專題02等邊三角形重難點題型歸納(四大類型)

_晝至里其亂漫更料_______________

【題型1等邊三角形性質綜合問題】

【題型2等邊三角形中動點與全等三角形綜合問題】

【題型3等邊三角形-截長補短法解決動點綜合問題】

【題型4等邊三角形-作平行線法解決動點綜合問題】

國滿今於稱____

【題型1等邊三角形性質綜合問題】

1.如圖，BD是等邊△4BC的邊4C上的高，以點。為圓心，長為半徑作弧交的延長

線于點E,貝()

BC￡

A.20°B.25°C.30°D.35°

2.如圖，BE是等邊△ZB。的中線，作交4。的延長線于點C.若CE=9,貝！

的長為()

3.如圖，直線卬I%，△ABC是等邊三角形，42=68。,則41的大小為()

A.68°B.62°C.52°D.42°

4.如圈，△ABC是等邊三角形，點D是4c的中點，DELBC,CE=3.貝何B的長為（）

5.下面關于等邊三角形的說法中，不正確的是（）

A.等邊三角形的三邊都相等B,等邊三角形的三個內角都是60°

C.等邊三角形有三條對稱軸D.等腰三角形具有等邊三角形的性質

6.如圖，已知NMON=30°,點21，…在射線。N上，點%,B2,%，…在射線。M

上，AA2B2A3,^A3B3A4,…均為等邊三角形，若041=1,則△4/94io

的周長為（）

0XB/W

A.128B.256C.384D.768

7.如圖，是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若中間最小的三角形的邊長是3,則最大的

等邊三角形的邊長為（）

8.如圖，在等邊△ABC邊上取。、E兩點，沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F的位置,

若DF1BC,貝"ED=

A

9.如圖所示，在等邊△ABC中，48=3,乙48。和乙立8的平分線相交于。點，過。作

0E||AB.OF||AC,交BC于點E,F,則aOEF的周長為.

10.如圖，△A8C是等邊三角形，在4C邊的右側作等腰直角△"￡>,乙4CD=90。，連接8。,

貝此4BD的度數為.

11.如圖，△4BC是等邊三角形，點。是BC延長線上一點，。石148于點已交4C于點F,

若CD=54E,BC=14,貝ME的長為.

A

L'

BD

【題型2等邊三角形中動點與全等三角形綜合問題】

12.如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD,AD,BE相交于點P,BQ14。于Q,PQ=3,

⑴求證：BE=AD；

（2）求BE的長.

13.探究與證明

【圖形呈現】如圖1、圖2,在等邊△4BC中，動點E在48上，點。在CB的延長線上,

S.ED=EC.

【初步探究】（1）如圖1，當點E是4B中點時，求證：AE=BD.

【拓展探究】（2）當點E不是4B中點時，判斷線段4E與BD的數量關系，并結合圖2說

明理由.

【深度探究】（3）點E在直線2B上運動，當ADEC=120。時，若BC=4,請直接寫出CD

的長.

14.如圖1,等邊△ABC中，點P,。分別是邊AB,BC的動點（端點除外），點P從頂點

/、點0從頂點2同時出發，且運動速度相同，連接AQ,CP交于點

(1)求證：AABQmACAP；

(2)當點P運動到什么位置時，△BPQ是等邊三角形？說明理由；

⑶當點P,。分別在力B,BC邊上運動時，NQMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不

變，求出它的度數；

⑷如圖2,若點尸，。在運動到終點后繼續在射線AB,BC上運動，直線2Q,CP交點為

M,則NQMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數.

15.如圖，在△4BC中，NC=90。，乙4=30。，AB=60cm,動點P、Q同時從力、B兩點出

發，分別在4B、BC邊上勻速移動，點P的運動速度為2cm/s,點Q的運動速度為lcm/s,

當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為ts.

⑴當r為何值時，△PBQ為等邊三角形?

(2)當「為何值時，△PBQ為直角三角形?

16.如圖，△4BC是邊長為12cm的等邊三角形，動點M,N同時從4乃兩點出發，分別沿

AB,BC方向勻速移動.

⑴若點M的運動速度是2cm/s,點N的運動速度是4cm/s,當點N到達點C時，M,N兩

點都停止運動，設運動時間為t(s)，當t=2時，判斷△BMN的形狀，并說明理由；

(2)當它們的速度都是2cm/s,且當點M到達點B時，M,N兩點停止運動，設點M的運動

時間為t(s)，則當t為何值時，是直角三角形？

17.如圖，己知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點尸、。同時從/、8兩點出發，分

Q

別沿ZB、BC方向勻速運動，其中點尸運動的速度是lcm/s,點0運動的速度是5cm/s,

當點。到達點C時，P、。兩點都停止運動，設運動時間為ts,解答下列問題.

