第04講導數(shù)與函數(shù)的極值、最值

學習目標

課程標準學習目標

1.理解函數(shù)極值、極值點的有關概念，掌握利1.了解函數(shù)的極大(小)值與導數(shù)的關系；

用導數(shù)求函數(shù)極值的方法；2.理解極大值、極小值的概念掌握；

2.注意結(jié)合函數(shù)的圖象理解用導數(shù)求函數(shù)極值3.掌握不超過三次的多項式函數(shù)的極大(小)值的

的方法，培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問題求法；

和解決問題的思維習慣；4.了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系；

3.了解函數(shù)最值的有關概念；5.理解函數(shù)最值的概念并掌握指定區(qū)間上不超過

4.會用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的最值。三次的多項式函數(shù)的最大(小)值的求法。

思維導圖

(函數(shù)極值點的辨析

L導函數(shù)圖象與極值的關系

i求不含參函數(shù)的極值

;求含參函數(shù)的極值

.根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)

<根據(jù)極值點求參數(shù)

函數(shù)的極值點、極值，?：知識

-函數(shù)極值與最值的辨析

函數(shù)的最值

<求(不含參)函數(shù)的最值

恒成立、有解問題的解法

'求含參函數(shù)的最值

卜已知函數(shù)最值求參數(shù)

\不等式恒成立問題

\不等式有解問題

、函數(shù)的零點問題

知識清單

知識點01函數(shù)的極值點、極值

1.極值與極值點的定義

(1)函數(shù)的極小值

如果對X。附近的所有點都有f(x)>f(x0),而且在點x=X。附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,則稱

f(x0)是函數(shù)的一個極小值，記作y極小值=/(%0).

(2)函數(shù)的極大值

函數(shù)/'(x)在點演附近有定義，如果對/附近的所有點都有/(x)</(x0),而且在點x=Xo附近的左側(cè)

f'(x)>0,右側(cè)r(x)<0,則稱/(x。)是函數(shù)的一個極大值，記作V極大值=/(工0).

(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)的導數(shù)與極值

一般地，設函數(shù)於)在xo處可導，且，(x())=0.

(1)如果對于曲左側(cè)附近的任意x,都有/(x)>0,對于右側(cè)附近的任意X,都有，(x)<0,那么此時

X。是人x)的極大值點.

(2)如果對于x()左側(cè)附近的任意x,都有/(x)O,對于xo右側(cè)附近的任意x,都有，(x)>0,那么此時

X。是人x)的極小值點.

(3)如果，(x)在X。的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號(或均為負號)，則X。一定不是y=/(x)的極值點.

【解讀】一般地，如果/是y=/(x)的極值點，且/(X)在/處可導，則必有/'(%)=0.

(1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點的左右兩側(cè)附近的點而言的；

(2)極值點是函數(shù)定義域內(nèi)的點，而函數(shù)定義域的端點絕不是函數(shù)的極值點；

(3)極大值與極小值沒有必然的的大小關系，一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值,

且在某一點的極小值可能大于某一點的極大值；

(4)/'(x0)=0只是可導函數(shù)/(X)在/處取得極值的必要條件，不是充分條件。

3.求函數(shù)極值的步驟

①先確定函數(shù)/(x)的定義域；

②求導數(shù)f'(x);

③求方程/''(x)=0的解；

④檢驗了'(X)在方程/(無)=0的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那

么函數(shù)y=/(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=/(x)在

這個根處取得極小值.

【解讀】7^())=0”是“X。是y=/(x)的極值點”的必要不充分條件.如人勸=/，由/(x)=o得》=0,但。

不是/(X)=x3的極值點.

【即學即練1](24-25高二下?甘肅定西?階段練習)函數(shù)/(x)=lnx-j的極大值為()

1

A.—QB.0C.eD.1

e

【答案】D

【分析】求導，令/‘(x)>o,r(x)<o,可求得極大值.

【詳解】因為/'(x)=L-士，令/VAO,得0<x<e，時；令/'(x)<0,得X>e"

xe

2

所以當x=d時，函數(shù)/（X）取得極大值/（dblneZ-,1.

故選：D.

