專題23導照及其成用大題除合

十年考情?探規律

考點十年考情(2015-2024)命題趨勢

2024.全國新n卷、2024.天津卷、2023?北京1.能理解導數的幾何意義

卷并會求切線方程，會求參數

2023?全國乙卷、2023?全國乙卷、2023?天津2.理解函數的單調性與導

卷數之間的關系，能利用導數

2022?天津卷、2022?全國甲卷、2022?全國乙研究函數的單調性，并會求

卷單調區間，能夠利用導數解

考點1切線方

2022?北京卷、2021?天津卷、2021?北京卷決與函數單調性的綜合問

程及其應用

2021.全國乙卷、2020.北京卷、2020.全國卷題，該內容是新高考卷的必

（10年10考）

2019?北京卷、2018?北京卷、2018?北京卷考內容，近年來導數和其他

2018?全國卷、2018?天津卷、2017?天津卷版塊知識點關聯密集，是新

2017?山東卷、2017?北京卷、2016?北京卷高考備考的重要內容。

2016?北京卷、2016?全國卷、2015?重慶卷3.能夠利用導數求函數的

2015?全國卷、2015?天津卷、2015?山東卷極大值、極小值以及在給定

2015?北京卷閉區間上的最大值、最小

考點2具體函2024?北京卷、2023?全國甲卷、2023?全國甲值，體會導數與極大（小）值、

數及含參函數卷最大（小）值的關系，該內容

的單調性2022?全國新n卷、2021?全國甲卷、2020?全是新高考卷的必考內容，會

（10年6考）國卷結合導數來判斷或證明函

2018?全國卷數的單調性，從而求得函數

2024?全國甲卷、2023?北京卷、2023?全國新的極值或給定區間上的最

I卷值，熱點內容，需綜合復習

2022.浙江卷、2022.北京卷、2021.全國新H4.能進行函數轉化證明不

卷等式，會函數中的恒成立問

2021?浙江卷、2021?全國甲卷、2021?全國乙題與有解問題，會求零點及

卷其應用，會隱零點、雙變量、

考點3含參函2021?全國新I卷、2020?全國卷、2020?全國極偏等內容的學習，都可能

數的單調性卷成為高考命題方向

（10年10考）2018?天津卷、2018?全國卷、2017?全國卷

2017.天津卷、2017?天津卷、2017.全國卷

2017?全國卷、2016?山東卷、2016?四川卷

2016?全國卷、2016?北京卷、2016?山東卷

2016?四川卷、2016?全國卷、2015?江蘇卷

2015?重慶卷、2015?天津卷、2015?四川卷

2015?四川卷、2015?北京卷

2024?全國新H卷、2024?全國甲卷、2023?北

考點4極值最

東卷

值及其應用

2023?全國乙卷、2023?全國新H卷、2022.全

（10年10考）

國乙卷

2022.全國新I卷、2021.北京卷、2021.天津

卷

2021?全國乙卷、2020?北京卷、2019?全國卷

2019?江蘇卷、2018?北京卷、2018?北京卷

2018?全國卷、2018?全國卷、2017?山東卷

2017?江蘇卷、2017?全國卷、2017?山東卷

2017?北京卷、2016?山東卷、2016?天津卷

2016?全國卷、2015?重慶卷、2015?重慶卷

2015?山東卷、2015?湖南卷、2015?安徽卷

2015?山東卷、2015?全國卷

2024.全國甲卷、2024.全國新I卷、2023?天

津卷

2022.全國新H卷、2021?全國乙卷、2019?北

考點5證明不

樂卷

等式

2018?全國卷、2018?全國卷、2018?全國卷

（10年9考）

2017?全國卷、2016?浙江卷、2016?全國卷

2015?全國卷、2015?湖北卷、2015?福建卷

2015?北京卷

考點6恒成立2024.天津卷、2024.全國甲卷、2023?全國甲

與能成立（有卷

解）問題2023?全國甲卷、2022.全國新I卷、2022.全

（10年9考）國甲卷

2021.天津卷、2020.山東卷、2020.全國卷

2019?全國卷、2017?天津卷、2017?全國卷

2016?江蘇卷、2016?全國卷、2016?四川卷

2015?四川卷、2015?山東卷、2015?湖南卷

2015?湖南卷、2015?福建卷、2015?北京卷

2022?全國乙卷、2022?全國乙卷、2021?全國

新n卷

2020?浙江卷、2020?全國卷、2020?全國卷

考點7零點問

2020?全國卷、2019?全國卷、2019?全國卷

題

2018?浙江卷、2018?全國卷、2017?全國卷

（10年8考）

2016?江蘇卷、2016?北京卷、2016?全國卷

2015?江蘇卷、2015?全國卷、2015?全國卷

2015?陜西卷、2015?北京卷

考點8方程的2022?浙江卷、2022?全國新I卷、2021?浙江

根卷

（10年4考）2021?全國甲卷、2019?全國卷、2018?江蘇卷

考點09雙變2024?天津卷、2022?浙江卷、2022?北京卷

量問題2021?浙江卷、2020?天津卷、2018?全國卷

（10年6考）2015?湖北卷

考點10隱零

2023?全國甲卷、2017?全國卷

點問題

2016?全國卷、2015?全國卷

（10年4考）

考點11極值點

2022?全國甲卷、2019?天津卷

偏移問題

2016?全國卷、2015?天津卷

(10年4考)

考點12導數

與其他知識點2024?北京卷、2023?全國新I卷

聯動問題2021.全國新H卷、2021.全國乙卷

(10年4考)

分考點?精準練1

考點01切線方程及其應用

1.(2024?全國新n卷,高考真題)已知函數f(x)=e工-依-/.

