專題強化2：空間向量和立體幾何考點精練

【基礎鞏固】

1.如圖，已知空間四邊形48co的對角線為/C,BD,設G是CD的中點，貝1」42+；(2￡>+3。等于()

A.AGB.CGC.BCD.

【答案】A

【分析】根據空間向量的線性運算即可.

【詳解】G是CD的中點，所以

AB+^(BD+BC)=AB+BG=AG

故選：A.

2.已知空間向量a=(-2,l,T),^=(1,-1,2),。=(一7,-5,m)若，“，b,"共面，則實數加的值為()

A.-14B.6C.-10D.12

【答案】A

【分析】根據向量共面，建立方程組，解得答案.

—2=x—7y

【詳解】由a,b,c共面，可設。=M+yc,則<l=-x-5y,

-4=2x+my

17

x=-----

—2=x—1y1217m

由,J,解得代入第三個方程可得：T=+S解得根=-14.

l=-x-jy1o12

y二一

12

故選：A.

3.已知向量a=(-1,3,7),方=(2,九九)分別是直線4,4的方向向量，若則加一〃=()

A.8B.20C.-8D.-20

【答案】A

【分析】根據空間向量平行的坐標表示求解可得.

【詳解】因為"4,則存在實數幾使得a=26,

24=—1

所以(一1,3,7)=4(2,w),gp<Am=3,解得a=」，m=—6,n=-14,

An=7

所以m—n=—6+14=8.

故選：A.

4.如圖，設0為平行四邊形ABCD所在平面外任意一點，石為。。的中點，^OE=^OD+xOA+yOB,則

%+y的值是()

A

3

A.—2B.0C.—1D.一

2

【答案】B

【分析】根據向量的線性運算的幾何表示，得出結合條件即可得出答案.

222

【詳解】石為OC的中點，

:.OE=^OC=^OD+DCy

四邊形ABCD為平行四邊形，「.00=45,

：.OE=-(OD+AB)=-(OD+OB-OA]=-OD+-OB--OA.

2、,2、7222

OE=OD+xOA+yOB,

11

x=—,y=—,

22

x+y=0,

故選：B.

5.在空間直角坐標系。-盯z中，點A(l,2,3)關于％軸對稱的點的坐標為()

A.(-1,-2,-3)B.(-1,2,-3)

C.(1,-2,-3)D.(-1,-2,3)

【答案】C

【分析】根據關于x軸對稱的點的橫坐標不變，縱坐標、豎坐標變為原來的相反數即可求解.

【詳解】?.關于x軸對稱點的橫坐標不變，縱坐標、豎坐標變為原來的相反數，

???對稱點為(1,-2,-3).

故選：C.

6.已知直線/的方向向量為機=(1,-2,4),平面a的法向量為(羽1,-2),若直線/與平面a平行，則實數無的

值為()

A.—B.—C.10D.—10

22

【答案】C

【分析】依題意可得加1.W，即可得到"”=0,從而得到方程，解得即可.

【詳解】因為直線/的方向向量為機=(1,-2,4),平面a的法向量為/=(見1,-2),

若直線/與平面a平行，則根_1_〃，即即x-2-8=0,解得尤=10.

故選：C.

7.二面角a-'#的平面角為60。，A,2是棱/上的兩點，AC,AD分別在半平面a,6內，AC±Z,BDLI

且/慶NC=1,BD=2,則CD的長為()

A.百B.2^/2C.V5D.2

【答案】D

【分析】利用二面角、空間向量的數量積運算、空間向量的模、夾角與距離求解問題

【詳解】團二面角尸的平面角為60。，

A,8是棱/上的兩點，AC,3。分別在半平面a、6內，AC±Z,BD11,

二.(AC,皿=60,ACBA=0,ABBD=0,

CD=CA+AB+BD

■■■|cz>|=Q(CA+AB+BD)2

=+A^+BD+2[CAAB+CABD+ABBD^

I~r2^2；

=\ICA+AB+BD+2CABD

=Vl2+12+22+2xlx2xcosl20

=2

故選：D.

