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文檔簡介

第05講等比數列

01學習目標

課程標準學習目標

1.能敘述等比數列和等比中項定義,能夠應用定義判斷

1.通過生活中的實例,理解等比數列的概

一個數列是否為等比數列;

念.

2.探索并記憶等比數列的通項公式,能夠應用它解決等

2.掌握等比數列通項公式的意義.

比數列的問題;

3.掌握等比數列的有關性質,并能解決一些

3.在學習和運用等比數列的定義和通項公式的過程中,

簡單問題.

提升數學抽象、邏輯推理和數學運算的核心素養.

02思維導圖

等比數列的概念

f等比數列的通項公式及應用

等比數列的判定或證明

題型V等比中項及應用

―—等比數列性質及其應用

[等比數列的單調性

等比數列中的最值問題

等比數列的簡單應用

03知識清單

知識點01等比數列的概念

6Z篦+1

一般地,如果數列{斯}從第2項起,每一項與它的前一項之比都等于同一常數%_即——=]恒成立,則

Cln

稱數列{四}為等比數列,其中4稱為等比數列的公比.

【解讀】

(1)“從第2項起”,是因為首項沒有“前一項”,同時注意公比是每一項與前一項的比,前后次序不能點至L

另外等比數列中至少含有三項;

(2)定義中的“同一常數”是定義的核心之一,一定不能把“同''字省略,這是因為如果一個數列從第2項起,

每一項與它的前一項的比都是一個與〃無關的常數,但是如果這些常數不相同,那么此數列也不是等比數

列,當且僅當這些常數相同時,數列才是等比數列;

(3)若一個數列不是從第2項其,而是從第3項起或第〃(〃〉3,〃eN*)項起,每一項與它的前一項的比

等于同一常數,則此數列不是等比數列;

(4)由定義可知,等比數列的任一項都不為0,且公比qwO;

(5)不為0的常數列是特殊的等比數列,其公比為1。

【即學即練。下列數列為等比數列的是()

111

A.2,22-3X22,???B.-,――,…

aa2a3

C.S-1,(S—1)2,(S—1)3,…D.0,0,0,…

【答案】B

【解析】A、C、D不是等比數列,A中不滿足定義,C、D中項可為0,不符合定義.

知識點02等比數列的通項公式

一般地,如果等比數列{四}的首項是死,公比是q,那么等比數列的通項公式為

【解讀】

(1)等比數列的通項公式共涉及ai,q,n,a“四個量,已知其中三個量可求得第四個量.

(2)等比數列與指數函數的關系

U\U\6Z1

等比數列的通項公式可整理為a,=-q",而>=一歹(如1)是一個不為0的常數一與指數函數爐的乘積,

qqq

從圖象上看,表示數列也/中的各項的點是函數了="必的圖象上的孤立點.

【即學即練2](24-25高二上?上海松江?期中)已知數列{為}滿足。用=2%,且%=1,則%=.

【答案】128

【分析】由地推公式得出數列是等比數列,由等比數列的通項公式得到網的值.

【詳解】2%,

數列{與}是首項為1,公比為2的等比數列,

/.%—ad=2,=128.

故答案為:128.

知識點03等比數列的單調性

等比數列{4}的首項為%,公比為9

。1>0

q的范圍0<^<1q=iq>i0<^<1q=i戶1

數列{為}的增減

遞減數列常數列遞增數列遞增數列常數列遞減數列

【即學即練31(24-25高二上,上海?期中)數列{%}是等比數列,公比為4,"0>1"是"數列{6}是嚴格增

數列”的()條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

【答案】D

【分析】根據"g>i與"數列{。"}是嚴格增數列”的互相推出關系判斷屬于何種條件.

【詳解】當4>1時,取9=-2,則%=44=-24<-2=%,顯然{%}不是嚴格增數列,

所以"4>1"不能推出"數列{%}是嚴格增數列";

當數列{%}是嚴格增數列時,設為=,

當4<0時,{%}是擺動數列,不符合要求,所以g>0,

nx

若4>0,貝I]an+l>=axq">alq~oq>1,

nnx

若為<0,則an+i>%=axq>axq~<=>0<q<1,

所以"數列{總是嚴格增數列"不能推出"0>1";

綜上所述,"0>1"是"數列{%}是嚴格增數列”的既非充分也非必要條件,

故選:D.

