數可求得f(x)的單調性，由此確定最值點，利用最小值可構造方程求得

匕的值;

⑵利用導數可求得(⑶的單調性，結合f(x)僅有一個零點可構造關于a力的方程，采用分

離變量的方式，將問題轉化為6=T吧有解；構造函數g(a)=等(e〈aWe3),利用導數

可求得9(a)的單調性和最值，由此可確定9(a)的取值范圍，從而得到結果.

【詳解】⑴當a=1時，f(x)=/-21nx-b,

??"(x)的定義域為(0,+8),尸。)=2%—：=絲科=2(，+?(E,

.?.當久6(0,1)時，f(x)<0;當xe(l,+8)時，f(x)>0;

???f(x)在(0,1)上單調遞減，在(L+8)上單調遞增，

'''fCOmin=/(I)=l-b=2,解得：b=-1.

(2)當ae[e,e3]時，/(x)=2x—§=數三=應用?,

???當%6(0,VH)時,<0;當％e(Va,+8)時,廣(%)>0;

???/(%)在(0,而)上單調遞減，在(、伉+8)上單調遞增；

???/(%)min=/(VH)=a—2alnVa—a2h—a—alna—a2b；

若/(%)恰有一個零點，貝UfG)min=0,

Wa)=^(e<a<e3)，則g'(a)==崇,

.?.當ae[e,e2)時，g'(a)<0;當aedd]時,g'(a)>0;

???g(a)在[e,e2)上單調遞減，在g2,e3]上單調遞增,

g(a)mm=5(e2)==一9(a)max=maxh(e)，5(e3)}(

又g(e)=^4^=o,93)=^^-=一盤，，g(Z)max=o,

???g(x)e[-^,o],■?.實數b的取值范圍為[

【點睛】思路點睛：本題考查根據函數最值求解參數值、利用導數解決函數零點個數的問題;

根據零點個數求解參數范圍的基本思路是通過導數確定函數的單調性，進而根據零點個數確

定最值與零的大小關系，由此構造方程或不等式來求解.

【變式1-1]4.(2023?河南開封統考模擬預測)已知函數/⑶=e，-收.

(1)若函數f(久)的圖象與直線y=%-1相切，求實數。的值；

(2)若函數g(x)=/(%)-x+1有且只有一個零點，求實數a的取值范圍.

【答案】⑴中；

(2)(。，9

【分析】⑴設切點坐標，根據導數的幾何意義求出切線的斜率，進而列出關于a的方程組,

解之即可；

(2)由題意可得e久-ax2-x+l=0只有一個根，易知xH0,可轉化為y=a與八(久)=

?1的圖象只有一個交點，根據導數研究函數叔%)的單調性，數形結合即可求解.

【詳解】(1)設直線y=%-1與函數/(x)的圖象相切于點(xo,y°),

因為f'(x)=e"-2ax,

'ex°—2ax0=1①

所以(yo=xo-1@,由②③可得e*°—a就=陽)一1④，易知近70.

Xo

[y0=e-axl?

由①得a=喔\代入④可得e"。一與P?就=Xo-1,

4人04人0

Xo%0

即2e4一xoe+x0=2x0-2,即(2—x0)e=x0-2,解得久o=2.

2

故a/_I_e-l

2x2-4,

(2)令g(x)=f(x)-x+l=0,可得一%+1=o,

由題意可得e'-a/-%+1=o只有一個根.

易知％=。不是方程/一a/-%+i=0的根，所以工00,

所以由e'—a/—%+1=0,可得a二?J..

設"(%)=ex2+1/則y=。與八(%)=°的圖象只有一個交點.

h=(eJ)/—2%(e—+D=3*+1)(%-2)

IJX4X3'

當xe(-8,0)時，h,(x)>0,函數h(x)單調遞增；

當xe(0,2)時,h\x)<0,函數h(x)單調遞減;

當xe(2,+8州寸，h1(x)>0,函數h(x)單調遞增.

設t(x)=e'-x+l,則=

當xe(-8,o)時，t，(%)<0,函數t(x)單調遞減；

當Xe(0,+00)時，“盼>0,函數t(x)單調遞增.

