專題3.1整式夯實基礎

一'選擇題（每題3分，共30分）

1.下列說法中，正確的有（）

①號的系數是2；②多項式2爐+、/+3是二次三項式;

③v\2的常數項為2；④在12\+y，；/岳昌，0中，整式有3個.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.下列說法正確的是（）

A.2aR與-2b%的和為0

B.翁a2b的系數是孑“，次數是4次

C.2x2y-Sy2-1是三次三項式

D.、丁-「與_；）心2不是同類項

3.如果3a7W+7和5a2F戶是同類項,那么X+Y的值是（）

A.-1B.1C.-2D.2

4.下列各式中與4-2+5的值不相等的是（）

A.4-（2-5）B.4+（-2+5）C.4-（-2-5）D.S+（4-2）

5.如圖，把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖1）,不重疊地放在一個長為arm、寬為

be”長方形內（如圖2）,未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖2中兩塊陰影部分的周長和是

C.2(a+b)anD.4(a-b)an

6.下列計算正確的是（)

入3廠1=玄B.a?+2a=2a‘

C.(-a)3a2?-a6D?(-a)^十(—a)2a

7.下列運算正確的是()

A.2a2.3ft2=6a5b5B.(-2a)2=-4a2

C.(a5)2=a2D.X-2=-4(x*0)

8.已知六元方程a+b+c+d+e+r-爐一a?+d2-c?+尸—/，滿足

a<b<c<d<e<f,且a,b,c,d,e,f為正整數，則下列關于這個六元方程的正整數解的

說法中正確的個數為（）

①、Q1>b2?c3>d-4>".!>，f-6是該方程的~■組解;

②、連續的六個正整數一定是該六元方程的解；

③、若a-1>'c-'.1'f'f10,則該六元方程有20組解；

A.0個B.1個C.2個D.3個

9.下列運算正確的是（）.

A.2m+3m-5rn:B.m2m3?m6

c-（m+7）2=m2+49D.（m-3n）（m+3n）=m2-9n2

10.有兩個正方形A,B,現將3放在A的內部如圖①；再將A,3無縫隙且無重疊放置后構造

新的正方形如圖②.若圖①和圖②中陰影部分的面積分別為1和7,則圖②所示的大正方形的

面積為（）

圖①

A.14B.15C.16D.17

二'填空題（每題2分，共12分）

11.單項式5”r的次數為次.

12.有理數a,b,c在數軸上的對應點如圖所示，化簡：|a+bHb-c|=

?????

aQbc

13.W4個數a,Jc,d排成2行2列,兩邊各加一條豎直線記成|方尸ad-be,若廠$

=6,貝！Jllx2-5=.

14.我們知道，同底數幕的乘法則為：aman=a，*(其中a=0,m，ri為正整數)類似

地我們規定關于任意正整數m，n的一種新運算：。(小-“)q(I”)g(n)，若那么

?j

g(2O23)g(2024)-.

15.計算：(—ONSix,M■.

16.填空：

(1)4a*b-r()-2力

(2)()-(Sab)--3ab

(3)()(mn)?2m-3n

(4)(6尸-4r)+()=2/

三、計算題(共5題，共43分)

17.計算：

(1)(-1)2020+(.：)-2-20210;

(2)%3ex5-(2A4)2+X10-?X2；

(3)[(-xy2z)2-4x3y2z]-^-g2y2；

(4)(x+2y)(x-2y)-(x-y)2.

18.計算下列各題

(1)l-2ivi'1-21.lrI

⑵4(\il):(2i>5)(21-5)

19.(1)計算：(-2)2+(3.14-Jr)0-(-2)+(

(2)先化簡，再求值：[(x-3y)z+(x+y)(x—y)—x(2x-4y)]+(-2y)，其中x,2,

v--1.

20.如圖是某單位辦公用房的平面結構示意圖（長度單位：米），圖形中的四邊形均是長方形或

正方形.

(1)用含I、1?的式子分別表示會客室和會議廳的占地面積.