⑴當。=1時，求曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

2.(2024?天津?高考真題)設函數〃x)=xlnx.

⑴求〃x)圖象上點(1，〃1))處的切線方程；

3.(2023?北京?高考真題)設函數/。)=*-通"+"曲線y=/(x)在點(1"⑴)處的切線方程為

y=-x+i.

(1)求氏6的值;

4.(2023?全國乙卷?高考真題)已知函數〃x)=&+dln(l+x).

⑴當a=T時，求曲線y=在點(1,〃功處的切線方程.

5.(2023?全國乙卷?高考真題)已知函數/(x)=《+a，n(l+x).

⑴當a=_l時，求曲線y=在點處的切線方程;

6.（2023?天津高考真題）已知函數"x）=［：+jln（x+l）.

⑴求曲線y=/（x）在x=2處的切線斜率；

7.（2022,天津?高考真題）已知a,beR,函數〃x）=e*-asin尤,g（x）=66

⑴求函數y=〃x）在（OJ（O））處的切線方程；

8.（2022?全國甲卷?高考真題）已知函數，（x）=x3-x,g（x）=x2+a,曲線y=/（x）在點（當J（xj）處

的切線也是曲線y=g（x）的切線.

⑴若公=T,求a；

9.（2022?全國乙卷?高考真題）已知函數/（%）=111（1+尤）+辦0

⑴當a=l時，求曲線y=〃x）在點（0"（0））處的切線方程；

10.（2022?北京?高考真題）已知函數/（北=e*ln（l+無）.

⑴求曲線>=〃尤）在點（0,〃。））處的切線方程；

11.（2021?天津,高考真題）已知a>0,函數=.

（I）求曲線>=/（尤）在點（0"（。））處的切線方程：

12.（2021?北京?高考真題）已知函數=

（1）若"=0,求曲線y=〃x）在點（1，〃項處的切線方程；

13.（2021?全國乙卷?高考真題）已知函數/。）=丁-/+依+1.

（1）討論的單調性；

（2）求曲線y=〃x）過坐標原點的切線與曲線y=/（x）的公共點的坐標.

14.（2020?北京?高考真題）已知函數/5）=12_/.

（0）求曲線y=/（x）的斜率等于-2的切線方程；

15.（2020?全國?高考真題）設函數〃x）=x3+fec+c,曲線y=/（x）在點弓，/弓））處的切線與y軸

垂直.

(1)求b.

16.(2019?北京?高考真題)已知函數八＞)=；尤3-爐+%.

(回)求曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程；

17.(2018?北京?高考真題)設函數。(小同-(4a+l)x+4a+3]".

(1)若曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線與x軸平行，求。；

18.(2018?北京?高考真題)設函數/(x)北加-(3a+l)x+3a+2]e".

(0)若曲線y=/(x)在點(2"(2))處的切線斜率為0,求a；

19.(2018?全國?高考真題)已知函數

(1)求曲線V寸(x)在點(。,-1)處的切線方程；

20.(2018?天津?高考真題)已知函數/(%)=罐,g(x)=log0x,其中a＞l.

(I)求函數〃(%)=/(%)-才加的單調區間；

(II)若曲線y=在點(占,/(占))處的切線與曲線y=g(x)在點(9公伍))處的切線平行，證

口口/\21nlni

明：%+g(%)=一一:—;

Ina

(III)證明：當時，存在直線/，使/是曲線y=〃x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線.

21.(2017?天津?高考真題)設a,6e7?,|a區1.已知函數/(尤)=/-6/_3a(a-4)尤+6，g(x)=e"(x).

(回)求/(X)的單調區間；

(回)已知函數＞=8。)和＞=/的圖象在公共點(xo,yo)處有相同的切線，

(i)求證：/(X)在尤=%處的導數等于0；

(ii)若關于x的不等式g(x)在區間上恒成立，求b的取值范圍.

22.(2017?山東?高考真題)已知函數"x)=；x3-；ox2,aeR.

⑴當a=2時,求曲線y=〃x)在點(3,〃3))處的切線方程；

23.(2017?北京?高考真題)已知函數/(x)=e"cos尤-尤.

(0)求曲線y=/⑺在點(。"(。))處的切線方程;

24.(2016?北京?高考真題)設函數〃尤片/+涼+云+心

(回)求曲線y=/(x)在點(0/(0))處的切線方程；

25.(2016?北京?高考真題)設函數/(x)=xe~+法，曲線y=f⑺在點(2J(2))處的切線方程為

y=(6—1)%+4,

(1)求“，b的值；

26.(2016?全國?高考真題)已知函數/(x)=(x+l)lnx-q(x-l).

