第20講多邊形與平行四邊形［3大考點(diǎn)16大題型】

【題型1多邊形的對(duì)角線】

（2024?四川廣安?中考真題）

1.若一個(gè)正〃邊形的每個(gè)內(nèi)角為144。，則這個(gè)正〃邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)是（）

A.7B.10C.35D.70

（2024?山東濟(jì)南?中考真題）

2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比其外角和的2倍多180。，則該多邊形的對(duì)角線的條數(shù)是（）

A.12B.13C.14D.15

（2024?四川巴中?中考真題）

3.五邊形從某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引一條對(duì)角線.

【題型2多邊形的內(nèi)角和】

（2024?寧夏?中考真題）

4.如圖，在正五邊形/3CDE的內(nèi)部，以邊為邊作正方形連接8”,則

NBHC=________

（2024?四川廣元?中考真題）

5.點(diǎn)尸是正五邊形/8CAE邊。E的中點(diǎn)，連接2R并延長(zhǎng)與CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,則/BGC

的度數(shù)為.

試卷第1頁(yè)，共21頁(yè)

A

（2024?山東威海?中考真題）

6.如圖，在正六邊形N8CDE尸中，AH//FG,BI1.AH,垂足為點(diǎn)/.若NEFG=20°,

貝lj/ABI=.

（2024?湖南常德?中考真題）

7.剪紙片：有一張長(zhǎng)方形的紙片，用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片;

從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有

3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，

這樣共有4張紙片；……：如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3

張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為.

【題型3多邊形的外角和】

（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）

8.如圖，是正"邊形紙片的一部分，其中/,加是正"邊形兩條邊的一部分，若/,加所在

的直線相交形成的銳角為60。，則〃的值是（）

二

I

A.5B.6C.8D.10

（2024?湖南株洲?中考真題）

9.如圖所示，在正六邊形48CD斯內(nèi)，以N8為邊作正五邊形NBGm,則（）

試卷第2頁(yè)，共21頁(yè)

ED

A.10°B.12°C.14°D.15°

（2024?河北?中考真題）

10.正六邊形的一個(gè)內(nèi)角是正“邊形一個(gè)外角的4倍，貝1|"=.

（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）

11.如圖，正六邊形28CDM的邊長(zhǎng)為2,以點(diǎn)/為圓心，為半徑畫(huà)弧8尸，得到扇形A4尸

（陰影部分）.若扇形8/尸正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面圓的半徑

是.

【題型4平面鑲嵌】

（2024?湖北十堰?中考真題）

12.現(xiàn)有邊長(zhǎng)相同的正三角、正方形和正六邊形紙片若干張，下列拼法中不能鑲嵌成一個(gè)平

面圖案的是（）

A.正方形和正六邊形B.正三角形和正方形

C.正三角形和正六邊形D.正三角形、正方形和正六邊形

（2024?山東威海?中考真題）

13.如圖①，③，用一種大小相等的正多邊形密鋪成一個(gè)“環(huán)”，我們稱之為環(huán)形密

鋪.但圖④，⑤不是我們所說(shuō)的環(huán)形密鋪.請(qǐng)你再寫(xiě)出一種可以進(jìn)行環(huán)形密鋪的正多邊

試卷第3頁(yè)，共21頁(yè)

【題型5由平行四邊形的性質(zhì)求值】

（2024?海南?中考真題）

14.如圖，在口48C。中，AB=8,ZABC=60°,BE平分N4BC,交邊4D于點(diǎn)E,連接

A.6B.4C.473D.276

（2024?江蘇蘇州?中考真題）

15.如圖，在平行四邊形42。中，將沿著/C所在的直線翻折得到△ZB'C,5'C交

4D于點(diǎn)￡,連接夕。，若/8=60。，ZACB^45°,AC=46,則夕。的長(zhǎng)是（）

A.1B.V2C.V3D.也

2

（2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題）

16.如圖，在口/BCD中，。是對(duì)角線/C、8D的交點(diǎn)，BELAC,DF1AC,垂足分別

為點(diǎn)E、F.

(1)求證：OE=OF.

(2)若BE=5,OF=2,求tanNOBE的值.

試卷第4頁(yè)，共21頁(yè)

【題型6由平行四邊形的性質(zhì)證明】

(2024?青海西寧?中考真題)

17.如圖，在口中，點(diǎn)E,尸分別在CD的延長(zhǎng)線上，且BE=DF,連接所與

NC交于點(diǎn)連接4尸，CE.

⑴求證：AAEM短ACFM；

(2)若NCLM,AF=36，求四邊形/EC尸的周長(zhǎng).

