重難點2-6導數與零點、隱零點綜合應用

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預測

導數與函數零點(包括隱零點)的綜合應用是高考預計2025年將繼續保持對導數知識的深入考查，

數學的重要考點，在近三年的高考中均有出現。其注重與零點問題的結合，題型多樣且難度較大，命

題型多樣，包括選擇題、填空題和解答題，其中解題更加注重綜合性和創新性.

答題常作為壓軸題出現，難度較大.主要考查零點

個數問題、隱零點問題及參數范圍問題.

重難點題型解讀

題型［利用導數判斷函數零點個數題型4max,min函數的零點問題

題型2討論證明函數零點個數=一導數與零點、隱零點綜合應用一?題型5不含參函數的"隱零點■問題

題型3根據函數零點個數求參數°題型6含參函數的"隱零點”問題

題型1利用導數判斷函數零點個數

判斷函數零點個數的常用方法

(1)直接研究函數，求出極值以及最值，畫出草圖。函數零點的個數問題即是函數圖象與X軸交點的個：

數問題.

i

(2)分離出參數，轉化為a=g(x),根據導數的知識求出函數g(x)在某區間的單調性，求出極值以及最

值，畫出草圖.函數零點的個數問題即是直線y=a與函數y=g(x)圖象交點的個數問題.只需要用。與：

函數g(x)的極值和最值進行比較即可.

11_1.y

1.(24-25高三上?山東荷澤?期中)函數〃——situ的零點個數為()

21-x

A.1B.0C.3D.2

2.(24-25高三上?四川?期中)已知實數〃滿足2。+々=2,則函數〃%)=2%3—3/+1—，的零點個數為()

A.0B.1C.2D.3

ln(l-x),xe(-a?,O]

3.(23-24高三下.北京房山.一模)若函數/(%)=1/八、，則函數g(x)=/(%)+%+。零點的個數

.”(0,十句

為()

A.1B.2C,1或2D.1或3

4.(24-25高三上?山東濟南?期末)當彳4-2兀,2可時，曲線y=sinx與的交點個數為()

A.1B.2C.3D.4

題型2討論證明函數零點個數

證明函數零點個數的方法與判斷零點個數的方法相似，多在解答題中進行考察.

利用函數零點存在定理：先用該定理判定函數在某區間上有零點，然后利用導數研究函數的單調性、極值

(最值)及區間端點值的符號，進而判斷函數在該區間上零點的個數.

注意：單調性+零點存在=唯一零點.

1.(24-25高三上?甘肅蘭州?期中)已知函數/(X)=ae'—x-l.

(1)若f(尤)在(1,2)上存在極小值，求實數”的取值范圍

⑵討論“X)在(-2,2)上的零點個數.

2.(24-25高三上?吉林?期末)已知函數/(x)=—+21n尤的極小值為2,g(x)=

X

0<m<—.

2

⑴求a的值;

m

(2)比較并證明g與0的大小;

⑶求y=g(x)的零點個數并進行證明.

3.(24-25高三上?江西宜春?期末)已知函數/(x)=2sinx-x.

⑴當xe[0,7i]時，/(x)<m,求實數加的取值范圍；

⑵判斷函數g(x)=(x+l)〃x)+l在9+鼻的零點個數，并說明理由.

4.(24-25高三下?浙江?開學考試)已知函數/(x)=ln^——(。>0)是奇函數.

⑴求a；

⑵求曲線y=/(%)在點(0,/(0))處的切線方程；

(3)證明：函數g(x)=〃x)-2sinx有且僅有1個零點.

題型3根據函數零點個數求參數

1,分離參數(a=g(x))后，將原問題轉化為y=g(x)的值域(最值)問題或轉化為直線y=a與y=g(x)

的圖象的交點個數問題(優先分離、次選分類)求解.

；2、利用函數零點存在定理構造不等式求解.

II

3、轉化為兩個熟悉的函數圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解.

II

1.(24-25高三上?江蘇淮安?月考)函數〃尤)=2元3-3依2+1只有一個零點，則實數。的取值范圍是.

x3+3尤2-2,x<0,

2.(24-25高三上?廣東?月考)已知〃x)=in》若函數g(x)=/(x)-根有兩個零點，則加的取

---，尤>0,

、尤

值范圍為.

3.(24-25高三下?安徽?開學考試)已知函數/(^)=e2x-5e'+^.

⑴若4=2,求/(x)的極值；

(2)若f(x)在區間(9,0)上存在零點，求實數4的取值范圍.

4.(24-25高三上?湖南邵陽?一模)已知函數/。)=:(1)/一為-1.

⑴求曲線y=/⑴在點(1"⑴)處的切線方程；

⑵若函數g(x)=(e"eJeg)"(x)+x+l]+工有2個零點，求實數。的取值范圍.

X

題型4max、min函數零點問題

在處理含max,min函數的問題中，核心思想是去掉這個符號：

ff>0

1、對于二元的max,min可以通過分類討論去掉，即max{7,g},一&，所以就轉化成兩個大小關:

系的比較；

2、對于三元變量或者多元變量，分類討論去max,min符號就變得復雜，此時往往需要借助該函數的最

值性去掉該符號；

3、在目標圖象容易做出的情況下，我們亦可通過作圖來實現，利用數形結合.

1.(23-24高三下?湖南衡陽?開學模擬)已知函數〃(x)=maxy,-x3+ax-；1(x>。)，其中max{p,q}表

示P,q中的最大值，若函數〃(力有3個零點，則實數。的取值范圍是.

2.(23-24高三上?浙江?二模)定義己知函數=max{lnx,-4x3+的_“，其中W一.

(1)當加=5時，求過原點的切線方程；

(2)若函數/(X)只有一個零點，求實數機的取值范圍.