(1)BP=cm；BQ=cm；(用含f的代數式表示)

(2)如圖①，點尸與點。運動的過程中，△BPQ能否成為等邊三角形？若能，請求出f

的值；若不能，請說明理.

(3)如圖②，點。是力C的中點，連接PD、QD,點P、點0在運動過程的某一時刻△4DP

與△CDQ全等，求此時4P的長.

【題型3等邊三角形-截長補短法解決動點綜合問題】

18.綜合與實踐

問題情境：

已知在等邊△4BC中，P是邊4C上的一個定點.M是8c上的一個動點，以PM為邊在PM

的右側作等邊△PMN,連接CN.

猜想證明：

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當點M在BC邊上時，過點P作P”II4B交BC于點H,試猜想CP,CN,CM

之間的數量關系.并說明理由.

問題解決：

(2)如圖2,當點M在的延長線上時，已知CP=5,CM=12.求CN的長.

(3)如圖3,當點M在BC的延長線上時，請直接寫出CP,CN,CM之間的數量關系.

19.【初步感知】

(1)如圖1,已知△ABC為等邊三角形,點。為邊BC上一動點(點。不與點8,點C

重合).以力。為邊向右側作等邊△>!￡>￡,連接CE.求證：LABD三AACE；

AEE

圖1圖2圖3

【類比探究】

(2)如圖2,若點。在邊8c的延長線上，隨著動點D的運動位置不同，線段EC,AC,

CD之間的數量關系為,請證明你的結論.

【拓展應用】

(3)如圖3,在等邊△4BC中，4B=5,點尸是邊4C上一定點且4P=2,若點。為射

線8c上動點，以DP為邊向右側作等邊△DPE,連接CE,BE.請問：PE+BE是否有最

小值？若有，請求出其最小值；若沒有，請說明理由.

【題型4等邊三角形-作平行線法解決動點綜合問題】

20.如圖，等邊三角形A8C的邊長為12,。為4C邊上一動點，E為48延長線上一動點，DE

交CB于點P,點P為DE中點.若DE14C,貝ME=()

A.15

21.數學活動課上，張老師帶領同學們研究動點問題中線段長度的變化規律.如圖1,AABC

是邊長為8的等邊三角形，P,Q分別是邊力B和邊8c延長線上的動點，且4P=CQ,連

接PQ交邊4C于點E.

Q

圖1圖2圖3

⑴如圖2,過點P作PDIIBC交邊47于點D,洛洛說："在點P,Q運動的過程中，線段DE

和CE的長度也隨之變化，但始終有="你同意洛洛的說法嗎？若同意，請證明;

若不同意，請說明理由;

（2）如圖3,過點P作PH14C于點H,陽陽提出了一個新的問題："在點P,Q運動的過程

中，線段"E的長度是否發生變化？"請你結合（1）中的結論幫陽陽解決這個問題，如

果不變，求出線段HE的長；如果變化，請說明理由.

22.（1）如圖1,△力BC為等邊三角形，動點。在邊力B上，動點E在邊4C上.若這兩點

分別從點8,/同時出發，以相同的速度分別由點8向點/和由點/向點C運動，連

接CD,BE交于點尸，則在動點。，K的運動過程中，CD與BE之間的數量關系是

（2）如圖2,若把（1）中的“動點。在邊48上，動點￡在邊4C上"改為"動點。在射

線B4上運動，動點E在射線4c上運動”，其他條件不變，上述結論還成立嗎？請說明理

由.

（3）如圖3,若把（1）中的"動點。在邊力B上"改為"動點。在射線CB上運動"，連接

DE,交AB于點其他條件不變，則在動點D,￡的運動過程中，DM與EM之間存在

怎樣的數量關系？請寫出簡要的證明過程.

23.在等邊三角形ABC中，。為力C所在直線上的一個動點，￡為BC延長線上一點,

BD=DE.

⑴如圖1,若點。在邊力C上，求證：AD=CE.

⑵如圖2,若點。在邊4C的延長線上，(1)中的結論是否成立？請判斷并說明理由.

24.在邊長為9的等邊三角形ABC中，點P是2B上一動點，以每秒1個單位長度的速度從

點/向點8運動，設運動時間為/秒.

圖1圖2

⑴如圖1,若點。是BC上一定點，BQ=6,PQ\\AC,求t的值；

(2)如圖2,若點尸從點/向點3運動，同時點0以每秒2個單位長度的速度從點2經

點C向點N運動，當，為何值時，為等邊三角形？

25.如圖，△ABC是等邊三角形，點。為邊4C上任意一點，點E在邊8