第17章勾股定理能力提升測試卷

（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）

一、單項選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

（江蘇省南京聯合體2024-2025學年上學期八年級數學期末試題）

1.邊長為2的等邊三角形的面積為（）

A.1B.2C.V3D.273

（23-24八年級上?河北石家莊?期末）

2.下列條件中，不能判定△N3C是直角三角形的是（）

A./4=/B+/CB.a:b:c=5il2;13

C.a2=（b+c）（b-c）D.ZA:ZB:ZC=3:4:5

（24-25八年級下?全國?階段練習）

3.如圖，4（0,3）,3（1,0）,以2為圓心，為半徑畫弧，交x軸負半軸于點C,則點C

A.(2-710,0)B.(-Vio,o)c.(Vio,o)D.(i-Vio,o)

(24-25八年級上?江西九江?期末)

4.如圖，點C在線段42上，ZDAC=ZDCE=NCBE=90°,DC=CE,4D=6,

C.1072D.60

（24-25八年級上?江蘇揚州?期末）

試卷第1頁，共8頁

5.如圖所示的網格是正方形網格，圖形的各個頂點均為格點，以下正確的是（）

A.Zl+Z2=135°B.Zl+Z2=150°

C.Zl-Z2=90°D.Nl—N2=105°

（24-25八年級上?浙江金華?期中）

6.如圖，我國古代著名的“趙爽弦圖”由四個全等的直角三角形拼成大正方形N8CD和中間

小的正方形EFG8,若直角三角形的兩條直角邊的比為1:2,大正方形/8CD的面積為25,

則小正方形EFG”的面積為（）

C.10D.12.5

（24-25八年級上?河北石家莊?階段練習）

7.劉老師和“數學小分隊”的隊員們在學習數學史時，發現了一個著名的“希波克拉蒂月牙問

題”：如圖在中，44c2=90。，AC=1,BC=2?,分別以Rt448C的各邊為直

徑作半圓，則圖中兩個“月牙”即陰影部分的面積為（）

C.25D.2a

（24-25八年級上?廣東深圳?期中）

8.如圖，15只空油桶堆在一起，每只油桶底面的直徑均為45cm,要給他們蓋一個遮雨棚,

遮雨棚的最低高度為（）cm.

試卷第2頁，共8頁

nYnn)

TLD

A.225C.225-156D.135上

（24-25八年級上?湖北恩施?期末）

9.如圖，在等腰Rt448C中，N4cB=90°,尸是斜邊的中點，NDPE交邊4C、BC

于點。、E,連接DE,且/DPE=90。，若CE=；BE,AC=4,則AOPE的面積是（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

（24-25八年級上?河南周口?期末）

10.如圖1,在△ABC中，ZACB=90°,AC=4,SC=3.以這個直角三角形的三邊為邊分

別向外作正方形.圖2由圖1的兩個小正方形分別向外作直角邊之比為4:3的直角三角形,

再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊向外作正方形，…，按此規律，則圖11中所有

正方形的面積之和為（）

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分.）

（24-25八年級上?江蘇鎮江?期末）

11.如圖，三條直線a、b、c互相平行，△/BC的三個頂點分別在三條平行線上.已知

ZBAC=90°,AB=AC,且a、6之間的距離為2,b、c之間的距離為3,則8C=_.

試卷第3頁，共8頁

B

cQ

（24-25八年級上?福建福州?期末）

12.如圖，在△NBC中、BC的垂直平分線分別交于點E,F.若A/FC是等邊三角

形，EF=12cm.則8C=cm.

（24-25八年級上?四川成都?期末）

13.如圖，一天傍晚，小方和家人去小區遛狗，小方觀察發現，她站直身體時，牽繩的手離

地面高度為=13分米，小狗的高CD=3分米，小狗與小方的距離/C=24分米（繩子一

直是直的）.求牽狗繩AD=分米.

（24-25八年級上?河南?期末）

14.長方形08。的08邊在x軸上，QD邊在了軸上，Q8=10,OD=6,點E是直線3c

上的一個動點，若將ACDE沿。E折疊后，點c的對應點廠落在了X軸上，則點￡的坐標

為.

