第四章因式分解（B卷能力提升）一北師大版八年級下冊

數學單元雙測卷

【滿分：120】

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分，給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.把標―2儲+“分解因式，結果正確的是（）

A.a（tz-l）22。）

C.+D.a2（tz-2）+a

2.小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：a-b,x-y,x+y,a+b,

f—/方一〃分別對應下列六個字：林、愛、我、桂、游、美，現將12_,2）。2_卜2—3；2膽2因

式分解，結果呈現的密碼信息可能是（）

A.我愛美B.桂林游C.我愛桂林D.美我桂林

3.生活中我們經常用到密碼，如到銀行取款.有一種用“因式分解”法產生的密碼，方便記憶，其原

理是：將一個多項式分解因式，如多項式%4-/因式分解的結果是（％-y）（%+y）（x2+丁）,當取

工=94=9時各個因式的值是：（%-丁）=0,（%+目=18,（f+力=162,于是就可以把“018162”

作為一個六位數的密碼.類似地，對于多項式4/一孫2,當取x=io,y=io時，用上述方法可以產

生一個六位數密碼.則這個密碼可以是（）

A.102030B.103020C.101030D.102010

4.如果一個數等于兩個連續奇數的平方差，那么我們稱這個數為“幸福數”.下列數中為“幸福數”

的是（）

A.285B.330C.512D.582

5.224—1可以被60和70之間某兩個數整除，這兩個數是（）

A.61,63B.61,65C.63,65D.63,67

6.甲、乙兩人在因式分解x?+?x+b時，甲看錯了a的值，分解的結果是（了+6）（%-2）,乙看錯

了6的值，分解的結果為（x-8＞（x+4）,那么〃-a的值為（）

A.-8B.-6C.-4D.2

7.已知a=^—+2020,Z?=^—+2021,c=—^—+2Q22,則代數式/+〃+。2一“匕一加一

202120212021

的值是（）

A.OB.-C.2D.3

2

51

8.若多項式X+〃優2+初一］2含有因式（九一3）和（尤+2）,則W的值為（）

A.1B.11C.—8D.——

8

9.已知關于x的整式":at"+陵3+c無2+^+e,其中a,b,c,d,e為整數，且a<Z?<c<d<e,下歹!］說

法：①M的項數不可能小于等于3；②若e=0,則M不可能分解為一個整式的平方；③若

a+b+c+d+e=18,且a,b,c,d,e均為正整數，則滿足條件的M共有4個.其中正確的個數是（）

A.OB.lC.2D.3

10.任何一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=sxt（s,t是正整數，且s</）,如果pxq在n的

所有分解中兩因數之差的絕對值最小，我們就稱pxq是〃的最優分解，并規定：例如

q

24可以分解成1x24,2x12,3x8,4x6這四種，這時就有尸（24）='=二給出下列關于尸⑺的說

63

法：①網6）=}②/16）=1；③網=③若〃是一個完全平方數,網〃）=1.其中

說法正確的個數是（）

A.lB.2C.3D.4

二、填空題（每小題4分，共20分）

11.分解因式：x3-9x=.

12.若a=2021x589—588x2021,〃=2019x2018—2017x2020,則。與6的大小關系為.

13.新定義：對于任意實數X,都有〃%）=依2+法，若/⑴=5,"2）=12,貝IJ將/■（/—4%）

因式分解的結果為.

14.觀察以下等式：

（x+2?+（2x-y）2=5（x2+/）；

(2X+3J)2+(3X-2J)2=13(x2+y)；

①+今了+(4九一3寸=25#+力；

(4x+6yy+(6x-4yy=52(x?+/).

運用你所發現的規律解決以下問題：已知X*為實數,/+/=1,則(6x+8y)2的最大值為.

15.已知一個長方形的四條邊的長度都是小于10的正整數(單位：cm),由這個長方形的四條

邊的長度數可構成一個四位數，且是一個完全平方數，若這個四位數的千位數字與百位數字相

同，則這個長方形的面積為cm2.

三、解答題(本大題共6小題，共計60分，解答題應寫出演算步驟或證明過程)

16.(8分)因式分解：

(1)-2?3+4a2b-lab2；

(2)9a之(x一y)+4b2(y一同.

17.(8分)如圖，將一張矩形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為機的大正方形,

兩塊是邊長都為72的小正方形，五塊是長為m、寬為72的全等小矩形，且加〉〃.(以上長度單位:

(1)用含m,n的代數式表示所有裁剪線(圖中虛線部分)的長度之和;

⑵觀察圖形，可以發現代數式2m2+5mn+可以因式分解為

(3)若每塊小矩形的面積為10cm?泗個正方形的面積和為58cm之,試求(加+〃)2的值.