(2024?遼寧營(yíng)口?中考真題)

18.在口48CD中，/ADB=90。，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在A8上，點(diǎn)下在8。的延長(zhǎng)線上,

AGBAGB

(1)如圖1,當(dāng)％=1時(shí)，請(qǐng)用等式表示線段/G與線段。尸的數(shù)量關(guān)系:

(2)如圖2,當(dāng)兀=唐時(shí)，寫(xiě)出線段和。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)G是N8的中點(diǎn)時(shí)，連接3E,求tan/E2尸的值.

(2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)

19.如圖，在口48CD中，/4BC為銳角，點(diǎn)￡在邊/。上，連接且

C—V

°AABE-n^DCE?

試卷第5頁(yè)，共21頁(yè)

M

⑴如圖1,若尸是邊8c的中點(diǎn)，連接所，對(duì)角線/C分別與2瓦跖相交于點(diǎn)G,”.

①求證：H是NC的中點(diǎn)；

②求AG:GH:HC；

（2）如圖2,3E的延長(zhǎng)線與。的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)連接/〃,CE的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)

N.試探究線段與線段4N之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2024?湖北黃岡?中考真題）

20.如圖，在Z7ABCD中，分別以邊BC,CD作等腰4BCF,ACDE,使BC=BF,

CD=DE,ZCBF=ZCDE,連接AF,AE.

（1）求證：AABF三ZiEDA；

（2）延長(zhǎng)AB與CF相交于G,若AF1AE,求證BF1BC.

F

【題型7添加條件使四邊形為平行四邊形】

（2024?山東東營(yíng)?中考真題）

21.如圖，在四邊形4BC。中，E是8C邊的中點(diǎn)，連接。E并延長(zhǎng)，交N8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F,AB=BF.添加一個(gè)條件使四邊形是平行四邊形，你認(rèn)為下面四個(gè)條件中可選

擇的是（）

試卷第6頁(yè)，共21頁(yè)

cD

A.AD=BCB.CD=BFC.NA=NCD.NF=NCDF

（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）

22.如圖，四邊形的對(duì)角線/C,AD相交于點(diǎn)。，OA=OC,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件

使四邊形ABCD是平行四邊形.

（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）

23.如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,E是DC上一點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交AD延長(zhǎng)線于

點(diǎn)F,請(qǐng)你只添加一個(gè)條件：使得四邊形BDFC為平行四邊形.

（2024?湖北武漢?中考真題）

24.如圖，在口48CD中，點(diǎn)、E,尸分別在邊BC,AD1.,AF=CE.

⑴求證：AABEmACDF；

（2）連接請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形跖是平行四邊形.（不需要說(shuō)明理

由）

【題型8求構(gòu)成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】

試卷第7頁(yè)，共21頁(yè)

(2024?四川資陽(yáng)?中考真題)

25.已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為/(1,4),且與x軸交于點(diǎn)2(-1,0).

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，此時(shí)點(diǎn)/、3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分

別為點(diǎn)C、D.

①連結(jié)48、BC、CD、DA,當(dāng)四邊形488為矩形時(shí)，求加的值；

②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x=，〃上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)0,使得以

點(diǎn)3、C、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

(2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線>=辦2+云+2(.30)與x軸交于

2(3,0)兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C,連接5C.

(1)求該拋物線的解析式，并寫(xiě)出它的對(duì)稱軸；

(2)點(diǎn)。為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接CD、BD,若ZDCB=ZCBD，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)已知尸(1,1),若E(x,y)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中l(wèi)<x<2),連接CE、CF、EF,求

ACE尸面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

(4)若點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)使得以用C,M,N為頂點(diǎn)的

四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

試卷第8頁(yè)，共21頁(yè)

（2024,山東東營(yíng)?中考真題）

27.已知拋物線y=停工2+a+6必經(jīng)過(guò)/（2,0）.設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P,與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)

（1）求6的值，求出點(diǎn)尸、點(diǎn)2的坐標(biāo)；

（2）如圖，在直線y=上是否存在點(diǎn)。，使四邊形OP8。為平行四邊形？若存在，求

出點(diǎn)。的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)“，4吏AAMP三AAMB?如果存在，試舉例驗(yàn)證你的

猜想；如果不存在，試說(shuō)明理由.

【題型9證明平行四邊形】

（2024?湖南?中考真題）

28.如圖，在四邊形/BCD中，4B〃CD,點(diǎn)E在邊上,請(qǐng)從“①N2=N4EP；

@AE=BE,ZE=CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號(hào)），再

試卷第9頁(yè)，共21頁(yè)

解決下列問(wèn)題:

⑴求證：四邊形5CAE為平行四邊形；

⑵若ADJ.AB,AD=8,3c=10,求線段4E1的長(zhǎng).

