第02講：指、對(duì)、塞函數(shù)高頻考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一：分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義

正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞、'n-

規(guī)定：an=ylam(a>0,m,n0N*,且c>l)

*ii

規(guī)定：an=-----(a>0,m,。回N*,且

分?jǐn)?shù)指數(shù)_n__

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募a"y[cT

募

n>l)

0的分?jǐn)?shù)指數(shù)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)易等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募無

￥意義

(2)有理數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)：aras^ar+s,(M)，=口，(abY^arbr,其中a>0,b>0,r,sGQ.

考點(diǎn)二.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<〃<1

|Jiy=ax

—洪L(zhǎng)=i

圖象

o\i~~&[~~r-

定義域(1)R

值域(2)(0,+8)

(3)過定點(diǎn)(0,1)

(4)當(dāng)x>0時(shí)，y>l；(5)當(dāng)尤>0時(shí)，0<y<l；

性質(zhì)

當(dāng)％<0時(shí)，0勺<1當(dāng)x<0時(shí),y>l

(6)在(一8,+8)上是增函數(shù)(7)在(一8,十8)上是減函數(shù)

考點(diǎn)三：.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖是指數(shù)函數(shù)(l)y=〃，(2)y=Z/,(3)y=F,(4)y=d。的圖象，底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c">l>a>b.

由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)、="(廬0,且。W1)的圖象越高，底數(shù)越大.

考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)

一般地，如果a'=N(a>0,且aWl),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,其中

a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).

考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

⑴對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

如果。>0,且a/1,M>0,N>0,那么

①Toga(MN)=logaM+logqN；②logo.=logaM—logaN；③logjlf2=Mogq〃5￡R).

(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)

①aogaN=N；②log/』N3>0且a#1).

⑶對(duì)數(shù)的換底公式

\ogab=ThC(?>0,且〃Wl；c>0,且cWl；Z?>0).

'lOgc〃

考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y=logaxa>l0<〃<1

=1

|jy=log(J,r

圖象(1,0)

0/f(1.0)5I

Ty=\ogaX

定義域(1)(0,+8)

值域⑵R

(3)過定點(diǎn)(L0)

(4)當(dāng)x>l時(shí)，y>0;(5)當(dāng)冗>1時(shí),y<0;

性質(zhì)

當(dāng)0<%<1時(shí),y<0當(dāng)0<x<l時(shí)，y>0

(6)在(0,+8)上是增函數(shù)(7)在(0,+8)上是減函數(shù)

考點(diǎn)七：反函數(shù)的概念

一般地，指數(shù)函數(shù)y=a'(a>0,且aWl)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logaX(a>0,且aWl)互為反函數(shù).

(1?=爐的定義域R就是>=10gaX的值域；而y=〃的值域(0,+8)就是y=logaX的定義域.

(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y=cf(a>0,且aWl)與y=logaMa>0,且aWl)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

⑶反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)>=4(。>0,且aWl)與y=k?gaX(a>0,且。=1)的單調(diào)性相同.但單調(diào)區(qū)間不一定相同.

技巧歸納：

1、換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論

I

(l)log“b=m菰；(2)log/b"=—logg其中。>0且aWl,6>0且6W1,m,n￡R.

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖，作直線y=l,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù).故0<c<d<l<a<6.由此我們可得到以下

規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.

..

■尸g

1Iy=logjx

考點(diǎn)八：.募函數(shù)

⑴定義：一般地，函數(shù)>=之叫做事函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

(2)幕函數(shù)的圖象比較

考點(diǎn)九：五個(gè)基函數(shù)的性質(zhì)

y=xj=x3y=x^y=x~{

定義域RRR[0,+°°)-WO}

值域R「0,+8)R2，+8)—0}

奇偶性直偶直非奇非偶

在［0,+8)上增，在(0,+8)上減，

單調(diào)性增增增

在(-8,0］上遮在(一8,0)上遮

知識(shí)點(diǎn)十一般幕函數(shù)的圖象特征

1.所有的幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1).

