第03講分式［2大考點12大題型】

知識網絡1

題型1分式有、無意義的條件

題型2分式的值為0的條件

題型3分式的值

題型4分式的基本性質

題型5約分、通分

題型6最簡分式

題型7分式的乘除

題型8分式的加減

1、分式的定義

A

一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式。

B

注：A、B都是整式，B中含有字母，且BWO。

2、分式的基本性質

分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。

AACAA^C“小

BBCBB三C

3、分式的約分和通分

定義1:根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

定義2：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。

定義3：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做

分式的通分。

定義4：各分母的所有因式的最高次幕的積叫做最簡公分母。

典例分析

【題型1分式有、無意義的條件】

1_____________

【例1】（2024?四川綿陽?中考真題）使代數式胃+逐二獲有意義的整數萬有（）

Vx+3

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】B

【分析】根據組合代數式有意義的條件，分別根據分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，列不等式

求解即可.

【詳解】解：根據題意可得：

%+3>0,4—3%>0

4

解得—3<x<~,

???使代數式有意義的整數有-2,-1,0,1.

共有4個.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了代數式有意義的條件，關鍵是利用分式的分母不為零和二次根式的被開方數為非

負數，列不等式（組）求解，是?？碱}型，比較簡單.

【變式1-1】（2024?福建泉州?模擬預測）若久=-1使某個分式無意義，則這個分式可以是（）

x—12x4-12x—lx+1

B

A-K-TiTC.7rD.—

【答案】B

【分析】本題考查了分式無意義的條件，解題的關鍵是掌握分式無意義的條件，即分母等于0.

根據分式無意義的條件，對每個式子進行判斷，即可得到答案.

【詳解】解：A、由2x+l=0,得刀=一，故A不符合題意；

B、由％+1=0,得％=-1,故B符合題意;

C、由％-1=0,得％=1,故C不符合題意；

D、由2支+1=0,得％=-故D不符合題意；

故選：B.

【變式1-2］（2024?黑龍江綏化?中考真題）若式子里有意義，則x的取值范圍是.

X

【答案】x>一5且x豐0/X豐0且X>-5

【分析】根據分母不為零，二次根式的被開方數是非負數，列出不等式計算即可.

【詳解】???式子因有意義，

X

.■-X+5>0且x豐0,

.-.X>一5且x中0,

故答案為：XN—5且x羊0.

【點睛】本題考查了分母不為零，二次根式的被開方數是非負數，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件

是解題的關鍵.

【變式1-3】（2024內蒙古呼和浩特?一模）在算式5中，不能為零的字母是.

【答案】n,a,b

【分析】本題考查了有理數除法法則，分式有意義的理解，根據算式?+!中，除數不為。即可解答.

【詳解】解:短中,《不能為0,貝岫不能為0,

在?和色中，n不能為0,a不能為0,

九a

故答案為：n,b,a.

【題型2分式的值為0的條件】

X

【例2】（2024?江蘇?中考真題）若代數式工的值是0,則實數x的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】由二=0,，一1二0即可求解.

【詳解】解：由分母不為零得：x2-l*0,x1

,??代數式侖的值是0

■?■X=0

綜上：%=0

故選：B

【點睛】本題考查了分式有意義的條件、分式的值為零.掌握分式有意義的條件是關鍵.

【變式2-1］（2024?四川成都?二模）若分式的值為0,貝反的值為；若%2-2%-2=0,則x=

【答案】11+百或1-百

【分析】根據分式值為0的條件及配方法解一元二次方程即可求得答案.

本題考查分式值為0的條件及配方法解一元二次方程，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

【詳解】解：由分式值為。的條件可得|x|-1=0且（久+2）（%+1）*0,

解得：x=1；

%2-2X-2=0,

移項得：久2-2*=2,

配方得：X2-2X+1=3,

BP（x—I）2=3,

直接開平方得：久一1=±百，

解得：久=1+百或X=1一百；

故答案為：1；1+y或1-百.

2+x

【變式2-2］（2024?上海?一模）當尢=_____時，分式n的值為零.

--------n-x―

【答案】-2

【分析】根據分式為零的條件列方程求解即可.

2+x

【詳解】解：?.?分式于的值為零，

1+-X

.?.2+%=0且%W0且1+工H0,解得％=—2.

X

故答案為-2.