所以t(x)>t(0)=2.

所以無(切=貯薩>。-

又%(2)=,《+1=gf%~0時，h(x)-*+oo,x—+8時，h(x)-?+oo,

畫出函數世久)的圖象如圖所示：

由圖可知，若y=a與叔”)=-1的圖象只有一個交點,

則。<a<

所以實數a的取值范圍是(0,嚀。

題型2兩個零點問題

【例題2](2023秋?全國?高三校聯考階段練習)已知函數f(x)=21nx+ax(aER).

(1)若/(久)<。在(0,+8)上恒成立，求a的取值范圍：

(2)設g(x)=爐一/'(%),%i,久2為函數。(久)的兩個零點，證明：xrx2<1.

【答案】(1)(_8，T

⑵證明見解析

【分析】(1)參變分離，將問題轉化為函數最值問題，利用導數求解可得；

(2)將方程g(久)=。化為/一等一a=0,構造函數版x)=N—等—?利用導數討論

其單調性，可知0<小<1<犯，構造差函數假小)一從2)可證.

【詳解】(1)若f(x)W0在(0,+8)上恒成立，即aW—卓，

令叫x)=—誓，所以?)=—學竺=卡，

所以當0v%ve時,〃，(%)<0,當％,e時,ur(x)>0,

所以〃(%)在(0,e)上單調遞減，在9+8)上單調遞增，

2

所以a(%)min=U(e)

所以a<-1,即a的取值范圍是(—8,一|].

(2)令g(x)=0,即2一等一a=o,

令3)=/_誓_%則〃⑶=2=*曰，

令r(x)=/+Inx—1,所以/(%)=3/+§>0,所以r(x)在(0,+8)上單調遞增，

又r(l)=0,所以當0<x<1時，r(x)<0,所以“(x)<0,

當x>1時，r(x)>0,所以"(x)>0,

所以假功在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增.

1

不妨設X1<%2，貝!1。<%1<1<%2/0<—<1,

因為%(%1)=%(%2)=°，

設函數W(X)=x-3-21nx(%>1),則"(%)=1+專一|=空￥>0在(1,+8)上恒成立，

所以人久)在(1,+8)上單調遞增，

所以9(%2)=x2—~~21nx>0(1)=0,

人22

所以九(/)Tig)>0,即31)>從》

又函數世幻="2—等一a在(0,1)上單調遞減，

所以0<小<看<1,所以久1%2<1.

【點睛】難點點睛：本題屬于極值點偏移問題，本題難點主要在于構造差函數"犯)-八

(2)，然后利用導數討論其單調性，利用單調性可證.

【變式2-1]1.(2023秋?湖南長沙?高三長郡中學校聯考階段練習)證明下面兩題：

⑴證明:當％>1時，ex>x2；

(2)當0<a<§時，證明函數/(久)=方+a(|nx—約有2個不同零點.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)首先設函數g(x)=e"-"，利用導數判斷函數的單調性，以及函數的最小值,

即可證明；(2)首先求函數的導數((刈=(1—x)(5+3,并且判斷函數的單調性和最值,

并結合零點存在性定理，即可證明零點個數.

【詳解】(1)令。0)=/-產，其中久>1,則歐x)=e*—2x,

令3(%)=ex-2x,x>1,貝M(x)=ex-2>0,

1

所以9(%)在(1,+8)上單調遞增，所以g(%)>e-2>0,

1x2

所以9(%)在(1,+8)上單調遞增，g(x)>e-1>0,故當x>1時,e>x.

(2)函數/'(x)的定義域為(0,+8),廣⑺=皆+1)=。=(1-X)

因為a>0,?+￡>0，令尸(%)>0,得。<久<1,令/(%)<0,得%>1,

所以f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

所以/(x)有最大值/'(1)=土一a.

當。<a<：時，/(I)>0,/(a)=￡+a(|na—a),

令h(X)=Inx—無+1,則〃(x)=：-i=9，則叔久)在(0,1)上單調遞增，

在(1,+8)上單調遞減，所以僅x)max="(1)=0,所以3)=In久-x+1W0,

因此當0<a時，Ina—a<—1,/(砌=￡+a(|na—a)</—a={2―1).

