第07講分式方程［2大考點(diǎn)10大題型】

知識網(wǎng)絡(luò)

題型1分式方程的概念及其解

蝌2解分式方程

題型3分式方程的無解問題

題型4由分式方程的解求字母的取值范圍

題型5列方程方程

人題型6分式方程的行程問題

1.分式方程的定義

分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.

【歸納】

(1)分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知數(shù)；③是方程.

(2)方程的分母中是否含有未知數(shù)是分式方程與整式方程的根本區(qū)別.

(3)分母中含有字母的方程未必是分式方程.

2.分式方程的解法

(1)解分式方程的基本思想：

把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解這個(gè)整式方程，然后驗(yàn)根，從而確定分式方程的解.

(2)解分式方程的一般方法和步驟：

①去分母：方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程化為整式方程；

②解整式方程：去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等等；

③檢驗(yàn)：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解;

否則，這個(gè)解不是原分式方程的解.

簡稱為一化，二解，三檢驗(yàn).

（3）解分式方程產(chǎn)生不適合原方程解的原因：

在將分式方程化為整式方程時(shí)，未知數(shù)的取值范圍被增大了，對于整式方程來說，求出的解成立，而對于

原分式方程來說，當(dāng)分母為零時(shí)，分式無意義，所以這個(gè)解不是原分式方程的解，即原分式方程無解.

典例分析］

【題型1分式方程的概念及其解】

【例1】（2024?四川成都?三模）下列結(jié)論正確的是（）

A.嗒=（是分式方程B.方程三七=1無解

JDXTZX—4

XQy

C.方程/二=H的根為x=0D.解分式方程時(shí)，一定會(huì)出現(xiàn)增根

X十%X~rX

【變式1-1］（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）下列方程：?|+l=x；②亨—3=0；③言+三=3；@^+

1=1（a力為已知數(shù)）,其中分式方程有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式1-2】（2024?甘肅平?jīng)?一模）下列說法：①解分式方程一定會(huì)產(chǎn)生增根；②方程1-言=0的根為

2；③方程《=+的最簡公分母為2久（2x-4）；④x+去=1+5是分式方程?其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式1?3】（2024?上海徐匯?二模）下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）

A.x2+1=0B.%2—1=0C.Vx-1=_1D.

【題型2解分式方程】

19

【例2】（2024?江蘇無錫?中考真題）分式方程;=總的解是（）

A.x=1B.x=-2C.%=1D.x=2

?1

【變式2-1］（2024山東濟(jì)寧不考真題）解分式方程1-7T=-/時(shí)，去分母變形正確的是（）

□%—1z—ox

A.2—6%+2=-5B.6%—2—2二-5

C.2—6x—1=5D.6x—2+1=5

【變式2-2］（2024?上海?中考真題）在分式方程2r—亨1+e2=5中，設(shè)2r復(fù)—1=〃可得到關(guān)于了的整式方程

為（）

A.y2+5y+5=0B.y2—5y+5=0C.y2+5y+1=0D.y2—5y+1=0

2x

【變式2-3］（2024?陜西，中考真題）解方程：K+。=1?

【題型3分式方程的無解問題】

【例3】（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知關(guān)于x的分式方程與-2=工無解，則后的值為（）

A.k=2或k=-1B.k=-2C.k=2或k=1D.k=-1

【變式3-1］（2024?廣東廣州?二模）已知，關(guān)于x的分式方程備—S=L

⑴當(dāng)a=2,b=l時(shí)，求分式方程的解；

（2）當(dāng)a=1時(shí)，求6為何值時(shí)分式方程品-/=1無解；

（3）若a=3b,且“、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程看一合=1的解為整數(shù)時(shí)，求6的值.