知識點02函數(shù)的最值

1..函數(shù)最值的定義

（1）最大值：如果在函數(shù)/（X）的定義域/內(nèi)存在一點X。使得任意一點%,使得對任意的XC/,總

有/（X）《/（%）,那么稱/（%）為函數(shù)在定義域上的最大值。

（2）最小值：如果在函數(shù)/（x）的定義域/內(nèi)存在一點玉）使得任意一點玉），使得對任意的xe/,總

有/（x"/（Xo）,那么稱/（%）為函數(shù)在定義域上的最小值。

2.對函數(shù)最值的定義理解

（1）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最值。

（2）函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念。

（3）函數(shù)y=/（x）在瓦）上連續(xù)，是函數(shù)y=/（x）在瓦）上有最大值或最小值的充分而非必要條

件。

3.函數(shù)極值與最值的關系

一般地，如果函數(shù)＞=/（x）在定義域內(nèi)的第一點都可導，且函數(shù)存在最值，則函數(shù)的最之巔一定是某

個極值點；如果函數(shù)y=/（x）的定義域為且存在最值，函數(shù)y=/（x）在伍力）內(nèi)可導，那么函數(shù)的

最值點要么是區(qū)間端點a或6,那么是極值點。

【解讀】求函數(shù)的最值時，應注意以下幾點：

（1）函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題，是一個局部概念，而函數(shù)的最值是對整個定義域而言，是在

整體范圍內(nèi)討論問題，是一個整體性的概念.

（2）閉區(qū)間［a,切上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間（a,⑸內(nèi)的可導函數(shù)不一定有最值，但若有唯一的

極值，則此極值必是函數(shù)的最值.

⑶函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個，而函數(shù)的極值則可能不止一個，也可能沒有極值,

并且極大值（極小值）不一定就是最大值（最小值）.

【即學即練2］（24-25高二上,全國?課后作業(yè)）函數(shù)〃x）=,21iu+2尤的最小值為（）

A.0B.1C.2-21n2D.e+2

【答案】D

【分析】利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】/'（x）的定義域為（0,+2/卜）=?/-.+2=任*用，

所以當xe(0,1)時，/'(%)<0,〃x)單調(diào)遞減;

當x6(1,+8)時，r(x)>0J(x)單調(diào)遞增，

所以〃x)的最小值為八l)=e+2.

故選：D.

知識點03恒成立'有解問題的解法

1、若函數(shù)/(X)在區(qū)間。上存在最小值〃x)mi“和最大值/(x)1rax，則

不等式〃x)>a在區(qū)間D上恒成立O/GL>。；

不等式/(x)N。在區(qū)間。上恒成立o/GL,>a；

不等式/(x)<6在區(qū)間。上恒成立=/(%)_</)；

不等式〃x)。在區(qū)間。上恒成立o/(x)max<b；

2、若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域為(叫〃)，則

不等式/(x)>a(或/(x)Na)在區(qū)間。上恒成立=m>a.

不等式“X)<6(或/'⑺46)在區(qū)間。上恒成立<^m<b.

3若函數(shù)/(x)在[a,6]上存在最值,g(x)在[加,可上存在最值：

對于任意的國e[a,可，總存在％e[m,n],使得/(須)48色)0/(當心4g(無2心；

對于任意的”[a,b],總存在工2W01,〃],使得/(xj2g(x2)o"再焉Ng(》2)1nhi；

若存在玉e[a,b],對于任意的％e[m,n],使得/(再)Wg^)0〃芭)1nhi4g(々L.；

若存在西百。，b],對于任意的％e[m,a],使得/(不)2g?)=/(xj1mx2gHL；

對于任意的X]e[a,b],x2e[m,n]使得/(xj<g(x2)=<g(z)而"；

對于任意的再e[a,b],x2e[m,可使得〃占"g(x2)o/(%皤gH)1nM；

若存在菁e[a,6],總存在小e[m,〃],使得Wg(尤2)0/(再置

若存在王e[a,可，總存在馬e[m,n],使得/(xj2g(x?)o/(占僵/g(9焉.

【即學即練3】(24-25高二下?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)/(x)=fcc2_lnx,若/(x)>°在函數(shù)定義域內(nèi)恒成

立，則人的取值范圍是.

【答案】

【分析】參變分離，后構造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)來求函數(shù)最值即可?

【詳解】由題意得〃外>0在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，

即依2一inx>0在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，即左>f在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立,

X

/、InxE，/、x-2x\nx1-2Inx

設g(x)=p,貝Ug'(x)=-?—=］，

當xe(o,芥)時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當xe(零,+@時,g,(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

所以當x=人時，函數(shù)g(x)取得最大值，此時最大值為g(C)=1,

所以實數(shù)k的取值范圍是

故答案為：［丁#09］

題型精講

題型01函數(shù)極值點的辨析

【典例1】(24-25?吉林?高二檢測)已知產(chǎn)/'(X)是尸林(X)的導函數(shù),貝『"'(%)=0"是"X。是函數(shù)尸〃x)

的一個極值點”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)極值點定義或舉例判斷了'(%)=。和/為函數(shù)/(x)的極值點之間的邏輯關系，即可得答案.

