查漏補(bǔ)缺：數(shù)列

8升考點(diǎn)大集合

廠（數(shù)列的三種表示）

-（數(shù)列的分類）

K數(shù)列的有關(guān)七A

■＜數(shù)列的通項(xiàng)公式）

-（數(shù)列的遞推公式）題型01由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式

_（。考點(diǎn)一數(shù)列的概念與表蔡）題型02由遞推關(guān)至求數(shù)列的通項(xiàng)公式

「■（觀察法公式法）題型03數(shù)列的周期性及應(yīng)用

題型04用房數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性和最值

-（黝口法）—（爆法）

數(shù)列通項(xiàng)公式的啾求法A

L（-（百法）~~（取倒數(shù)法）

Y三項(xiàng)雌去）—（不動(dòng)點(diǎn)法））

等差數(shù)列的定義

朝01等差數(shù)列的基本量求解

等差數(shù)列的概念與公式等差中項(xiàng)題型02等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

朝03等差數(shù)列的前

通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式

O考點(diǎn)二等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和朝04等差數(shù)列的單

等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)題型05等差數(shù)列的判定與證明

等差數(shù)列的性質(zhì)置型06含絕對(duì)值等差數(shù)列求和

數(shù)列等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

等比數(shù)列的日

廠等比數(shù)列的概念與公式J—，等比中項(xiàng)，題型01等百列的基本量求解

題型等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

―（。考點(diǎn)三等比數(shù)列及其前面和）■＜通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式02

題型03等比數(shù)列的判定與證明

p等比數(shù)列的性質(zhì)，耀04等差與等比數(shù)列綜合

匚等比數(shù)列的性質(zhì)

七等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

整01分組轉(zhuǎn)化法會(huì)I列的前n項(xiàng)和

「公式法—分組法迪02裂項(xiàng)相消法新列的前n項(xiàng)和

朝錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和

。考點(diǎn)四數(shù)列求和及綜合問題I幾種數(shù)列痂的常用方法并項(xiàng)求和法倒序相加法03n

題型04數(shù)列與不等式證明問題

裂項(xiàng)相消法錯(cuò)位相減法題型05數(shù)列中的探究性問題

整06數(shù)列新定義問題

考點(diǎn)大過頭

考點(diǎn)一：數(shù)列的概念與表示

■-核心提煉?查漏補(bǔ)缺

知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的有關(guān)概念

1、數(shù)列的三種表示：列表法、圖象法和解析式法.

2、數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

按項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

分類無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限

遞增數(shù)列

按項(xiàng)與項(xiàng)??+i>%

其中?GN*

間的大小

遞減數(shù)列4+1<an

關(guān)系分類

常數(shù)列4+1=an

有界數(shù)列存在正數(shù)M,使⑷

按其他標(biāo)

擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

準(zhǔn)分類

周期數(shù)列對(duì)“GN*,存在正整數(shù)常數(shù)左，使

3、數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛%｝的第"項(xiàng)與序號(hào)”之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表達(dá)，那么這個(gè)公式叫

做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

4、數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)凡與它的前一項(xiàng)4T（"22）（或前幾項(xiàng)）

間的關(guān)系可用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式.

知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1、觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律

寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).

2、公式法

（.fS,=

（I）使用范圍：若已知數(shù)列的前“項(xiàng)和S”與%的關(guān)系，求數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)a“可用公式%=:C,、小

構(gòu)造兩式作差求解.

（2）用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即用和a“合

為一個(gè)表達(dá)，（要先分”=1和〃22兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）.