(2)如果x+y=5，xy=7,會議廳比會客室大多少平方米?

21.如圖，在某住房小區的建設中，為了提高業主的宜居環境，小區準備在一個長為(4a+3b)米,

寬為(2a+3b)米的長方形草坪上修建兩條寬為b米的通道.

(1)通道的面積是多少平方米？

(2)剩余草坪的面積是多少平方米？

四'解答題(共6題，共48分)

22.某會所在一個長方形的空地上修建兩個扇形游泳池(陰影部分)，如圖所示，兩個游泳池之

間的空地上鋪上五彩石.(單位：米)

(1)請用含a，b的代數式表示鋪五彩石的空地的面積；(結果保留rr)

(2)如果a-25，b-10，每平方米的五彩石的價格為1。0元，求購買五彩石的總費

用.(n取3.14)

23.觀察兩個連續偶數的平方差：

①42-22=12,②624=20,③826=28,............

(1)寫出第n個等式，并進行證明；

（2）問172是否可以寫成兩個連續偶數的平方差?如果能，請寫出這兩個偶數：如果不能,

請說明理由.

24.已知X，y為有理數，現規定一種新運算“※:滿足i_2i-

（1）求3「4的值；

⑵求（2米2（1）米（-3d）的值?

25.我們將Q4b）：=屐?2ab?F進行變形，如:

a2+b2-（a+b）2-2ab,如■空貯佇竺等?請靈活利用這些變形解決下列問題:

（1）已知a2+b2=28.（a+b）2=48,>貝!Jab=.

（2）若x滿足（25-x）（x-10）=-15,求，25…（x10）：的值.

（3）如圖，四邊形ABED是梯形，DAXAB,EB±AB,AD=AC,BE=BC,連結CD,CE,

若AC.BC=10,則圖中陰影部分的面積為.

26.如圖，在平面直角坐標系中，點人是反比例函數丫=空（x>0）圖象上任意一點，點8是t軸

正半軸上的任意一點.

（1）若點P是。,4上任意一點，tO8P=乙4，試說明AOPB-AOBA;

（2）在（1）的條件下，已知點、的橫坐標為、月，點8的坐標（6.0）,求點夕的

坐標;

（3）若點.4的縱坐標為、月，點8的坐標（2,0）>上是否存在一點戶使得

△0P8與4/108相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

27.兩個邊長分別為公b（a>b）的正方形按如圖①所示的方式放置，其中重合部分（陰影）

的面積為Si,若在圖①中大正方形的左下角擺放一個邊長為b0>；a）的小正方形（如圖②），

兩個小正方形重合部分（陰影）的面積為力.

（2）若Q+b-10，必—20，求3S1+2S：的值；

（3）將邊長分別為公b的正方形按如圖③所示的方式放置，當&-5：=32時，求

出圖③中陰影部分的面積和（即Sj+S.的值）.

五、實踐探究題（共2題，共17分）

28.【問題背景】現定義一種新運算“。”對任意有理數m,n,規定：mOn=-n）.

例如：1021X2XI-2：|-2.

（1）【問題推廣】

先化簡，再求值：（a+b）O（a—b）t其中a—b—1；

（2）【拓展提升】

若r2yO（x0y）"求p,q的值

29.閱讀材料：把形a”+bl+C的二次三項式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法.配

方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即"土2必+〃?（a±b）2.請根據閱讀材料解決下列

問題：

（1）填空：。二一4。+4-?

（2）先化簡，再求值：（a+b）（a-b）+（2a3b-4ab3）+2ab,其中a.b滿足

a?+2a+b—6b-10-0.

(3)若外b.c分別是dABC的二邊，且a?+4〃+-2ab—6b—2c+4=0，試

判斷dA8c的形狀，并說明理由.