【詳解】根據(jù)極值點的定義，/是函數(shù)V=/(x)的一個極值點可得/'(%)=0,

但是/'(%)=0時，/不一定是函數(shù)>=〃x)的一個極值點，

比如/■(」)=/,/(x)=3x2,滿足/(0)=0,但〃x)=x3在R上單調(diào)遞增，

即x=0不是函數(shù)的極值點，

故"/'(%)=0"是"無。是函數(shù)y=〃x)的一個極值點"的必要不充分條件，

故選：B

【變式1】(23-24高二下?湖北孝感?階段練習)(多選)判斷下列命題正確的是()

A.函數(shù)的極大值一定比極小值大

B.對于可導函數(shù)/(x),若/'國)=0,則%為函數(shù)的一個極值點

C.若/'(另>0在(凡6)內(nèi)恒成立，則函數(shù)〃x)在(見?內(nèi)一定沒有極值

D.一元三次函數(shù)在R上可能不存在極值

【答案】CD

【分析】根據(jù)導數(shù)與極值的關系依次判定即可.

【詳解】對于A：根據(jù)極值定義，函數(shù)的極大值不一定比極小值大，則A錯誤；

對于B：若干(x)VO或廣(無”0恒成立,則/(x)無極值點,則B錯誤;

對于C：/(》)在(。/)內(nèi)單調(diào)遞增，且區(qū)間為開區(qū)間，所以取不到極值，則C正確；

對于D：三次函數(shù)求導以后為二次函數(shù)，若/'(x)W0或/'(x)Z0恒成立，則無極值點，故D選項正確.

故選：CD.

【變式2】(24-25高二上?全國,課后作業(yè))(多選)下列函數(shù)中，存在極值點的是()

A.y=x--B.y=2國

X

C.y———xD.y=xlnx

【答案】BD

【分析】由極值點的概念逐項判斷即可.

【詳解】對于A,函數(shù)y=x在R上單調(diào)遞增，>=-工在(-8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞增，

X

所以函數(shù)夕=X-L在(-8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞增，沒有極值點；

對于B,函數(shù)>=2國為偶函數(shù)，

且當X20時y=2國單調(diào)遞增，

所以當無<0時，y=2國單調(diào)遞減，

所以函數(shù)y=2國在x=0處取得極小值；

對于C,易知函數(shù)了=-2/一》在R上單調(diào)遞減，沒有極值點；

對于D,函數(shù)了=xlnx,則y'=hu+l(x>0),

當時，y'<0,函數(shù)了=xlwc單調(diào)遞減，

當時，y'>0,函數(shù)y=xlnx單調(diào)遞增，

所以當x=工時，函數(shù)了=xlnx取得極小值.

e

故選：BD.

【變式3](2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)〃x)=x(xT(eX_),則下列說法正確的是()

A.若“=1,則/(x)有2個零點

B.若。=0,則/(x)在(0,+。)上既有極大值，又有極小值

C.若"0,則〃X)在(-8,0)上沒有極值

D.若a>0,則〃x)在(0,+8)上必有極小值

【答案】AD

【分析】根據(jù)零點定義計算求解判斷A,求導函數(shù)正負得出函數(shù)的單調(diào)性進而判斷極值判斷B,構造函數(shù)設

g(x)=於，+x-l)求出導函數(shù)再確定函數(shù)的單調(diào)性分a>0,。<0兩種情況分別數(shù)形結(jié)合判斷C,D.

【詳解】對于A,若。=1,則〃x)=x(xT(e，-1),令〃x)=0,貝口=0或x=l,故A正確.

對于B,當a=0時,/(x)=x(x-l)ex,則于(x)=(/+x-l)e",令八元)=0,得x=-苴聲.

當0<x<T；"時,尸(%)<0，單調(diào)遞減；當,時,r(x)>0，單調(diào)遞增.

所以/(x)在(0,+8)上只有極小值，沒有極大值，故B錯誤；

對于C,f'(x)=ex(x2+x-l)-a(2x-l).

設g(x)-e"+'_]),則g<x)=QX+X_])+1(2x+l)=ex+3%).

當工￡(一8,-3)時,gr(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當xw(-3,0)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當xe(0,+8)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，又當工=匚蕓時，x2+x-l=0,且e，>0恒成立,

所以g(x)的大致圖象如圖(1),其與直線H=a(2x-l)(a<0)可能在(-。,0)上有交點,所以有可能有極值,

/+尤-1)的大致圖象如圖(2),

則在(0,+8)上必有交點P,在點尸附近，尸(幻先負后正，則/(無)先減后增，其必有極小值，故D正確.

故選：AD.

【變式4】(24-25高三上?江蘇揚州?階段練習)(多選)已知函數(shù)〃x)=$3-x,/'(無)為“X)的導函數(shù),

則下列說法正確的是()

A.r(0)=0B./(x)為奇函數(shù)

7

c.〃X)的極小值為:D./(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增

【答案】BD

【分析】根據(jù)導數(shù)求值判斷A；根據(jù)奇偶性的定義判斷B；求解函數(shù)的單調(diào)性及極值判斷CD.