知識點04等比中項

如果x,G,y是等比數列,那么稱G為x與y的等比中項.

【解讀】(1)在一個等比數列中,從第2項起,每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項與后一項的

等比中項.

(2)當a,6同號時,a,6的等比中項有兩個,異號時,沒有等比中項.所以“a,G,6成等比數列”與“G

=5/茄”是不等價的.

(3)任意兩數都存在等差中項,但并不是任意兩數都存在等比中項,當且僅當兩數同號且均不為0時

才存在等比中項.

【即學即練4】(23-24高二下,陜西榆林?階段練習)若。是1與9的等比中項,則實數。的值為()

A.3B.-3C.±3D.9

【答案】C

【分析】由等比中項的性質求解.

【詳解】由已知得/=1x9=9,a=±3,

故選:C.

知識點05等比數列的性質

(1)一般地,如果{即}是等比數列,而且正整數s,/,p,4滿足s+t=p+q,則=%4.特別地,

如果2s=p+q,則成=4%.

(2)若{〃“}是公比為q的等比數列,則:

?{can}(c為任一常數)是公比為q的等比數列;

②{|即|}是公比為團的等比數列;

為常數,〃6N+)是公比為qm的等比數列.

(3)若{a*},{兒}分別是公比為公,失的等比數列,則數列&也}是公比為0?儀的等比數列.

【即學即練5】(23-24高二下?北京大興?期中)已知數列{%}是等比數列,若%=2,。2%=32,則用的值為

()

A.-4B.-2

C.4D.16

【答案】D

【分析】根據等比數列的性質運算即可.

32

【詳解】因為{““}是等比數列,所以%%=的%,所以Q=彳=16.

故選:D.

04題型精講

題型01等比數列的通項公式及應用

【典例1】(24-25高二上?江蘇鎮江?期中)在等比數列{%}中,若。5=4,%=8,貝U%1=()

A.-32B.-16C.16D.32

【答案】D

【分析】利用等比數列的性質即可得出.

【詳解】設等比數列{%}的公比為4,

???J=2

a5

4222

au=-q=%?(^)=8x2=32.

故選:D.

【變式1】(23-24高二下?安徽蕪湖?期末)已知數列{%}是等比數列,滿足%=1,公比4=2,則%=

()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根據等比數列的通項公式結合已知條件直接求解即可.

【詳解】因為數列{七}是等比數列,滿足%=1,公比4=2,

所以%=a\Q2=1x22=4.

故選:B

【變式2](24-25高二上?江蘇淮安?期中)若在1和81之間插入3個數,使這5個數成等比數列,則該等比

數列的公比為()

A.3B.-3C.±3D.±9

【答案】C

【分析】根據等比數列定義知81=lx/,求解即得答案.

【詳解】設這5個數組成的等比數列為{%},公比為4,則q=1,%=81.

a5=a,?,即81=lxq4

解得4=±3

故選:C.

【變式3】(24-25高二上?江蘇?期中)已知等比數列{。“}的公比4>1,且滿足勺+*=5,%=2,則4的值

為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】由等比數列的通項公式計算基本量即可.

【詳解】由于。2+“4=5,%=2,

所以也+曾?兩式相除得

[a{q=2q2

解得q=2或4=g,

因為g>i,所以4=2.

故選:A

【變式4】(23-24高二下?遼寧遼陽?期末)若等比數列{%}滿足。,4+1=后"(左>1),則其公比為()

A.kB.—yfkC.-\/kD.土y/H

【答案】C

【分析】根據等比數列{%}滿足。,。"+1=左",得到%+4+2=左5,兩式相比得/,再求得4驗證即可.

【詳解】因為左>1),

所以等比數列{%}的公比q>0,

aak+

又n+in+2="'>

所以以&!=左=心

aa

?n+l

所以q=五,

即等比數列{%}的公比為現.