3.(23-24高三上?湖南長沙?月考)已知函數/'(x)=(x-G(e*+l),g(x)=orlnx+x+e-2(aeR),

表示機，〃的最大值，設F(￡)=max{/(x),g(x)}.

⑴討論r(x)在(。,+“)上的零點個數；

(2)當x>0時網尤”0,求。的取值范圍.

4.(23-24高三下?河南鄭州?模擬預測)已知函數/(%)=-丁+3尤(x>0),g(x)=x]nx+ax2-2x.

⑴若“X)，8⑴的導數分別為/⑴，g'(x),且{x,(x)<o}c{xW(x)<o},求a的取值范圍；

⑵用min{a,6}表示a,6中的最小值，設〃(x)=min{〃x),g(x)},若同>1,判斷〃(力的零點個數.

題型5不含參函數的“隱零點”問題

1、不含參函數的“隱零點”問題的解策略：

己知不含參函數/(%),導函數方程/'(勸=0的根存在，卻無法求出，

i

設方程/'(%)=0的根為/,則有：①關系式尸(毛)=0成立；②注意確定/的合適范圍.

2、“虛設零點”的具體操作方法：

第一步：用零點存在性定理判定導函數零點的存在性，列出零點方程尸(毛)=0,并結合Ax)的單調性得

到零點的范圍；這里應注意，確定隱性零點范圍的方式是多種多樣的，可以由零點的存在性定理確定，也

可以由函數的圖象特征得到，甚至可以由題設直接得到，等等；至于隱性零點范圍精確到多少，由所求解

問題決定，因此必要時盡可能縮小其范圍.

第二步：以零點為分界點，說明導函數/'(x)的正負，進而得到/(x)的最值表達式；這里應注意，進行代

數式的替換過程中，盡可能將目標式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對數函數式用有理式替:

換，這是能否繼續深入的關鍵.

第三步：將零點方程g(x0)=。適當變形，整體代入最值式子進行化簡證明；有時候第一步中的零點范圍還!

可以適當縮小.導函數零點雖然隱形，但只要抓住特征(零點方程)，判斷其范圍(用零點存在性定理)，最

i

后整體代入即可.(即注意零點的范圍和性質特征).

I

1.(24-25高三上?河北滄州?月考)已矢口函數=—alnx.

⑴若在(0,+動上單調遞增，求實數。的取值范圍；

⑵當a=l時，證明：/(x)>0.

2.(24-25高三上?安徽淮南?月考)設函數〃x)=ox-2-Inx,?sR.

⑴若F(X)2O恒成立，求實數a的取值范圍

⑵若g(x)=ax-e。求證：在x>0時/(x)>g(x).

3.(24-25高三上?福建漳州?模擬預測)已知函數/(x)=xe'.

⑴求函數了(元)的極值

⑵若f(x)Tn尤恒成立，求實數a的值范圍.

4.(24-25高三上?安徽宣城?期末)已知函數/'(x)=xe，—2alnx,g(x)=^.

⑴當a=e時，證明：/(x)Ng(x)恒成立;

⑵設國表示不超過尤的最大正整數，若a?O,e),且關于a的方程〃a)=%有實數根，記b的最小值為t,

求上+21n2］的值.

題型6含參函數的“隱零點”問題

含參函數的“隱零點”問題解題策略：

己知含參函數/（X,。），其中。為參數，導函數方程/'（x,a）=O的根存在，卻無法求出，

設方程/'（%）=o的根為/，則有①有關系式r（/）=o成立，該關系式給出了％，。的關系；②注意確

定與的合適范圍，往往和。的范圍有關.

1.（24-25高三上?廣東?期末）已知函數/（x）=x2-2x+l+alnx.

⑴若。=-1,求函數在》=1處的切線方程；

⑵若丁（無）在區間（1,2）上有唯一的零點，求。的取值范圍.

2.（24-25高三上?黑龍江?期末）已知函數/（x）=e2，-雙-1.

⑴討論〃尤）的單調區間；

⑵若在區間（0,+8）上存在唯一零點七,證明：x0<<7-2.

3.（24-25高三上?吉林長春?期末）已知函數/（%）=（*2-依）inx+x（aeR,a>0）.

⑴若1是函數/（尤）的極值點，求。的值；

（2）若。<。41,試問Ax）是否存在零點.若存在，請求出該零點；若不存在，請說明理由.

4.（24-25高三上?山西長治?月考）已知，（x）=a（x-l）e"-d.

⑴當a=l時，求函數“X）在區間［-1,1］上的最值；

（2）若/'（x）N-l恒成立，求。的取值范圍.

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（24-25高三上?河北承德?月考）已知函數/⑺=a+2）e「根有兩個零點，則實數加的取值范圍為（

A.f—^-,0jB.I--C.（0,+功D.（』0）

a721

x+2xH-----x,xV0

2.(24-25高三上.浙江.期末)已知函數/("=20，g(x)=f(x)-ax,若函數g(x)有5

—,x>0

.X

個零點，則。的取值范圍為（）

二、多選題

3.（24-25高三上?江蘇蘇州?模擬預測）已知函數/（x）=I；"：'尤<°八,其中aeR,若函數〃尤）有2

ax—2ox+l,x>0

個不同的零點，則。取值范圍可以是（）

A.（0,1）B.（1,+e）C.（-8,0）D.kj］

4.（23-24高三上?重慶沙坪壩?月考）用min{〃?,"}表示雙"中的最小值，設函數

；一卜%>貝

/z(x)=mind++,Inx0),U()

A.力(1)=0B.力(尤)在(1,+⑹上無零點

C.當aW-3時，力⑴在(0,