18.(10分)我們已經學過將一個多項式因式分解的方法有提公因式法和運用公式法，其實因式

分解的方法還有分組分解法、拆項法等等.

①分組分解法：

例如：x2-2xy+y?_25=(x2-2xy+_y2)-25=(x-y)2-52=(x-y-5)(x-y+5),

②拆項法：

例如：/+2x—3=%2+2x+l—4=(x+l—2)(x+l+2)=(x—l)(x+3).

(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：

22

①用分組分解法：x+2x-y+l;

②用拆項法：X2-4X+3；

(2)已知：a,b,c為Z^ABC的三條邊,a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0△ABC的周長.

19.(10分)“試根法”是一種常見的數學方法可以應用于分解因式、多項式的除法等運算，其算

法如下：對于多項式無2—2x—3,令x=3時,%2一2%—3=0,貝I7—2x—3必有一個因式是X—3,且

x2-2x-3可以分解為(x—3)(%+1)，對于多項式d-2x2-4x+8,令尤=2時-2必-4x+8=0,

貝1Jx3—2/—4x+8必有一個因式是x—2,且Y—2/—4x+8可以分解為(x+2)(x—2)2

⑴分解因式：尤3_2%2_4尤+3(當％=3時,原式為0)(方法任意)；

(2)已知多項式4%3+9/+3+〃既能被％+3整除,又能被1—1整除,求機、n的值(方法任意)

20.(12分)(1)若(％+。)(X-5)=%2+反一10,則。6的值是；

⑵分解因式：

①4x~-4x-_y2+4y-3；

②x?-3xy-4y2-x+9y-2；

(3)若多項式(3+a)X+4a—2能分解成兩個一次式(常數項為整數)的乘積，求a的值.

21.(12分)(1)【閱讀與思考】

整式乘法與因式分解是方向相反的變形.如何把二次三項式依2+fov+c(aw0)分解因式呢？我

們已經知道：(/X+q)+。2)=.反過來,

就得到：01a+(/。2+。2。1)%+。1。2=(4%+。1)(。2]+。2).我們發現，二次三項式

at2+Z?x+c(a^0)的二次項的系數a分解成a。，常數項。分解成。臼，并且把《，出，9,c2,如圖1

所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到a,+。2。1，如果+。2cl的值正好等于+bx+C

的一次項系數瓦那么加+bx+c就可以分解為+淇中4,q位于圖的上一行,火，

。2位于下一行.像這種借助畫十字交叉圖分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法,

通常叫做“十字相乘法”.

例如,將式子好-x-6分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即

1=1x1,把常數項-6也分解為兩個因數的積，即-6=2x(-3)；然后把1,1,2,-3按圖2所示的擺

放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1x(-3)+lx2=-l,恰好等于一次項的系數-1,于是

f-X-6就可以分解為(x+2)(x—3).

請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內填入適當的數，并用“十字相乘法”分解因式:

f+X-6=.

(2)【理解與應用】

請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：

①2/+5%-7=.；

②6x2-7xy+2y2-.

(3)【探究與拓展】

對于形如ax?+g+cy2+力；+ey+/的關于的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分

解，如圖4.將a分解成機〃乘積作為一列,c分解成pq乘積作為第二列,f分解成jk乘積作為第三

歹U,如果2+=左+切=e,相上+何=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規

則，則原式=(如+加+/)(依+4+左)，請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰下列問題：

①分解因式3/+5xy-2y2+x+9y-4=；

②若關于的二元二次式X?+7孫-18y2一5%+如-24可以分解成兩個一次因式的積，求m的

值.

圖I圖2圖3圖4

答案以及解析

1.答案：A

解析：—2a2+a

=a(a2_2a+1)

故選：A.

2.答案：C

解析：（

=（x+y）（%_y）（a+3（a叫，

??.結果呈現的密碼信息可能是：我愛桂林，

故選：C.

3.答案：C

解析：4三一盯2

=x（4x2-y2）

=x（2x-y）（2x+y）,

"：x=10,y=10,

A（2x-y）=2x10-10=10,（2x+y）=2x10+10=30

...這個密碼可以101030,

故選：C.

4.答案：C

解析：???一個數等于兩個連續奇數的平方差,那么我們稱這個數為“幸福數”,

???設“幸福數”為（2〃+_（2〃一l）2（n為整數）,

V（2n+l）2-（2n-l）2=8n,

???“幸福數”是8的倍數，

觀察各選項，是8的倍數的只有512,

故選：C.

5.答案：C

解析：V224-1

=（2-1）

=（212+1）（26+1）（26-1）,

I.224—1能被26+1和26—1整除，

26+1=65,26-1=63,

V60<65<70,60<63<70,

...2〃一1能被65和63整除，

，這兩個數為:65和63.