答案解析部分

1.A

①g的系數是系原選項錯誤，不合題意；

②多項式2鏟+盯，二+3是三次三項式；原選項錯誤，不合題意；

③的常數項為-2；原選項錯誤，不合題意；

④在上”儲力普0中，整式有2x+y，儲匕，0,共3個，原選項正確，符合題意;

故答案為A

本題考查單項式的系數，多項式的項，次數及整式，單項式的系數是字母前面的數字因數，則

①錯誤；一個多項式中，次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數，多項式的項數就是多

項式中包含的單項式的個數，則②錯誤；多項式中的每個單項式叫做多項式的項，則③錯誤,

單項式和多項式統稱為整式，分母中不含字母，可知④正確。

2.C

解：A.2al與-2爐a不是同類項，不能合并，此選項不符合題意；

B.2b的系數是,“，次數是3次而不是4次，此選項不符合題意；

C.?x2v37-1是三次三項式，此選項符合題意；

D.、,3「力與_3V丫是同類項，此選項不符合題意.

故答案為：C.

根據單項式和多項式的相關概念“單項式中的數字因數叫做單項式的的系數，系數包括它前面的

符號，單項式的次數是所有字母的指數的和；多項式的次數是多項式中次數最高的項的次數”以

及同類項的定義“同類項是指所含字母相同，且相同的字母的指數也相同的項”依次判斷即可求

解.

3.A

4.C

5.B

如圖：

設小長方形卡片的寬為tcm，貝心8CDb-2t，BCAD-a-2bEF-GH26

V.'i'.vMLBCfl-2t，

?**/,//-b—UN—b—(a-2t)-b—a+2t-EG,

，兩塊陰影部分的周長和是：

2X6+28C+2EF+2FH-2(b-2t)+2("2t)+2x2t+2(b-a+2t)-42cm,

故答案為：B.

設小長方形卡片的寬為tcm，求出AB、BC和EF的長，再利用長方形的周長公式列出整式計算

即可。

6.D

7.D

8.D

9.D

10.B

解：設正方形B的邊長為m其中a:0，

?.?將3放在A的內部如圖①所示，陰影部分的面積為1,

.??陰影部分為正方形，且邊長為1,

圖①中大正方形的邊長為a+I，

即正方形A的邊長為a+1，

又?.?將A,B無縫隙且無重疊放置后構造新的正方形如圖②所示：

圖②中大正方形的邊長為：a+a-1-2a+1,

???圖②中陰影部分的面積為7,

?,?(2a+1)■—Q:—(a+1尸47，

整理得：2a?+2a-7-0,

解得：A1；'匚,④12"(不合題意，舍去)，

圖②中大正方形的邊長為：2ali-2x弋'南I1-7E

圖②中大正方形的面積為15.

故答案為：B.

設正方形3的邊長為。，其中a>0,依題意由圖①得陰影部分為正方形，且邊長為1,則正方形

A的邊長為a+1,依題意得圖②中大正方形的邊長為2a+l,則(2a+1尸-相-(a+1尸-7，由

此解出，進而再求出圖②中大正方形的面積即可.

11.

12.-3,-C

解：根據圖可知,a<0,c>b>0,|a|>|b|,

.\a+b<0,c-b>0,

二?原式=-a-b+(b—c)

=-a-b-c+b

=-c—a.

故答案為：-c-a.

先結合數軸判斷出aVO,c>b>0,|a|>|b|,再利用絕對值的性質化簡并合并同類項即可.

13.6

52

由題意可得|一5|=-5(X2-3；-2(-3X+S)=6，整理得1+5=6，

??.F-1,

-llx2-5=6,

故答案為：6.

根據定義得到「5-3f2+5|=-S(X1-3)-2f-3x2+5>=6，整理得K+5=6，求得

-b從而求解.

14(-7)

15.4

16.(1)2a2

(2)15a2b2

(3)2m2n-3mn2

(4)3y-2

解：(1)4a2bn-2b=2a2；

故答案為:2a2；

(2)(Sab)x5ab=-15a2b2；

故答案為：-15a2b2；

(3)(2m-3n)xmn=2m2n-3mn2；

故答案為：2m2n-3mn2；

(4)(6y3-4y2)4-2y2=3y-2.