【詳解】因為=所以_f(x)=--l,/'(0)=02-1=-1,故A錯誤；

因為xeR且f(—x)=—(―x)3+x=——x3+x=-f(x),

所以函數(shù)〃X)為奇函數(shù)，故B正確；

由/'(x)=/—1=0,解得x=-l或x=l,

當x<T或x>l時，/'(x)>0,當一1<X<1時，/V)<0,

所以“X)在(-8,-1)和(1,+co)上單調(diào)遞增，在(—1,1)上單調(diào)遞減，

2

所以當尤=1時，〃x)取得極小值為/⑴=-],故C錯誤；

由/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：BD.

題型02導函數(shù)圖象與極值的關系

【典例2](24-25高二下?北京?期末)已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)/'(x)的圖像如圖所示，則/(x))

A.有極小值，但無極大值B.既有極小值，也有極大值

C.有極大值，但無極小值D.既無極小值，也無極大值

【答案】A

【解析】由導函數(shù)圖像可知:

導函數(shù)了=/(》)在(-8#上小于0,于是原函數(shù)了=/(尤)在(-叫。上單調(diào)遞減,

昨/(X)在伍+s)上大于等于0,于是原函數(shù)了=/(》)在。，+?0上單調(diào)遞增,

所以原函數(shù)在x=/處取得極小值，無極大值，故選：A.

【變式1】(23-24高二上?安徽?期末)已知函數(shù)昨為連續(xù)可導函數(shù)，>=(X2+4X+3)/(X)的圖像如圖

所示，以下命題正確的是()

~2-1O1x

A.〃-3)是函數(shù)的極大值B.7(-1)是函數(shù)的極小值

C./(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增D.〃x)的零點是-3和-1

【答案】B

【解析】因為y=(x2+4x+3)/'(x)=(x+3Xx+l)/'(x),

由圖可知：x<-3,(x+3)(x+l)/,(x)<0；-3<x<-l或x>-l,(x+3)(x+l)/,(x)>0；

且x<-3或x>-l,(x+3)(x+l)>0；-3<x<-l,(x+3)(x+l)<0；

可得x<-3或-3<x<-l,/，(x)<0；x>-l,f'(x)>0；且函數(shù)y=/(x)為連續(xù)可導函數(shù)，

則y=〃x)在(-巴-1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(T+s)內(nèi)單調(diào)遞增，

可知了=有且僅有一個極小值/(T)，無極大值，故AC錯誤，B正確；

由于不知了=〃力的解析式，故不能確定V=/(x)的零點，故D錯誤；故選：B.

【變式2】(23-24高二上?湖南長沙?期末)(多選)已知函數(shù)，=/("的導函數(shù)/'(X)的圖象如圖所示，下列

說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增B.函數(shù)/(x)在0,3)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/(x)在x=l處取得極大值D.函數(shù)/(x)有最大值

【答案】BC

【解析】由題意可知：當xe(-8,-1)"1,3)時，r(x)<0(不恒為0)；

當xe(-l,l)u(3,+s)時，/,(x)>0；

所以在(-叫T),(1,3)上單調(diào)遞減，f(x)在(3,+“)上單調(diào)遞增.

可知：A錯誤;B正確；

且函數(shù)/(x)在x=l處取得極大值，故C正確；

雖然確定/(x)的單調(diào)性，但沒有/(x)的解析式，故無法確定了(x)的最值，故D錯誤；故選：BC.

【變式3】.(24-25高三上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習)已知函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)y=r(x)圖像如圖所示，則下

列說法正確的是()

B.%是極大值點

C.〃x）在區(qū)間（a㈤內(nèi)一定有2個極值點

D./（無）的圖像在點》=再處的切線斜率等于0

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)了=/'（X）的圖象，結(jié)合導函數(shù)與原函數(shù)的關系，以及導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的極值點的

定義，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，由函數(shù)y=/（x）的圖象，可得當xe（再,％）時，/V）＞0,

所以函數(shù)V=/（x）在區(qū)間（網(wǎng),馬）為單調(diào)遞增函數(shù)，所以〃再）＜/5）,所以A錯誤；

對于B中，由A知，函數(shù)夕=/（幻在區(qū)間（國,反）為單調(diào)遞增函數(shù)，

因為x2e（±,X3）,所以X?不是函數(shù)的極值點，所以B錯誤；

對于C中，由函數(shù)y=/'（x）的圖象，當xe（a,X3）時，/,（x）＞0；

當時,/，（x）＜0；當xe（%,6）時,f'（x）＞0,

所以函數(shù)〃x）在區(qū)間（見W）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（X365）上單遞減，在（％，6）單調(diào)遞增，

所以尤=%是函數(shù)〃x）的極大值點，苫=%是函數(shù)〃￥）的極小值點，所以C正確.