（24-25八年級上?河南焦作?期中）

15.如圖，三級臺階每一級的長寬高分別是5cH1,3cHi和1cm,N和3是這個臺階的兩個相

對的端點，點/上有一只螞蟻，想到點5去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到點3的

試卷第4頁，共8頁

最短路程長為cm.

（24-25八年級上?全國?期末）

16.如圖，一束光線從點4（3,3）出發，經過y軸上的點C反射后經過點2（1,0）,則光線從點

三、解答題（本題共6小題，共52分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.）

（24-25八年級上?陜西渭南?期末）

17.某商場一樓與二樓之間的手扶電梯如圖所示，其中43、CD分別表示一樓、二樓地面

的水平線，高度CE為4m,2C的長是8m,/CEB=90°,求BE的長.

（24-25八年級上?福建福州?期末）

18.“三農”問題是關系國計民生的根本問題，實施鄉村振興戰略是建設美麗中國的關鍵舉

措.如圖，某村有一塊三角形空地現計劃將這塊三角形空地進行新的規劃，點Q是BC

邊上的一點，過點。作垂直于/C的小路DE.經測量，/2=13米，/。=12米，AC=15

米，8。=5米.

試卷第5頁，共8頁

A

⑴求DC的長；

⑵求小路。E的長.

（24-25八年級上?河南洛陽?期末）

19.如圖，在長方形/2CD中，AD//BC,AB//DC,AB1BC,以AD為折痕，將長方

形/8CA折疊，使/。交于點E,點/落在點尸處.

(1)求證：BE=DE；

⑵若月8=2,AD=3,求8E的長.

(24-25八年級上?山西臨汾?期末)

20.(1)如圖1,ZC=90°,CD=3,8C=4,48=13,40=12,求圖中陰影部分的面

積.

（2）如圖2,在離水面高度為5米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子8C的長為

10米，此人以0.5米每秒的速度收繩，6秒后船移動到點。的位置，問船向岸邊移動了多少

米？（假設繩子是直的，結果保留根號）

試卷第6頁，共8頁

（24-25八年級上?四川內江?期末）

21.（1）課堂上，老師提問：求G7?+J（16-x）2+81的最小值.聰明的小明結合勾股定

理的相關知識，利用構圖法解出了此題，他的做法如下：

①如圖1,作一條長為16的線段CD；

②過點C在線段上方作4CLCD,使/C=3；過點。在線段CD下方作5。，C。，使

BD=9；

③在線段CD上任取一點。，設CO=x；

④根據勾股定理計算可得，AO=,B0=（請用含x的代數式表示,

不需要化簡）；⑤如圖2,過點8作R4U/C交NC的延長線于4,則。4'=8。=9,

BA'=CD=16,連接48交CD于點O,當A、0、8三點共線時（即。在。處），AO+BO

取得最小值，即為所求代數式的最小值.請根據小明的做法，求G?+J（16-xy+81的

最小值.

（2）請結合第（1）問，直接寫出“XT1+25+J（x-16）2+9的最小值.

（24-25八年級上?山東濟南?期中）

22.如圖，某沿海城市A接到臺風預警，在該市正南方向340km的3處有一臺風中心，沿3C

方向以10km/h的速度移動，已知城市A到BC的距離AD為160km.

試卷第7頁，共8頁

fC

A

VD

B

⑴臺風中心經過多長時間從8點移到。點？

⑵如果在距臺風中心3的200km的圓形區域內都將受到臺風的影響，那么A市受到臺風影

響的時間持續多少小時？

試卷第8頁，共8頁

1.c

【分析】此題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，作4015。于點。，貝!）乙4。8=90。,

由等邊三角形的性質得/8=/C=BC=2,則5D=CD=g8C=l,然后通過勾股定理求出

的長，最后由三角形面積公式即可求解，掌握等邊三角形的性質和勾股定理是解題的根

據.