(I)當。=4時，求曲線y=/(x)在(LAD)處的切線方程；

27.(2015?重慶?高考真題)設函數〃x)=號竺(aeK)

(1)若〃x)在尤=0處取得極值，確定?的值，并求此時曲線y=〃x)在點(L〃l))處的切線方

程；

28.(2015,全國?高考真題)已知函數/。)=9+依+1,g(x)=-lnx.

(1)當。為何值時，x軸為曲線丫=/(幻的切線；

29.(2015?天津?高考真題)已知函數/(x)=〃x-x”,xeR,其中〃eN*,〃22.

(回)討論/⑺的單調性；

(回)設曲線y=/(x)與無軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為y=g(x),求證：對于

任意的正實數尤,都有的x)4g(x)；

30.(2015,山東,圖考真題)設函數f(.t)=(x—a)】nx,g(.t)=j已知曲線"成｛。，夕｝在點

(1J⑴)處的切線與直線2x-v=0平行.

(回)求。的值；

31.(2015?北京?高考真題)已知函數Hx)=ln=W.

1-X

(回)求曲線y"(x)在點(0，〃。))處的切線方程;

考點02具體函數的單調性

L(2024?北京?高考真題)設函數〃x)=x+Zdn(l+x)仕片0),直線/是曲線y=〃x)在點

⑺)(t>0)處的切線.

⑴當左=T時，求〃x)的單調區間.

2.(2023?全國甲卷?高考真題)已知函數/(同=以-黑,

⑴當a=l時，討論f(x)的單調性;

3.(2023,全國甲卷高考真題)已知函數於)=以-上耍，尤

⑴當a=8時，討論Ax)的單調性；

4.(2022?全國新H卷?高考真題)已知函數F(x)=xe"-e'.

⑴當”=1時,討論了(%)的單調性；

5.(2021,全國甲卷?高考真題)已知。>0且函數/■(x)=；(x>0).

a

(1)當。=2時,求的單調區間;

6.(2020?全國?高考真題)已知函數/(x)=d-a(x+2).

(1)當。=1時，討論的單調性;

7.（2018,全國?高考真題）已知函數“無）=：尤3一4（/+尤+1）.

（1）若的3,求〃力的單調區間;

考點03含參函數的單調性

1.（2024,全國甲卷,高考真題）已知函數/（x）=a（xT）—lnx+l.

⑴求的單調區間；

2.（2023?北京?高考真題）設函數/⑺川-春2，曲線y=/（x）在點（1J⑴）處的切線方程為

y=-x+\.

⑴求。力的值；

（2）設函數g（x）=/'（x）,求g（x）的單調區間；

⑶求/（X）的極值點個數.

3.（2023,全國新I卷,高考真題）已知函數”x）=a（e，+a）-x.

⑴討論的單調性；

4.（2022?浙江?高考真題）設函數〃元）=h+ln龍（尤＞0）.

2x

⑴求/⑺的單調區間；

5.（2022?北京?高考真題）已知函數〃x）=e1n（l+尤）.

⑴求曲線＞=/（無）在點（0,/（0））處的切線方程；

（2）設g（x）=f（x）,討論函數g（x）在［0,+oo）上的單調性；

6.（2021,全國新n卷,高考真題）已知函數/（x）=（尤-1）/-4+6.

（1）討論了⑺的單調性；

7.（2021?浙江?高考真題）設a,6為實數，且。＞1,函數〃x）=a-bx+e2（xeR）

(1)求函數〃尤)的單調區間；

8.(2021?全國甲卷?高考真題)設函數+ar-31nx+l,其中a>0.

(1)討論的單調性；

9.(2021?全國乙卷?高考真題)已知函數/(尤)=尤3-丁+辦+1.

(1)討論的單調性；

10.(2021?全國新I卷?高考真題)已知函數/'(x)=x(l-lnx).

(1)討論/(x)的單調性；

11.(2020?全國?高考真題)已知函數/(x)=2lnx+l.

(1)若/(x)<2x+c,求c的取值范圍；

(2)設a>0時，討論函數g(x)=,⑶-/⑷的單調性.

x—a

12.(2020?全國?高考真題)已知函數/(x)=sin2xsin2x.

(1)討論/(x)在區間(0,兀)的單調性；

13.(2018?天津?高考真題)已知函數〃力=優，g(x)=logax,其中。>1.

(I)求函數M%)=/(x)-xlna的單調區間；

14.(2018?全國?高考真題)已知函數f(x)=J-x+alnx.

X

(1)討論了(無)的單調性；

15.(2017?全國?高考真題)已知函數〃力=祀2工+(。-2)e*-x

(1)討論的單調性；

16.(2017?天津?高考真題)設a,6e7?,他|V1.已知函數/(x)=)一6爐-3a(a-4)x+6,g(x)=exf(x).

(回)求/(x)的單調區間;

17.(2017天津?高考真題)設4€2,已知定義在區上的函數/0)=2丁+3尤3-3元2-6彳+°在區間(1,2)

內有一個零點/，g。)為Ax)的導函數.

(回)求g(x)的單調區間;

18.(2017?全國?高考真題)已知函數7(*)=也為+依2+(2。+1)彳.

(1)討論Ax)的單調性;

19.(2017全國高考真題)設函數/(乃=(1-爐)/.

(I)討論函數的單調性；

20.(2016,山東,高考真題)設f(x)=xlnx-ax?+(2a-l)x,aeR.