因為a>0,所以e°>1,于是f(a)<<0.

又f(x)在(0,1)上單調遞增，/(I)>0,且0<a<5<l,

所以/(久)在(0,1)上有唯一零點.

/f-)=*+a(|n工—工)=&-alna—1,

'a，pa'aa，e。

由(1)因為所以即

所—號—alna—1vci—alna—1.

由1nlz—%+1<0,彳導In,一~+1V0,即一Ina—~+1<0,彳導a—alna—1<0,

于是fG)<

又f(l)>0,i>1,/(久)在(1,+8)上單調遞減，

所以f(久)在(1,+8)上有唯一零點.

故0<a<:時，/(久)有兩個零點

【點睛】思路點睛：本題考查利用導數證明不等式，以及零點問題，第一問需求二次導數,

結合函數的單調性和最值，即可證明；第二問的難點是利用零點存在性定理證明/(a)<0,

需構造函數.

【變式2-1]2.(2022秋?廣東東莞?高三校考階段練習)已知函婁好(久)=aex-ln(%+1)+

Ina—1.

(1)若a=1,求函數f(x)的單調區間及極值；

(2)若函數〃久)有且僅有兩個零點，求實數a的取值范圍.

【答案】(1)單調遞減區是為(—1,0),單調遞增區間為(0,+8),極小值f(0)=0,無極大

值

(2)0<a<1,

【分析】(1)運用導數研究函數的單調性及極值.

(2)=Onae^+Ina=ln(x+1)+l=>ae"+In(ae')=ln(x+1)+(x+1),構造函數

W)=t+Int研究其單調性可得ae'=%+l》a=詈在(-1,+8)上有兩個交點，再運用導

數研究s。)=詈(久〉-1)的單調性進而可得圖象即可求得結果.

【詳解】⑴當a=1時，/(%)=/-ln(x+1)-1,定義域為(-L+8),

則/(%)=e'全，

顯然(0)在(—1,+8)上單調遞增，且尸(0)=o,

所以當-1<X<。時，f(%)<o,單調遞減；當久>。時，f(x)>0,f(x)單調遞增.

所以f(幻的單調遞減區為(—L0),單調遞增區間為(0,+8),

〃久)在％=0處取得極小值”0)=0,無極大值.

(2)因為函數/'(x)有兩個零點，即/'(X)=。有兩個解，即ae"+Ina=In(%+1)+1有兩個

解，

所以ae"+x+Ina=In(%+1)+x+1有兩個解，即ae"+ln(aex)=ln(x+1)+(x+1)有兩

個解,

設h(t)=t+lnt,見|〃(t)=l+^>0,所以八(t)在(0,+8)上單調遞增，

vJ-1

x

ae=x+1(x>-1)有兩個解，即。=百(x>-1)有兩個解.

v_L-1X

令s(x)=—7-(X>-1),則u。)=一下，

當xe(—1,0)時,s'(x)>0,s(x)單調遞增;當久G(0,+8)時,s'O)<0,s(x)單調遞減.

又因為s(-1)=0,s(0)=1,當X趨近于正無窮時，s(x)趨近于零，

所以s(x)圖象如圖所示，

所以0<a<1.

【點睛】同構法的方法點睛：

①乘積型，如ae°wblnb可以同構成ae"(歷62叫進而構造函數/'(%)=%/；

②比商型，如手<"可以同構成基<白，進而構造函數-X)=2；

③和差型，如ea±aWb±ln6,同構后可以構造函數了(%)=e'±討或f(尤)=%±Inx.

【變式2-1]3.(2023秋?貴州貴陽?高三貴陽一中校考開學考試)已知函數f⑺=In%-ax

Ina,a>1.

⑴若函數f(x)在X=1處的切線的斜率為1-e,求實數a的值(e是自然對數的底數);

(2)若函數/(嗎有且僅有兩個零點，求實數a的取值范圍.