故答案為：3y-2.

(1)根據除數=被除數十商，可得括號內的式子為：4a2b+2b,然后再用單項式除以單項式的法則，

計算出結果即可；

(2)根據被除數=商乂除數，可得括號內的式子為：(-3ab)x5ab,然后再用單項式乘以單項式

的法則，計算出結果即可；

(3)根據被除數=商乂除數，可得括號內的式子為：(2m-3n)xmn,然后再用單項式乘以多項式

的法則，計算出結果即可；

(4)根據除數=被除數十商，可得括號內的式子為：(6y3-4y2)-2y2,然后再用多項式除以單項

式的法則，計算出結果即可.

17.(1)解：原式=1+9-1=9

(2)解：原式=X8-4X8+X8=-2X8

(3)解：原式=1+；.lf=4y2z2-16xz

(4)解：原式=(x2-4y2)-(x2-2xy+y2)=x2-4y2-x2+2xy-y2=2xy-5y2.

(1)根據乘方的定義、負整數指數型的性質、零指數基的性質進行化簡，再進行加減運算，即

可得出答案；

(2)先算乘方，再算乘除，最后合并同類項，即可得出答案；

(3)先算乘方，再根據多項式除以單項式的法則進行計算，即可得出答案；

(4)先根據平方差公式和完全平方公式進行計算，再合并同類項，即可得出答案.

18.⑴解:(?(-21Y)

-4x4y21(-2xy)

=-8/儼；

(2)解：4(x+1)2-(21+5)(21-5)

=4,+2x+l)-(4X2-25)

=4x2+8x+4-4X2+25

-8t+29.

(1)利用同底數累的乘法法則，幕的乘方，積的乘方計算求解即可；

(2)利用完全平方公式和平方差公式計算求解即可。

19.(1)解：(-2)2+(3.14-ff)°-(-2)+=4+l+2+(-2)=S；

(2)解:

[(X—3y)2+(x+y)(x—y)—x(2x—4y)]-r(-2y)?(x2-6xy+9JT2+x2-y2—2K2+

?xy)4-(-2y)"(Sy2-2xy)-r(-2y)-x-4y

把i2,V--1代入i—41中，即t-2-4■?-1ib.

(1)運用有理數的乘方、零指數嘉、負整數指數幕進行運算，進而即可求解；

(2)先運用完全平方公式、平方差公式進行運算，進而代入即可求解。

20.(1)會客室的面積為(/—平方米，會議廳的面積為(2/+3q，+/)平方米

(2)39平方米

21.(1)(6ab+5b2)(2)(8a2+12ab+4b2)

22.(1)解：?.?長方形的長為a米，寬為b米，面積為ab米，

半徑為b米的四分之一圓面積為57r於米，

直徑為b米的二分之一圓面積為3“x(?):-米，

陰影部分的面積為：ab-；""--(ab-gzib)米；

(2)解：當。=25米，b-10米，取a=3,14時，

五彩石的造價為：100X(25X10-1x3.14x10;)

3

=100x(25x10-^x3.14x100)

-100x132.25

13225(元).

答：需要13225元.

(1)根據矩形面積計算方法、扇形面積計算方法及割補法，用矩形ABCD的面積分別減去兩個

扇形的面積即可算出鋪五彩石的空地的面積；

(2)將a=25、b=10及開=3.14代入(1)所得結果可算出鋪五彩石的空地的面積，進而再乘

以每平方米的五彩石的價格即可得出購買五彩石的總費用.

23.(1)解：第n個等式為：(2n+2)2-(2n)2=4⑵i+l)(n為非零自然數),

證明如下：

(2n+2)2-(2n)2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2)=4(2n+l),

/.(2n+2)2-(2n)2=4(2n+l)；

(2)解：172可以寫成兩個連續偶數的平方差，這兩個連續偶數為42與44,理由如下：

令4(2n+l)=172,

解得n=21，

2n=2x21=42,2n+2=42+2=44,

?.?442-422=172,J這兩個偶數分別為42和44.