(回)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調區間;

21.(2016?四川?高考真題)設函數/(x)=ax2-a-|nx,其中a回R.

(I)討論/W的單調性；

22.(2016?全國?高考真題)已知函數/(x)=(x-2)/+a(x-l)2.

(回)討論/⑺的單調性;

23.(2016?北京?高考真題)設函數/(x)=xe~+6x,曲線y=/⑺在點(“⑵)處的切線方程為

y=(e-l)x+4,

(1)求。，b的值；

(2)求/a)的單調區間.

2Y—1

24.(2016?山東?高考真題)已知/(x)=a(xTn尤)+~工2，acR.

(回)討論了(X)的單調性；

25.(2016?四川?高考真題)設函數/(x)=ax2-a-lnx,g(x)=---其中a?R,c=2.7/g…為

xe

自然對數的底數.

(1)討論/(X)的單調性;

26.(2016,全國?高考真題)設函數/(x)=lnx-x+l.

(回)討論Ax)的單調性；

27.(2015?江蘇?高考真題)已知函數=—b(qbwR).

(1)試討論的單調性；

28.(2015?重慶?高考真題)設函數〃司=勺竺(ae?

(1)若〃尤)在x=0處取得極值，確定。的值，并求此時曲線y=/(x)在點(口⑴)處的切線方

程；

(2)若〃x)在［3,+⑹上為減函數，求。的取值范圍.

29.(2015?天津,高考真題)已知函數/(x)=〃x-x”,xeR,其中〃eN*,〃22.

(回)討論Ax)的單調性；

30.(2015?四川?高考真題)已知函數f(x)=-2xlnx+x2—2ax+a2,其中a>0.

(回)設g(x)為f(x)的導函數，討論g(x)的單調性；

31.(2015,四川?高考真題)已知函數5(x)=-2(x+a)ln尤+--2初一2a,其中a>0.

(1)設g(x)是/(x)的導函數，討論g(x)的單調性；

32.(2015?北京?高考真題)設函數〃町=+-8nx,k>0.

(1)求〃元)的單調區間和極值；

考點04極值最值及其應用

1.(2024,全國新n卷,高考真題)已知函數/(x)=e*-ax-a3.

⑴當。=1時，求曲線y=/(x)在點(1J(D)處的切線方程;

⑵若f(x)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

2.(2024,全國甲卷,高考真題)已知函數/(x)=(l-㈤ln(l+x)r.

⑴當a=-2時，求"%)的極值;

⑵當xNO時，/(x)>0,求。的取值范圍.

3.(2023?北京?高考真題)設函數“尤)=尤一/浮"曲線y=/(x)在點(11⑴)處的切線方程為

y=-x+l.

⑴求“涉的值；

⑵設函數g(x)=/G),求g(無)的單調區間；

⑶求/(X)的極值點個數.

4.(2023?全國乙卷?高考真題)已知函數/(x—B+ajlnCl+x).

⑴當a=T時，求曲線y=在點處的切線方程；

⑵是否存在a,b,使得曲線y關于直線x=b對稱，若存在，求小。的值，若不存在,

說明理由.

⑶若在(0,+“)存在極值，求a的取值范圍.

5.(2023?全國新n卷?高考真題)(1)證明：當Ovxvl時，x—x2<sinx<x；

(2)已知函數〃x)=cos<2x_ln(l-x2),若x=0是的極大值點，求a的取值范圍.

6.(2022,全國乙卷?高考真題)已知函數/(x)=at」-(q+i)1n尤.

⑴當。=0時,求Ax)的最大值；

⑵若"X)恰有一個零點，求a的取值范圍.

7.(2022,全國新I卷?高考真題)已知函數/。)=4-亦和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)證明：存在直線y=3其與兩條曲線＞=/(尤)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右

的三個交點的橫坐標成等差數列.

8.(2021?北京?高考真題)已知函數〃力=言.

(1)若。=0,求曲線y=在點。，/⑴)處的切線方程；

(2)若“X)在4-1處取得極值，求“X)的單調區間，以及其最大值與最小值.

9.(2021,天津?高考真題)已知°＞0,函數/(x)=ox-x".

(I)求曲線＞=/(元)在點(0"(0))處的切線方程：

(II)證明/(X)存在唯一的極值點

(III)若存在。，使得了(x)Va+8對任意xeR成立，求實數6的取值范圍.

10.(2021?全國乙卷,高考真題)設函數/(x)=ln(a-x),已知尤=0是函數y=#(x)的極值點.

(1)求a；

(2)設函數g(x)=\^.證明:g(x)＜L

11.(2020?北京?高考真題)已知函數/(x)=12-f.

(回)求曲線y=/(x)的斜率等于-2的切線方程；

(回)設曲線＞=/(x)在點億/⑺)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為SQ),求S⑺的最小

值.

12.(2019?全國?高考真題)已知函數/■(了)=(》-1)1取-》-1.證明：

(1)存在唯一的極值點；

(2)〃X)=。有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.

13.(2019?江蘇?高考真題)設函數/(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,ceR,尸⑺為/(x)的導函數.