(2024?上海?中考真題)

29.如圖(1)所示，已知在A/BC中，AB=AC,。在邊N2上，點(diǎn)尸為邊Q8中點(diǎn)，為以

。為圓心，3。為半徑的圓分別交CB,4C于點(diǎn)。，E,聯(lián)結(jié)E尸交OD于點(diǎn)G.

圖(1)圖(2)

(1)如果OG=OG,求證：四邊形CEG。為平行四邊形；

(2)如圖(2)所示，聯(lián)結(jié)OE,如果/A4c=90。,/。尸￡=/。。￡,/。=4,求邊的長(zhǎng)；

(3)聯(lián)結(jié)3G,如果AO2G是以08為腰的等腰三角形，S.AO=OF,求器的值.

【題型10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解】

(2024?湖北鄂州?中考真題)

30.如圖，定直線MN〃PQ,點(diǎn)、B、C分別為MN、尸。上的動(dòng)點(diǎn)，且BC=12,8c在兩直線

間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有乙BC0=6O。.點(diǎn)/是上方一定點(diǎn)，點(diǎn)。是尸0下方一定點(diǎn)，且/￡〃

BC//DF,AE=4,DF=8,40=246,當(dāng)線段8c在平移過(guò)程中，/8+CD的最小值為()

試卷第10頁(yè)，共21頁(yè)

A.24而B(niǎo).24屏C.12V13D.12715

（2024?湖北?中考真題）

31.如圖，和△/￡尸都是等腰直角三角形，ABAC=ZDEB=ZAEF=90°,

點(diǎn)E在△/BC內(nèi)，BE>AE,連接。尸交NE于點(diǎn)G,D￡交48于點(diǎn)a,連接CF.給出下面

四個(gè)結(jié)論：①NDBA=NEBC；②/BHE=/EGF；@AB=DF；@AD=CF.其中所

有正確結(jié)論的序號(hào)是.

（2024?黑龍江?中考真題）

32.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形N8CD中將ZUAD沿射線8。平移，得到A￡GF,連接EC、

（2024?遼寧?中考真題）

33.如圖，平行四邊形/BCD的對(duì)角線NC,8。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)3作8E〃/C,交

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)3,連接交AB于點(diǎn)、尸,則四邊形8c。尸的面積與△/斯的面積的比值

為.

試卷第11頁(yè)，共21頁(yè)

D

34.已知四邊形4BCD內(nèi)接于。。，對(duì)角線8。是。。的直徑.

（1）如圖1,連接若CULAD,

⑵如圖2,E為。。內(nèi)一點(diǎn)，滿足若BD=3杷,AE=3,求弦2C的

長(zhǎng).

【題型11利用平行四邊形的判定與性質(zhì)證明】

（2024-內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）

35.如圖，四邊形N8CD是平行四邊形，連接NC,BD交于點(diǎn)、O,DE平分/4DB交AC

于點(diǎn)E,BF平分NCBD交AC于點(diǎn)、F,連接BE,DF.

⑴求證：Zl=Z2；

⑵若四邊形ABC。是菱形且N8=2,/48C=120。，求四邊形BEL廳的面積.

（2024?安徽?中考真題）

36.如圖，點(diǎn)E在口ABCD內(nèi)部，AFIIBE,DFHCE,

試卷第12頁(yè)，共21頁(yè)

F

(1)求證：ABCE=AADF；

S

(2)設(shè)DABCD的面積為S,四邊形AEDF的面積為T,求亍的值

(2024?安徽?中考真題)

37.如圖1,的對(duì)角線NC與RD交于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N分別在邊4D,8c上，且

AM=CN.^E,廠分別是8。與4N,CW的交點(diǎn).

AMPAMDAMC

建窗1

BNCBNCBNC

圖1圖2圖3

(1)求證：OE=OF；

⑵連接交/C于點(diǎn)H連接小，HF.

(i)如圖2,若HE〃AB,求證：HF//AD；

AC

(ii)如圖3,若為菱形，且=NEHF=60°,求一的值.

BD

(2024?湖南湘西?中考真題)

38.如圖(1),二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖像與x軸交于4(-4,0),8伍,0)兩點(diǎn)，與了軸

交于點(diǎn)C(0,-4).

圖⑴圖⑵

(1)求二次函數(shù)的解析式和6的值.

(2)在二次函數(shù)位于x軸上方的圖像上是否存在點(diǎn)河，使若存在，請(qǐng)求出

試卷第13頁(yè)，共21頁(yè)

點(diǎn)初的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶如圖（2）,作點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)E,連接CE,作以CE為直徑的圓.點(diǎn)￡是圓在

x軸上方圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)￡'不與圓弧的端點(diǎn)E重合，但與圓弧的另一個(gè)端點(diǎn)可以重合）,

平移線段NE,使點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)線段/￡的對(duì)應(yīng)線段為連接E'C,AA，//的

延長(zhǎng)線交直線E'C于點(diǎn)N,求公的值.