故選：C.

6.答案：A

解析：甲、乙兩人在因式分解好+or+b時，甲看錯了a的值，分解的結果是（x+6）（x-2）,

.?2=6x（—2）=—12.乙看錯了b的值，分解的結果為（x—8）（x+4）,，a=—8+4=Y,

.?.Z?-?=-12-(-4)=-8.

7.答案：D

解析:a=」一+2020,人=」~+2021,c=」一+2022,

202120212021

a—b=—1,b—c=9a—c=-2,

2

Q?+Z?+c?—ab—be—etc

=3.

故選：D.

8.答案：A

5

解析：多項式x+32+改一］2的最高次數是3,(x—3)(x+2)=必一X一6的最高次數是2,

,多項式d+儂：2+依一12含有因式(工一3)和(尤+2),

多項式的最后一個因式的最高次數應為1,可設為(x+a),

即%3+mx2+nx-12=(x-3)(x-2)(x+a),

整理得：x3+m)c+nx-12=x3+(a-l)x2-(?+6)x-6a,

m=a-l

比較系數得：<〃=-(a+6),

6a=12

m=1

解得：<〃=-8,

a=2

：.m"=r8=1.

故選：A.

9.答案:C

解析：根據a<人<c<d<e,且a,b,c,d,e為整數，可得a最小為0,則M的項數至少是4項,故不可

能小于等于3,故①正確；

若e=0,則a<A<c<d<0,假設〃可以分解為一個整式的平方，

設M=(px2+qx+,

則Af=(px2+qx+r)

=(px2+qx+r)(px2+qx+r)

=p2x4+pqx3+prx?+pqx3+q2x2+qrx+prx2+qrx+r2

1

-夕214+2〃"3+(2〃r+g2)%2+2qrx+r.

a=p2,b=2pq,c=2pr+q1,d=2qr,e=r2,

e=0,

.,.r—Q,d=0,

這與。＜e矛盾，

???假設不成立，

故e=0,則“不可能分解為一個整式的平方，

???②正確；

若a+Z?+c+d+e=18,且a,b,c,d,e均為正整數，

則有a=\,b=2,c=3,d=4,e=8,

或a=l,b=2,c=3,d=5,e=7,

或a=l,b=2,c=4,d=5,e=6共三種情況，故③錯誤;

故選：C.

10.答案:D

解析：@76=1x6=2x3,

故本小題正確；

(2)716=1x16=2x8=4x4,

4

E(16)=z=1，故本小題正確；

③“2="(〃一1),

F(n2-n\=—~=1-2,故本小題正確；

、'nn

③是一個完全平方數，

：.n分解成兩個完全相同的數時，差的絕對值最小，

/.E(n)=L故本小題正確.

綜上所述，說法正確的個數是4,

故選：D.

11.答案：x(x-3)(x+3)

解析：尤3-9%=%(無2-9)=x(無一3)(%+3),

故答案為：x(x-3)(x+3).

12.答案：a>b

解析：Va=2021x589-588x2021

=2021x(589-588)

=2021x1

=2021.

Z?=2019x2018-2017x2020

=2019x(2017+1)-2017x(2019+1)

=2019x2017+2019-2017x2019-2017

=2019-2017

=2.

故答案為：a>b.

13.答案：x(x+2)(x-2)3

解析：由/⑴=5,42)=12得,

a+b=5

4a+2Z?=12

a=1

解得，,，

b=4

2

/.f^x_4X)=(%2+4(尤2_以)，

2

=(%2-4%^x—4%+4),

=x(^x2-4^(x-2)2,

=x(x+2)(x-2)(x-2)2,

=X(A:+2)(X-2)3,

故答案為：x(x+2)(x-2)3.

14.答案：100

解析：???(%+2yy+(2x-y)2=5(x2+/)=(l2+22)(x2+/

(2x+3y)2+(3x—2y)2=13(/+/)=(22+32)(x2+/)；

(3x+4y)2+(4x—3y)2=25(x2+/)=(32+42)(x2+/)；

(4x+6y)2+(6x-4j)2=52(x2+y2)=(42+62)(x2+/).

A(6X+8J)2+(8X-6J)2=(62+82)(X2+/)=100(X2+J2)

???(6尤+8j)2=100(X2+/)-(8X-6y產

x2+y2=l,

：.(6x+8y)2=100-(8x-6y)2

V(8x-6y)2>0,

A0<100-(8%-6y)2<100,

，(6x+8y)2的最大值為100,

故答案為：100.