【變式3-2］（2024?四川巴中?中考真題）關(guān)于x的分式方程蕓-3=0有解，則實(shí)數(shù)加應(yīng)滿足的條件是（）

A.m=-2B.-2C.m=2D.加。2

【變式3-31（2024安徽合肥?一模）已知關(guān)于x的分式方程a喘"與+*=三無解，且一次函數(shù)V=（m-1）

x+爪-1的圖象不經(jīng)過第二象限，則符合條件的所有機(jī)的值之和為（）

9753

A.-B.-C.—D.—

【題型4由分式方程的解求字母的取值范圍】

【例4】（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關(guān)于x的分式方程:-￡j=0的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)小的取值

范圍是（）

A.TH<1且znW0B.m<1C.m>1D.??2<1且??2。—1

【變式4-1］（2024?四川達(dá)州?中考真題）若分式方程4-4=三譽(yù)的解為整數(shù)，則整數(shù)a=.

【變式4-2］（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）若關(guān)于x的分式方程六+指=可丁的解大于1,則機(jī)的

x—2x+Zx—4

取值范圍是

x+3.

{2三］；2'至少有2個(gè)整數(shù)解’且關(guān)于

y的分式方程已+玄=2有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是

分式方程的應(yīng)用

分式方程的應(yīng)用基本思路和方法：

一審：審清題意，弄清已知量和未知量；

二找：找出等量關(guān)系；

三設(shè)：設(shè)未知數(shù)；

四列：列出分式方程；

五解：解這個(gè)方程；

六驗(yàn)：檢驗(yàn)，既要檢驗(yàn)所求得的解是不是所列分式方程的解，又要檢驗(yàn)所求得的解是否符合實(shí)際問題的

要求；

七答：寫出答案.

在上述過程中，關(guān)鍵步驟是根據(jù)題意尋找“等量關(guān)系"，進(jìn)而列出分式方程，求解時(shí)注意必須檢驗(yàn)求出

的值是不是所列分式方程的解，且是否符合實(shí)際意義.

典例分析

【題型5列方程方程】

【例5】（2024?四川達(dá)州?中考真題）某鎮(zhèn)的"脆紅李"深受廣大市民的喜愛，也是饋贈(zèng)親友的尚佳禮品，首

批"脆紅李"成熟后，當(dāng)?shù)啬畴娚逃?2000元購進(jìn)這種"脆紅李”進(jìn)行銷售，面市后，線上訂單猛增供不應(yīng)求，

該電商又用U000元購進(jìn)第二批這種“脆紅李”，由于更多"脆紅李"成熟，單價(jià)比第一批每件便宜了5元，但

數(shù)量比第一批多購進(jìn)了40件，求購進(jìn)的第一批“脆紅李"的單價(jià).設(shè)購進(jìn)的第一批“脆紅李"的單價(jià)為x元/件,

根據(jù)題意可列方程為（）

A.i￡222=11222.40B,幽2—40=型空

xX—5x%+5

12000,八1100011000,八12000

0M+4。=丁D.丁+40=-

【變式5-1］（2024?湖北襄陽?中考真題）《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送信的題目，其白話譯文為:

一份文件，若用慢馬送到900里遠(yuǎn)的城市，所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多1天；若改為快馬派送，則所需時(shí)間比規(guī)

定時(shí)間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時(shí)間，設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則可列出正確的方程為

900八9009004900

A-箱=2x』B-^=2X^

_900?900900?900

c-』=2x3D-UT=2X-

【變式5-2］（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）某市為處理污水，需要鋪設(shè)一條長為5000m的管道，為了盡量

減少施工對交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)20m,結(jié)果提前15天完成任務(wù).設(shè)原計(jì)劃

每天鋪設(shè)管道xm,則可得方程.

【變式5-3］（2024?貴州安順?中考真題）某生態(tài)示范園計(jì)劃種植一批蜂糖李，原計(jì)劃總產(chǎn)量達(dá)36萬千克，

為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良蜂糖李品種，改良后平均每畝產(chǎn)量是原計(jì)劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計(jì)劃增

加了9萬千克，種植畝數(shù)減少了20畝，則原計(jì)劃和改良后平均每畝產(chǎn)量各多少萬千克？設(shè)原計(jì)劃平均畝產(chǎn)

量為x萬千克，則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5久萬千克，根據(jù)題意列方程為.