故選:C.

題型02等比數列的判定或證明

2

【典例2】(2024高二?全國?專題練習)己知數列{%}和也}滿足。]=彳,an+l=-an+n-4,

2=(-1)"(。,-3"+21),其中彳為常數,〃為正整數.

(1)證明:對任意實數4,數列{%}不是等比數列;

⑵試判斷數列低}是否為等比數列.

【答案】(1)證明見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)利用反證法,根據,=%%,可得矛盾,即可求解,

2

(2)代入化簡可得£+]=-§〃,利用等比數列的定義,即可求證.

224

【詳角軍】(1),??%+]+〃-4且%=4,2,a3=-A—4.

假設存在一個實數X,使數列{%}是等比數列,

則蠟=%%,即=彳(:2-4),即[萬一44+9=1萬-44,得9=0,矛盾.

故對任意實數彳,數列{%}不是等比數列.

(2)...a=(一1)”〃一3"+21),

b1+1aB+1

n+i=(-)"-[_n+x-3(n+1)+21]=(-1)-2?+14^|=(a?-3?+21)=-1fo?,

bx——(2+18),

???當X=-18時,4=0,此時數列也}不是等比數列;

b2

當-18時,6尸0,止匕時常1=一鼻("€江),數列也}是等比數列.

【變式1】(24-25高二上?福建?期中)己知數列{%}各項都是正數的數列,下列說法正確的是()

A.若{%}是等差數列,貝吐2"”}是等差數列

B.若{對}是等比數列,貝U{2%}是等比數列

C.若{%}是等差數列,貝|{2"”}是等比數列

D.若{。“}是等比數列,貝U{2。”}是等差數列

【答案】C

【分析】利用等差數列、等比數列的定義逐項判斷,可得出合適的選項.

【詳解】對于AC選項,若數列{%}為等差數列,設其公差為1,則(=2%』=2"為正常數,

所以,數列{2%}是等比數列,

但2%一2""=2%+"-2%=2""(2"-1)不是常數,故數列{2%}不是等差數列,A錯C對;

對于BD選項,若數列{%}為等比數列,設其公比為4,

則養=2。~%=2%(小)不是常數,故數列{2%}不是等比數列,

2m-2。"=2的-2%=2。"(2"”(小)-1)不是常數,故數列{2%}不是等差數列,BD都錯.

故選:C.

【變式2】(24-25高二上?廣東東莞?期中)(多選)已知數列{《}是首項為1,公比為3的等比數列,則

()

A.[午]是等差數列B.{%+「%}是等差數列

C.{1嗎見}是等比數列D.{。“。用}是等比數列

【答案】AD

【分析】由題意得數列{%}的通項公式,然后寫出每個選項中對應的數列的通項公式,再判斷是等差數列

還是等比數列.

【詳解】對于A,由題意得其包=3,所以數列目是常數列,A正確;

%[a?J

對于B,數列的{%}通項公式為4=3"T,則a"+「a”=3"-3"T=2x3",

所以數列{%+「%}是公比為3的等比數列,B錯誤;

對于C,logs%=logs所以數列{logs。,,}是公差為1的等差數列,C錯誤;

對于D,1M=3",3"=327,所以數列。用}是公比為9的等比數列,D正確,

故選:AD.

【變式3】(24-25高二上?全國?課后作業)已知數列{%}中,ai=1,a2=2,2an=a?+2-an+l.

(1)求。3,%,%,并猜想{%}的通項公式(不需證明);

(2)證明:數列{。用+%}是等比數列.

n

【答案】(1)%=4,-4=8,a5=16,an=2

⑵證明見解析

【分析】(1)先根據遞推公式得出〃3,%,%,再計算得出等比的通項公式;

(2)結合已知應用遞推公式,根據等比數列定義證明等比數列.

【詳解】(1)由2%=〃〃+2—%+1得。3=2%+2=4,%=2%+。3=8,。5=2%+。4=16.