(1)若a=0=c,f(4)=8,求a的值;

（2）若aM,b=c,且）（尤）和f（x）的零點均在集合｛-3,1,3｝中,求）（x）的極小值;

4

（3）若且/（x）的極大值為求證:腔藥.

14.（2018?北京?高考真題）設函數/（可=[加-（4＜2+1卜+44+3止.

（1）若曲線y=〃x）在點（1,/（1））處的切線與x軸平行，求。；

（2）若在x=2處取得極小值，求。的取值范圍.

15.（2018?北京?高考真題）設函數/（幻北浸-（3a+l）尤+3a+2]et

（回）若曲線y=『（x）在點（21（2））處的切線斜率為0,求a；

（回）若A?在x=l處取得極小值，求a的取值范圍.

16.（2018?全國?高考真題）已知函數/（尤）=（2+*+加）111。+工）-2元.

（1）若“=0,證明：當一1＜彳＜0時，〃尤）＜。；當x＞0時，f（x）＞0;

（2）若x=0是〃x）的極大值點，求a.

17.（2018?全國?高考真題）已知函數〃力=*-松-1.

（1）設尸2是的極值點.求“，并求〃x）的單調區間；

（2）證明：當時，/（x）＞0.

e

18.（2017?山東?高考真題）已知函數/⑺4V-g/MeR.

田當。=2時,求曲線丁=/（可在點（3,〃3））處的切線方程；

（II）設函數g（x）=/（x）+（x-a）cosx-sinx,討論g（x）的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極直

19.（2017?江蘇?高考真題）已知函數f（x）=x3+原2+阮+13＞0,激圮有極值,且導函數f，（x）的

極值點是f（x）的零點.（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）

（1）求b關于a的函數關系式，并寫出定義域;

(2)證明：b2>3a;

(3)若f(x),f，(x)這兩個函數的所有極值之和不小于高，求a的取值范圍.

20.(2017?全國?高考真題)已知函數/Q)=x-l-aln元.

(1)若/(x)20,求a的值；

(2)設m為整數，且對于任意正整數n,(l+g)(l+g)…(1+￡)〈根，求m的最小值.

21.(2017?山東?高考真題)已知函數/(了)=/+28$》,g(x)=ev(cosx-sinx+2x-2),其中

e=2.71828…是自然對數的底數.

(回)求曲線y=/(x)在點(乃"⑺)處的切線方程；

(回)令〃(x)=g(x)-%(x)(awR),討論Mx)的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

22.(2017?北京?高考真題)已知函數/(x)=eXcos尤-尤.

(回)求曲線>=/(x)在點(0)(0))處的切線方程；

(回)求函數/(X)在區間［0,會上的最大值和最小值.

23.(2016,山東,高考真題)f(x)=xlnx-ax2+(2a-l)x,aeR.

(回)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調區間;

(回)已知f(x)在x=l處取得極大值.求實數a的取值范圍.

24.(2016?天津?高考真題)設函數/(x)=(x-l)3-ax-b,x?R,其中a,b回R.

(0)求f(x)的單調區間；

(回)若f(x)存在極值點Xo,且f(X1)=f(x0),其中"Xo,求證：Xi+2x0=3；

(回)設a>0,函數g(x)=|f(x)I,求證：g(x)在區間［0,2］上的最大值不小于

25.(2016?全國?高考真題)⑴討論函數〃%)=三/的單調性，并證明當x>0時，

x+2

(x—2)e，+犬+2>0;

⑵證明：當。?0,1）時，函數g（x）=e'9一"（尤＞0）有最小值.設g（x）的最小值為旗a）,求函

X

數的值域.

26.（2015?重慶?高考真題）已知函數/⑺=加+4加；?）在x=-：處取得極值.

⑴確定a的值；

（2）若g（x）"（x）e，，討論g（x）的單調性.

27.（2015?重慶?高考真題）設函數/（x）=①丁（aeR）

（1）若〃x）在x=0處取得極值，確定。的值，并求此時曲線y=/（x）在點（口⑴）處的切線方

程；

（2）若〃x）在[3,+8）上為減函數，求0的取值范圍.

28.（2015?山東?高考真題）設函數〃x）=ln（尤+l）+a（尤2-x）,其中

（回）討論函數/（尤）極值點的個數，并說明理由；

（回）若Vx＞（V（x）20成立，求。的取值范圍.

29.（2015?湖南?高考真題）己知a＞0,函數/（x）=/sinx（xe[0,+（?））,記匕為了⑴的從小到大的

第九（〃eN*）個極值點，證明：

（1）數列｛/區）｝是等比數列

（2）若。2/片,則對一切"N*,當恒成立.

30.（2015?安徽?高考真題）設函數/（》）=/-辦+b.

（回）討論函數/Ginx）在（-1/）內的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值；

(回)記％。)=/-曲+%,求函數|/(sinx)-啟sinx)|在會上的最大值D；

2

(回)在(0)中，取4=%=0,求z=b-幺滿足DV1時的最大值.

4

31.(2015,山東,身考真題)設函數f(x)=(x+a)lnx,g(攵)=》已知曲線〃"力｛P,M在點

(1J⑴)處的切線與直線2x-y=0平行.