2.當(dāng)a>0時(shí)，幕函數(shù)的圖象通過原點(diǎn),并且在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).特別地，當(dāng)時(shí)，幕函數(shù)的圖象下凸;

當(dāng)0<a<l時(shí)，塞函數(shù)的圖象上凸.

3.當(dāng)a<0時(shí),基函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).

4.幕指數(shù)互為倒數(shù)的暴函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

5.在第一象限，作直線x=a(“>l),它同各募函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，幕指數(shù)按從小到大的順序排

列.

【題型梳理】

題型一：指對(duì)幕的運(yùn)算

1.(2023秋?貴州遵義?高一統(tǒng)考期末)求下列各式的值:

2

⑴(0.027尸+

7

(2)logs35-2log5-+log57-log51.8.

2.(2023秋?四川成都?高一?？计谀?化簡(jiǎn)求值:

（1）（蚯x百）+（-兀）。一2義

(2)(1g5)2+1g2x1g5+1g20+log225xlog34xlog59.

3.(2023秋.內(nèi)蒙古呼和浩特.高一鐵路一中?？计谀?計(jì)算與化簡(jiǎn):

(l)log427xlog58xlog325

(C2j_A<_2Z_1A

(2)足田--2-2+8a^b).

\7\7\)

⑶山。+2-2、1一(0.01產(chǎn)

2

⑷21g5+31g8+lg5」g20+(lg2)2.

題型二：比較大小

4.（2023秋?廣西河池?高一統(tǒng)考期末）己知a=log3；,Z?=O.3001

c=2。2,則〃，b,，的大小關(guān)系為（

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.a<c<b

5.（2023春?河南焦作?高一統(tǒng)考期末）設(shè)。=3°%6=,c=1log23,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.c<b<aB.c<a〈bC.b<a<cD.b〈c<a

6.（2023秋?山西運(yùn)城?高一統(tǒng)考期末）已知a：，“，6,=5,c=ln5,貝ij()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

題型三：指數(shù)函數(shù)的綜合

7.（2023秋?廣西河池?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（尤）=4￡"-21

⑴若/（》）=；，求實(shí)數(shù)x的值；

31

⑵若g（x）=+%恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

、

8.（2023秋?山西大同?高一山西省陽(yáng)高縣第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)〃x）=-熱V+?a!為R上的奇函數(shù).

⑴求函數(shù)〃x）的解析式;

(2)判斷函數(shù)/■(%)在R上的單調(diào)性并加以證明；

⑶解關(guān)于x的不等式〃無)<.

O

Y—1

9.(2023秋廣東深圳?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/x=匚(》>0).

X

⑴利用單調(diào)性定義證明：/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)；

⑵解不等式廠左小了⑴

題型四：幕函數(shù)的綜合

10.(2023秋?四川眉山?高一?？计谀?已知幕函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)［g,2

⑴求〃元)的解析式，并指明函數(shù)〃尤)的定義域;

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=x+/(x),用單調(diào)性的定義證明g(x)在(L”)單調(diào)遞增.

11.(2023秋?湖南婁底?高一統(tǒng)考期末)己知哥函數(shù)〃x)=(〃，-3m+3卜"用為偶函數(shù).

⑴求募函數(shù)〃x)的解析式；

⑵若函數(shù)g(x)="7+1，根據(jù)定義證明g⑴在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增.

12.(2023秋?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末)已知事函數(shù)"》)=(病-3"2+3卜43/是偶函數(shù).

⑴求函數(shù)的解析式；

⑵若/(2x-l)<〃2—x),求尤的取值范圍.

題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合

13.(2023春?河南周口?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(無)=1。員(廬寓+。是定義在R上的奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(2)證明：函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增；

(3)記g(x)=/(x)+2'—2T,對(duì)V尤GR,不等式g(x2+3)+g(THx+l|)N0恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

14.(2023秋?陜西咸陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=log/(a>0且在1,27上的最大值為3.

|_o_

⑴求a的值；

⑵假設(shè)函數(shù)g(無)=log?(x2-3x+2a)的定義域是R,求關(guān)于t的不等式log?(1-2r)<1的解集.