【題型6分式方程的行程問題】

【例6】（2024?黑龍江綏化?中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h,它以該航速沿江順流航行

120km所用時(shí)間，與以該航速沿江逆流航行80km所用時(shí)間相等，則江水的流速為（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

【變式6-1］（2024?四川綿陽?中考真題）隨著國家提倡節(jié)能減排，新能源車將成為時(shí)代"寵兒端午節(jié)，

君君一家駕乘剛購買的新能源車，去相距180km的古鎮(zhèn)旅行，原計(jì)劃以速度"km/h勻速前行，因急事以計(jì)

劃速度的1.2倍勻速行殃，結(jié)果就比原計(jì)劃提前了0.5h到達(dá)，則原計(jì)劃的速度v為km/h.

【變式6-2］（2024?云南?中考真題）某旅行社組織游客從4地到B地的航天科技館參觀，已知4地到B地的路

程為300千米，乘坐C型車比乘坐。型車少用2小時(shí)，C型車的平均速度是。型車的平均速度的3倍，求。型

車的平均速度.

【變式6-3］（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）近期，如皋的早茶文化深受廣大人民的歡迎和喜愛，通過互聯(lián)網(wǎng)

的傳播，吸引了不少外地游客前來品嘗.小嚴(yán)和小許商量一起來如皋體驗(yàn)，下面是兩人的聊天記錄.

小嚴(yán)人1

請根據(jù)他們的對話，分別求出小嚴(yán)和小許的速度.

【題型7分式方程的工程問題】

【例7】（2024?四川雅安?中考真題）某市為治理污水，保護(hù)環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長為3000米的污水排放管

道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%,結(jié)果提前15天完

成鋪設(shè)任務(wù).

⑴求原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各多少米？

（2）負(fù)責(zé)該工程的施工單位，按原計(jì)劃對工人的工資進(jìn)行了初步的預(yù)算，工人每天人均工資為300元，所有

工人的工資總金額不超過18萬元，該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排多少名工人施工？

【變式7-1］（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）/,8兩種機(jī)器人都被用來搬運(yùn)化工原料，N型機(jī)器人比8

型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)30千克，A型機(jī)器人搬運(yùn)900千克所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)600千克所用時(shí)間相

等.A,8兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少干克化工原料？（）

A.60,30B.90,120C.60,90D.90,60

【變式7-2］（2024?遼寧丹東?中考真題）"暢通交通，扮靚城市"，某市在道路提升改造中，將一座長度為

36米的橋梁進(jìn)行重新改造.為了盡快通車，某施工隊(duì)在實(shí)際施工時(shí)，每天工作效率比原計(jì)劃提高了50%,

結(jié)果提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)，那么該施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造多少米？

【變式7-3］（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）一段高速公路需要修復(fù)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，己

知乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路比甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路多3千米，且甲隊(duì)單獨(dú)修復(fù)60千米公路所需要的時(shí)間與

乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時(shí)間相等.

⑴求甲、乙兩隊(duì)平均每天修復(fù)公路分別是多少千米；

⑵為了保證交通安全，兩隊(duì)不能同時(shí)施工，要求甲隊(duì)的工作時(shí)間不少于乙隊(duì)工作時(shí)間的2倍，那么15天的

工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路多少千米？

【題型8分式方程的經(jīng)濟(jì)問題】

【例8】（2024?四川眉山?中考真題）眉山是"三蘇"故里，文化底蘊(yùn)深厚.近年來眉山市旅游產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展,

促進(jìn)了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售，某商店用960元購進(jìn)的4款文創(chuàng)產(chǎn)品和用780元購進(jìn)的B款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同.每件

4款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)比8款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)多15元.

（1）求4B兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元？

（2）已知4B文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價(jià)為100元，B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價(jià)為80元，根據(jù)市場需求，商店計(jì)劃再用不超

過7400元的總費(fèi)用購進(jìn)這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共100件進(jìn)行銷售，問：怎樣進(jìn)貨才能使銷售完后獲得的利潤最大，

最大利潤是多少元？

【變式8-1］（2024?重慶?中考真題）為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩

類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代.