對于D中，由函數(shù)y=/'（x）的圖象，可得/'（不）＞0,

所以函數(shù)〃x）的圖象在點x=網(wǎng)處的切線的斜率大于0,所以D不正確；

故選：C.

【變式4】（24-25高三上?四川達州?階段練習）已知可導函數(shù)/（X）的部分圖象如圖所示，/?（2）=0,/'（x）為

A.川)<〃1)B./（2）=/（2）

c.r(4)</(4)D.八3)</(4)<r⑸

【答案】c

【分析】根據(jù)圖象，以及導數(shù)的幾何意義，即可判斷選項.

【詳解】A.由導數(shù)的幾何意義可知，/(1)<0,由圖可知，/(1)>0,所以/'(1)</(1),故A成立；

B./，(2)=/(2)=0,故B成立;

C.由圖可知，/，(4)>0,/(4)>0,但不確定/(4)與/(4)的大小關系，故C不一定成立.

D.由圖可知，函數(shù)在[2,+8)上單調(diào)遞增，且增長速度越來越快，所以/''(3)</'(4)</(5),故D成立.

故選：C

題型03求不含參函數(shù)的極值

【典例3](24-25高二上,全國?課后作業(yè))函數(shù)〃x)=g/-lnx的極小值為()

A.yB.1C.0D.不存在

【答案】A

【分析】利用導函數(shù)直接求解單調(diào)區(qū)間，即可得到極小值.

【詳解】由題知函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),

則〃x)=x」=(x+l)(l).

XX

令((x)=0,得x=l(工=一1舍去).

當xe(0,1)時，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減;

當xe(l,+8)時，r(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/(x)的極小值為/'⑴=g

故選：A

【變式1](24-25高三上?江蘇南通?期中)函數(shù)/(x)=x(x-3『的極大值為()

A.-4B.0C.1D.4

【答案】D

【分析】求函數(shù)〃X)的導數(shù)，求解/(x)<0以及/(x)>0,得到函數(shù)〃X)的單調(diào)區(qū)間，判斷極大值點代

入，從而求出極大值.

【詳解】解：f(x)=(x-3)2+2x(x-3)=3(x-l)(x-3),

令貝ljl<x<3,令/(x)>0,貝ljx<l或x>3,

所以/(x)在(-s，l)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+s)上單調(diào)遞增，

所以“X)在X=1處取得極大值〃1)=4.

故選：D

【變式2】(24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)=一--3x+l,則()

A./(x)有兩個極值點B./(x)的極大值點為一1

C.的極小值為一9D.〃x)的極大值為與

【答案】AB

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)求出函數(shù)的極值進行判斷.

【詳解】函數(shù)/(x)的定義域為R,且/'(x)=x2-2x-3=(x+l)(x-3).

當x變化時，/'(x)J(x)的變化情況如下表：

X-1(T3)3（3,+℃）

/'(X)+0-0+

/(X)增極大值減極小值增

所以函數(shù)/(x)有兩個極值點-1,3,

Q

函數(shù)/(X)在x=-l處取極大值〃-1)=；,-1為極大值點，在x=3處取極小值〃3)=-8,3為極小值點.

故選：AB

【變式3】(23-24高三上?廣東東莞?階段練習)若函數(shù)/(X)=J?_12X2+36X+1,則/⑴的極大值點為.

【答案】2

【解析】f'(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6),

令/(x)=0,解得》=2或6,

當x<2或x>6時，/'(x)>0,〃尤)單調(diào)遞增,

當2Vx<6時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

故/(x)在x=2取得極大值，故極大值點為2.

2

【變式4】(24-25高二上?全國?課后作業(yè))函數(shù)/(xh5-Sx+Zhix的極大值與極小值之和為()

1313

A.21n2—6B.In2----C.In2—6D.21n2---

22

【答案】D

［分析］對原函數(shù)求導/'(x)=x_3+：=x2：x+2=(x-l)y-2)4>0),再解出極小值和極大值，求和即

可.

【詳解】由題意知：r(x)=X-3+1=x2-^+2=>0),

當xe(l,2)時，r(x)<0J(x)單調(diào)遞減；當xe(0,l),(2,+⑹時，

r(x)>0J(x)單調(diào)遞增，所以“X)的極大值為"1)=-；,

1Q

極小值為/(2)=21n2-4,故〃i)+〃2)=21n2-三

故選：D.