(回)求。的值；

(回)是否存在自然數3使得方程〃x)=g(x)在(匕后+1)內存在唯一的根？如果存在，求出人;

如果不存在，請說明理由；

(回)設函數〃&)=〃而｛/(x),g(x)｝(〃成｛p,q｝表示，。應中的較小值)，求"Z(X)的最大值.

32.(2015?全國?高考真題)已知/(x)=ln尤+a(l-x).

⑴討論的單調性；

⑵當〃x)有最大值，且最大值大于2a-2時，求。的取值范圍.

考點05證明不等式等證明問題

1.(2024,全國甲卷?高考真題)已知函數/(x)=a(xT)-lnx+l.

⑴求的單調區間；

(2)當a42時,證明：當x>l時,〃力<—恒成立.

2.(2024?全國新I卷,高考真題)已知函數/(x)=ln；^J+ax+6(x-l)3

2-x

⑴若6=0,且尸(x)N0,求。的最小值;

⑵證明：曲線y=/(無)是中心對稱圖形;

⑶若當且僅當l<x<2,求6的取值范圍.

3.(2023,天津高考真題)已知函數〃刈=&+￡|叭》+1).

⑴求曲線y=〃x)在x=2處的切線斜率;

⑵求證：當x>0時，

⑶證明：(<ln(n!)-n+—jln?+n<l

02

4.(2022?全國新n卷?高考真題)已知函數/3=無產一1.

⑴當。=1時，討論/(x)的單調性；

⑵當x>0時，/(%)<-1,求。的取值范圍;

⑶設"CN*，證明：卷+—+-+.>ln(〃+l).

5.(2021,全國乙卷?高考真題)設函數/'(x)=ln(<7-x),已知x=0是函數y=#(x)的極值點.

(1)求a；

(2)設函數g(x)=\^.證明:g(x)<L

6.(2019?北京?高考真題)已知函數/0)=33_/+匕

(回)求曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程；

(回)當無e［-2,4］時，求證：x-6<f(x)<x;

(回)設/(x)="(x)-a+a)|(aeR),記尸⑴在區間［-2,4］上的最大值為—(a),當M(a)最小

時，求a的值.

7.(2018,全國,高考真題)已知函數〃x)=(2+x+ax2)in(l+x)-2x.

(1)若。=0,證明：當一l<x<0時，/(%)<0；當x>0時，/(x)>0；

(2)若尤=0是/(X)的極大值點，求

ax2+x-l

8.(2018?全國?高考真題)已知函數〃x)=

-,

(1)求曲線y寸(力在點(0,-1)處的切線方程；

(2)證明：當時，/(x)+e>0.

9.(2018?全國?高考真題)已知函數"x)=oex-阮vT.

(1)設戶2是的極值點.求。，并求〃x)的單調區間；

(2)證明：當。2工時，/W>0.

e

10.(2017?全國?高考真題)已知函數=且f(x)20.

(1)求a；

(2)證明：〃x)存在唯一的極大值點/,且/<〃毛)<2々.

11.(2016?浙江?高考真題)設函數/(力=^+」一，xe[0,l],證明：

(0)fM>l-x+x2；

33

(團)-</?<-.

42

12.(2016?全國?高考真題)設函數。(%)=注冗-x+1.

(0)討論了(力的單調性；

(回)證明當無e(l,+8)時，l<p<x；

Inx

(回)設c>l,證明當xe(0,l)時,l+(c-l)x>c\

13.(2015,全國?高考真題)設函數〃x)=e2*-alnx.

(回)討論的導函數(⑴的零點的個數；

2

(0)證明：當〃>。時/(x"2Q+Qln,.

14.(2015?湖北?高考真題)設函數/。)，g(%)的定義域均為R,且“%)是奇函數，g(x)是偶函

數,/(尤)+g(尤)=e)其中e為自然對數的底數.

⑴求F(X),g(x)的解析式，并證明：當*>0時，/(x)>0,g(x)>l；

(2)設UE明：當x>0時，ag(x)+(1—a)<<bg(x)+(1—b).

15.(2015?福建?高考真題)已知函數/(x)=/〃(l+x),g(x)=kx,(keR),

(回)證明：當尤>0時，/(x)〈尤；

(回)證明：當左<1時,存在力>0,使得對任意xi(0,%),恒有/(x)>g(x)；

(回)確定k的所以可能取值，使得存在"0,對任意的"(0,)恒有|/(x)-g(x)|<

16.(2015?北京?高考真題)已知函數"x)=lnp.

(回)求曲線y=/(x)在點(o,〃o))處的切線方程；

(回)求證：當X?O,1)時，+

(回)設實數人使得+對xe(O,l)恒成立，求左的最大值.

考點06恒成立與能成立(有解)問題

1.(2024?天津?高考真題)設函數〃x)=xlnx.

⑴求〃x)圖象上點(1，〃1))處的切線方程；

⑵若〃無)泊［-4)在xe(O,")時恒成立，求。的值；

⑶若藥,馬日0,1),證明|〃/)-"馬)閆斗-司上

2.(2024,全國甲卷?高考真題)已知函數/(x)=(l-ax)ln(l+x)-x.

⑴當a=-2時，求“x)的極值;

⑵當個0時，/(x)>0,求。的取值范圍.

3.（2023,全國甲卷?高考真題）已知函數〃x）=6-當,xe（0金.