（1）為鼓勵(lì)企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺(tái)了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策.根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線

的設(shè)備可獲得3萬元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補(bǔ)貼.這樣更新完這30條生產(chǎn)線

的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼.該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？

⑵經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬

元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得

70萬元的補(bǔ)貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？

【變式8-2］（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）2024年春晚吉祥物"龍辰辰"，以十二生肖龍的專屬漢字"辰"為名.某

廠家生產(chǎn)大小兩種型號的“龍辰辰"，大號"龍辰辰"單價(jià)比小號"龍辰辰"單價(jià)貴15元，且用2400元購進(jìn)小號

"龍辰辰"的數(shù)量是用2200元購進(jìn)大號"龍辰辰"數(shù)量的1.5倍，則大號"龍辰辰"的單價(jià)為元.某網(wǎng)店

在該廠家購進(jìn)了兩種型號的“龍辰辰”共60個(gè)，且大號"龍辰辰"的個(gè)數(shù)不超過小號"龍辰辰"個(gè)數(shù)的一半，小

號"龍辰辰"售價(jià)為60元，大號“龍辰辰”的售價(jià)比小號"龍辰辰”的售價(jià)多30%.若兩種型號的“龍辰辰”全部售

出，則該網(wǎng)店所獲最大利潤為元.

【變式8-3］（2024?山東青島?中考真題）為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，某校計(jì)劃購買一

批航空、航海模型.已知商場某品牌航空模型的單價(jià)比航海模型的單價(jià)多35元，用2000元購買航空模型

的數(shù)量是用1800元購買航海模型數(shù)量的、

⑴求航空和航海模型的單價(jià)；

（2）學(xué)校采購時(shí)恰逢該商場"六一兒童節(jié)"促銷：航空模型八折優(yōu)惠.若購買航空、航海模型共120個(gè)，旦航

空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的，請問分別購買多少個(gè)航空和航海模型，學(xué)校花費(fèi)最少？

【題型9分式方程的和差倍分問題】

【例9】（2024?山東威海?中考真題）某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批4型節(jié)能燈，一年用電16000千

瓦?時(shí).后購進(jìn)一批相同數(shù)量的B型節(jié)能燈，一年用電9600千瓦?時(shí).一盞力型節(jié)能燈每年的用電量比一盞B型

節(jié)能燈每年用電量的2倍少32千瓦?時(shí).求一盞4型節(jié)能燈每年的用電量.

【變式9-1］（2024?山東泰安?中考真題）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售

空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共35名工人.甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件

農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的12倍，求甲、乙

兩組各有多少名工人？

【變式9-2］（2024?北京房山?二模）研究表明：植物具有固碳能力，所謂固碳能力，就是植物在生長過程

中，通過光合作用，體內(nèi)吸收多少二氧化碳的能力.生物興趣小組的同學(xué)們通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，洋槐一天

固碳2700克所需的種植面積是垂柳一天固碳2150克所需種植面積的2倍，而垂柳一天單位面積固碳量比洋

槐一天單位面積固碳量每平方米多3.2克，求洋槐一天單位面積固碳量是多少克？

【變式9-3］（2024?吉林?一模）從體育強(qiáng)國到健康中國，"帶動(dòng)3億人參加冰雪運(yùn)動(dòng)”這一愿景已經(jīng)成功實(shí)

現(xiàn)，也直接推動(dòng)了群眾體育發(fā)展.我市某中學(xué)組織八年級360名學(xué)生到北大湖滑雪場開展冬令營活動(dòng).學(xué)

校到某旅游公司租車，該公司現(xiàn)有42兩種車型，/型車與3型車的座位數(shù)的比為3:4；如果分別租用這

兩種車型，所需/型車的數(shù)量比5型車多2輛.求該公司4,2兩種車型各有多少個(gè)座位.