15.(2023春?湖南邵陽(yáng)?高一邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)"x)=log4(4*+l)-〃氏是偶函數(shù).

（1）求加的值;

⑵若g（尤）="'）,a>0,b^R,不等式力82（司-,超（力-6|+。20對(duì)任意彳€恒成立，求2的取值范圍.

_乙_d

題型六：函數(shù)的應(yīng)用

kx—1

16.（2023秋?廣西玉林?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）=lnR為奇函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)k的值；

⑵證明函數(shù)在（L+⑹上的單調(diào)遞增；

⑶若存在a/e（l,y）使得函數(shù)在區(qū)間［%網(wǎng)上的值域?yàn)?求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

17.（2023春?浙江杭州?高一統(tǒng)考期末）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量Pmg/L與

時(shí)間出間的關(guān)系為尸=片片"（其中耳,左是正常數(shù)）.已知在前5個(gè)小時(shí)消除了10%的污染物.

⑴求左的值（精稱到0.01）；

（2）求污染物減少50%需要花的時(shí)間（精確到Qlh）?

參考數(shù)據(jù)：ln2=0.693,ln3=1.099,ln5=1.609.

18.（2023秋?四川瀘州?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃尤）為偶函數(shù)，函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，且滿足

/(x)-g(x)=m1-x(m>l).

⑴求函數(shù)〃x),g(x)的解析式;

⑵若函數(shù)〃（x）=，/（x）+g（叫-1,且方程［〃（無）丁-2媯（元）+左2一（=0恰有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

【專題突破】

一、單選題

19.（2023春?湖南株洲?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃幻=［282無，x：〉，貝°（）

［-sinx,x<0II6力

A.V2B.1C.-1D.2

20.（2023秋?云南紅河?高一統(tǒng)考期末）牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏溫度的不同而不同.假定保鮮時(shí)間ye）與儲(chǔ)藏溫度x（℃）

的關(guān)系為'=正"（左、r為常數(shù)）.若牛奶在0?的冰箱中，保鮮時(shí)間約是100h,在10?的冰箱中，保鮮時(shí)間約是64h,

那么在￡?的冰箱中保鮮時(shí)間約是（）

A.70hB.80hC.85hD.90h

97

21.（2023春?河南周口?高一校聯(lián)考期末）已知。=log316,b=—,,=23而，則（）

A.b>c>aB.b>a>c

C.oa>bD.ob>a

22.（2023秋?山西大同?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)"x）=log2（4r+。）在區(qū)間［TO］上的最大值與最小值的差不小于3,

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

T-TV4

A.B.C.D.—00,-------

7

23.（2023秋?江蘇宿遷?高一統(tǒng)考期末）已知〃工）,屋可分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足

/（x）+g（x）=2\若g（/（x）-恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

A.(-00,1)B.(-8』

C.(l,+oo)D.[l,+oo)

/jx尤<0

24.（2023秋?廣東清遠(yuǎn)?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（%）=〈’八在R上單調(diào)遞增，則〃的取值范圍是（）

ax+a,x>0

A.(0,+功B.(0,1)C.D.[l,+oo)

25.（2023秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一鐵路一中?？计谀┮阎瘮?shù)/3=3，-弓],則（）

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在（。,+8）上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D.是偶函數(shù)，且在（。,+8）上是減函數(shù)

26.（2023秋節(jié)林?高一統(tǒng)考期末）己知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)g（x）滿足“x）+g（x）=2*,則下列說法

錯(cuò)誤的是（）

A.在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增B.g（x）在區(qū)間（0,+e）上單調(diào)遞增