【點睛】本題主要考查分式值為零的條件，根據分式的值為0的條件列出方程是解答本題的關鍵.

【變式2-3］（2024?北京?一模）若分式的值為0,則x的值為.

%+3x—10

【答案】-1

【分析】本題考查了分式的值為零的條件，分式有意義的條件，因式分解，解題的關鍵是掌握分式值為零

的條件.已知分式的值為零，可得分子為零，分母不為零，即可求解.

【詳解】解「分式*品=拳餐的值為。，

.f|%+3|-2=0

"1(%+5)(%-2)*0)

解得：%=-1,

故答案為：-1.

【題型3分式的值】

【例3】(2024?四川雅安?中考真題)已知；+/=l(a+bK0).則署=()

A.1B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】本題考查的是條件分式的求值，由條件可得2b+a=ab,再整體代入求值即可；

1

【詳解】解：???O1+(=l(a+b,0)，

：.2b+a=ab,

a+ab

**a+b

a+a+26

a+b

2(a+b)

a+b

=2；

故選c

【變式3-1](2024?吉林?中考真題)當分式三的值為正數時，寫出一個滿足條件的x的值為.

【答案】0(答案不唯一)

【分析】本題主要考查了根據分式的值的情況求參數，根據題意可得x+l>0,則%>-1,據此可得答案.

【詳解】解：?.?分式三的值為正數，

.,.%+1>0,

.,.X>—1,

.??滿足題意的X的值可以為0,

故答案為：0(答案不唯一).

【變式3-2](2024?江蘇揚州?三模)能使分式翳值為整數的整數x有個.

【答案】8

【分析】此題主要考查了分式的值，正確化簡分式是解題關鍵.將黑詈轉化為3+義，進一步求解即可.

■、斗出刀、hjj6x+216x—9+303（2%—3）+3030

【詳觸】解：=2A3=3+n

??,分式的值為整數，

匕的值為整數，

.,.2x—3=±L±2,±3,±5,±6,±10,+15,±30,

,?,%也是整數，

.?.2%—3=±1,±3,±5,土15,

解得：x=2,x=l,x=3,x=0,%=4,x=—l,x=9,x=—6；

???能使分式爰罪為整數的整數X有8個.

故答案為：8.

【變式3-3】（2024?福建?中考真題）己知非零實數x,y滿足y=喜，則上產的值等于.

【答案】4

【分析】由條件y=*變形得，x-伊二孫，把此式代入所求式子中，化簡即可求得其值.

【詳解】由丫=喜得：xy+y=x,即x-y=xy

x—y+3xyxy+3xy4xy4

xyxyxy

故答案為：4

【點睛】本題是求代數式的值，考查了整體代入法求代數式的值，關鍵是根據條件丫=*，變形為

然后整體代入.

【題型4分式的基本性質】

【例4】（2024?河北保定?一模）不改變分式的值，將分式端聘中的分子、分母的系數化為整數，其結

果為（）

5x4-125y20x+500y2x+50y2x+5y

A，250x+yB.100x+4y01000x+4y口-x+4y

【答案】A

【分析】利用分式的基本性質，分子分母同時擴大相同的倍數即可求解.

0.02x+0.5y

【詳解】解:

x+0.004y

1000x(0.02%+0.5y)

1000x(%+0.004y)

20x+500y

lOOOx+4y

5x+l25y

250x+y'

故選：A.

【點睛】本題考查了分式的基本性質，分式的分子分母同時乘以或除以同一個不為零的數或整式，分式的

值不變.

【變式4-1］（2024?山東濟南?中考真題）若x,y的值均擴大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是

（）

A—B空C定D衛L

x-yD-X2J3/（x-y）2

【答案】D

【分析】根據分式的基本性質，x,y的值均擴大為原來的3倍，求出每個式子的結果，看結果等于原式的

即是答案.

【詳解】根據分式的基本性質，可知若x,y的值均擴大為原來的3倍,

2+3久2+x

3x-3y*x-y9錯誤;

黑力登，錯誤;

B、

54/2/錯誤;

27/3%2

18y22y2

9(f)2—(f2.正確;

故選：D.

【點睛】本題考查的是分式的基本性質，熟記分式的基本性質是解題的關鍵.