CN

【題型12平行四邊形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用】

（2024?湖北襄陽(yáng)?中考真題）

39.七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板48。中，2。為對(duì)角線，

E,產(chǎn)分別為BC,CD的中點(diǎn)，4尸，EF分別交8D,EF于O,P兩點(diǎn)，M,N分別為

BO,。。的中點(diǎn)，連接MP,NF,沿圖中實(shí)線剪開(kāi)即可得到一副七巧板，則在剪開(kāi)之前,

關(guān)于該圖形的下列說(shuō)法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②圖中的四邊形"尸仍是

菱形；③四邊形斯語(yǔ)的面積占正方形面積的正確的有（）

O

C

A.①③B.①②C.只有①D.②③

（2024?陜西?中考真題）

40.問(wèn)題提出

（1）如圖1,在口/BCD中，44=45。，AB=S,4D=6,￡是月。的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在DC上

且。尸=5求四邊形/8FE的面積.（結(jié)果保留根號(hào)）

問(wèn)題解決

（2）某市進(jìn)行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境.如圖2所示，現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地

上建一個(gè)五邊形河畔公園/BSE按設(shè)計(jì)要求，要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一個(gè)四邊形

人工湖0PMN,使點(diǎn)。、P、M、N分別在邊8C、CD、AE、AB且滿足

BO=IAN=2CP,AM=OC.已知五邊形/BCDE中，ZA=ZB=ZC=90°,AB=800m,

SC=1200m,CD=600m,NE=900m.滿足人工湖周邊各功能場(chǎng)所及綠化用地需要，想

讓人工湖面積盡可能小.請(qǐng)問(wèn)，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最小的四邊形人工湖OP九W?

試卷第14頁(yè)，共21頁(yè)

若存在，求四邊形。PAW面積的最小值及這時(shí)點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)

41.圖1、2是一個(gè)折疊梯的實(shí)物圖.圖3是折疊梯展開(kāi)、折疊過(guò)程中的一個(gè)主視圖.圖4

4

是折疊梯充分展開(kāi)后的主視圖，此時(shí)點(diǎn)E落在4C上，已知=sin乙《，點(diǎn)

D、F、G、J在48上，DE、FM、GH、均與3c所在直線平行，

DE=FM=GH=JK=20cm,DF=FG=GJ=30cm.點(diǎn)N在4c上，AN、ACV的長(zhǎng)度固

定不變.圖5是折疊梯完全折疊時(shí)的主視圖，此時(shí)/8、/C重合，點(diǎn)￡、M、H、N、

K、C在48上的位置如圖所示.

【分析問(wèn)題】

(1)如圖5,用圖中的線段填空：AN=MN+EM+AD-；

(2)如圖4,sinNMENa,由AN=EN+AE=EN+AD,且4N的長(zhǎng)度不變,

可得兒W與EN之間的數(shù)量關(guān)系為:

【解決問(wèn)題】

(3)求的長(zhǎng).

試卷第15頁(yè)，共21頁(yè)

圖5

（2024?江蘇蘇州?中考真題）

42.四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問(wèn)題.如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，

尸為長(zhǎng)度固定的支架，支架在42G處與立柱/以連接（/?垂直于垂足為

H）,在優(yōu)C處與籃板連接（BC所在直線垂直于MN）,跖是可以調(diào)節(jié)長(zhǎng)度的伸縮臂（旋

轉(zhuǎn)點(diǎn)尸處的螺栓改變E尸的長(zhǎng)度，使得支架3E繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形的形狀,

以此調(diào)節(jié)籃板的高度）.已知208cm,測(cè)得NG4E=60。時(shí)，點(diǎn)。離地面的高

度為288cm.調(diào)節(jié)伸縮臂斯，將/G4E由60。調(diào)節(jié)為54。，判斷點(diǎn)C離地面的高度升高還

【題型13與三角形的中位線有關(guān)的計(jì)算】

（2024?四川內(nèi)江?中考真題）

43.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、E為邊48的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸、G在邊8c上，

4C〃DG〃所，點(diǎn)〃為/尸與DG的交點(diǎn).若NC=12,則。H的長(zhǎng)為（）

試卷第16頁(yè)，共21頁(yè)

c

3

A.1B.-C.2D.3

2

（2024?江蘇南通?中考真題）

s

44.△45。中，D,E分別是45,/C的中點(diǎn)，連接。E,則飛巫=.

（2024?四川涼山?中考真題）

45.如圖，四邊形/BCD各邊中點(diǎn)分別是E,￡G,q,若對(duì)角線NC=24,8。=18,則四邊形

EFG〃的周長(zhǎng)是.