8.如圖，在棱長為2的正方體ABCO-ABCA中，瓦尸,G分別為￡（2，以）,8月的中點，則E尸與CG所成

的角的余弦值為（）

、布RV5「岳nM

1051515

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標系，分別求得EF=（l,L-l）,CG=（2,0,l）,再利用向量的夾角公式求解.

【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標系：

則0（0,0,0）,3（2,2,0）0（0,2,0）,男（2,2,2）,〃（0,0,2）,雙0,0,1）,尸。,1,0）。（2,2,1）,

EF=（1,1,-1）,CG=（2,0,1）EFCG=1,助=?CG卜氐

EFCG1V15

cos（EF,CG）=

￡F|.|CG|A/15IT

故選：c

9.(多選)已知向量&=(l,T,〃z),6=(-2,1,2),則下列結論中正確的是()

A.右"I。1=2,則加=±J5

B.若a_Lb，則根=T

C.不存在實數、，使得a=2b

D.右1，則。+。=(—L—2⑵

【答案】ACD

【分析】運用空間向量的垂直、共線的表示及應用，以及空間向量的數量積的運算、模的運算，逐項判斷

即可.

【詳解】對于A項，由|a|=2可得=2,解得機=±&，故A項正確；

對于B項，由a_L6可得辦=—2+1-/"+2〃?=0，解得〃?=1,故B項錯誤；

1=-22?

對于C項，假設存在實數4,使得&=勸,貝“-1=2(%-=所以不存在實數2,使得。=例，故

m=22?

C項正確；

對于D項，由°力=-1可得-2+1—"?+2〃2=-1,解得刀=0,所以a+b=(-l,-2,2),故D項正確.

故選：ACD.

10.(多選)已知直線/的方向向量為〃，兩個不重合的平面a,夕的法向量分別為%,n2,則()

A.若〃//%,貝!!/_LaB.若〃.%=(),則〃/tz

C.若a"/的，則a〃4D.若4?%=0,則。

【答案】ACD

【分析】對于A：利用法向量的定義直接判斷；對于B：判斷出〃/a或/在面a內；對于C：由垂直于同一

直線的兩平面平行即可判斷；對于D：由面面垂直的判定定理判斷.

【詳解】對于A：因為〃//4,%為平面。的法向量，所以〃為平面a的一個法向量，所以故A正確；

對于B：因為凡為平面a的法向量，直線/的方向向量為〃，且〃j=0,所以〃/a或/在面a內.故B錯誤;

對于C：因為兩個不重合的平面a,尸的法向量分別為4,n2,且4//%,由垂直于同一直線的兩平面平

行可知：a〃正故C正確；

對于D：因為4?%=(),所以

又因為兩個不重合的平面a,夕的法向量分別為n2,

所以由面面垂直的判定定理可得：故D正確.

故選：ACD

11.在空間直角坐標系中，點4(1,2,3)與點3(1,3,5)之間的距離.

【答案】75

【分析】由空間中兩點間距離公式即可求解.

【詳解】由空間中兩點間距離公式可得|=7(1-1)2+(3-2)2+(5-3)2=V5,

故答案為：小

12.已知向量。=(1,1,0),。=(-1,0,。)，且,+可=占,匕+6與2a-5互相垂直，則實數左=.

7

【答案】I

【分析】求出。+6=(0,Lc),根據向量模長公式列出方程，求出C=±2.再分c=2與c=-2兩種情況，根據

向量垂直列出方程，求出實數人的值.

【詳解】a+/，=(-l,0,c)+(l,l,0)=(0,l,c),

所以k+.=^/I7/=石，解得c=±2.

當c=2時，

ka+b=(k,k,O)>+(-1,0,2)=(X-1,k,2),

2a-/?=(2,2,0)-(-l,0,2)=(3,2,-2),

因為姐+〃與2a-6互相垂直，

7

所以3化—1)+2022=0,解得k=g.