【答案】(1)a=e

(2)(出

【分析】(D利用導數的幾何意義求得a(lna)2=e,兩邊取對數結合換元法得爪+21nzn

=1,構造函數，利用復合函數研究單調性，從而求解即可；

(2)把問題轉化為In%—/Ina=0有且僅有兩個大于1的實數根，構造函數F(x)=%ln%,

利用函數單調性得/=X,即lna=(,構造函數，利用導數研究函數的單調性，從而求解

參數的范圍.

【詳解】⑴因為/'(x)=Inx—a'lna,所以f(久)=§一a-lna)?,

又(⑴=1—a(lna)2=1—0,所以a(lna)2=e,所以ln|a(lna)2]=Ine,

即Ina+21n(lna)=1,令m=Ina,則m+21nm=1,

又因為g(m)=m+21nzn在(0,+8)上單調遞增，且g(l)=I,所以血=I,

所以Ina=1,即a=e.

(2)因為函數/(%)有且僅有兩個零點，

所以In%-/Ina=。有且僅有兩個大于0的實數根，

又=In%,貝!=xlnx,即=xlnxz

令F(x)=x\nx,貝(]F'(%)=Inx+lz

由〃(%)=。得%=由〃(%)>。得%>由〃(%)<。得0<%<；,

所以F。)在(0,3上單調遞減，在(%+8)上單調遞增，

又F(a*)=F(x),ax>1,F(ax)>F(l)=0,所以/=x,貝[Ulna=Inx,

即Ina=等，令Q(x)=等，則Q'Q)=等,

由Q3=。得X=e,由Q<x)>0得。<x<e,由Q，Q)<。得x>e,

所以函數QQ)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，Q(e)=|,

當x無限趨近于0且為正數時，QQ)無限趨向于負無窮大，

當天無限趨向于正無窮大時，Q(x)無限趨向于0,

所以。<Ina/,所以l<a<e；故實數a的取值范圍為(途).

【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基

本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現

了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；

(2)構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題

x

【變式2-1]4,(2023秋?安徽合肥?高三合肥一中校聯考開學考試)已知函婁好(久)=ae-

x(e是自然對數的底數).

⑴討論函數人嗎的單調性；

x

(2)若g(x)=ae(x-1)-Inx+f(久)有兩個零點，求實數a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)0<a<|

【分析】(1)求得，(%),對a進行分類討論，由此求得f(x)的單調區間.

(2)原題意等價于a=年有兩個不同的實數解，構造函數，利用導數判斷函數的單調性和

極值，數形結合即可求解.

x

【詳解】(1)因為f(%)=ae-x,所以廣⑺=ae，-1,

當。〈0時，(。)<0,所以f(x)在R上單調遞減；

當a>0時，令尸(%)>0得x>-Ina;令廣(%)<0得x<—Ina,

所以f0)在(—8,—Ina)上單調遞減，在(-Ina,+8)上單調遞增.

綜上，當aW0時，f(x)在R上單調遞減，無增區間；當a>0時，f(x)在(—8,—Ina)上單

調遞減，在(-Ina,+8)上單調遞增.

xxxx

(2)由題意g(x)=ae(x—1)-Inx+f(x)=axe—Inx—x=axe—ln(xe)(x>0)有兩

個零點，

令t=xex,(x>0),則〃=(1+%)ex>。在(0,+8)上恒成立，所以t=xe久在(0,+8)上單

調遞增，

故t>0,所以g(x)=axe"-In(xeX)有兩個零點等價于r(t)=at-Int有兩個零點，

等價于a=竽有兩個不同的實數解，等價于y=a與h(t)=年有兩個交點，

貝忸9)=要，》(t)>0得0<t<e,h'(t)<O^t>e,

所以h(t)=%(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，又砥)=詈=；攸1)=0,

當t趨向于0且為正時，h(t)趨向于負無窮大，當t趨向于正無窮大時，h(t)趨向于0,如

圖：

由圖可知，要使y=a與儀t)=乎有兩個交點，貝！|0<a<?

所以實數a的取值范圍為0<a<：

題型3三個零點問題

【例題3](2023春?重慶九龍坡?高三重慶市育才中學校考開學考試)已知久久)=2|oga|x|-

ex3(a>0且a豐1).

(1)試討論函數f(x)的單調性；

(2)當a>1時，若f㈤有三個零點句,久2,久3.