結合%=1,%=2可猜想數列{%}的通項公式為an=2"、

(2)因為a“+2=2a“+。“+1,%=l,a2=2,

所以{??}為正項遞增數列,所以見+i+《產0,

"〃+2+為+1_24+。“+]+%+i_2

a+a

n+ln%+1+4

故數列{%+1+%}是等比數列.

題型03等比中項及應用

【典例3】(2024,安徽馬鞍山?三模)已知數列{4}是公差為2的等差數列,若1+2,%+2嗎4成等比數歹U,

則。14=()

A.9B.12C.18D.27

【答案】D

【分析】利用等比中項列式,借助等差數列通項公式求解即得.

【詳解】由%+2,。4+2,%4成等比數列,得+2『=(%+2)X%4,

所以(%+8)2=(%+2)3+26),解得q=1,

所以%=1+2x13=27.

故選:D

【變式1】.(23-24高二下?江西?階段練習)設公差不為零的等差數列{見}的前“項和為邑,52=?3+1,且

%,Cl#%3成等比數列,則。2024=()

A.2024B.2025C.4049D.4050

【答案】C

【分析】

把等差數列{&}中的項用基本量q和1表示,根據已知條件列方程組求解即可.

【詳解】

設數列{%}的公差為"#0,

2q+d=%+2d+1]〃=3

則,52(1力,解得「、,

(%+3d)=%(q+12d)[a=2

所以”=3+2(幾一1)=2幾+1.

故%024=2x2024+1=4049.

故選:C.

【變式2】(23-24高二上?山東青島?期末)等差數列{%}的首項為1,公差為d,若的,生,七成等比數列,則

d=Q)

A.0或一2B.2或-2C.2D.0或2

【答案】A

【分析】利用等比中項及等差數列的通項公式即可求解.

【詳解】因為的M3M6成等比數列,

所以抬=。2。6,

因為等差數列{%}的首項為1,公差為",

所以(l+2d)~=(l+d)(l+5d),即12+21=0,解得"=。或"=-2.

故選:A.

【變式3】(23-24高二上?云南玉溪?期末)"=疝"是"a,b,c成等比數歹!J”的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】解:若。,6,c成等比數列,則62=囪,6=土疝,故不必要;

b=4ac,令a=b=。,滿足/=℃,但此時。,6,c不構成等比數列,故不充分;

故選:D.

【變式4】(23-24高二下?上海浦東新?期末)在數列1、X、乃15中,若1、x、y成等比數列,且X、八15

成等差數列,則x、y的值分別是.

5

X=——

fx=32

【答案】。或〈

b=925

y=~r

【分析】由于1、X、V成等比數列,且小八15成等差數列,則/=y,2y=x+15,從而得解.

【詳解】1、小歹成等比數列,且小小15成等差數列,

則/=y,2y=x+15,聯立得到2-=工+15,解得x=3或x=—|.

當x=3時,V=9,此時工、3、9成等比數列,且3、9、15成等差數列,符合題意;

當'=-彳5時,>=2?5,此時1、-5:、2與5成等比數列,且-51、2—5、15成等差數列,符合題意.

242424

\x=3~2

綜上所得,小歹的值分別是0或

[V=925.

y=T

5

X=——

fx=32

故答案為:「或<

[y=925

y=-

題型04等比數列性質及其應用

【典例4](24-25高二上?山東?期中)已知數歹U{%}為各項均為正數的等比數列,出和是方程X2-9X+10=0

的兩個根,則lgq+lg〃2+…+3%=()

57

A.—B.3C.—D.4

22

【答案】C

【分析】利用等比數歹u的性質得至I%%=電&=。3計算出&=回,結合對數運算性質計算出結果.

【詳解】由題意得。2。6=端=10,{2}為各項均為正數的等比數列,故&=麗,

H.=。2。6~。3。5=,

故Igq+lg2+…+lg%=尼。避2…%=lgQ;=71g6z4=71gVio=1-.

故選:C

【變式1](24-25高二上?福建龍巖?階段練習)等比數列{4}的各項均為正數,且%4+%%=18,貝!J

log3^+log3dl2+…+log3?10=()

A.12B.10C.5D.21og35

【答案】B

【分析】根據等比數列的性質可得=9,即可結合對數的運算性質求解.