【變式4-2］（2024?河北邢臺?模擬預測）把分式：分母乘4,要使分式的值不變，分子應該加上（）

A.4B.7C.21D.28

【答案】C

【分析】本題考查分式的基本性質，熟練掌握分式基本性質是解題的關鍵.分式的基本性質：分式的分子

和分母同時乘上或除以相同的數（0除外），分式的大小不變；分式的分母乘上4,要使分式的大小不變，分

子也要乘上4,然后即可算出分子應該加上幾.

28-7=21,

故選：C.

【變式4-3］（2024?河北?中考真題）若aHb,則下列分式化簡正確的是（）

a+2aa-2aa2a51aa

A-由=7B.C.浮石D.］=g

【答案】D

【分析】根據a#b,可以判斷各個選項中的式子是否正確，從而可以解答本題.

【詳解】「awb,

二需力,選項A錯誤；

?手三,選項B錯誤；

D—Z口

2a

分7,選項c錯誤；

衿=*選項D正確；

2b

故選：D.

【點睛】本題考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確分式混合運算的計算方法.

【題型5約分、通分】

【例5】（21-22八年級上?河北滄州?階段練習）若將分式照與蕭石通分，則分式照的分子應變為（）

TillitaiLJ777.TTl

A.6m2—6mnB.6m—6n

C.2（m—n）D.2（m—n）（m+n）

【答案】A

【分析】分式怒與蕭石的公分母是2（巾+九）（巾-律），據此作出選擇.

【詳解】解：分式恕與■方的公分母是2（m+n）（m—n），則分式怒的分子應變為6nl（爪—m=6m2

—6mn.

故選：A.

【點睛】本題考查了通分.通分的關鍵是確定最簡公分母.①最簡公分母的系數取各分母系數的最小公倍

數.②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次寨的積.

【變式5-1］（2024?廣東廣州?二模）分式翳，^的最簡公分母是（）

A.3%B.xC.6x2D.6%2y2

【答案】D

【分析】確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數的最小公倍數；（2）凡單獨出現的字母連同它的

指數作為最簡公分母的一個因式；（3）同底數累取次數最高的，得到的因式的積就是最簡公分母.

【詳解】解：翳，5-靜的分母分別是3孫、2/、6町2,故最簡公分母為6/y2.

故選：D.

【點睛】本題考查了最簡公分母的定義及確定方法，通分的關鍵是準確求出各個分式中分母的最簡公分母,

確定最簡公分母的方法一定要掌握.

【變式5-2】（2024?廣西崇左?中考真題）化簡：與察=白..

【答案】CL+b.

【詳解】試題分析：先將分式的分子因式分解，再約分，即可求解：4需=號翳=能，故答案為a+b.

2azbz2azbz2ab

考點：分式的化簡.

2232

【變式5-3]（2024?廣東廣州?中考真題）已知a>3,代數式：A=2a-8,B=3a+6a,C=a-4a

+4a.

⑴因式分解/;

（2）在aB,c中任選兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式.

【答案】（l）2（a+2）（a—2）

⑵見解析

【分析】（1）先提取公因式，再根據平方差公式進行因式分解即可;

（2）將選取的代數式組成分式，分子分母進行因式分解，再約分即可.

22

【詳解】(1)解：A-2a-8=2(a-4)=2(a+2)(a-2);

（2）解：①當選擇/、2時:

B__3a?+6a_3a(a+2)_3a

A=2a2—8=2(a+2)(a-2)=2a-4’

A2a2—82(a+2)(a—2)_2a-4

B-3a2+6a-3a(a+2)-3a'

②當選擇N、。時：

C_a3—4a2+4a_a(a-2)2_a2—2a

A2a2—82(a+2)(a-2)2a+4'

A_2a2-8_2(a+2)(a-2)_2a+4

Ca3—4a2+4aa(a—2)2a2—2a"

③當選擇2、C時：

C_。3-4。2+4。_a(a2)2_a2—4a+4

B-3a2+6a-3a(a+2)-3a+6'

B__3a?+6a_3a(a+2)_3a+6

Ca3-4a2+4aa(a—2)2a2—4a+4

【點睛】本題主要考查了因式分解，分式的化簡，解題的關鍵是掌握因式分解的方法和步驟，以及分式化

簡的方法.