(1)根據題干給定的例子可得第n個等式為：(2n+2)2-(2n)2=4(2n+l)(n為非零自然數)，

進而將等式的左邊再根據平方差公式分解因式，再化簡即可證明；

(2)令(1)所得等式的右邊部分=172,建立方程求出n的值，即可解決此題.

24.⑴解：3-4-2x3-4

?6-4

,2-

<2)解：2???-2fl-2*2-2d-4-2。，

(4-2a)覺-3a)=2x(4-2a)—(-3a)=8-4a+3a=8-a-

(1)根據定義的新運算可得3X4=2X3-4,然后根據有理數的乘法、減法法則進行計算；

(2)根據定義的新運算可得2派2a=2x22a=4-2a,貝！|(2X2a)※(-3a)=2x(4-2a)-(-3a),化簡即可.

25.(1)10

(2)解：,；屋+爐=m+b)2-2ab.

??(25-x)2+(x-10)2-(25-x+x-IO)2-2(25-x)(x-10)-IS2-2x(-IS)-255

(3)10

解：(1)?.ah■(a+城產+螞

?a2+b2=28?(a+b)2=48,

.,48-28

-ab=<「一-10>

故答案為：10；

⑶設4c=*BC-b.

(a+b)2—他2+/),

*ab=

2

陰影部分面積為：氣)3,他io.

故答案為：10.

(1)根據必■絲尤二的53,把小+y?28,(a+b)2=48,代入計算即可求解;

2

(2)根據丁+b:=(a+b)~2ab,即可求解；

1ns‘口’記,即可得到陰影部分面積為

(3)設AC=*BC^b,根據b

02

(a±b)a2/進而即可求解.

F^一T-Tab.

26.(1)證明：'J^QHP4.4，UiOP^AOli,

:.A0P8△OUA;

(2)解：點月的橫坐標為丫百，點8的坐標(、&Op

-'-AB108，OB=\3>

把i=百代入「土^品?起=3，

yx7v3

??AB—3，

--tanzAOB-OA-JOB?+4群—2仔

.?小。8=60。，

由⑴得匕0P8AOBA>

喘?腓嘮■務

解得0P■亨，

過。作PM1。8于1軸,

?Z08-603

■'-PM=0PxsinzPOM=OPx疝60°=t3OM=OPxcoszPOM=OPxcos60*=芋H

（3）解：分別過點4、P作4N「X軸、PQ±i軸于點N、Q，

把y=、月代入、G=一得i-3,

?；K3，\行)，

'OA=J32+V32=26'tanMON.亨

???Z.4ON-30。，

1?7>'|2.0),

.'-OH-2,

由乙P08=4BOA得要使△3。P與4AOB相似，有空=索或空=客

UAUDUAUr

當假=怫時，△BOP-△AOB^

.2OP

解得OP=；百，

?'-PQ■opxsin^POQ■OPxsin30。■號OQ-OPXcos^POQ=OPxcos300=1>

，點?的坐標為(1,卓)；

當器—徐時，OA-OP，此時點.4、P重合，

，尸1，⑸，

綜上點P的坐標為⑶、囪或(1，=?時，工。28與乙A08相似.

(1)根據相似三角形的判定(AA)即可求解；

(2)先根據反比例函數圖象上的點的坐標特征求出AB,進而根據正切函數結合勾股定理得到

析“"08=器=百，(M=J082+加=20，即”。8=60°，根據相似三角形的性質得到

劣即號=舄，從而得到OP,過P作PM108于I軸，根據題意解直角三角形求出PM和

OM,從而即可得到點P的坐標；

(3)分別過點4、P作4N_LR軸、PQ1i軸于點N、Q,先求出點A的坐標，進而根據勾股定理

結合正切函數得到04=J32+6=26'tanzAOiV=<y>即〃ON=30。，再根據相似三角

形的判定與性質分