【詳解】由%%=%%和的6+。4a7=18可得=9,

5

故log36Z1+log36Z2+…+log36Z10=]og3(q?〃2.出…?。10)=1°§3(%〃10)=l°g395=10,

故選:B

【變式2】(24-25高二上?甘肅張掖?階段練習)在等比數列{%}中,出,。6是方程--8x+加=0兩根,若

%%=34,則m的值為()

A.-9B.-3C.3D.9

【答案】D

【分析】根據等比數列性質可得出R=,再由根與系數的關系計算可得結果.

fa,+cif--8

【詳解】由生,&是方程8X+7〃=O兩根可得,

f-=m

由等比數列性質可得/%=34,解得&=3或&=。(舍);

所以a2a6=。:=加=9.

故選:D

【變式3】(2024?山東淄博?二模)已知等比數列{%},g=4,%。=16,則6=()

A.8B.±8C.10D.±10

【答案】A

【分析】運用等比中項,結合等比數列通項公式即可解決.

【詳解】根據等比中項知道尺=2生。,求得4=64,則&=±8.

又R=?2?4>0,則&=8.

故選:A.

【變式4】(23-24高二下?安徽滁州?期末)己知正項等比數列{%}單調遞增,2?%=&%+%=9,則%=

()

A.12B.16C.24D.32

【答案】B

【分析】根據等比數列的通項公式計算即可.

【詳解】因為正項等比數列{%}單調遞增,所以出q=8嗎+%=9,所以4=1,%=8,

又=8=%/=/,所以q=2,所以%=為4=16,

故選B.

題型05等比數列的單調性

【典例5](23-24高三下?山東,開學考試)已知數列{6}是以《為首項,0為公比的等比數列,貝U

"%(1-4)>0"是"{。“}是單調遞減數歹(’的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據等比數列的單調性和必要不充分條件的判斷即可得到答案.

【詳解】若等比數列{??}滿足"%(1F)>0",

比如4>0,q<Q,此時{對}不是單調遞減數列,故正向無法推出,即充分性不成立,

若數列{%}為遞減數列,/<0,1>1或%>0,0<^<1.

則①"%<0,0>1”可以推出q(1-?)>0;

②"%>0,0<4<1"也可以推出《(1-g)>0,則必要性成立;

則"4(1-q)>0"是"{??}是單調遞減數歹『的必要不充分條件,

故選:B.

【變式11(23-24高二下?北京順義?期中)數列{%}是等比數列,則對于"對于任意的小GN*,%+2>為"是"{%}

是遞增數列"的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.不充分也不必要

【答案】C

【分析】根據充分條件、必要條件的定義及等比數列的單調性與通項公式判斷即可.

【詳解】設等比數列{g}的公比為g,4片0,

若“〃+2>??>則an+2—an=a?(Q2-1)>0,

當%>0時,由%(/-1)>0得解得4<-1或0>1,

若4<-1,則%=砧<0,此時與己知矛盾;

若9>1,則%>0,此時{%}為遞增數列.

當為<0時,由41)>0,得解得-1<4<0或0<q<l,

若則%=%4>0,此時的(/T)<。與已知矛盾;

若0<q<l,則%<0,此時{%}為遞增數列.

反之,若之"}是遞增數列,則叫2>電,

所以“對于任意的“6N*,a?+2>g"是"{%}是遞增數歹廣的充要條件.

故選:C.

【變式2】(22-23高二下,北京海淀?期中)在等比數列{6}中,"%>0,且公比9>1",是"{%}為遞增數歹U”

的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據等比數列的單調性結合充分不必要條件的判定即可.

【詳解】當q>0,且1>1時,有--a”=%??"-%?q'T=%尸(q-1)>0,

所以見+i>an(〃eN"),即{6}為遞增數列;

當{%}為遞增數列時,即對一切〃eN*,有??+1>。,恒成立,

所以an+i-an=%?/t(q-1)>0,

但%<0且0<4<1時,上式也成立,顯然無法得出%>0,且g>1.