15.答案:28

解析：設長方形的邊長為xcm、_ycm,

貝U四位數N=1000x+100x+10y+y=1100x+lly=n(100x+y)=ll(99x+x+y),

N是一個完全平方數，H為質數，

+y能被11整除，

又,1<%<9.1<y<9,

/.2<x+y<18>得x+y=ll,

N=ll(99x+x+y)=ll2(9x+l),

.?.9x+l是一個完全平方數，

經試算知當x=7時滿足條件，故y=4,

從而長方形的面積=7x4=28cn?.

16.答案：-

(2)(X-y)(3a+2Z?)(3a-2Z?)

解析：⑴-2/+4八—2加

=-2q(/-2ab+b?)

=-2〃(〃-6)2.

(2)9<72(X-J)+4Z?2(j-x)

=9a2(x-y)-4b2(x-y)

2

=(1_y)(9〃2-4Z?)

=(%-y)(3a+2Z?)(3a-2Z?).

17.答案：(1)6加+6〃

(2)(m+2n)(2m+ri)

⑶49

解析：(1)圖中一條豎直裁剪線長為(2冽+〃),一條水平裁剪線長為(加+2〃)，

，所有裁剪線(虛線部分)長度之和為：2(m+2n)+2(2m+n)=6m+6n=6(m+n)；

(2)解：大長方形的面積由長乘寬可得(根+2n)(2m+〃),由九個小圖形之和可得2m?+5nm+2》,

/.2m2+5mn+2n2=(m+2n)(2m+n)

即2m2+5根〃+2/可以因式分解為：(加+2〃)(2加+〃)，

故答案為：(加+2〃)(2加+〃)；

(3)依題意得,2療+2*=58,3=10,

/.后+/=29,

.(m+n)2=m2+2mn+n2,

/.(m+n)2=29+20=49.

18.答案：⑴①(％+l+y)(x+l—y)；(2)(X-1)(X-3)

(2)14

解析：（I）（D%2+2X-/+I

=x2+2x+l-y2

=-2

=(x+l+y)(x+l-y)；

②爐―4x+3

-x2-4x+4-l

=(X-2)2-1

=(x-2+l)(x-2-l)

=(x-l)(x-3)；

(2)a2+5b2+c2-4ab—6b—10c+34=0

a2-4ab+4b2+b2-6b+9+c2-10c+25=0

(?-2Z?)2+(Z?-3)2+(c-5)2=0,

??Z?—3,c—5,〃=6,

???△ABC的周長為3+5+6=14.

19.答案：(1)(%-3乂7+%_1)

(2)m=-10,n=—3

解析：(1)當x=3時,％3—2f—41+3=33-2x32-4x3+3=。,

/.多項式X3-2x2一4%+3必有一個因式x—3,

九^—2%2—4九+3—(x—3)(%2+(JX—1),

犬^—2%2—4-x+3—X，+(〃-3)九2—(3d+l)x+3,

比較同類項的系數得：a-3=-2,-(3a+l)=-4,

由Q—3=—2,解得：a=l,

由—(3Q+1)=-4,解得：〃=1,

九^—2%2—4元+3—(x-3)(九2+x—1)；

(2)多項式4丁+9/+如+〃既能被1+3整除,又能被x—1整除,

/.多項式4Y+9/+mx+〃必有因式x+3和x-l,

.,.當二一3或x=l時,4A3+9/+mx+n=G.

.??當％=—3時,4x(—3)3+9x(—3)2—3zn+〃=0,

整理得：—3加+幾=27①，

當x=l時,4xF+9xl2+m+〃=o,

整理得：M+〃=—13②，

①一②，得：-4m=-40,

/.m=-10,

將加=—10代入②，得：〃=—3.

/.m=-10,〃=-3.

20.答案：(1)-6

(2)①(2x+y-3)(2x-y+l)；②(x-4y+l)(x+y-2)

(3)〃=2或Q=8

解析：(1);(%+〃)(％—5)=f+區一10,

x2+ax-5x-5a=x2+/?x-10,

??%2+(。—5^x—5ci—Jr2+/?%—10,

ci—5=b,Sei——10,

〃=2,/?=—3,

*,?次?=2x(—3)=—6,

故答案為：-6；

(2)04x2-4x-/+4y-3

=(4/一41+1)一(/一分+4)

=(21)2—3—2)2

=(2x-l+y-2)(2x-l-j+2)

=(2x+y-3)(2x-y+l)；

2

②元之一3xy-4y-x+9y-2

=X2-(3J+1)X-(4/-9J+2)

-(3y+l)x-(4y-l)(y-2)

=[X-(4J-1)][X+(J-2)]

=(x-4y+l)(x+y-2)；

（3）：X2—（3+a）x+4a—2能分解成兩個一次式（常數項為整數）的乘積,

可設f-(3+a)x+4a