（2024?遼寧大連?中考真題）

46.如圖，在菱形ABCD中，AC,8。為菱形的對(duì)角線，NDBC=60。,BD=10,點(diǎn)、F為BC

中點(diǎn)，則斯的長(zhǎng)為.

【題型14與三角形的中位線有關(guān)的證明】

（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）

47.如圖，在△NBC中，。是中點(diǎn).

試卷第17頁(yè)，共21頁(yè)

(1)求作：NC的垂直平分線/(要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)；

(2)若/交/C于點(diǎn)E,連接。E并延長(zhǎng)至點(diǎn)尸，使EF=2DE,連接BE,CF.補(bǔ)全圖形，并

證明四邊形BCFE是平行四邊形.

(2024?江蘇泰州?中考真題)

48.如圖，線段。￡與/尸分別為△AgC的中位線與中線.

(1)求證：/廠與DE互相平分;

(2)當(dāng)線段/廠與8c滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ZD也為矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2024?山西?中考真題)

49.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：在用A42C中，Z-BAC=90°,AB=6,AC=S.直角三角板EZ0中乙⑦尸=90。，將

三角板的直角頂點(diǎn)。放在比△A8C斜邊8c的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，三角板的

兩邊。E,DF分別與邊4B,NC交于點(diǎn)M,N,猜想證明:

絢

(1)如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形NMLW的

形狀，并說(shuō)明理由;

問(wèn)題解決:

(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)=次時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)；

(3)如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出線段/N的長(zhǎng).

【題型15與三角形的中位線有關(guān)的應(yīng)用】

(2024?山西臨汾?中考真題)

50.2023年7月28日第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都東安湖體育公園開(kāi)幕.如圖,

試卷第18頁(yè)，共21頁(yè)

貝貝想測(cè)量東安湖，，8兩點(diǎn)間的距離，他在東安湖的一側(cè)選取一點(diǎn)。，分別取04的

中點(diǎn)N,但“，N之間被障礙物遮擋，故無(wú)法測(cè)量線段血W的長(zhǎng)，于是貝貝在/。，B0

延長(zhǎng)線上分別選取尸，。兩點(diǎn)，且滿足OP=ON,OQ=OM,貝貝測(cè)得線段尸0=90米，則

4,5兩點(diǎn)間的距離是（）米.

A.120B.140C.160D.180

（2024?重慶沙坪壩?中考真題）

51.如圖，小明家在A地，小亮家在8地，圖書(shū)館在C地，在A處測(cè)得圖書(shū)館C在A的西北

方向上，在5處測(cè)得圖書(shū)館C在3的北偏東15。方向上，已知CB=1400米.（參考數(shù)據(jù)：

⑴求小明家/到小亮家2的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）如圖N分別是BC的中點(diǎn).某天小明和小亮相約分別同時(shí)從自己家出發(fā)到圖書(shū)

館看書(shū)，小明沿著NC方向慢跑前進(jìn).由于道路有堵塞，小亮沿著NfC方向慢

跑前進(jìn).已知小鳧的跑步速度是每分鐘280米，小明的跑步速度是小異跑步速度的二，兩人

4

全程均勻速跑步前進(jìn)，試通過(guò)計(jì)算判斷小明和小亮誰(shuí)先到達(dá)圖書(shū)館？

【題型16構(gòu)造三角形的中位線】

（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）

52.如圖，在等腰直角三角形N8C中，/C=8C=1,點(diǎn)P在以斜邊為直徑的半圓上,

“為尸。的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸沿半圓從點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)2時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.

試卷第19頁(yè)，共21頁(yè)

（2024?江蘇南通?中考真題）

53.如圖，點(diǎn)。是正方形ABCL?的中心，AB=3g.RtdBEF中,NBEF=9M,EF過(guò)點(diǎn)

D,BE,BF分別交4D,CD于點(diǎn)G,M,連接OE,OM,EM.BG=DF,tanZABG=^,則

△OEM的周長(zhǎng)為.

（2024?貴州銅仁?中考真題）

54.如圖，在四邊形/BCD中，對(duì)角線/C與8。相交于點(diǎn)O,記△CQD的面積為岳，LAOB

的面積為邑.

SQQ.OD

（1）問(wèn)題解決：如圖①，若ABHCD,求證：，=?宙

（2）探索推廣：如圖②，若與CD不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明;

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在。4上取一點(diǎn)E,使OE=OC,過(guò)點(diǎn)E作所〃CD交。。于點(diǎn)

尸，點(diǎn)〃為的中點(diǎn)，OH交EF于點(diǎn)、G,且OG=2G〃，若段=金，求詈值.