【題型6最簡分式】

【例6】(2024?山東濰坊?模擬預測)已知三張卡片上面分別寫有6,x-1,久2—1,從中任選兩張卡片，組

成一個最簡分式為.(寫出一個分式即可)

【答案】搭*

【分析】直接利用分式的基本性質以及最簡分式的定義形如卷/、3是整式，8中含有字母且5不等于0

的式子叫做分式，一個分式的分子與分母沒有非零次的公因式時叫最簡分式分析得出答案.

【詳解】解：6為分母時不是分式，

t=x+l不是分式，

x—1

罟=三含=三不是最簡分式，

二是最簡分式，

故答案為：1*.

【點睛】本題考查分式的基本性質以及最簡分式的定義，解題的關鍵是掌握分式的基本性質以及最簡分式

的定義.

【變式6-1](2024?福建福州?二模)若山為實數，分式*2不是最簡分式，則爪=

x+m

【答案】0或一4

【分析】由分式*2不是最簡分式可得x或x+2是x2+m的一個因式，分含x和x+2兩種情況，根據多項式

x+m

乘以多項式的運算法則求出m的值即可.

【詳解】???分式竽藝不是最簡分式，

x+m

.--X或x+2是x2+m的一個因式，

當x是x2+m的一個因式x時，設另一個因式為x+a,

則有x(x+a)=x2+ax=x2+m,

當x+2是x2+m的一個因式時，設另一個因式為x+a,

貝有(x+2)(x+a)==x2+(a+2)x+2a=x2+m,

fa+2=0

"tm=2a'

解得：[m=-t

故答案為：。或-4.

【點睛】本題考查最簡分式的定義及多項式乘以多項式，根據題意得出x或x+2是x2+m的一個因式是解題

關鍵.

【變式6-2】(2024?河北保定?一模)要將分式普化成最簡分式，應將分子分母同時約去它們的公因式，

20mzn

這個公因式是.

【答案】5mn

【分析】本題考查約分，約掉分式分子分母的公因式就能將分式化為最簡分式，熟記分式約分法則，準確

找到分式分子分母公因式是解決問題的關鍵.

【詳解】解：要將分式熟-化成最簡分式，應將分子分母同時約去它們的公因式，這個公因式是5nm,

20mzn

故答案為：5mn.

【變式6-3](2024?河北石家莊?一模)有分別寫有x,%+1,比-1的三張卡片，若從中任選一個作為分式?

x^—1

的分子，使得分式為最簡分式，則應選擇寫有的卡片.

【答案】X

【分析】根據最簡分式是分子與分母沒有公因式的分式以及分式的性質解答即可.

【詳解】解：「一

(x+l)(x-1)X—1

x2-l-(x+l)(x-l)-x+1

K是最簡分式，

二應選擇寫有X的卡片,

故答案為：X.

【點睛】本題考查分式的性質、最簡分式，熟記平方差公式，理解最簡分式的定義是解答的關鍵.

1考點二4、分式的運算。1

1知識導航”

1、分式的乘除

①乘法法則：1二=落。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

土四。分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

②除法法則：

bdbcb-C

③分式的乘方：=￡。

分式乘方要把分子、分母分別乘方。

④整數負指數幕：

a

2,分式的加減

同分母分式相加減，分母不變,把分子相加減；

異分母分式相加減，先通分，變為同分母的分式，再加減。

①同分母分式的加減：-±-=—;

CCC

②異分母分式的加法：￡±三="土生,_ad±bc

bababa「bd°

注：不論是分式的哪種運算，都要先進不亍因式分解。

■iliHiiA----------------------------

【題型7分式的乘除】

【例7】（2024?江西?模擬預測）計算（-:e的結果為（）

A.富B.Qr廬

CLCLC?一康

【答案】A

【分析】先計算乘方，再計算除法即可求解.

【詳解】解：（一邛一1

\a/az

3

—___b__:__1_

-a3,a2

b3

2

=-a-3.a

=_Q

a,

故選：A.

【點睛】本題考查分式混合運算，熟練掌握分式乘方與除法運算法則是解題的關鍵.

21

【變式7-1］（2024?湖北隨州?中考真題）義一生一的計算結果為（）

4xz—2%

x2x2x?2

A------R------「---r）----------

x+2D-x+2Jx-2U'x（x+2）

【答案】B

【分析】先把分母因式分解，再把除法轉換為乘法，約分化簡得到結果.