①求a的范圍；

②設<x3,求證：3x1+2%2+%3>2e—2.

【答案】(1)答案見解析

2

(2)①1<a<e?；②證明見解析

【分析】(1)去絕對值符號，再分a>1和0<a<1兩種情況討論即可得解;

(2)①a>1,f(x)有三個零點=21og°|M=6爐有三個不同的實根，=Ina=構造

函數9。)=筆，易得函數為奇函數，利用導數求出函數的單調區間，作出函數的大

e人

致圖象，結合函數圖象即可得解；

②由①可得一1<打<0<1<無2<謳，則要證3扉+2xf+x|>2e-2,只需證明：+

比1>2e,結合招nX2=e號na整理即可得證

(21n]3=e嗎Ina

【詳解】⑴注意—刀)=威江嚕晨0,財3=53叱

令10)>0。左軍辿>0,

7v7xlna

當a>1時，x>0時，2—3e%31na>0=0<x<

3elna

%<0時，2-3ex3lna<0=%>3O—>0,此時無解,

v3elna

故當a>1時，/(x)在(—8,0),J

3elna+°°上單點遞減,

在(o,y就)上單調遞增,

當0<a<l時，*>0時，2-3ex3lna<0<^>x<3OZ<0,此時無解,

-J3elna

x<。時，2—3e比3]na>0。0>%>

故當。<a<1時,/(%)在I’就>(0,+8)上單點遞減,

(宸。)上單調遞增，

在I

綜上所述，當a>1時，/⑴在(-8,0),z3elna+°°上單點遞減,

在(OR嘉)上單調遞增;

當0<a<1時，/(x)在I?就上(0,+8)上單點遞減,

(忌，。)上單調遞增;

在I

(2)①a>1,/(x)有三個零點=21oga|x|=e*3有三個不同的實根,

.21n|x|八21nl久|

=1曲=-^廠，令g(久)=總廠

因為9(-%)==-g(x),所以g(x)為奇函數,

當...x>0cr時_L，g(x)=21nwx，g(x)=2-61nx

當0<x<娘時，g'(x)>0,當X>正時，g'(x)<0,

所以g(x)在(0,通)上單調遞增，(遍,+8)單調遞減,

又當X-0時，g(x)T—8,當X—+8時，9(%尸0且g(x)>0,g(遍)=捻

因為/'CO有三零點，且a＞l,

2--

則0VIna<22nl<CL<e3e2;

②由①可得一1<%1V0V1V%2V挺，貝!>-3,成,1,

則要證3/+2竣+xj＞2e-2,只需證明：成+熄＞2e,

21nx—e媛Ina=2；?3-；：(：：Win玲-In冠)=e(%3一斕Ina,

由于，2

21n%3=e》i】na

則有亨＞舟匕=就＞六=6=虐+追＞2e,

以3%；+2%2+螃>—3+1+2e=2e—2.

【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法:

(1)直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基

本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與X軸的交點問題，突出導數的工具作用，體

現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；

(2)構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題;

(3)參變量分離法：由f(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉化為直線y=a與函

數y=g(x)的圖象的交點問題.

【變式3-1］1.(2023春?重慶沙坪壩?高三重慶八中校考階段練習)設函數/(x)=Q+a)(

Inx—Ina)—ax+a2,其中a>0.

(1)若a=l,求不等式f(x)N0的解集；

(2)求證：Vae(2,4-00),函數/'(X)有三個零點打，%2,X3(%!<%2<^3),且乂2,刀3成

等比數列.

【答案】⑴U+8)

(2)證明見解析

【分析】(1)兩邊同除以X+1,將不等式等價與簡化變形處理，構造函數，觀察函數零點,

利用函數單調性求解不等式；

(2)同(1),先將等式變形，構造函數，轉化為新函數八(久)零點問題；再對八。)求導，結

合二次函數圖象與零點存在性定理分析導函數"(X)符號及函數八。)的單調性;最后在各區間

通過放縮取點法"取點"，尋找端點函數值異號的區間，確定函數僅X)的零點存在，再結合

=-假刀)性質得到三個零點的關系，問題得證?