【詳解】解：如圖，作/D23C于點。，則44。3=90。，

???△ABC是等邊三角形，

AB=AC=BC=2,

???AD1BC,

-.BD=CD=-BC=1,

2

由勾股定理得：AD7AB2-BD?=也-干=6,

；.S-Be=；BC義AD=；乂2乂追=抵,

故選：c.

2.D

【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應用.根據三角形內角和定理可分析出A、D的正誤;

根據勾股定理逆定理可分析出B、C的正誤.

【詳解】解：A、,:NA=NB+NC,ZA+ZB+ZC=180°f

.■/=90。，

.?.△/5C為直角三角形，故此選項不合題意；

B>va:b:c=5:12:13

.??設〃=5k.b=12k,c=13k,

???（5左）2+02左『=03左）2,

答案第1頁，共16頁

a2+b2=c2,

為直角三角形，故此選項不合題意；

C、a2=(b+c)(b-c),即/二尸一2,

:.b2=a2+c2,

:.“BC為直角三角形，故此選項不合題意；

D、???NN:Z8:NC=3:4:5,

.,.設N4=3x。，ZB=4x°,ZC=5x0,

?.?Z^+ZS+ZC=180°,

?1?3x+4x+5x=180,

解得：x=15,

則5x°=75°,

.?.△48C不是直角三角形，故此選項符合題意.

故選：D.

3.D

【分析】本題主要考查了勾股定理，以及坐標系中點的坐標的特征等知識點，利用勾股定理

求出45的長，再根據R4=8C即可得解，熟練掌握利用勾股定理求出氏4=8。的長度是解

決此題的關鍵.

【詳解】解：???、((),3),3(1,0),

OA=3,OB—1,

在尺公/。5中，由勾股定理得：

AB=Vl2+32=V10，

BA=BA,

故故選:：D.

4.C

【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質、勾股定理、二次根式的化簡，正確找出兩個

全等三角形是解題關鍵.先證出△/￡>(?名ABCE,根據全等三角形的性質可得

AC=BE=8,再利用勾股定理可得CE=DC=10,然后在RtaCOE中，利用勾股定理求解

答案第2頁，共16頁

即可得.

【詳解】解：???4MC=/DCE=90。，

:"ADC+/4CD=90°=ZBCE+ZACD,

ZADC=ZBCE,

在△4DC和ABCE中，

ADAC=NCBE=90°

<ZADC=ZBCE,

DC=CE

AADC知BCE(AAS),

AC=BE=8,

vAD=6,ZDAC=90°,DC=CE,

?1?CE=DC=dAD、AC。=10，

在RtZiCDE中，DE=yJCD2+CE2=1072-

故選：C.

5.A

【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，利用網格得/D=3C,

AB=CD,AC=CA,證明A/3C0ACZM(SSS)得/2=//CD,再由網格得/C4D=45。,

再由三角形內角和定理可得/1+N2=135。.

【詳解】解：如圖，連接3C,AC,

由圖可得4D=8C=血，Ag=CD=JF+22=5AC=CA,

；.N2=NACD,

.-.Zl+Z2=Zl+ZACD,

答案第3頁，共16頁

又???ACAD=45°,

.-.Zl+Z2=Zl+Z^CZ)=180o-ZG4Z>=180o-45o=135°,

故選：A.

6.A

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和勾股定理，熟悉全等三角形的性質和勾股定理

是解題的關鍵.

先根據全等三角形的性質和已知條件求出BE=M=CF,再根據勾股定理求解即可.

【詳解】解：??,大正方形/BCD的面積為25,

■■BC2=25,

???四個直角三角形是全等三角形，

CF=BE,

又???直角三角形的兩條直角邊的比為1：2,即CF：即=1：2,

BF=2CF=2BE,

■.BF=BE+EF,

：.BE=EF=CF,

在RtABFC中根據勾股定理得：CF2+BF2=BC2,

.-.EF2+(2EF^=BC2,

二5￡尸=25,

■■EF2=5,

???小正方形EFG"的面積為5.

故選：A.