21

【詳解】工二士丁二

4x￡—2x

21

—（x+2）（x—2）'x（x—2）

=（*+2）0-2產（%-2）

2x

=x+2,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了分式的除法，約分是解答的關鍵.

【變式7-2］（2024?河北?中考真題）老師設計了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡，規則是：每人只

能看到前一人給的式子，并進行一步計算，再將結果傳遞給下一人，最后完成化簡.過程如圖所示：

接力中，自己負責的一步出現錯誤的是（）

A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁

【答案】D

【分析】根據分式的乘除運算步驟和運算法則逐一計算即可判斷.

【詳解】???馬+”、

x—11—x

X2—2X1—%

-x-1X2

_X2-2X

-x-1'X2

_x(x-2)-(%-1)

-x-1x2

x

2-x

=~

???出現錯誤是在乙和丁，

故選D.

【點睛】本題考查了分式的乘除法，熟練掌握分式乘除法的運算法則是解題的關鍵.

【變式7-3］（2024?寧夏銀川?二模）老師在黑板上書寫了一道題目的正確計算過程，隨后用手遮住了其中

一部分，如圖所示：

+x_X+1

-----MX2-2X+\X+\X-\

（1）求被手遮住部分的代數式.

（2）等式左邊代數式的值能等于0嗎？請說明理由.

【答案】⑴*

（2）不能，理由見解析

【分析】（1）設被手遮住部分的代數式為a根據題意得出力的表達式，再根據分式混合運算的法則進行

計算即可;

（2）令原代數式的值為0,求出X的值，代入代數式中的式子進行驗證即可.

【詳解】（1）設被手遮住部分的代數式為

川,4=￡+1*三?

人」x-lXx+1X2-2X+1

XX—1

~x-1XX+1

X

%+1;

（2）原代數式的值不能等于0.

若原代數式的值為0,則筆=0,即x+l=0,解得％=-1,

X—1

當X=-l時，X+1=0,分式無意義,

???故原代數式的值不能等于0.

【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，在解答此類提問題時要注意X的取值要保證每一個分式有意義.

【題型8分式的加減】

【例8】（2024?新疆烏魯木齊?中考真題）若實數a,b滿足ab=l,設"=高+3，N=±+±，則

M,N的大小關系為MN.（用">"、"="或連接）

【答案】=

【分析】本題考查了分式的混合運算，在解題時要注意先對分式進行化簡，再代入求值即可.

本題只需要先對河、N分別進行化簡，再把油=1代入即可比較M、N的大小.

,ab2ab+a+b

【詳解】斛：+Qa+IXb+iy

N」「=2+a+b

a+1b+1(a+l)(b+l)f

?：ab=1,

ab2+a+b

?1\A—------_L.—-----------------

,,11~a+1b+1~(a+l)(b+l)'

??.M=N

故答案為：—.

Qv—4Ao

【變式8-1](2024?黑龍江大慶?中考真題)已知則實數A=

【答案】1

【分析】先計算出工+白=窄篝祭，再根據已知等式得出A、B的方程組，解之可得.

AB_i4(x-2)5(x—1)Q4+B)x-(2/+3)

【詳解】

+x^2=(x-l)(x-2)+(x-l)(x-2)0—1)0—2)

3x-4AB

(x-l)(x—2)x—1*x—2

(A+B=3

3+8=4'

解得:修w

故答案為：1.

【點睛】本題考查了分式的加減法運算，熟練掌握分式加減運算的法則、得出關于A、B的方程組是解本題

的關鍵.

【變式8-2](2024?河北?中考真題)如圖，約定：上方相鄰兩數之和等于這兩數下方箭頭共同指向的數.示

例:即4+3=7,則(1)用含x的式子表示m—(2)當》=2時，n的值為.

【分析】（1）根據題意，可以用含X的式子表示出相；

（2）根據圖形，可以用x的代數式表示出乃列出關于x的分式方程，從而可以求得x的值，進而得到〃

的值.

【詳解】解：⑴由圖可得m=5+?=*

故答案為：

（2）:y=m+n=（：+/+依+3）=：+3,y=2,

2

???一+3=2,

X

解得，%=-2,

故答案為：

【點睛】本題考查了分式的加減、解分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的代數式及分式方

程及求出方程的解.