OA6、

試卷第20頁(yè)，共21頁(yè)

試卷第21頁(yè)，共21頁(yè)

1.c

【詳解】???一個(gè)正〃邊形的每個(gè)內(nèi)角為144。，

.-.144H=180X(〃-2),

解得：篦=10,

這個(gè)正"邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)是：歿且=等=35,

故選：C.

2.C

【詳解】解：根據(jù)題意，得：(〃-2)?180=360。*2+180。，解得：n=7.

則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7,七邊形的對(duì)角線條數(shù)為7a；-3)=1%故選c.

3.2

【分析】本題考查多邊形的對(duì)角線，根據(jù)對(duì)角線定義，一個(gè)五邊形從某一頂點(diǎn)出發(fā)，除去它

自己及與它相鄰的左右兩邊的點(diǎn)外，還剩下2個(gè)頂點(diǎn)可以與這個(gè)頂點(diǎn)連成對(duì)角線，熟記對(duì)角

線定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：五邊形從某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引2條對(duì)角線，

故答案為：2.

4.81

【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等.先根據(jù)正多

邊形內(nèi)角公式求出/8CD,進(jìn)而求出N8S,最后根據(jù)3C="C求解.

【詳解】解：：正五邊形/8CDE中，ZBCD=1x(5-2)xl80°=108°,BC=DC,

正方形CD尸“中，ZHCD=90°,HC=DC,

ABCH=ZBCD-ZHCD=108°-90°=18°,HC=BC,

：.ABHC=ZHBC,

/2HC=g(180°-Z8CH)=；x(180°-18°)=81°,

故答案為：81.

5.18°##18度

【分析】連接5。，8E,根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證“3￡%CSD(SAS),得到砂=加，

進(jìn)而得到2G是。E的垂直平分線，即/DFG=90。，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個(gè)內(nèi)

角的度數(shù)，進(jìn)而得到/尸DG=72。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答.

答案第1頁(yè)，共59頁(yè)

【詳解】解：連接2D,BE,

?.?五邊形ABCDE是正五邊形，

；.AB=BC=CD=AE,NA=NC

AABE^ACBD(SAS),

BE=BD,

???點(diǎn)尸是。￡的中點(diǎn)，

.?.3G是DE的垂直平分線，

：.2DFG=90°,

心十十上(5-2)x180°

???在正五邊形ABCDE中，ZCDE=——』--------=108°,

5

ZFDG=180°-ZCDE=72°,

.?./G=180°—ZDbG-ZPDG=180°-90°-72°=18°.

故答案為：18。

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定,

三角形的內(nèi)角和定理，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.50°##50度

【分析】本題考查了正六邊形的內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，先求出正六邊

形的每個(gè)內(nèi)角為120。，即乙0皿=/反43=120。，則可求得NGE4的度數(shù)，根據(jù)平行線的性

質(zhì)可求得的度數(shù)，進(jìn)而可求出443的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出

448/的度數(shù).

【詳解】解：???正六邊形的內(nèi)角和=(6-2)x180=720。，

每個(gè)內(nèi)角為：720。+6=120。，

ZEFA=ZFAB=120°,

V2EFG=20°,

ZG7^=120o-20°=100°,

AH//FG,

答案第2頁(yè)，共59頁(yè)

:.NF4H+NGFA=18Q°,

ZFAH=180°-AGFA=180°-100°=80°,

AHAB=ZFAB-ZFAH=120°-80°=40。，

???BIVAH,

ABIA=90°,

.?/B/=90°-40°=50°.

故答案為：50°.

7.6

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和進(jìn)行即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，則每剪一次,

所有的多邊形的內(nèi)角和增加360°,

10張紙片，則剪了9次，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，設(shè)還

有一張多邊形紙片的邊數(shù)為〃，

.■.（5-2）xl80°+3xl80o+（4-2）xl80ox5+（n-2）xl80°=：360o+360ox9,

解得n=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，理解題意是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】本題考查了正多邊形，求出正多邊形的每個(gè)外角度數(shù)，再用外角和360。除以外角

度數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，直線八機(jī)相交于點(diǎn)A,則44=60。，

???正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，

???正多邊形的每個(gè)外角也相等，

1800-60°

Zl=Z2==60°,

故選：B.

答案第3頁(yè)，共59頁(yè)

m

2J\

l~A

9.B

【分析】利用正77邊形的外角和定理計(jì)算即可

【詳解】如圖，延長(zhǎng)"4到點(diǎn)O,

?.?六邊形ABCDEF是正六邊形，

??Z"O=孥=60°,

6

???五邊形ABGHI是正五邊形,

.?”。=段=72°,

：./-FAI=UAO-/.FAO=n°,

故選8.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的外角和定理，熟練掌握正A邊形的外角和定理是解題的關(guān)鍵.