【題型10分式方程的幾何圖形問題】

【例10］（2024?江蘇常州?中考真題）書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我

國具有民族傳統(tǒng)的一門特殊藝術(shù).如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是1.2mX0.8m,裝裱后，上、下、左、

右邊襯的寬度分別是am、6m、cm、dm.若裝裱后力B與/W的比是16:10,且a=6,c—d,c—2a,求四周

邊襯的寬度.

【變式10-1］（2024?北京海淀?二模）列分式方程解應(yīng)用題.

當(dāng)矩形（即長方形）的短邊為長邊的年倍時(shí)，裝裱前是一個(gè)長為150厘米，寬為82厘米的矩形.現(xiàn)要在

作品四周加上等寬的白色邊襯裝裱.為了使裝裱后的作品接近黃金矩形（注：與1=0.618）

【變式10-2】（2024?河南鄭州?一模）如圖，甲和乙均是容積為90立方分米無蓋的長方體盒子.

⑴甲盒子底面是邊長為。分米的正方形，這個(gè)盒子的高是分米；這個(gè)盒子的表面積是

平方分米.（用含有a的式子表示）

⑵乙盒子底面是長方形，甲盒子比乙盒子高5分米.選用2元/平方分米的材料，制作甲乙兩個(gè)盒子的底面,

乙盒子底面材料費(fèi)用是甲盒子底面材料費(fèi)用的2倍，求乙盒子的高.

【變式10-3】（2024?廣西南寧?一模）如圖，"豐收1號，小麥的試驗(yàn)田是邊長為am（a>l）的正方形去掉一個(gè)

邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，"豐收2號"小麥的試驗(yàn)田是邊長為（a-l）m的正方形，兩塊試驗(yàn)田

的小麥都收獲了1500kg.

（1廣豐收1號"小麥試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量是—kg/n?,"豐收2號"小麥試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量是—kg/n?.單位

面積產(chǎn)量高的是二（填"豐收1號"或"豐收2號"）

（2）若高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的1.05倍，求"豐收2號"小麥的試驗(yàn)田的邊長.

特色專項(xiàng)練

【新考向：新考法】

1.（2024?廣西?中考真題）綜合與實(shí)踐

在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略.

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干.重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達(dá)

到洗衣目標(biāo).

假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為02%,每次擰干后校服上都?xì)埩?.5kg水.

濃度關(guān)系式：&后=髭其中d前、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加

清水量（單位：kg）

【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動(dòng)手操作】請按要求完成下列任務(wù)：

⑴如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清水？

⑵如果把4kg清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？

⑶比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法.

2.（2024?湖南長沙?中考真題）隨著5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，市場對5G產(chǎn)品的需求越來越大，為滿足市場需求,

某大型5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)30萬件產(chǎn)品，

現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需的時(shí)間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時(shí)間相同，設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x

萬件，依據(jù)題意得（）

400500400500400500400500

A-=~B-丁=訴C--=D'訴=丁

3.（2024?山東日照?中考真題）【問題背景】2024年4月23日是第18個(gè)"世界讀書日”，為給師生提供更

加良好的閱讀環(huán)境，學(xué)校決定擴(kuò)大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購進(jìn)20個(gè)書架用于擺放書籍.

【素材呈現(xiàn)】

素材一：有4B兩種書架可供選擇，/種書架的單價(jià)比2種書架單價(jià)高20%；

素材二：用18000元購買/種書架的數(shù)量比用9000元購買B種書架的數(shù)量多6個(gè)；

素材三：/種書架數(shù)量不少于8種書架數(shù)量的1.

【問題解決】

⑴問題一：求出4B兩種書架的單價(jià)；

⑵問題二：設(shè)購買a個(gè)N種書架，購買總費(fèi)用為w元，求卬與。的函數(shù)關(guān)系式，并求出費(fèi)用最少時(shí)的購買

方案；

⑶問題三：實(shí)際購買時(shí)，商家調(diào)整了書架價(jià)格，/種書架每個(gè)降價(jià)加元，2種書架每個(gè)漲價(jià)》n元，按問題

二的購買方案需花費(fèi)21120元，求m的值.