【變式8-3］（2024?四川達州?中考真題）人們把專1=0.618這個數叫做黃金比，著名數學家華羅庚優選法

中的“0.618法"就應用了黃金比?設。=與，6=與1，記另=士+￡，$2=舟+品，…，Si°o=蒜

100L,

+不痂，則Si+S2+-+Sioo=.

【答案】5050

【分析】利用分式的加減法則分別可求S/=LSz=2,S“°=100,???，利用規律求解即可.

【詳解】解：「。=年，警，

??e=年X警=1,

112+a+b2+a+b

C=--------1--------=-----------------=-----------=1,

11+a1+b1+a+b+ab2+a+b

22

Si=---7+--7=2X---------------------=ZX--------------=Z,

21+a21+b2l+a2+/+a2b2-----------2+a2+b2

1001001+a100+1+bwo

Swo=100100100wowowo100

1+a+1+fo=*1+aioo+b+ab=

S]+S2+…+Si。。=1+2+...+100=5050

故答案為：5050

【點睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運算，求得ab=l,找出的規律是本題的關鍵.

【題型9分式的混合運算】

【例9】（2024?四川瀘州?中考真題）化簡：（注+山—1）十巖.

【答案】m+2

【分析】先計算括號內的，通分后利用同分母的分式運算法則求解，然后將除法變成乘法，約分即可得到

結果.

【詳解】解：(鬻+2”需

(4m+5m2—1\m+1

~\m+1+m+1Jm+2

(m+2)2m+1

=---------------

m+1m+2

=7n+2.

【點睛】本題考查分式的化簡求值，掌握相關運算法則和運算順序是解決問題的關鍵.

【變式9-1]（2024?山東威海?中考真題）試卷上一個正確的式子（木1+1工）+★=總7被小穎同學不小心

滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代數式為（）

aa—ba4a

A.—a-brB.--a-C.a~+~bTD.d-^；~-b727

【答案】A

【分析】根據分式的混合運算法則先計算括號內的，然后計算除法即可.

117

【詳解】解：（前+力）+★=/

a—b+a+b2

(a+b)(a-b)'*-a+b

2a2

(a+b)(a-b)*a+b

故選A.

【點睛】題目主要考查分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵.

【變式9-2]（2024?內蒙古通遼?中考真題）以下是某同學化簡分式乎十（a-弛p）的部分運算過程:

解:原式=二+a-—+型把.....第一步

aaa

aaa2ab—b2

（1）上面的運算過程中第步開始出現了錯誤;

（2）請你寫出完整的解答過程.

【答案】⑴一

（2）見解析

【分析】（1）根據解答過程逐步分析即可解答；

（2）根據分式混合運算法則進行計算即可.

【詳解】（1）解：

a-b（a22ab—b2\

a—b(a2-2ab+b2

故第一步錯誤.

故答案為：一

a22ab―心

aa

a-ba

-....x-------

a(a—b)2

1

a-b'

【點睛】本題主要考查了分式的混合運算，靈活運用分式的混合運算法則是解答本題的關鍵.

【變式9-3](2024?河北?中考真題)如圖，若x為正整數，則表示轉的值的點落在()

X2+4X+4X+1

????

__1/~一、、.’"~'、Ja

^02041k622^

A.段①B.段②C.段③D.段④

【答案】B

【分析】將所給分式的分母配方化簡,再利用分式加減法化簡，根據x為正整數，從所給圖中可得正確答

案.

入-1@+2)211X

L評解】解:.言^一式？二/蘇一二？=1一力=力.

又?.*為正整數，弓W*<1，故表示篝誓-告的值的點落在②.

故選B.

【點睛】本題考查了分式的化簡及分式加減運算，同時考查了分式值的估算，總體難度中等.

【題型10分式的化簡求值】

【例10】(2024?西藏?中考真題)先化簡，再求值：(1+總).哼之請為〃7選擇一個合適的數代入求值.

【答案】6+2,取m=l,原式=3.

【分析】本題考查了分式的化簡求值.原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時分子

分解因式，約分得到最簡結果，把合適的加值代入計算即可求出值.

【詳解】解：(1+總)?魯

/m—22\(m+2)(m—2)

一(m—2+m—2/m

m(m+2)(m—2)

=-------------------

m—2m

=m+2,

vm—2HO,m0,

.,.mW2,m0,

?,.取m=1,原式=1+2=3.