當c=-2時，ka+b=(k,k,0)+(-l,0,-2)=(k-l,k,-2),

2a-b=(2,2,0)-(-l,0,-2)=(3,2,2)

因為%+萬與2°-石互相垂直，

所以3化―1)+2左一22=0,解得左=(,

綜上：k=g7

7

故答案為：—

13.在平行六面體A3CQ-4與。1，中，E,尸分別是棱G2，3⑸的中點,'=a,AD=b，A4j=c,則

E77等于(用a，b,c表不).

【答案】\a-b-\c

22

【分析】連接G/，利用空間向量的線性運算求解.

【詳解】連接G尸，EF=EC]+CF=:AB+C]Bi+BiF=ga—b—gc,

故答案為：^-a-b---c

22

14.如圖，在棱長為1的正方體5co-A用￡2中，E為線段A片的中點，則點。到平面A石G的距離等于

D

【答案】近

6

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求點到平面的距離.

如圖，建立空間直角坐標系，則A(l,o,l),G(0,1,0),C(0,l,l),

AE=,AC,=(-l,l,-l),設平面AEG的一個法向量為w=(x,y,z),

AE?〃=0-y-z=0『「

，即,2，,取孔=(1,2,1),XAC=(-1,1,0),

AC/〃=0-x+y-z=0

所以點C到面AEG的距離=*=

\n\V66

故答案為：￡

15.已知a=(l,-2㈤=若夾角為鈍角，則實數4的取值范圍是

【答案】2〉-5且2W1

【分析】根據題意得出a)<0且一與6不共線，然后根據向量數量積的定義及向量共線的條件即可求出答

案.

【詳解】因為a與。的夾角為鈍角，所以且a與b不共線，

因為a=(l,-2,X),b=,所以a%=—l—4—九＜0,解得幾＞—5,

l=-k

當〃與人共線時，a=kb，BP（1-2,2）=A;（-1,2-1）,貝lj—2=2左，解得上=

A=-k

所以4>-5且4wl.

故答案為：2>-5且％wl.

16.正方體ABCD-ABCR中,E為線段BB}的中點，則直線G片與平面所成角的正弦值為

【答案】a

10

【分析】建立空間坐標系，利用法向量求解線面角.

【詳解】以。為坐標原點，D4，DC,DD1所在直線分別為尤,y,z軸，建立空間直角坐標系,

如圖,設正方體的棱長為2,則8(2,2,0),4(2,0,2),0(0,0,2),E(2,2,1),G(0,2,2)；

EC；=（-2,0,1）,BA=（0,-2,2）,RA=（2,0,0）；

n-￡）,A=0?2x=0

設平面ARB的一個法向量為n=(尤,y,z),則

nB\=02z—2y=0

令y=l,貝!=

\n-Ec]1y/lQ

設直線CE與平面ADB所成角為e,則sin0=T-Tj----r=—r=-r=-----.

XX}忖歸G|行x石10

【綜合運用】

IT

17.（多選）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，ZDAB=~,AB^2AD^2PD,PD1

底面ABC。，貝ij（）.

A.PA±BDB.PB與平面A3CD所成角為芻

6

c.異面直線A3與尸C所成角的余弦值為由D.二面角A-PB-C的正弦值為畫

57

【答案】ABD

【分析】連接50,由已知結合余弦定理與勾股定理逆定理可得3D，相）,于是可建立空間直角坐標系，根

據空間向量的坐標運算逐項判斷即可.

JT

【詳解】連接50,因為=設AB=2AD=2PD=2a,

由余弦定理得BI）?=AD?+AB2-2AD-A5-COS/BAZ）,

所以BD2=a"+4<i2—44—=3a",則BD=y/3a,

2

則=.2,即BD_LAD,又PD_L底面ABC。，u底面ABCD,

所以_LA￡>,_L8。，

如圖，以。為原點，必。民上分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

則￡）（0,0,0）,4（4,0,0）,40,屈,0），4-4,島,0）,2（0,0,<2）

對于A,所以PA=（a,0,-a）,3。=（0,-島,0）,則尸430=0+0+0=0，

所以外故A正確；

對于B,又PB=（0,6a「C，因為即，底面ABC。，所以DP=（0,0,a）是平面A8CD的一個法向量，所以

cos(尸民=PBDP1

MM2a-a

1____TT

則尸3與平面ABC。所成角的正弦值為7，即/>3與平面A5co所成角為二，故B正確;