【新考向：新趨勢】

1.（2024?河北?中考真題）某公司為提高員工的專業(yè)能力，定期對員工進(jìn)行技能測試，考慮多種因素影響,

需將測試的原始成績x（分）換算為報(bào)告成績y（分）.已知原始成績滿分150分，報(bào)告成績滿分100分、

換算規(guī)則如下：

當(dāng)o時(shí)，y=等；

當(dāng)PWXW150時(shí)，y=2雷］；）+80.

（其中p是小于150的常數(shù)，是原始成績的合格分?jǐn)?shù)線，80是報(bào)告成績的合格分?jǐn)?shù)線）

公司規(guī)定報(bào)告成績?yōu)?0分及80分以上（即原始成績?yōu)閜及p以上）為合格.

（1）甲、乙的原始成績分別為95分和130分，若p=100,求甲、乙的報(bào)告成績；

（2）丙、丁的報(bào)告成績分別為92分和64分，若丙的原始成績比丁的原始成績高40分，請推算p的值：

⑶下表是該公司100名員工某次測試的原始成績統(tǒng)計(jì)表：

原始成績（分）95100105110115120125130135140145150

人數(shù)1225810716201595

①直接寫出這100名員工原始成績的中位數(shù)；

②若①中的中位數(shù)換算成報(bào)告成績?yōu)?0分，直接寫出該公司此次測試的合格率.

2.（2024?四川廣元?中考真題）若點(diǎn)Q（%,y）滿足：+巳=高，則稱點(diǎn)0為"美好點(diǎn)”，寫出一個(gè)“美好點(diǎn)”的坐

標(biāo).

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3.（2024?河北石家莊?一模）小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問題，有一個(gè)數(shù)"？"看不清楚.+3=

⑴她把這個(gè)數(shù)"？"猜成5,請你幫小華解這個(gè)分式方程.

（2）小華的媽媽說："我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：原分式方程無解."請你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少.

【新考向：新情境】

1.（2024?寧夏?中考真題）"人間煙火味，最撫凡人心”，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源.某經(jīng)

營者購進(jìn)了4型和B型兩種玩具，已知用520元購進(jìn)4型玩具的數(shù)量比用175元購進(jìn)B型玩具的數(shù)量多30個(gè),

且4型玩具單價(jià)是B型玩具單價(jià)的1.6倍.

⑴求兩種型號玩具的單價(jià)各是多少元？

根據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出如下方程：

甲：黑=竽+3°，解得久=5,經(jīng)檢驗(yàn)x=5是原方程的解.

乙：?=1.6X程，解得x=65,經(jīng)檢驗(yàn)％=65是原方程的解.

則甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示；

（2）該經(jīng)營者準(zhǔn)備用1350元以原單價(jià)再次購進(jìn)這兩種型號的玩具共200個(gè)，則最多可購進(jìn)4型玩具多少個(gè)?

2.（2024?浙江嘉興?中考真題）小丁和小迪分別解方程士-三|=1過程如下:

小丁：

小迪：

解：去分母，得

解：去分母，得%+（%—3）=1

x—（x—3）=x—2

去括號得%+%—3=1

去括號，得久一x+3=x-2

合并同類項(xiàng)得2%-3=1

合并同類項(xiàng)，得3=%-2

解得％=2

解得x=5

經(jīng)檢驗(yàn)，％=2是方程的增根，原方程無解

???原方程的解是x=5

你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請?jiān)诳騼?nèi)打"V"；若錯(cuò)誤，請?jiān)诳騼?nèi)打"x〃，并寫出你的解答過

程.