3、累加法：適用于斯+1=斯+A"），可變形為斯+1—斯=/缶）

要點(diǎn)：利用恒等式。"=41+（。2—。1）+（的一。2）+…+（即一。"-1）（佗2,"GN*）求解

4、累乘法：適用于即+i=ys）。,”可變形為多

要點(diǎn)：利用恒等式斯=/竽詈…?衛(wèi)n>2,wGN*）求解

ai<22an1

5、構(gòu)造法：對(duì)于不滿足=斯+i=A"）斯形式的遞推關(guān)系，常采用構(gòu)造法

要點(diǎn)：對(duì)所給的遞推公式進(jìn)行變形構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求解

類型一：形如a,m=pa,+4（其中p國均為常數(shù)且）型的遞推式：

（I）若p=l時(shí)，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

（2）若q=0時(shí)，數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

（3）若pwl且qwO時(shí)，數(shù)列｛4｝為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法有

如下兩種：

法一：設(shè)a.+i+X=pm”+九），展開移項(xiàng)整理得a,#]=pa“+（0-1）幾，與題設(shè)。用=pa“+q比較系數(shù)（待定系

+—

數(shù)法）W>1=—,（P^0）^>fln+1+—^—=p（an+—^-）=>??+—^―=X??-i^7）?即構(gòu)成以

p-1p-\p-\p-1p-1IpTJ

%+'一為首項(xiàng)，以0為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出|a"+'一]的通項(xiàng)整理可得an.

IPTJ

1

法二：由an+l=pan+q得%=pa“_]+22)兩式相減并整理得出~—=p,即｛a“+i構(gòu)成以g-4為首

3%,一

項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.求出｛。用-q｝的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出a,,.

類型二:形如an+l=pan+/(n)(p#1)型的遞推式：

(1)當(dāng)/(〃)為一次函數(shù)類型(即等差數(shù)列)時(shí)：

法一：設(shè)%+4附+8=加/_]+4(〃-1)+可，通過待定系數(shù)法確定A、3的值，轉(zhuǎn)化成以4+A+B為首項(xiàng),

以=廠標(biāo)為公比的等比數(shù)列飽+A"+3｝，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛an+An+B]的通項(xiàng)整理

可得

法二：當(dāng)/(?)的公差為d時(shí)，由遞推式得：an+l=pan+f(n),an=pa,7+f｛n-1)兩式相減得：

aa

n+\~n=p(a,-%)+d,令6“=a"+i-a”得：bn=pbn_x+d轉(zhuǎn)化為類型V㈠求出bn,再用累加法便可求出

(2)當(dāng)/(〃)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時(shí)：

法一：設(shè)4+/1/5)=0[q7+彳/(〃-1)],通過待定系數(shù)法確定4的值，轉(zhuǎn)化成以囚+彳/⑴為首項(xiàng)，以

然=正與為公比的等比數(shù)列｛%+%/(〃)｝,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛q+2/(H)｝的通項(xiàng)整理可

得。〃.

法二：當(dāng)/(〃)的公比為q時(shí)，由遞推式得：an+1=pan+f(n)一①，an=pan_x+f(n-1),兩邊同時(shí)乘以夕得

anq=pqan_x+qf(n-1)一②，由①②兩式相減得an+i-anq=p(a〃一qa〃_J,即———=p，構(gòu)造等比數(shù)列。

冊(cè)—q*

法三：遞推公式為4+i=pan+q〃(其中p,q均為常數(shù))或?yàn)?i=pan+應(yīng)"(其中p,q,廠均為常數(shù))時(shí)，

要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以得：4=2工+工，引入輔助數(shù)列也｝(其中6,=生)，得：

qqqqq

bn+l='2+工，再結(jié)合第一種類型。

qq

6、取倒數(shù)法：斯+i=—―(P，4,7是常數(shù))，可變形為

qan-\-r^口an+ipanp

要點(diǎn)：①若p=r,則是等差數(shù)列，且公差為《可用公式求通項(xiàng)；

②若p打，則轉(zhuǎn)化為斯+i=sa〃+f型，再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解

7、三項(xiàng)遞推構(gòu)造：適用于形如“2=〃。用+效“型的遞推式

用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列｛“，-。片｝的形式求解.方法為：設(shè)%+2-3用=〃(％.-幼,)，比較系數(shù)

得h+k=p,—hk=q,可解得h、k,于是｛。用—％%｝是公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為an+l=pan+q型.