/0

對于C,A8=「a,尸。=卜〃,迅。,一。）,

則cos（A氏尸。）=A8PC4+3〃+0

WM2a-yf5a

則異面直線A3與尸C所成角的余弦值為半，故C錯誤;

PAn=Oaxx-az1=01玉=4

對于D,設平面E4B的法向量為〃=（%,%,zj,則v=>令％=1,

AB?〃=0-a\+百=0再=6y、

則”=（右,1,石卜

PB-m=0y/^ay2-az2=0fz2=0%

設平面P8C的法向量為加=（*2，%，22），貝卜n，令%=1，則

PCm=0-ax2+不ay?-az2=0&=0

加=(0,1,@,

~一/\n-m0+1+32s

所以COS5,”7)=^^

>/7x2一7

令二面角A—P3—C所成角為。（。4。6乃），貝1]|??。|=乎

則平面上45與平面PBC的夾角的余弦值為亞，

7

所以sin6=Jl-cos?0=，故D正確.

7

故選：ABD.

18.在空間直角坐標系。-到z中，已知A（l,-2,0）,8（2,1,0）,C（l,l,3）,則三棱錐O—ABC的體積為

【答案】|

【分析】求出平面ABC的一個法向量〃=（3,-1,1）,從而可求點0到平面ABC的距離，求出ABC即可得棱

錐的體積.

【詳解】鉆=（1,3,0）,3。=（-1,0,3）,設平面43。的法向量為〃=（無,型）,

ri-AB=x+3y=0

則?令x=3,可得y=-l,z=l,所以〃=(3,-l,l).

n-BC=—x+3z=0

\n-OA\55vH

所以點0到平面ABC的距離為h=

V9+1+111

2

(、2

XXX

2ABBC(1(-1)+30+03)_1

VLpUn〉c\ZA1R2J,QBLC\7—

〔VioxVioJ100,

所以S-8C==gx而xMJl—cos?(AB,BC)=5xJl—卷=5義^^=邛^,

15vH37n5

所以^O-ABC—x------x--------二—

31122

故答案為弓.

19.如圖：正三棱錐A3CD中，區/分別在棱AB、A￡>上，AE:EB=AF:FD=1:2,且CE?取'=0,則NB4C

的余弦值為.

【答案】|3

【分析】設NBAC=/由AE:￡B=AF:ED=1:2可得AE=gAB,AP=gAr>,又CEBF=Q，得

3

(CA+AE)-(BA+AF)=0,禾！］用數量積的運算律可得cos6=亍.

【詳解】正三棱錐ABCD中，設N54C=e,且側棱長相等，

因為AE:E3=AF:FD=1:2,

所以==又CEBF=0,

所以(CA+AE>(A4+AF)=0,

:.CABA+CA-AF+AE-BA+AE-AF=O

.-.|CA|x|BA|cos6?+|CA|x||A￡)|cos(7r-6>)-||AB|x|BA|+1|AB|x||AD|cos6>=0

即cos0——cos0——4—cose=0,

33

解得cos。=三，即/B4C的余弦值為不

77

3

故答案為：—

20.在三棱錐產一N5C中，底面/3C,底面N8C為正三角形，PA^AB,則異面直線P8與NC所成角

的余弦值為

【答案】@

4

【分析】以A民AC,PA為基底，運用空間向量求解.

【詳解】設=m,貝！jP3?AC=(PA+A3}AC=P4AC+A3?AC=m2cos1=3^2,

m

/.cos/PB,Ac\PB.AC5'=e

IP4IACIy/2m24

故答案為：乎

【拓廣探究】

21.如圖所示，正方體的棱長為1,以正方體的同一頂點上的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐

標系。xyz,點P在正方體的體對角線48上，點0