10.12

【分析】先根據(jù)外角和定理求出正六邊形的外角為60。，進(jìn)而得到其內(nèi)角為120。，再求出正

n邊形的外角為30。，再根據(jù)外角和定理即可求解.

【詳解】解：由多邊形的外角和定理可知，正六邊形的外角為：360。+6=60。，

故正六邊形的內(nèi)角為180°-60°=120°,

又正六邊形的一個(gè)內(nèi)角是正"邊形一個(gè)外角的4倍，

???正n邊形的外角為30。，

??.正n邊形的邊數(shù)為：360。+30。=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的外角與內(nèi)角的知識(shí)，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角和和外角和定

答案第4頁(yè)，共59頁(yè)

理是解決此類題目的關(guān)鍵.

【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算即可.

【詳解】解：???正六邊形的外角和為360。，

...每一個(gè)外角的度數(shù)為360。+6=60°,

??.正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180。-60。=120。，

設(shè)這個(gè)圓錐底面圓的半徑是心

根據(jù)題意得，2sJ魯2,

1o(J

2

解得，?="

2

故答案為：—■

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓及圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是求得正六邊形的內(nèi)角的度數(shù),

并理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng).

12.A

【分析】正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為

360°.若能，則說(shuō)明能鋪滿；反之，則說(shuō)明不能鋪滿.

【詳解】解：A、正方形和正六邊形內(nèi)角分別為90。、120。，由于90加+120/360,顯然不存

在正整數(shù)m,n使得整式成立，故不能鋪滿；

B、正三角形和正方形內(nèi)角分別為60。、90°,由于60。*3+90。'2=360。，故能鋪滿；

C、正三角形和正六邊形內(nèi)角分別為60。、120。，由于60。*2+120。'2=360。，故能鋪滿；

D、正三角形、正方形和正六邊形內(nèi)角分別為60。、90。、120。，由于

600+900+900+120°=3600,故能鋪滿.

故選：A.

13.正十二邊形

【分析】本題考查了平面密鋪，觀察圖形判斷出中間空白正多邊形的內(nèi)角是所用正多邊形的

外角的2倍是解題的關(guān)鍵.根據(jù)環(huán)形密鋪的定義，中間空白正多邊形的內(nèi)角是所用正多邊形

的外角的2倍即可.

【詳解】解：正十二邊形的外角是360。勺2=30。，內(nèi)角=150。

?.-150°x2=300°,

答案第5頁(yè)，共59頁(yè)

360°-300°=60°,

???里邊是正三角形，

二正十二邊形可以進(jìn)行環(huán)形密鋪.

故答案為：正十二邊形.

14.C

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得40==60。，CD=AB=8,AD//BC,由平行線

的性質(zhì)可得4班=由角平分線的定義可得=從而得到

ZABE=ZAEB,推出/￡=48=8,DE=4,過(guò)點(diǎn)E作所工CO丁點(diǎn)尸，由直角三角形的

性質(zhì)和勾股定理可得。尸=（。￡=2,EF=243,CF=6,即可得到答案.

【詳解】解：：四邊形/BCD是平行四邊形，

ZD=ZABC=60°,CD=AB=8,AD//BC,

ZAEB=ZCBE,

??,BE平分/ABC,

ZABE=ZCBE,

/ABE=/AEB,

/.AE=AB=8,

???AE=2ED,

DE=4,

如圖，過(guò)點(diǎn)E作跖18于點(diǎn)尸，

則=叨=90。，

/DEF=90°-ZD=90°-60°=30°,

:.DF=-DE=2,

2

:.EF=^DE2-DF2=A/42-22=2A/3,CF=CD-DF=S-2=6,

答案第6頁(yè)，共59頁(yè)

:.CE=y/CF2+EF2=J6?+(2廚=473，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角

三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

15.B

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)、翻折不變性可得為等腰直角三角形，根據(jù)已知條

件可得CE得長(zhǎng)，進(jìn)而得出助的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可得出B7)；

【詳解】解：???四邊形N8CD是平行四邊形

：.AB=CD^B=/-ADC=60°,"LCB=KCAD

由翻折可知：BA=AB'=DC,ZACB=ZACB'=45°,

???△/EC為等腰直角三角形

：.AE=CE

出RtACDE

：.EB'=DE

?.?在等腰Rt4/EC中，AC=46

???CE=s/3

?.?在Rt/\DEC中，CE=y/3,ZJ￡>C=6O°

■.^DCE=3Q°

：.DE=\

在等腰RtADE■夕中，EB'=DE=\

：.B'D=6

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型.

2

16.(1)見(jiàn)解析1;(2)y

【分析】(1)根據(jù)題意由平行四邊形性質(zhì)得由ASA證得AZWO會(huì)A5EO,即可

得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意由(1)得OE=OF,則OE=2,在RtaOEB中，由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)

答案第7頁(yè)，共59頁(yè)

果.