7.A

【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題關鍵.先利用勾股定理求出

AB=3,再根據圖中兩個“月牙”即陰影部分的面積等于以NC,BC為直徑的兩個半圓面積加

上RtzX/BC的面積，再減去以為直徑的半圓的面積求解即可得.

【詳解】解：,??在中，NACB=90。,AC=1,BC=2也,

?1?AB=yjAC2+BC2=3，

???圖中兩個“月牙”即陰影部分的面積等于以/C,2C為直徑的兩個半圓面積加上RtZUBC的

面積，再減去以N2為直徑的半圓的面積，

答案第4頁，共16頁

22

二所求的面積為CM!13

+xH—x1x----兀x

22IrI-I22

88

=5/2，

故選：A.

8.B

【分析】此題考查了勾股定理的應用以及等邊三角形的判定與性質等知識，熟練掌握勾股定

理，正確作出輔助線是解題的關鍵.連接4民8C,4C,由題意可知，AD，BC于點、D,先

證明△NBC為等邊三角形，再由等邊三角形的性質得8。=；2C=90cm,然后由勾股定理

求出的長，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接

由題意可知，ADJ.BC于點、D,

AB=4x45=180(cm),BC=4x45=180(cm),AC=4x45=180(cm),

AB=BC=AC,

:"BC為等邊三角形，

???AD±BC,

.'.5Z)=|sC=|xl80=90(cm),

AD=^AB--BD1=A/1802-902=90V3(cm),

???油桶的最高點到地面的距離=1X45+9073+；x45=(9073+45)(cm),

即遮雨棚的最低高度為(90A/3+45)cm，

故選：B.

9.B

【分析】首先在等腰中，可知*=3P=CP,CPA.AB,

答案第5頁，共16頁

/B=NBCP=/DCP=45。,進而證明△8PE，由全等三角形的性質可得尸E=尸。,

結合=AC=4f易得CE=1,BE=3,AP=BP=2g;過點E作石尸5于點

F,解得￡/=8/=逑，進一步可得PF=BP-BF=正,再在Rt△尸跖中，利用勾股定

22

理解得尸￡的值，易得PE=PD=小，然后根據三角形面積公式求解即可.

【詳解】解：???在等腰Rt△,5。中，AC=BC,NACB=90。,尸是斜邊的中點，

:,AP=BP=CP,CP1AB,ZB=ZBCP=ZDCP=45°,

vZDPE=ZDPC+ZEPC=90°,ZBPE+ZEPC=90°f

："DPC=/BPE,

在ABPE和叢CPD中，

NB=ZDCP

<BP=CP,

NBPE=NDPC

???八BPERCPD(ASA),

???PE=PD,

??,CE=—BE,AC-4,

3

.-.C￡=l,BE=3,AP=BP=-AB=-y)AC2+BC2=272,

22

過點E作石尸，48于點尸，如圖，

A

???/5=45。，

???/FEB=90°—/B=45°=ZB,

???EF=BF,

X-EF2+BF2=BE2=9,

答案第6頁，共16頁

.3V2

??ErzF7=BDZF7=-----，

2

又BP=2框,

:.PF=BP-BF=顯,

2

.?.在Rt△尸EF中，PE=Jp/2+￡尸2=="，

：.PE=PDM,

???△。尸￡的面積$=!尸。-「￡='*石乂追=2.5.

22

故選：B.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理和三角形

的面積等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

10.C

【分析】本題考查的是勾股定理、圖形的變化規律，根據勾股定理、正方形的面積公式得出

所有正方形的面積和的變化規律是解題的關鍵.根據勾股定理求出N8=5,再根據勾股定

理和正方形面積公式得出規律，即可解決問題.

【詳解】解：：4CB=9Q°,AC=4,3C=3,

AB=^AC2+BC2=V42+32=5

???圖1中正方形的面積和為：

32+42+52=25+25=2x25=50,

圖2中所有正方形的面積和為：

32+42+32+42+52=25+25+25=25+50,

圖3中所有正方形面積和為：

32+42+32+42+32+42+52=25+25+25+25=2x25+50,

???圖11中所有正方形的面積為(11-1)x25+50=300.