則"%>0,且公比9>1"是"{%}為遞增數歹!J"的充分不必要條件.

故選:A.

【變式3】(23-24高二上?河北保定?期末)(多選)已知等比數列{%}的首項為《,公比為4,則下列能判斷

{%}為遞增數列的有()

【答案】BD

【分析】根據題意,結合等比數列的性質,逐項判定,即可求解.

【詳解】由等比數列{%}的首項為%,公比為q,

對于A中,若%=3,q=;,可得a,"=%?<%,所以{。"}為遞減數列,所以A錯誤;

對于B中,若q=2,q=3,可得4用=a/>%,所以{見}為遞增數列,所以B正確;

對于C中,若%=;,“=:,可得a角=%?<%,所以{七}為遞減數列,所以C錯誤;

對于D中,若%=-g,q=;,可得。“+i,所以{%}為遞增數列,所以D正確.

故選:BD.

題型06等比數列中的最值問題

【典例6】(2024高二,全國?專題練習)等比數列{a.}(〃eN*)滿足公比為2,數列也}(〃eN*)滿足

“=%+2”“,下列說法錯誤的是()

A.{%}為遞增數列B.也}為遞增數列

C.低}中最小項的值為1D.(n-3).(Z)?-??)>0

【答案】C

【分析】A選項,計算出%=2"-5>0且q=2>1,故A正確;B選項,計算出“=2"8>0且公比大于1,B

正確;C選項,在B選項基礎上得到最小值4=2,D選項,計算出a-a“=2"-5(2"-3_i),從而得到當〃W3

時,bn-an<0,當I>3時,bn-an>0,故(〃-3>(6“-a“)20.

【詳解】A選項,由題意可知,a“=%-2i=:2"4=2"-5,

。“>0且公比夕=2>1,故{%}為遞增數列,A正確;

b2

B選項,”,=%+2嗎,=2"一3.2"-5=22"一8>0,,=尹=4>1,

則{4}為遞增數列,故B正確;

C選項,當〃=1時,或取得最小值印=2/,故C錯誤;

2s553

D選項,bn-a?=2"--2"-=2"-(2"--1),

當〃V3時,bn-an<0,

當〃>3時,bn-an>0,

故(〃-3)0-見)20,故D正確.

故選:C.

【變式1】(23-24高二下?山西晉城?期末)已知等比數列{%}滿足%>0,公比4>1,且

log2Oj+log2a2+---+log2a2024<0,log2ax+log2a2+---+log2a2025>0,則當%%…”"最小時,”=()

A.1012B.1013C.2022D.2023

【答案】A

【分析】根據題意結合等比數列的性質可推得0<。助2am3<1以及。助3>1,即可判斷數列的增減性以及項與

1的大小關系,由此即可求得答案.

【詳解】由題意知Iog2%+log2%+…+唾2。2024<0,故10g2(W2……?2024)<0>

則0<......。2024<1,B|J0<(01012^1013)<1,

結合等比數列{%}滿足%>0,公比9>1,可知0<%012al013<1,

??

由log2+log2a2+---+log202025>0,得l°g2??,02025)>0,

即得...°2025>1,故(。1013)>1,即。1013>1,

由此可得o<4<a2<■■■<a1012<1<a1013<??-,

故當色。2…。”最小時,?=1012,

【變式2】(23-24高二上?福建漳州?期末)已知正項等比數列{4}的前"項積為北,且%>1,則下列結論正

確的是()

A.若q=n,則幾>1B.若看=篤,則[47;

C.若£<。,則刀D.若則。>篤

【答案】B

【分析】結合等比數列的性質及數列的單調性判斷各選項即可.

【詳解】由已知數列各項均為正,因此乘積1也為正,公比《>0,若北=1,則%g=1,

由等比數列性質知%%4=。2。13=…=。7。8=1,所以工4=1,故選項A錯誤;

又a7a8=a/q6-a/q7=a;-q"=1,因為%>1,所以0<q<l,所以的>1>%,

則可>電>…>R>%>。8>…,故區}先增后減,所以故選項B正確;

若(<。,則圣=%=。”>1,又%>1,無法判斷4與1的大小,即無法判斷。8與1的大小,故4與"

大小沒法判斷,故選項CD錯誤.