題型04求含參函數(shù)的極值

【典例4](24-25高二上?全國,課后作業(yè))函數(shù)/(x)=liu+ox2-(2a+l)x(a>0).

⑴當”=1時，求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)〃x)的極值.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為[。,￡|,(1,+⑹，單調(diào)遞減區(qū)間為'，)

⑵答案見解析

【分析】(1)求定義域，求導，利用導函數(shù)的正負求單調(diào)區(qū)間；

(2)求定義域，求導，對。進行分類討論，求出不同情況下的極值.

【詳解】(1)當。=1時,f(x)=lnx+x2-3x,定義域為(0,+8),

則((X)」+2X_3=(XT)(2XT).

XX

令ro)>o,得0<無<3或x>i；

令ro)<o,得g<x<i,

所以函數(shù)〃無)的單調(diào)遞增區(qū)間為1J,(1,+8),

單調(diào)遞減區(qū)間為G，i).

(2)a^/(x)=lnx+ax2-(2a+l)x,定義域為(0,+8),

貝I]⑺=：+2辦一(2a+1)=

令/''(x)=°，得X=1或X=；.

2a

①當。時，0<￡<1,

易得函數(shù)/'（X）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/'（x）在x=］處取得極大值，為/J=Tn（2。）-喂,

在x=l處取得極小值，為/⑴=-叱1；

②當0<a<g時，

易得函數(shù)在（0,1）,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)〃x）在x=l處取得極大值，為/⑴=-"1,

在x=；處取得極小值，為d；］=-ln（2〃）一號士1；

③當a==時，4=1，則/3=回工20恒成立，

故函數(shù)/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，無極值.

綜上，當。>；時，/（X）的極大值為-ln（2a）-若，極小值為一0-1；

當0<。<：時，/（x）的極大值為-"1,極小值為-ln（2a）-［F；

當”=；時，f（x）無極值.

【變式1】（24-25高三上?河南?期中）已知向量￡=（6=1）,3=［；,乎］若存在不同時為零的實數(shù)上和人

122J

使得x=4a+（/一3）加，y=-ka+\6ti,且x_Ly.

（1）求左=/（。的解析式；

⑵求（1）中的?=/?）在［0悶上的極值.

【答案】⑴4=〃/）=《產(chǎn)一3）；

（2）當0<aWl,/⑺沒有極大值，也沒有極小值；當“>1,/（/）有極小值為/（1）=-2,沒有極大值.

【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標表示可得答案：

（2）利用導數(shù)判斷出了=/⑺的單調(diào)性，分0<。41、討論，結(jié)合單調(diào)性可得答案.

【詳解】⑴因為）=（6,-1）,［卜金］,

所以同=5行+（一1）2=2石石=島；+（一1）*￥=0,鞏=+j￥］=L

又因為乳/所以嵩歹=［碗+92-3問(一依+16同

=-4"2+［6務-左?2-301石+16川產(chǎn)-3)廬=0,

所以-16左+16(尸—3)=0,

所以左=/?)="產(chǎn)一3)；

(2)由(1)得/■'(。=3/一3=3。-1)。+1),

當f>i或時，r(/)>o,當一1</<1時，r(/)<o,

所以/(。在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-雙-1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

由題可得Q〉0,

當0<。41時,/⑺在［0同上單調(diào)遞減,

所以/⑺沒有極大值，也沒有極小值；

當〃>1,在［0,1］上單調(diào)遞減，在(1,4上單調(diào)遞增，

所以/⑺在:1時有極小值，為〃1)=1-3=-2,沒有極大值.

綜上所述，當沒有極大值，也沒有極小值；

當/⑺有極小值為/⑴=-2,沒有極大值.

【變式2】(24-25高三上?山東濟南?期中)已知函數(shù)/(x)=e，-ax-Y.

⑴當。=1時，求曲線N=/(x)在點(1J0))處的切線方程；

(2)當〃>0時,

(i)求/(x)的極值；

(ii)若〃x)的極小值小于o,求。的取值范圍.

【答案】(l)(e-l)x-”l=0

(2)(i)極小值a-alna-/,無極大值；(ii)(1,+°0)

【分析】(1)求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)(i)求導，利用導數(shù)判斷單調(diào)性進而求出極值；

(ii)分析可得/+lna-1>0,構造函數(shù)g(a)=/+lna-l,a>0,解法一利用導數(shù)判斷函數(shù)g(。)的單調(diào)

性，解法二根據(jù)>=/,V=lna-1在(0,+動內(nèi)均單調(diào)遞增得到函數(shù)g(a)的單調(diào)性，再根據(jù)g⑴=0求解即

可.