故選：C

11.V26

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理.過/作。于。，交直線c

于點E,證明g△C/E,得出3O=4E=3,根據勾股定理得出

答案第7頁，共16頁

AB2=AD2+BD2=2?+3?=13,根據勾股定理可得答案.

【詳解】解：過/作于。，交直線c于點E,如圖所示:

'：a//b//c,

??.DE_Lc,DE_Lb,

AD=2,/￡=3,

???ZADB=NAEC=ABAC=90°,

???/ABD+/DAB=/DAB+/CAE=90°,

???/CAE=NDBA,

又?:AB=AC,

.sABD知CAE(AAS),

BD=AE=3,

???根據勾股定理得：AB2=AD2+BD2=22+32=13=AC2,

BC=siAB2+AC2=V26.

故答案為：V26.

12.24g

【分析】本題考查了垂直平分線的性質，等邊三角形的性質，三角形外角的性質，含30。的

直角三角形的性質，勾股定理.根據垂直平分線的性質得到=再利用等邊三角

形的性質得到//PC=60。，從而可得從而可得答案.

【詳解】解：尸垂直平分8C,

：.BF=CF,BC=2BE,

.-.ZB=NBCF,

???△NCR為等邊三角形，

：.NAFC=60°,

NB=ZBCF=30°,

??,EF=12cm,

答案第8頁，共16頁

BF=2EF=24（cm）,

BE=^BF2-EF2=1273(cm),

；.BC=2BE=24鳳cm),

故答案為：246.

13.26

【分析】本題考查勾股定理的應用，過點。作于點區可得DE=/C=24分米,

/E=CD=3分米，DE=10分米，再根據勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，過點。作DE24B于點E,

貝|J/E=C￡)=3分米，OE=/C=24分米，

.?.BE=N8-/￡=10分米，

???BD=^BE2+DE2=A/102+242=26(分米).

所以此時牽狗繩的長為26分米.

故答案為：26.

14.或(10,-24)

【分析】本題考查了翻折的性質、勾股定理的應用，分兩種情況①當點E在線段上時,

設BE=x，則CE=EF=BC-BE=6-x,由勾股定理求出無的值即可得出答案.②當點E在

線段CB的延長線上時，設成=x，則C￡==3C+BE=6+x,由勾股定理求出x的值即可

得出答案.

【詳解】解：①當點￡在線段C8上時，

???四邊形08CD是長方形，

.-.CD=OB=10,BC=0D=6,NDOB=ZOBC=90°,

由折疊ACDE得AEDE可知：DF=CD=IO,

OF=4DF1-OD1=8，

答案第9頁，共16頁

:.BF=OB-OF=lG—8=2,

由折疊可知：CE=EF,

設BE=x,貝!|CE=￡/=8C-3E=6-x,

(6-x)2=22+X2

Q

解得X=|,

.??點E的坐標為(10,11,

②當點E在線段CB的延長線上時，

:.BF=OF+OB=S+W=1S,

設BE=x,貝!|CE=M=8C-8E=6+x,

■■EF2=BF2+BE2,

.-.(6+x)2=182+X2,

解得x=24,

.?.點E(10,-24).

綜上所述，或(10,-24)

故答案為：『,||或(10,-24).

15.13

【分析】本題主要考查了平面展開圖中的最短路徑問題，勾股定理，熟練掌握平面展開圖及

勾股定理是解決本題的關鍵.

先將圖形平面展開，再用勾股定理根據兩點之間線段最短進行解答.

【詳解】解：如圖所示，

答案第10頁，共16頁

1

???三級臺階平面展開圖為長方形，寬為5,長為（3+l）x3=12,

.??螞蟻沿臺階面爬行到點8最短路程是此長方形的對角線長,

由勾股定理得，48=+12?=13,

則螞蟻沿著臺階面爬到點最短路程是13；

故答案為：13

16.5

【分析】題考查了坐標與圖形，全等三角形的判定與性質及勾股定理，同時滲透光學中反射

原理，熟練掌握坐標與圖形性質是解決本題關鍵.作點玄，使其與點B關于了軸對稱，路徑

長就是/夕的長度.連接CB',先證明之AOCQ.再運用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，延長NC與x軸交于點夕,

???這束光線從點43,3）出發，經過y軸上的點C反射后經過

點8(1,0),

二由反射定律可得，N1=NOCB,

???Zl=ZOCB',

ZOCB=NOCB'

???COIBB'^-O.