故選:B

【變式3】(24-25高二上?江蘇,階段練習)(多選)已知等比數列{%}的各項均為正數,公比為1,%>1,

記也}的前"項積為:,則下列選項正確的是()

A.0<^<1B.&>1C.Ti2>lD.Ti3>l

【答案】ABC

【分析】等比數列{《}的各項均為正數,%>1,%+%>。6%+1>2,可得析-1)(%T)<O,因此共〉1,

%<1,0<4<1.進而判斷出結論.

【詳解】???等比數列{%}的各項均為正數,%>1,%+%>6%+1>2,

二(。6-1)(。7-1)<0,

?]>1r若&<1,則一定有的<1,不符合,

由題意得。6>1,。7<1,故AB正確,

?/a6a7+1>2,/.a6a7>1,

63

幾=%?%..嗎2=(a6a7)>1,7]3=a'<1,故C正確,D錯誤,

故選:ABC.

【變式4】(22-23高二上?江蘇鹽城?階段練習)(多選)設等比數列{%}的前“項積為北并滿足%>1,

盤=蠢,則下列結論正確的有()

A.?2022<a2023B.a20?3O-l>0C.當〃=25時,]取最大值D.當“251時,Tn<1

【答案】BCD

【分析】首先根據題意得到。25,=1,從而得到%>1,所以0<0<1,即等比數列{%}為遞減數歹!J.對選項

A,根據數列{a?}的單調性即可判斷A錯誤,對選項B,根據?20?30=;即可判斷B正確,對選項C,根據a25a26=1

即可判斷C正確,對選項D,根據4=(出5%6)"=1,當〃251時,即可判斷D正確.

【詳解】T20=T30>所以[=021X022*……*%。=(。25。26=1,即出5%6=L

^20

所以。25。26=Qi/4,ad,=_],

因為4>1,所以0<q<l,即等比數列{%}為遞減數列.

對選項A,因為{。"}為遞減數列,所以。2022>。2023,故A錯誤.

對選項B,因為。20%。=終-a/=&史絲=-,

qqq

因為0<g<l,所以出0%0=1>1,即。20%0-1>°,故B正確.

q

對選項C,因為等比數列{0“}為遞減數列,出5出6=1,

所以電5>1,0<?6<1,即當”=25時,]取最大值,故C正確.

對選項D,750=%X。2X..........*〃50=(。25°26)25=],

又因為0<%6<1,

所以當〃251時,當〃251時,(<1,故D正確.

故選:BCD

題型07等比數列的簡單應用

【典例7](23-24高二上?重慶,期末)古代“微塵數"的計法:"凡七微塵,成一窗塵;合七窗塵,成一兔塵;

合七兔塵,成一羊塵;合七羊塵,成一牛塵;合七牛塵,成于一帆;合于七蝸,成于一虱;合于七虱,成

一芥子;合七芥子,成一大麥;合七大麥,成一指節;累七指節,成于半尺….”這里,微塵、窗塵、兔塵、

羊塵、牛塵、蝸、虱、芥子、大麥、指節、半尺的長度構成了公比為7的等比數列.那么1指節是()

A.7’兔塵B.7’羊塵C.5兔塵D.《羊塵

【答案】A

【分析】設1微塵為〃,求出1兔塵為72°,1羊塵為7'a,1指節為7b,從而可得答案.

【詳解】設1微塵為。,

因為微塵、窗塵、兔塵、羊塵、牛塵、蛆、虱、芥子、大麥、指節、半尺的長度,

構成了公比為7的等比數列,

所以1窗塵為7a,1兔塵為72°,1羊塵為7%,1牛塵為7%,

1蝸為7%,1虱為76°,1芥子77a,1大麥7》,工指節為73,

因為孕=77,所以1指節是7,兔塵,A正確,C不正確;

72a

79a

因為=73所以1指節是76羊塵,BD不正確;

7a

故選:A.