COSXk/）

⑴當。=1時,討論的單調性;

（2）若〃x）+sinx<0,求。的取值范圍.

4.（2023?全國甲卷?高考真題）已知函數小）=辦-上續，無/0,小

cosx\2J

⑴當a=8時，討論Ax）的單調性；

（2）若/（尤）<sin2x恒成立，求。的取值范圍.

5.（2022?全國新I卷?高考真題）已知函數/（彳）=止"-/.

⑴當4=1時，討論了⑺的單調性；

⑵當x>0時，/W<-1,求a的取值范圍;

⑶設“eN’證明:>ln(n+1)

6.（2022?全國甲卷?高考真題）已知函數〃x）=￡-lnx+x-a.

⑴若〃力對,求a的取值范圍；

（2）證明:若有兩個零點4%,則%%<1.

7.（2021,天津?高考真題）已知a>0,函數/（x）=ax-jc/.

（I）求曲線>=/（元）在點（。"（0））處的切線方程：

（II）證明/⑺存在唯一的極值點

（III）若存在a,使得了（x）Va+8對任意xeR成立，求實數6的取值范圍.

8.（2020?山東?高考真題）已知函數/（x）=ae*T-Inx+lna.

（1）當”=e時，求曲線y=在點（L〃l））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

（2）若不等式7（x）21恒成立，求a的取值范圍.

9.(2020,全國?高考真題)已知函數/。)=6工+辦2-x.

(1)當。=1時，討論/(x)的單調性；

(2)當x20時，f(x)求a的取值范圍.

10.(2019?全國?高考真題)已知函數/(無)=2sinx—xcosx—x,f(x)為/(x)的導數.

(1)證明：/(無)在區間(0,兀)存在唯一零點；

(2)若曲［0,用時，f(x)>ax,求a的取值范圍.

11.(2017?天津?高考真題)設a,6e4,|a區1.已知函數/(x)=Y-6--3am-4)尤+。，g(x)=e*/(x).

(回)求的單調區間;

(回)已知函數y=g。)和片e,的圖象在公共點(xo,y0)處有相同的切線，

(i)求證：/(X)在x=x()處的導數等于0；

(ii)若關于x的不等式g(x)ve*在區間上恒成立，求b的取值范圍.

12.(2017?全國?高考真題)設函數〃無)=(1-3/.

(I)討論函數/a)的單調性；

(II)當尤士0時，f(x)<ax+l,求實數。的取值范圍.

13.(2016?江蘇?高考真題)已知函數/(外=優+〃(。>08>0,。*1/工1).

(1)設a=2,b=；.

①求方程/(x)=2的根；

②若對任意xeR,不等式/(2x)礦(無)-6恒成立，求實數m的最大值；

(2)若。函數g(x)=〃x)-2有且只有1個零點，求ab的值.

14.(2016,全國?高考真題)已知函數6O)=(x+l)ln無一。(尤一1).

(I)當。=4時，求曲線y=/(x)在。，/⑴)處的切線方程；

(回)若當xe(l,+?)時，/(%)>0,求。的取值范圍.

15.(2016?四川,高考真題)設函數/(x)=ax2-a-lnx,g(x)=---二,其中a?R,0=2.7工8…為

xe

自然對數的底數.

(2)討論/(X)的單調性；

(2)證明：當x>1?時，g(x)>O；

(3)如果/(x)>g(x；l在區間(工，+?0內恒成立，求實數a的取值范圍.

16.(2015?四川?高考真題)已矢口函數/(x)=-2(尤+a)ln尤+X：—2奴一2。2+a,其中a>0.

(1)設g(元)是/(x)的導函數，討論g(x)的單調性；

(2)證明：存在ae((M),使得/(X)N0在區間(1,內)內恒成立,且/(x)=0在(1,+co)內有唯一解.

17.(2015?山東,高考真題)設函數/(xhlna+D+al-x),其中“已區.

(回)討論函數〃x)極值點的個數，并說明理由；

(回)若Vx>0,〃x)20成立，求。的取值范圍.

18.(2015?湖南?高考真題)函數/(》)=曲《?小€[0,+00),記斗為“X)的從小到大的第n(nwN*)

個極值點.

(回)證明：數列｛f?)｝是等比數列;

(回)若對一切尤/恒成立，求。的取值范圍.

19.(2015?湖南?高考真題)已知a>0,函數/(x)=e"sinMxeO+8)),記％為廣⑴的從小到大的

第”(〃eN*)個極值點，證明：

(1)數列｛/(%)｝是等比數列

(2)若則對一切"eN*,恒成立.

20.（2015,福建,高考真題）已知函數，（x）=/〃（l+x）,g（x）=kx,（keR）,

（回）證明：當尤>0時，/（x）<x；

（回）證明：當無<1時,存在%>明使得對任意「（0,/）,恒有/'（x）>g（x）；

（回）確定k的所以可能取值，使得存在r>0,對任意的"（0,）恒有|/（x）-g（x）|<f.

21.（2015?北京?高考真題）已知函數/（x）=lnp.

（回）求曲線y=/（x）在點（0,〃。））處的切線方程；

（回）求證：當x?0,l）時，+

（回）設實數左使得+對xe（O,l）恒成立，求上的最大值.