【詳解】(1)當°=1時，則/(x)=e'-x-l,/(x)=e-l,

可得〃l)=e-2,r(l)=e-l,

即切點坐標為(,e-2),切線斜率左=e-l,

所以切線方程為"(e-2)=(e-l)(x-l),gp(e-l)x-y-l=O;

(2)(i)因為/(x)的定義域為R,且f'(x)=e、-。,

令"x)=0,解得x=lna；

當x>ln"時，f\x)>0；當x<Ina時，

所以/(x)在(T?,ln”)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+00)內(nèi)單調(diào)遞增，

貝！有極小值/(ln，)=a-41na-/,無極大值；

(ii)由題意可得：/(lna)=a-alna-a3<0,

因為a>0,所以l+ina-l〉。，

構建g(a)=〃+lna-l,a>0,

因為g〈a)=2a+：>0,所以g(a)在(0,+。)內(nèi)單調(diào)遞增，

因為g⑴=0,不等式T+lna-lX)等價于g(a)>g⑴,解得。>1,

所以。的取值范圍為(1,+8).

解法二：

由題意可得：/(Ina)^a-alna-a3<0,即a2+inq_l>(),

構建g(a)=a?+lna-1,a>0,

因為了=/,y=lna-l在(0,+s)內(nèi)均單調(diào)遞增，

可知g(。)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且g⑴=0,

不等式"+ln”l>0等價于g(")>g⑴，解得。>1,

所以。的取值范圍為(L+00).

【變式3】(24-25高三上?黑龍江牡丹江,階段練習)設函數(shù)/(》)=卜2+如+0卜",討論/'(x)的單調(diào)性并判

斷了(x)有無極值，若有極值，求出了(X)的極值.

【答案】答案見詳解

【分析】求出了'(X),令/(x)=0,解得尤=-2或x=R,通過對-凡-2的大小討論即可得到其單調(diào)區(qū)間,

進而求得極值.

【詳解】f(x)=(2x+a)e'+^x2+ax+a^ex

=+(a+2)x+2a]e*=(x+2)(x+a)e*

當a=2時，/'(x)20,

所以函數(shù)/(無)在R上是增函數(shù)，無極值；

當a/2時，令/'(x)=0,解得x=-2或x=-a,

不妨令X］〈尤2(X［是_2與-a中較小的一個，無2是較大的一個),

列表如下：

X（-00,西）（X|,乙）x2（%,+℃）

()

/'X+0-04-

/(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

當-a>-2,即a<2時，取網(wǎng)=-2,%=一。，其單調(diào)區(qū)間如表所示，

極大值為〃-2)=(4")},極小值為/"(-。)=加一".

當-a<-2,即。>2時，取再=-見工2=-2,其單調(diào)區(qū)間如表所示，

極小值為/(-2)=(4-a)e\極大值為〃-")=ae".

【變式4】(24-25高三上?山東聊城?階段練習)已知函數(shù)〃x)=e2，_(2a+3)e，+3ax.

(1)當a=3時，求曲線y=在(0,〃0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)>=/(x)的極大值.

【答案】(1)V=2X-8

⑵答案見解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，再由斜截式得到切線方程；

333

(2)求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，分aWO、Q<a<-,a=~,四種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間，即可求出函數(shù)的極大值.

【詳解】(1)當a=3時/'(x)=e2<9e'+9x,則/(0)=-8,/(x)=2e21-9eJ+9,

所以廣(0)=2,

所以曲線y=/(x)在(0,〃。))處的切線方程為了=2X-8.

(2)函數(shù)〃x)=e?x-(2a+3)e*+3"的定義域為R,且/'(x)=2e2x-(2a+3)e*+3a=(2e*-3)(e'-a),

當aWO時e，-a>0恒成立，所以當x<In：時/(x)<。，當x>In^時/''(x)>0,

所以/(X)在1-8,Ing］上單調(diào)遞減，在尾,+［上單調(diào)遞增，

則/(X)在X=In］處取得極小值，不存在極大值；

當0<Q<5時，令/(%)=0,解得x=lna或%二m萬，

所以當x<lna或x>ln：時/'(x)〉0,當Inacxvln1時/'(%)<0,

所以/(X)在(fin。)，(吟+[上單調(diào)遞增，在[lna,ln￡j上單調(diào)遞減，

則/(X)在X=Ina處取得極大值，在x=In]處取得極小值，

所以/(x)的極大值為了”“)=-/-3a+3alna；

=j時/'(x)=(2^-3)/-11、0恒成立,所以〃x)在R上單調(diào)遞增,

則/(x)不存在極大值；

當時，令/'(x)=0,解得x=lnQ或x=ln],

所以當x<In^或x〉In〃時/'(%)〉0,當1115Vx<Ina時/'(X)<0,

所以“X)在18,1回，(Ini)上單調(diào)遞增，在1n1,lnaj上單調(diào)遞減，

a

則/(X)在X=In：處取得極大值，在工=Ina處取得極小值，

所以“X)的極大值為小引=-$3°+3°吟

綜上所述，當aWO或時/(x)不存在極大值；

當0<。時f(x)的極大值為-/-3a+3aIna；

393

當。>彳時/(x)的極大值為-^一3。+3°In5.