【變式1】(22-23高三上?福建寧德,期末)《莊子?天下》中講到:“三尺之梗,日取其半,萬世不竭.”這其

實是一個以1?為公比的等比數列問題.有一個類似的問題如下:有一根一米長的木頭,第2天截去它的

第3天截去第2天剩下的:,…,第〃天截去第1天剩下的工,則到第2022天截完以后,這段木頭還剩

3n

下原來的()

1111

A.----B.----C.-----D.-----

2021202240424044

【答案】B

1X-,再計算第〃天后共截去原來的1-工,故可得第2022天截完

【分析】根據題意歸納得出第"截去

n—1nn

以后,這段木頭還剩下原來的比值.

【詳解】解:由題可知第一天長1,

第二天截去

第三天截去(1-51111

X—=—=—X—

3623

1111

第四天截去1-1X—=——=—X—,

2641234

依次可得:第〃天截去:

n-\n

故第,天后共截去lxg+;x;+卜;+…+111,1111111,1

n22334n—1nn

所以到第2022天截完以后,這段木頭還剩下原來的焉]=焉.

故選:B.

【變式2】(24-25高二上?全國?課后作業)“綠水青山就是金山銀山.”我國某西部地區進行沙漠治理,己知

該地區有土地1萬平方千米,其中70%是沙漠,從今年起,該地區進行綠化改造,每年把原有沙漠的16%改

造為綠洲I,同時原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠,設從今年起第"年綠洲面積為與萬平方千米.

⑴求。"與(〃22)的關系;

(2)判斷g}是不是等比數列,并說明理由;

⑶至少經過幾年,綠洲面積可超過60%?(Ig2?0.301)

44

【答案】⑴%=不。“_1+石(“22)

⑵是等比數列,理由見解析

⑶至少經過6年

【分析】⑴根據題意可得出。“=(1-0.04)%+(1-%)x016,化簡可得%與%(北2)的關系;

(2)利用待定系數法結合等比數列的定義可得結論;

a

(3)求出數列{%}的通項公式,然后解不等式即可得出結論.

【詳解】(1)由題意〃22時,

44

%=(1-0.04)%_]+(1-Q“_JX0.16=0.8%_i+0.16=—an_{+—,

44

所以,an=-an_x+—(n>2).

(2)數列,a,-g1是等比數列.理由如下:

44

由(1)得4=1%_1+玉(〃N2),

/|4xx44

設%+x=N(a〃_i+x),可得%二1。〃一1一1,所以,一不=去,可得%=一1,

44/4、/、434

所以,??--=-^--0^2),且%一=一

2

因此,數列卜“-11是首項為-公比為1的等比數列.

(3)由(2)可知,數列是首項為-;,公比為g的等比數歹U,

49

兩邊取常用對數,得5-1)炮(<想:,

,lgTIg2-lg5Ig2-(l-lg2)21g2-l2x0.301-1

所以,n—l>—-=---------=--------------=-------?----------

lg421g2-lg521g2-(l-lg2)31g2-l3x0.301-1

-0.398

?4.1,所以,n>5A,

-0.097

所以,至少經過6年,綠洲面積可超過60%.

強化訓練

一、單選題

L(23-24高二下?北京房山?期中)已知等比數列{%}的通項公式”“=-2*3",則數列{《}的公比為()

A.3B.2C.-3D.-6

【答案】A

【分析】根據已知及等比數列的定義可得結果.

【詳解】因為{%}為等比數列且通項公式為%=-2x3",

所以公比4='=年1?=3,

%-2x3

故選:A.

2.(23-24高二上?全國?期末)已知數列{%}是等比數列,且出+%=7,4+%=21,貝!1。8+%1=()

A.28B.63C.189D.289

【答案】C

【分析】設等比數列{%}的公比為明求出%+知值.

【詳解】設等比數列{%}的公比為"由出+。5=7,。4+%=21,

則為+%=(。2+。5)=21,解得屋=3,

4+a=2

故網+q1

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