【詳解】(1)由。=1,得/(%)=(%+l)ln%—%+1,%>0.

不等式/(X)>0等價于Inx-舒20,

令gO)=Inx—舒0(乃=

又g'(x)>0,則函數g(x)在(0,+oo)上單調遞增，

又9(1)=0,則不等式/(%)>。的解集為［1,+8).

(2)令/'(x)=0,貝［Jinx—Ina=%>0.

設h(x)=Iru—Ina—筑F，因此f(x)的零點是h(x)的零點.

,_12a2_/+(2a—2a2)%+a2

九(%)="x(x+a)2-x(x+a)2'

設巾(x)=x2+(2a-2a2)x+a2,

由ae(2,+oo),則A=4a3(a—2)>0,對稱軸x=a2—a>2,m(0)>0,m(a)=2a2(2—a)

<0,

故存在%4e(0,a),%5e(a,+oo),使得加(X)=o.

故函數g)在(0/4)上單調遞增，在(%4，&)上單調遞減，在(出，+8)上單調遞增.

又因為/1(a)=0,則34)>0,h(x5)<0,

當久<a時，h(x)=(|nx-Ina)+^T<(In%-Ina)+a-x,

此時八(9)<(—a—Ina)+a——=—Ina——<0;

又當%>a時,h(x)=(|nx-|na)+^^>(In%-IM+緇,

此時九(ae°)>(a+lna-lna)+Rn=Fl>0;

故由零點存在性定理知，%(x)有三個零點乂1,a,x3,其中巧<冷=a<

又因為<？)=(InaTn%)-手詈=一3)，所以巧=日

2

即萬63=a=xl,即久i,x2,%3成等比數列.

【點睛】在研究函數的零點問題時，零點存在性定理是推理依據之一，應用它的關鍵在于尋

找端點函數值異號的區間，這就需要適當"取點"，常用"取點”的方法有：直接取點法、

局部為零取點法、插值取點法、放縮取點法等等.

【變式3-1]2.(2023秋?重慶?高三重慶一中校考開學考試)設函數f⑴=%—asinx,xe

(0,7T),g(x)=x2—1—2axinx,且/'(比)有唯一零點

(1)求a的取值范圍；

(2)證明：g(x)存在三個零點；

(3)記/(X)的零點為p,g。)最小的零點為q,證明：Q-ep<l,其中e是自然對數的底數.

【答案】(1)(1,+8)

(2)見解析

(3)見解析

【分析】⑴分。=。和a豐。討論即可；

(2)5'(x)=2x-2a(l+lnx),再次求導證明導函數的單調性，最后利用零點存在定理即

可證明；

(3)由題意得/=翳=嬰，設必久)=署，0<%<1,利用導數證明其在(0,1)上單調

性，將原不等式轉化為證明翳〈鼻，再通過設新函數結合導數即可證明.

【詳解】⑴當。=。時，/(久)=x,

令/'(x)=0,得久=0,而xe(0,7T),故aH0,

當a豐0時，令f(x)=。得％=asinx^>|=罷，%￡(0爪)，

令八(久)=等。<x<n,〃(%)=xcos：『mx,令s(x)=久一tanx,%e(0,,

則S'(久)=1—焉=嗡三，因為久6(03,則cos比6(0,1),

則cos2久e(0,1),則s(x)<0,貝！］s(x)=x-tanx在xe(0,9單調遞減，

則S(x)<5(0)=0,即x—tanx<0,即0<x<tanx在(0,鄉上恒成立，

則》e(o,3時,xcosx<tan%?cosx=sin%,

而％=方時，"(%)V0,

x6(.71)時,xcosx<0<sin%,則〃(%)=s*<。，

故〃(%)<0在(0,7T)上恒成立,

故九(%)在(0")上單調遞減，而〃0)=1,減江)=0,

故3e(0,1),解得ae(l,+8)