【詳解】解：（1）證明：在口/BCZ）中，OD=OB

-BEVAC,DF1AC

:.DF〃BE

ZFDO=ZEBO

又???ZDOF=/BOE

；?ADFO咨ABEO（ASA）

OE=OF

（2）vOE=OF,OF=2

OE=2

-BEVAC

???/OEB=92。

OE2

在RtAOBE中,BE=5,tan/OBE=——=—.

BE5

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟

練掌握平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

17.（1）見(jiàn)解析

（2）12也

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=DC,進(jìn)而得出

NAEM=NCFM,證明NE=C/，根據(jù)AAS證明△NEMg/XCEM,即可得證；

（2）證明口/ECR是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形是平行四邊形

：.ABHDC,AB=DC（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）

：.NAEM=4CFM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

■■■BE=DF

.-.AB+BE^CD+DFBPAE=CF

在△4EM和△CEW中

'NAME=NCMF

<ZAEM=ZCFM

AE=CF

答案第8頁(yè)，共59頁(yè)

...AAEM沿△CFM(AAS)；

(2)解：vAE=CF,AE//CF

???四邊形/EC尸是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)

又?:AC±EF

.■.aAECF是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形)

.-.AE=EC=CF=AF(菱形的四條邊都相等)

菱形NEW的周長(zhǎng)=4/尸=4x3亞=12立.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，熟

練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

18.⑴AG=DF

(2)AD=143DF+6DE

⑶岑

【分析】(1)當(dāng)上=1時(shí)，AD=BD,DG=EF,在40上截取DH=DE,連接AG,證明

ADHG%EDF(SAS),推出/ZWG=/￡/*=135。，DF=HG,得至/G==。尸；

(2)當(dāng)左=括時(shí)，得到//=30。，ZCDB=ZDBA=60°,過(guò)點(diǎn)G作GM，48交于點(diǎn)

M,證明&DMGsxEDF,推出=------==A/3,得到MG=#>DF,DM=\[?>DE，由

DFDEEF

此得到AM=2MG=2拒DF,進(jìn)而推出AD=2#>DF+43DE；

(3)由(2)得DB=2DF+DE,設(shè)DE=x,由點(diǎn)G是的中點(diǎn)，得到NNZ)G=30。，推

出DE=DF=x,DB=3x,過(guò)點(diǎn)E作ENL3。于N,根據(jù)30。角的性質(zhì)及勾股定理求出

DN=\DE=-x,EN=BX,即可得到8N=：X,根據(jù)公式計(jì)算即可.

2222

【詳解】(1)解：當(dāng)％=1時(shí)，AD=BD,DG=EF,

?.?在口48。中，ZADB=90°,

ZTI=ZABD=45°,AB//CD,

ZCDB=45°

.-.ZCDF=135°,

答案第9頁(yè)，共59頁(yè)

E

AG

在40上截取DH=DE,連接方，

???ZFED=ZADG,

???AD77G^AEDF(SAS),

：?NDHG=/EDF=135。,DF=HG,

;?NAHG=45。,ZAGH=90°,

:?AG=GH=DF,

故答案為：AG=DF；

(2)AD=2^DF+yf3DE,理由如下:

wn-4*

當(dāng)左=百r時(shí)，-4—D—=—D—G=y/r^r,

DDnr

??.//=30°,NCDB=NDBA=60°,

過(guò)點(diǎn)G作GM，45交/。于點(diǎn)M,

F一

??.ZDMG=120°,

???ZFDE=120°,

FDE=/DMG,

又???/FED=ZADG,

公DMGS^EDF,

MG_DM_DG

~DF~^E~~EF~

???MG=43DF,DM=y/jDE,

ZA=30°,

答案第10頁(yè)，共59頁(yè)

???AM=2MG=26DF，

AD=AM+DM,

■■AD=2y/3DF+^DE

（3）???AD=43DB,AD=2y[3DF+43DE,

■■■DB=2DF+DE,

設(shè)DE=x,

???點(diǎn)G是45的中點(diǎn)，

：.AG=DG=BG,

???ZADG=30。,

??.NDFE=3G°=/FED,

DE=DF=x,DB=3x,

過(guò)點(diǎn)E作于N,

?：/BDE=NABD=60。，

???/DEN=30。,

:.DN=-DE=-x,EN=—x,

222

.-.BN=BD-DN=3x--x=-x,

22

昱

；.tan/EBF=—=-2—

BN二

2

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，求角的正切值，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

19.(1)①見(jiàn)解析；@AG:GH:HC=2;1:3

⑵AM=3AN,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)①根據(jù)S./BE=S，3CE，得出￡為/。的中點(diǎn)，證明出取即可；②

答案