題型05根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)

【典例5】(24-25高二下?全國?隨堂練習)函數(shù)f(x)=4x3-ax2-26x+2在尤=1處有極小值-3,貝|。一6的

值等于()

A.0B.6C.3D.2

【答案】A

14_0_26+2=_3

【分析】對“X)求導，得至I]/'(x)=12--2辦-26,由題知".”八，解得a=b=3,即可求解.

[12-2a-26=0

【詳解】因為/(x)=4——ax2-26x+2,所以—(x)=12x?—2辦一26,

/(l)=4-a-2Z?+2=-3

由題知解得a=b=3,

/,(l)=12-2a-2Z?=0

止匕時/,(X)=12X2-6X-6=6(2X+l)(x-1),

由/(x)>0,得到x<-g或X>1,由y，(x)<0,得到一g<x<l,

所以〃x)的增區(qū)間為(-哈-，(1,+⑹，減區(qū)間為m，

故a=6=3滿足題意，所以a-b=O,

故選：A.

【變式1](23-24高二上?天津濱海新,期中)函數(shù)/(無)=4%3-辦2-2反+2在x=l處有極小值-3,貝防-。的

值等于()

A.0B.-2C.-4D.6

【答案】A

【分析】對函數(shù)求導，利用/^)=-3以及-(1)=0解出見6,進而得出答案.

【詳解】由題意得了'(%)=12/_2辦-26,因為〃x)在x=l處有極小值-3,

17'⑴=12-2"26=0

所以,”02,解得。=3/=3，

[/(1)=4—"26+2=_3

所以/'(X)=12x2-6x-6=6(2x+l)(x-l),

令r(x)>0n(2x+l)(l)>0,解得x>l或x<-g,

故函數(shù)〃x)在(1,+8)和卜8,_J上為增函數(shù)，

令/(x)<0=(2x+l)(l)<0,解得_卜<1,

故函數(shù)〃x)在上為減函數(shù)，

所以/(X)在X=1處有極小值，符合題意，

所以b-a=0,

故選：A.

【變式2】(23-24高三下?內(nèi)蒙古赤峰?開學考試)已知函數(shù)/(x)=xlnx-ax有極值-e,貝壯=()

A.1B.2C.eD.3

【答案】B

【分析】先求出函數(shù)/(x)的導函數(shù)；再求出極值點，代入函數(shù)/(x)=xlnx-ax解方程即可.

【詳解】由題目條件可得：函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),r(x)=lnx+l-a.

令/''(x)>0,得x>ej

令/得0<x<e,

所以函數(shù)〃X）在區(qū)間（0,e"T）上單調(diào)遞減，在（b,+8）上單調(diào)遞增.

則1一是函數(shù)的極小值點，

故/（e"T）=e"-In=-e,解得a=2.

故選：B

【變式3］（23-24高三上?廣東潮州?期末）若函數(shù)〃力=；無2一°龍+111%在（0,2）上有極值，則實數(shù)。的取值

范圍是（）

A.2,1B.（2,gC.［2,+功D.（2,+與

【答案】D

【分析】由題意可得/'（x）=x-a+：在（0,2）上有零點，即。=》+：在（0,2）上有實數(shù)根，利用基本不等式求

出g（x）=x+：,xe（0,2）的最小值，可得。22,再驗證a=2是否滿足即可.

【詳解】=-ax+lnx的定義域為{x|x>0},/,（x）=x-a+-,

要函數(shù)=-ax+lnx在（0,2）上有極值，

則f'（x）=x-a+1在（0,2）上有零點,即a=x+工在（0,2）上有實數(shù)根.

XX

令g（x）=x+Jxe（0,2）,

則8（力=苫+：22^^=2,當且僅當x=l時等號成立，

所以422.

當4=2時，/'（X）=X-6Z+—=x+—-2>0,函數(shù)/（X）單調(diào)遞增，

XX

則函數(shù)/（X）=gv-◎+InX在（0,2）上沒有極值，

故。>2.

故選:D.

【變式4］（2024?全國?高考真題）已知函數(shù)/（町=二-冰一片.

⑴當。=1時，求曲線了=/（x）在點（1J⑴）處的切線方程；

⑵若“X）有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

【答案】⑴仁一山7-1=0

（2）（1,+°°）

【分析】(1)求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)解法一：求導，分析aWO和。>0兩種情況，利用導數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得/+inaT>0,

構建函數(shù)解不等式即