【變式10-1】（2024?山東荷澤?中考真題）若a2—2a-15=0,則代數式（口一彳）.告的值是.

【答案】15

【分析】先按分式混合運算法則化簡分式，再把已知變形為屋一2a=15,整體代入即可.

【詳解】解：（a—審）.號

=（a-2）2.O2

aa—2

=a（a-2）

=a2-2a,

^a2-2a-15=0,

2

?'-a-2a=15f

???原式二15.

故答案為：15.

【點睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關鍵.

【變式10-2】（2024?山東淄博?中考真題）化簡分式：2。丁?+上字,并求值（請從小宇和小麗的對話

a^—2ab+b￡a—b

中確定a,b的值）

a是3的~6是大于1且小

相反屐。|于石質整數。

小宇小麗

【答案】占I

【分析】本題考查分式的化簡求值，無理數估算；根據對話可求得a,6的值，將原分式化簡后代入數值計

算即可.

【詳解】解：依題意，a=-3,1<6〈代且b為整數，又2（而<3,貝必=2,

a2—Z?21—a—b

a?—2ab+b2a—b

（a+b）（a—b）1—CL-b

~--------------------1-----------

（a—h）2ct—b

a+b1-a—b

=---------H------------:-

a—ba—b

i

a-b

11

當。=-3,6=2時，原式=

-3-25

【變式10-3】（2024?浙江麗水?中考真題）如圖，標號為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形

PQMN,已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個矩形的面積都是5.4E=a刀E=且a>b.

ED

B

（1）若a,b是整數，則PQ的長是

|S四邊形ABC。

（2）若代數式。2-2防-反的值為零，則的值是.

【答案】ci-b3+

【分析】（1）根據圖象表示出即可;

（2）根據。2-2防一52=。分解因式可得（a-b+丘辦）9一小一丘｝）=0,繼而求得Q=b+V^b,根據這四個

矩形的面積都是5,可得EP=?EN=3,再進行變形化簡即可求解.

【詳解】（1）???①和②能夠重合，③和④能夠重合，AE=a,DE^b,

???PQ=a-b,

故答案為：a—b；

(2)va^-Zab-b2=0,

??.a?—2ab+62-2￡)2=(a—/?)2-2fo2=(a—b+(a—b=0,

a-b+近b=0或Q—b—&b=0,即a=b—y/2b(負舍)或a=b+五b

???這四個矩形的面積都是5,

EP=-,EN=f,

ab

.S四邊形ABCD_(a+b)?庫+|)_(a+b>5(：；b)_」+b)2

"S矩形PQMN(a-b)(1-j)(a-b)-^|S(a—b)2'

a2+b2+2aba2+b2+a2—b2a2

a2+b2—2aba2+b2—a2+b2b2

_(b+V2b)2

=3+2V2.

b2

【點睛】本題考查了代數式及其分式的化簡求值，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的根據.

【題型11分式的最值問題】

【例11】(2024,河北滄州?模擬預測)觀察分式變形過程：磐=^^=匕1+*=1+三，其中

a—1a—1a—1a—ia—1

"O""口""?"分別蓋住了一個整數.

(1)"O""口""?"表示的整數;(填"相同"或"不相同”)

(2)當a20時，得的最小值為.

【答案】相同一4

【分析】(1)根據分式變形步驟分別求出各個符號蓋住的值即可得出結果；

(2)將分式按照題干方法變形求解即可.

【詳解】解：⑴管=與苧=w+言=1+占

.,.o=2,口=2,0=2,

故答案為：相同；

2a-8_2(a+2)-12_Q12

(2)a+2~a+2--~a+2,

,?,a>0,

二當a=°時，磊=6取得最大值，

鬻的最小值為2-6=-4,

故答案為：-4.

【點睛】題目主要考查分式的化簡變形，熟練掌握分式的運算法則是解題關鍵.

【變式11-1](2024?山東荷澤?一模)已知M=U，N=三,記P=M-N.

⑴若選擇一個你喜歡的整數作為X的值，求p的值.

(2)求P的最大值.

【答案】(1)答案不唯一，如％=0時，P=—5

(2)-；

【分析】本題考查了分式的乘法運算，以及二次函數的最值問題，熟練掌握運算法則和相關知識點是解決

本題的關鍵.