8、不動(dòng)點(diǎn)法

(1)定義：方程/(x)=x的根稱為函數(shù)/(x)的不動(dòng)點(diǎn).

利用函數(shù)/(x)的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系%M=/(%)所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列,

這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法.

(2)在數(shù)列｛4｝中，％已知，且九22時(shí),an=pan_1+q(是常數(shù))，

①當(dāng)夕=1時(shí)，數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

②當(dāng)°=0時(shí)，數(shù)列｛4｝為常數(shù)數(shù)列；

③當(dāng)pwLq=0時(shí)，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列；

④當(dāng)pwOJqwO時(shí)，稱x=。％+4是數(shù)列｛%｝的一階特征方程，

其根x=-2—叫做特征方程的特征根，這時(shí)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為：x)pi+x；

1-P

(3)形如生=外，a2=m2,an+2=p-an+l+q-an(p、q是常數(shù))的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得

通項(xiàng)句，其特征方程為+4(*).

(1)若方程(*)有二異根。、0,則可令〃“二q?a"+%?/?〃(9、J是待定常數(shù))；

(2)若方程(*)有二重根a=￡,則可令々凡=(G(9、。2是待定常數(shù))?

(其中生、。2可利用4=州，出二%求得)

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分_____________

【題型1由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式】

S.(〃=1)

在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項(xiàng)4與其前n項(xiàng)和S”之間關(guān)系如下a“=°】。/在使用這個(gè)關(guān)

[S?-Sn_l(n>2,neN)

系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列｛4｝的4與S“關(guān)系時(shí)，先令”=1求出首項(xiàng)外,然

后令2求出通項(xiàng)a“=S“-S,i，最后代入驗(yàn)證。解答此類題常見錯(cuò)誤為直接令“之2求出通項(xiàng)

a.=S?-S’-，也不對(duì)n=i進(jìn)行檢驗(yàn)―

已知S“求斯的三個(gè)步驟

(1)利用4Z1=S1求出C11.

（2）當(dāng)佗2時(shí)，利用斯=S〃一S1（定2）求出出的表達(dá)式.

（3）看G是否符合論2時(shí)許的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形

fSi，n=l,

式，BPan=\_

〔品1,九N2.

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化.

（1）利用斯=s“一（論2）轉(zhuǎn)化為只含S“，的關(guān)系式，再求解.

（2）利用S.—5-1=斯（色2）轉(zhuǎn)化為只含斯，斯—i的關(guān)系式，再求解.

1.（24-25高三下?重慶北倍?月考）數(shù)歹￡見｝的前〃項(xiàng)和S"=/+w+l,則數(shù)列｛qj的通項(xiàng)公式是.

2.（24-25高三下?山西?開學(xué)考試）數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S"滿足癌=20,-1,則0,=.

3.（24-25高三下?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為5“，且4s〃=（%+以，貝U§5。=.

4.（24-25高三下?山東臨沂?一模）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S”+叫=1,則滿足5“>0.99時(shí)，〃的最

小值為（）

A.49B.50C.99D.100

5.（23-24高三下?四川內(nèi)江?專題練習(xí)）數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)數(shù)列，S”為數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和，且

++=S”,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為。”=（）

I/C^2十/^,n乙

A.2"B.nC.Z7+1D.2（〃-1）

【題型2由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式】

a?_i-a?_=/(?-2)

1、累加法：形如4+1=%+/（〃）型的遞推數(shù)列（其中/（〃）是關(guān)于〃的函數(shù)）構(gòu)造：,2

?2~ai=/(D

2=

%

ay

—=/(?-2)

2、累乘法:形如an+i=an-f(n)于（n）型的遞推數(shù)列（其中/（〃）是關(guān)于〃的函數(shù)）構(gòu)造：＜*

3、構(gòu)造法：

（1）形如%+i=pq,+q（p,q為常數(shù),pqwO且p*l）的遞推式，可構(gòu)造a,-]+幾=0（4+4）,轉(zhuǎn)化為等

比數(shù)列求解.也可以與類比式a“=pa,-+q作差,由an+l-an=,構(gòu)造｛。用-。“｝為等比數(shù)列，然

后利用疊加法求通項(xiàng).