NCOB=NCOB'且OC=OC,

答案第11頁，共16頁

:AOCB%OCB'(ASA)

OB'=OB=1,

.■.^(-1,0),

AB'=A/32+42=5，

AC+CB=AC+CB'=AB'=5.

即光線從點A到點3經過的路徑長為5.

故答案為：5.

17.BE的長為4Gm

【分析】本題考查了勾股定理，正確進行計算是解答本題的關鍵.

根據勾股定理求解即可.

【詳解】解：由題意得，5C=8m,CE=4m,NCEB=90。，

BE=yjBC2-CE2=A/82-42=4右(m).

答：BE的長為46m.

18.(1)9米

⑵當米.

【分析】本題考查了勾股定理與逆定理，解題的關鍵是：

(1)利用勾股定理的逆定理判定N4D8=90。，然后在RtA/CD中，利用勾股定理求解即

可；

(2)利用等面積法求解即可.

【詳解】(1)解：???/2=13米，/。=12米，3。=5米，

■■AB2=BD2+AD2,

ZADB=90°,

；./ADB=N4DC=90°,

???/C=15米，

???DC=^AC2-AD2=A/152-122=9，

故。C的長9米；

(2)解：???￡>￡1/C,

答案第12頁，共16頁

■■S..nr=-2AD-CD=-之AC-DE,

,°E=亞匹=3孚（米），

AC155

故小路DE的長為費米.

19.⑴見解析

（2）7

【分析】（1）由折疊可得：ZADB=ZFDB,再由平行線的性質得=從而得

到ZDBE=ZFDB，根據等角對等邊即可得出結論；

（2）先根據平行線的性質與垂直定義求得乙4=90。，再由折疊的性質得由折疊可得：

BF=AB=2,DF=AD=3,/尸=//=90°,然后設8E=Z）E=x,則

EF=DF-DE=3-x,最后在尸中，由勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：由折疊可得：ZADB=ZFDB,

AD//BC,

■■■AADB=4DBE,

???ADBE=ZFDB,

BE=DE.

（2）W：-ABIBC

：,ZABC=90°

???AD//BC

.?.ZA+ZABC=180°

.-.Z^=90°

由折疊可得：BF=AB=2,DF=AD=3,/尸=44=90。

由（1）知：BE=DE

設BE=DE=x,則防=Z）尸一QE=3—x,

在RtZXBE尸中,由勾股定理，得

X2=22+（3-X）2

解得：龍一13，

=O

即的長為二13.

答案第13頁，共16頁

【點睛】本題考查折疊的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，平行線的性質，熟練掌握等

角對等邊、勾股定理和折疊的性質是解題的關鍵.

20.(1)24；(2)船向岸邊移動了卜若-2指)米

【分析】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面積，解答本題的關鍵是明確題

意，利用數形結合的思想解答.

(1)根據勾股定理和NBCD=90。，CD=3,BC=4,可以先求出。8的長；再根據勾股定

理的逆定理可以判斷△/AD的形狀，從而可以求出陰影部分的面積.

(2)在中，利用勾股定理計算出N3長，再根據題意可得CD長，然后再次利用

勾股定理計算出長，再利用3。=N3-可得8。長.

【詳解】解：(1)???NC=90。，BC=4,CD=3,

■■BD=\)BC2+CD2=A/42+32=5，

■-AB=13,AD=12,

■■AB2=AD2+BD2,

??.AAD2是直角三角形，ZADB=90°

???AD工BD,

,陰影部分的面積=12x5+2-3x4+2=30-6=24

(2)在RtZUBC中,

ZCAB=90°,BC=10米，/C=5米

???AB=ylCB2-AC2=7102-52=5>A米

???0)=10-0.5