rx

(2)g()=2x—2a(l+Inx),設6(%)=2%—2a(1+In%),%>0,a6(1,+oo)/

則a(%)=2—丁，令a(%)VO,解得OVi<a,此時6(%)單調遞減，即/(%)單調遞減,

令力'(x)>0,解得x>a,此時也(X)單調遞增，即7(x)單調遞增,

而g'(a)=2a—2a(l+Ina)=-2alna<0,g'⑴=2—2aV0,

當%-0,且%>0時，夕(%)~+8,當%t+8,夕(%)~+8,

故存在匕,以滿足0<t1<l<a<t2,使得。'(五)=。'?2)=°，

且當％W(OJ1)時,g'(%)>0,此時9(%)單調遞增,

%€?逆2)時,g1(x)<0,此時g(x)單調遞減,

%e?2，+8)時,g'(x)>0,此時g(x)單調遞增，而g⑴=0,

則g(i)=o,則縱以)<g(i)=o,g(tD>g(D=o

而當久t+8時，g(x)T+8；X-0,且X>0時，g(x)T-l,

則根據零點存在定理知。(久)在(0心)和42,+8)上各有一根，加上g(l)=0,

則9(久)存在三個零點.

(3)f(p)=p-asinp=0,則｝=詈;

g(q)=o,BPq2-1-2aqlnq=0,且OVqVl,則/=sinp

2p'

因為a>l,所以《efoj),

令0(x)=哭I，0<x<1,則〃(x)=為2—1—(尢2+i)]n^

(%2-1)2

2Q-1)

設租(%)=In%—，其中ov<V<

x+l

則nT(x)=高專>0,則小(久)在(0,1)上單調遞增,

故in(x)<m(l)=0,則Inx<卓清在xe(0,1)恒成立,

2(汽2—1)

貝(J21n%=In%2<,則(久2+l)lnx<%2—1,

%2+i

則。(%)<0在%e(0,1)上恒成立,

則火功在(0,1)上單調遞增，設0(%)=普=黑,

且limn(x)=0,limfc(x)=0,在點1的某去心鄰域內兩者皆可導，且k'(x)豐0,

lnx+1工

且域備=lim

2%2

則叫黑=H嘴巖=也作出如下圖象,

因為pe(o,ir),則eP>1,

要證q-ep<1,即證q<e-p<1,

只需證0(q)<<P(e-p)=昔g,

即證署<即證2P2—⑻一e-P)sinp>0,pe(0,n),

_p

設W(p)=2P2_(eP_e)sinp,

則W'(p)=4p—ep(cosp+sinp)+e-p(cosp—sinp),

令G(p)=4p—ep(cosp+sinp)+e-p(cosp—sinp),

則G'(p)=4—ep(2cosp)—e-p(2cosp),

令H(p)=4—ep(2cosp)—e-p(2cosp)

貝W(P)=—2ep(cosp—sinp)—2e~p(—sinp—cosp),

令L(p)=—2ep(cosp—sinp)—2e-p(—sinp—cosp)

pp-p

"(P)=—2e(—2sinp)+2?—。(—2sinp)=4sinp(e—e)>0,

故L(p)>L(0)=0="(p)>故0)=0,

則w〈p)>vr(o)=o,則/(p)在(O,TT)上單調遞增，

則W(p)>W(0)=0,得證，

故q<e-P,故q-ep<1.

【點睛】關鍵點睛：本題第三問的關鍵是通過轉化得5=翳=翳，設0(%)=占，通過

導數證明其在(0,1)上單調性，將原不等式轉化為證明0(q)<(P(e-P)=與,即翳<鼻,

再轉化為2P2—0—ef)sinp>0,pE(0,兀)，最后再通過設立新函數并多次求導即可證明.

【變式3-1J3.(2023?山東?山東省實驗中學校聯考模擬預測)已知函數f。)=翳-Inx-

Ina-1有三個零點.

(1)求a的取值范圍；

⑵設函數/⑴的三個零點由小到大依次是孫物益.證明：ae%*3>e.

【答案】(1)a>l

(2)證明見解析

【分析】⑴求導，根據x>2,0<%<2分類討論研究函數的單調性，確定零點個數，構造

函數，研究函數值的符號即可得到導函數的符號，即可求出原函數的單調區間，從而確定零

點個數；

(2)把原函數有三個零點轉化為譬二喏2有三個根，構造t(x)=?，求導研究函數單調