考點07零點問題

1.（2022,全國乙卷?高考真題）已知函數/（x）=av---（a+l）lnx.

X

⑴當“=0時，求"X）的最大值；

⑵若/（X）恰有一個零點，求a的取值范圍.

2.（2022?全國乙卷?高考真題）已知函數/（0=皿1+尤）+依0

⑴當a=l時，求曲線y=在點（0,〃。））處的切線方程；

⑵若在區間（T0）,（0,y）各恰有一個零點，求a的取值范圍.

3.（2021,全國新n卷,高考真題）已知函數/（x）=（x-l）eX-ar2+b.

（1）討論/（x）的單調性；

（2）從下面兩個條件中選一個，證明：,CO只有一個零點

1@

（1）—<a<—,h>2a；

^22

②0<a<V2a.

4.(2020?浙江?高考真題)已知函數/(x)=e'-x-a,其中e=2.71828…為自然對數的底

數.

(回)證明：函數y=F(x)在(。，+8)上有唯一零點；

(回)記X。為函數y=/(x)在(。,+8)上的零點,證明:

(回)-Ja-lV玉)V,2(a-1)；

(回)3(e&)2(e-l)(a-l)a.

5.(2020?全國?高考真題)設函數/(X)=l+法+C,曲線y=/(x)在點弓，/弓))處的切線與y軸垂

直.

(1)求b.

(2)若/(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：/(X)所有零點的絕對值都不大于1.

6.(2020?全國?高考真題)已知函數f(x)=d-fcc+/.

(1)討論Ax)的單調性；

(2)若/*)有三個零點，求上的取值范圍.

7.(2020?全國?高考真題)已知函數/(x)=e-2).

(1)當。=1時，討論，⑺的單調性；

(2)若了⑺有兩個零點，求。的取值范圍.

8.(2019,全國?高考真題)已知函數/(x)=2sinx—xcosx-x,f(x)為/(x)的導數.

(1)證明：/(x)在區間(0,兀)存在唯一零點；

(2)若曲［0,用時，f(x)>ax,求a的取值范圍.

9.(2019?全國?高考真題)已知函數〃x)=sinAln(l+尤)，。⑺為了⑺的導數.證明:

(1)r(x)在區間(-i,g存在唯一極大值點；

(2))⑴有且僅有2個零點.

10.(2018?浙江?高考真題)已知函數/(x)=?-lnx.

(1)若"X)在工=冷吃(%二用)處導數相等,證明：/(^)+/(x2)>8-81n2；

(2)若三3-4出2,證明：對于任意上>0,直線y=+〃與曲線y=/(x)有唯一公共點.

11.(2018?全國?高考真題)已知函數/(x)=gx3-a(Y+尤+1).

(1)若。=3,求〃x)的單調區間；

(2)證明：f(x)只有一個零點.

12.(2017全國?高考真題)已知函數f(x)=ae"+(a_2)ex_x

(1)討論的單調性；

(2)若有兩個零點，求。的取值范圍.

13.(2016?江蘇?高考真題)已知函數/。)=優+匕，3>0,匕>0,-1,人1).

(1)設a=2,b=g.

①求方程〃x)=2的根；

②若對任意xeR,不等式“2x)2時(x)-6恒成立，求實數m的最大值；

(2)若函數g(x)=〃x)-2有且只有1個零點,求ab的值.

14.(2016?北京?高考真題)設函數〃0=丁+加+法+<?.

(回)求曲線:=/(力在點(oj(o))處的切線方程;

(回)設〃=。=4,若函數有三個不同零點，求C的取值范圍；

(回)求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.

15.(2016?全國?高考真題)已知函數八尤)=(X-2)e，+a(x-1),.

（回）討論”x）的單調性；

（回）若/（X）有兩個零點，求。的取值范圍.

16.（2015?江蘇?高考真題）已知函數〃.丫）=1+―-夙小太）.

（1）試討論「切的單調性；

（2）若b=c-a（實數c是a與無關的常數），當函數f（x）有三個不同的零點時，a的取值范

圍恰好是（f-3）U（l=）U2+x）,求c的值.

22

17.（2015?全國?高考真題）設函數『（x）=e2，_alnx.

（回）討論的導函數（⑴的零點的個數；

（回）證明：當a>0時/（x）T2a+aln—.

a

18.（2015?全國?高考真題）已知函數/（%）=三+◎+；,g（無）=-lnx.

（1）當。為何值時，尤軸為曲線y=/（x）的切線；

（2）用min{/",〃}表示機，〃中的最小值，設函數/z（x）=min{/（x）,g（x）}（x>0）,討論力（無）零點的個數.

19.（2015?陜西考真題）設力（工）=x+*2---+-x"—l,n&N,n>2.

（回）求撩2）；

（回）證明：力⑺在?內有且僅有一個零點（記為％）,且

20.（2015?北京?高考真題）設函數=1-劉nx,k>0.

（1）求〃元）的單調區間和極值；

（2）證明：若存在零點，則〃x）在區間（L6］上僅有一個零點.

考點08方程的根

1.（2022?浙江?高考真題）設函數y（x）=h+lnx（x>0）.

lx

⑴求/（x）的單調區間；

（2）已知。力?R,曲線y=f（x）上不同的三點（再"（再）