(1)利用分式乘法運算法則計算即可；

(2)將問題轉化為二次函數求最值，配方即可.

111

【詳解】（1）解：P=M-N=---=^^,

1

當x=0時，P=--；

⑵解：P=M,N=U^，

令丫=*2_2*_3=作_1)2_42_4,；.當*=1以211=_4,即Pmax=_\

【變式11-2】(2024?福建泉州?模擬預測)由淺入深是學習數學的重要方法.已知權方和不等式為Q+肥2

xy

陪，當且僅當智手寸，等號成立.那么：若正整數X,y,z滿足比+3y+2z=l,求流+展的最小值.

【答案】7

【分析】根據題意得出當且僅當康=島時，流+導取最小值西瑞喘礪，根據康=島

得出4y+8z=x+2y,根據％+3y+2z=1得出2z=1—%—3y,將其分別代入4y+8z=%+2y和2y+4z,

即可進行解答.

【詳解】解??.?止空+/_=_S+2y)2_+二L

L什用牛,.?2y+4z丁x+2y(2y+4z)(%+2y)丁x+2y

.K+2y4(%+2y+2)2

"2y+4z+x+2y~(2y+4z)(x+2y)+x+2yy

當且僅當(2y+：荒+2y)=隔時，等號成立，蒜梨+品取最小值；

12

即許=行時，等號成立；

：Ay+8z=%+2y①，

vx+3y+2z=1,

.,.2z=1—x—3y@,

把②代入①得：4y+4(i-x-3y)=x+2y,

,4

整理得：5x+10y=4,則x+2y=g；

把②代入2y+4z得：2y+4z—2y+2(1—%—3y)=-2(%+2y)+2=—2x-+2=

.(x+2y+2)z=Q+2)Z=

”(2y+4z)—+2y二x泊一?

即聾+S的最小值為7?

【點睛】本題主要考查了整式混合運算，以及分式的混合運算，解題的關鍵是正確理解題意，理解題中權

方和不等式成立的條件.

【變式11-3](2024?重慶沙坪壩?三模)如果有一個三位數根，百位為9,十位和個位之和也是9,我們把

這個三位數稱為“爾畔數"，把小的百位和個位互換位置得到數次.并規定F(m)=等，例如918,79=1+8

且百位是9,二918是“爾畔數"，F(918)=誓竺=193.

(1)判斷946是不是“爾畔數”，求出F(936);

(2)己知s和t都是“爾畔數”，且2F⑸+F(t)=570,并規定K=器，求K的最大值為多少？

【答案】(1)946不是“爾畔數"；F(936)=175；(2)K的最大值為詈.

【分析】(1)仿照樣例進行計算便可；

(2)設s和f的個位數分別是的、積且0＜1％0＜犯＜9,根據樣例求出F(s),F(t),再根據2F(s)+F

(t)=570,求得%2=23-,進而求得K的最大值.

【詳解】⑴???4+6=10。9,

.*.946不是“爾畔數”;

936+639

=175;

尸(936)=9

(2)???s和1都是〃爾畔數”,

設s和才的個位數分別是％1、也，且0<汽149,0<%2<9,

?,?s=900+10(9-％1)+/=990-9久J

t—900+10(9—%2)+冷=990-9%2，

S[=100%i+10(9—%。+9=99+90/，

力1=100%2+10(9-%2)+9=99+90%2,

廠990-9x1+99+90x1八

?*(s)=-----------------=121+9%1，

990-9X+99+90X

22=121+9%,

F(t)=92

???2F(s)+F(t)=570,

*'-2(121+9工。+121+9X2=570,

??-2x1+x2=23,即％2=23—2%

口尸⑸121+9%1121+9久i121+9%!1285

?"二兩——L

121+9X2121+9(23-2%!)328-18%!2328-18%/

???巧越大，翥樂才越大，

，1.OX-y

二當XL9時，K最大,最大值為《+京餐=署

??.K的最大值為鬻.

【點睛】本題主要考查了新定義，分式的運算，關鍵是根據新定義，把新知識轉化為常規知識進行解答.

【題型12分式運算的實際應用】

【例12](2024?福建寧德?一模)福安葡萄享有"北有吐魯番，南有閩福安”的美譽，某農場分別種植甲、乙

兩種葡萄，去年甲種葡