3.（2024?山東濟(jì)南,中考真題）為提高市民的環(huán)保意識，某市發(fā)出"節(jié)能減排，綠色出行”的倡導(dǎo)，某企業(yè)抓

住機(jī)遇投資20萬元購買并投放一批4型"共享單車"，因?yàn)閱诬囆枨罅吭黾樱?jì)劃繼續(xù)投放B型單車，B型單

車的投放數(shù)量與4型單車的投放數(shù)量相同，投資總費(fèi)用減少20%,購買B型單車的單價(jià)比購買4型單車的單價(jià)

少50元，貝必型單車每輛車的價(jià)格是多少元？設(shè)4型單車每輛車的價(jià)格為x元，根據(jù)題意，列方程正確的是

)

200000_200000(1-20%)200000_200000(1+20%)

xX—50xX—50

200000_200000(1-20%)200000_200000(1+20%)

x%+50x%+50

【新考向：跨學(xué)科】

1.（2024?北京豐臺(tái)?模擬預(yù)測）在物理學(xué)中，物質(zhì)的密度p等于由物質(zhì)組成的物體的質(zhì)量ni與它的體積P之

rn

比，即p=正已知8兩個(gè)物體的密度之比為2:1,當(dāng)物體力的質(zhì)量是100g,物體5的質(zhì)量是200g時(shí),

物體3的體積比物體/的體積大27cm3.如果設(shè)物體/的體積是xcn?,那么根據(jù)題意列方程為（）

100C200c100200

A--=2X^7B-2x

-100r200

C--=2X^7c100200

2.（2024?山西晉城?模擬預(yù)測）化學(xué)小組欲將100g濃度為98%的酒精溶液稀釋為75%的酒精溶液.設(shè)需要

加水久g，根據(jù)題意可列方程為

98%75%

酒精酒精

3.（2024?安徽蕪湖?一模）研究表明：植物具有固碳能力，所謂固碳能力，就是植物在生長過程中，通過

光合作用，體內(nèi)吸收多少二氧化碳的能力.生物興趣小組的同學(xué)們通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，洋槐一天固碳2700

克所需的種植面積是垂柳一天固碳2150克所需種植面積的2倍，而垂柳一天單位面積固碳量比洋槐一天單

位面積固碳量每平方米多3.2克，求洋槐一天單位面積固碳量是多少克？

中考真題練

1.（2024?山東淄博?中考真題）已知x=l是方程=-六=3的解，那么實(shí)數(shù)小的值為（）

A.-2B.2C.-4D.4

2.（2024?海南?中考真題）分式方程」5=1的解是（）

x-Z

A.x=3B.x=-3C.x=2D.x=-2

3.（2024?遼寧大連?中考真題）解方程六+3=若去分母，兩邊同乘（久-1）后的式子為（）

A.1+3=3x（1—%）B.1+3（%—1）=—3%

C.x—1+3=-3xD.1+3（%—1）=3%

4.（2024?四川德陽?中考真題）如果關(guān)于K的方程誓=1的解是正數(shù)，那么M的取值范圍是（）

A.m>—1B.m<-1且加力一2C.m<—1D.m>一1且m力0

5.（2024?山東淄博?中考真題）為貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展的重要講話

精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個(gè)年級學(xué)生到黃河岸邊開展植樹造林活動(dòng).已知初一植樹900棵與初二植樹

1200棵所用的時(shí)間相同，兩個(gè)年級平均每小時(shí)共植樹350棵.求初一年級平均每小時(shí)植樹多少棵？設(shè)初一年

級平均每小時(shí)植樹久棵，則下面所列方程中正確的是（）

A--90-0-=-1-20-0-R9-0-0=-12-0-0--C9-0-0--=-1-20-0-D9-0-0--12-0-0--

350-xxx350+x350+xxx350-x

6.（2024?四川瀘州?中考真題）在一個(gè)不透明的盒子中裝有6個(gè)白球，若干個(gè)黃球，它們除顏色不同外，

其余均相同.若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是|,則黃球的個(gè)數(shù)為.

7.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）若分式方程看=3-胃的解為正整數(shù)，則整數(shù)加的值為

8.（2024?河北?中考真題）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出。的值為.6的值為.

X結(jié)果代數(shù)式2n

3%+17b

2%+1