C.無最小值D.g（x）無最小值

27.（2023秋?浙江杭州?高一浙江省杭州第七中學(xué)?？计谀┒x在R上函數(shù)y=滿足〃r）+〃x）=0,當(dāng)x>0

時(shí)，/（x）=x-2\貝|不等式/（x+2?+2）+〃l-2x”0的解集是（）

A.[-1,3]B.[0,3]C.[1,9]D.[0,9]

28.（2023秋?廣東?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/。）=[!顏一刈:若方程/（x）=。有四個(gè)不同的根占,馬,無3，匕，

lx—x,x^.O

則X/2X3X4的取值范圍為（）

二、多選題

29.（2023秋?廣西河池?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=log2（7^Ei-x）+3.則下列說法正確的是（）

A.+1）=6

B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,3）對(duì)稱

C.函數(shù)/（》）在定義域上單調(diào)遞增

D.若實(shí)數(shù)。，6滿足+則。+6<0

.1

30.（2023春?浙江杭州?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)了（.’二行!，則（）

A.函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)/'（X）的圖象關(guān)于>軸對(duì)稱

C.函數(shù)〃X）的值域?yàn)镈.函數(shù)“X）是減函數(shù)

QX—1x>tn

31.（2023秋?山西運(yùn)城?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（%）=2一“"zeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），貝卜）

-x-4x-4,x<m

A.函數(shù)/（x）至多有2個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)機(jī)<一3時(shí)，Vx產(chǎn)x,,總有了（%）一〃％）>0成立

xl—x2

C.函數(shù)〃X）至少有1個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)m=0時(shí)，方程/[/（%）]=。有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根

32.（2023秋?重慶長(zhǎng)壽?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=lg（x-l）+lg（5-x）,則（）

A.圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱B.〃x）的最大值為21g2

C.在（3,y）上單調(diào)遞減D.的最小值為-21g2

33.（2023秋?遼寧?高一校聯(lián)考期末）下列命題正確的有（）

A.命題“Vx>l,2T>0”的否定“VE,2x-l>0,,

B.函數(shù)八>）=1%（6+犬-2苫2）單調(diào)遞增區(qū)間是『4,21

2[4）

,--,x<-l（3、

C.函數(shù)〃x）=x是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為L(zhǎng)]

（3—2a）尤+2,x>-1

3

D.函數(shù)/（幻=1-1。4尤的零點(diǎn)所在區(qū)間為（2,3）且函數(shù)了⑺只有一個(gè)零點(diǎn)

三、填空題

34.（2023秋?云南紅河?高一統(tǒng)考期末）已知log。：<log”/（。>0且awl）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

35.（2023秋?陜西咸陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）已知幕函數(shù)〃x）=（蘇-2%-2*"滿足〃2）<〃3）,則加=.

36.（2023秋?江蘇鹽城?高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（x）=9'-4-3Jcosg+3陶2送（助=2依-3m>0）,

若V占e[0,log32],3X2G[1,2],f（xl）=g（x2）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—.

37.（2023秋?江蘇宿遷?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）=d,g（x）=B1-m.若VA,e[-l,2],玉2c[-3』，使得

/（石）=8（%）成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

四、解答題

38.（2023秋?云南紅河?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)尸（x）=log,“（x-1）+4（機(jī)>0且相力1）的圖象恒過定點(diǎn)A,函數(shù)

/（1）=優(yōu)（〃>0且awl）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.

⑴求函數(shù)y=/（G+i）的值域；

⑵討論函數(shù)g（力=〃（2"+3/（元）-2在區(qū)間（-1,1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

39.（2023秋?廣西河池?高一統(tǒng)考期末）設(shè)/（x）=log“4-log2（2+x）+21og.（4-x）（a>0,且a^l）.

（1）若"2）=6,求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)〃x）的定義域；

⑵求函數(shù)〃x）的值域.

40.（2023秋?甘肅白銀?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=log”（尤+l）—log“（l—x）,其中a>0且分1.

⑴判斷“X）的奇偶性;

（2）若。＞1,解關(guān)于尤的不等式〃x）＞0.

41.（2023秋?江蘇宿遷?高一統(tǒng)考期末）