（2）形如a,M=pa"+屋’（p*0且pwl,dwl）的遞推式，當(dāng)°="時(shí)，兩邊同除以d向轉(zhuǎn)化為關(guān)于｛務(wù)｝

的等差數(shù)列；當(dāng)p2d時(shí)，兩邊人可以同除以得&■=￡.&+▲,轉(zhuǎn)化為%吃+'.

dn+'ddnddd

（3）通過配湊轉(zhuǎn)化為%+Aw+8=p[a,i+A（〃-1）+可，通過待定系數(shù)法確定A、B的值，轉(zhuǎn)化成以

%+A+8為首項(xiàng)，以普=產(chǎn)k為公比的等比數(shù)列｛%+4〃+研，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

[n-my.

｛a?+An+B｝的通項(xiàng)整理可得an.

4、取倒數(shù)法：對(duì)于凡M=」^（acwO）,取倒數(shù)得二一="此=幺,+￡.

b+c4an+1aanaana

當(dāng)a=b時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列；

1be

當(dāng)°工6時(shí)，令b,J,則〃出=匕2+￡,可用待定系數(shù)法求解.

aa

1.（24-25高三下?福建廈門?二模）已知數(shù)列｛4｝滿足q=l,—,則｛%｝的前6項(xiàng)和為（）

d襄AZIL

2.（24-25高三上?廣東梅縣?期中）若數(shù)列｛叫滿足5-1）%=（〃+1）%_1（〃22），4=2,則4=（）

D.20

3.（24-25高三下?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝中，4=1,a“=a“_i+3”-2（neN\且〃22）,則通項(xiàng)

公式%=（）

,3〃2—〃+2-3/—3〃+2

A.-------------B.---------------

22

CD("-1)(3"+2)

'-2-'2-

4.(24-25高三上.河北.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)滿足〃x+l)-〃x)=2x-1,且“0)=1,設(shè)數(shù)列｛%｝滿

足4=/(〃)，則數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和的表達(dá)式為()

A.n2—2n+2B.n2—n+1

C.-TD.硬地一"+1

62

5.(24-25高三上?寧夏銀川?月考)已知數(shù)列｛%｝中，/=3,。用=2%-2〃+3,“uN*，S,為數(shù)列｛%｝的

前項(xiàng)和，則數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式4=；Sg=.

【題型3數(shù)列的周期性及應(yīng)用】

1、周期數(shù)列的常見形式

(1)利用三角函數(shù)的周期性，即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù)；

(2)相鄰多項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，如后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的差；

(3)相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，等式中一側(cè)含有分式，又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列.

2、解決此類題目的一般方法：根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求

有關(guān)項(xiàng)的值或者前〃項(xiàng)的和.

1.(24-25高三下?內(nèi)蒙古呼和浩特?月考)若在數(shù)列｛4“｝中，4=2,(?>2),則%)25=()

an-l

A.2B.-C.—D.—1

22

2.(24-25高三下?重慶南岸?月考)已知數(shù)列｛可｝滿足q=3,。用=1-eN*),則%=()

an

A.—B.—C.3D.2

32

3.(24-25高三上?云南昆明?期末)已知數(shù)列｛4｝滿足4=3,1,則為)8=()

D.-1

「、21

4.（24-25高三上?貴州?月考）已知數(shù)列｛““｝滿足。用=匚/，且4=彳，則的>25=（）

Zan2

4i

A.3B.—C.-D.—2

5.（23-24高三上.黑龍江哈爾濱?期中）數(shù)列｛%｝中，4=1,%=2,且an+2=an+l~an（〃￡N*）,則“2024為

（）

A.2B.1C.-1D.-2

【題型4用函數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性和最值】

求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法

（1）將數(shù)列視為函數(shù)/（x）當(dāng)xGN*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)/（x）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用

求函數(shù)最值的方法，求出/（x）的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（小）項(xiàng).

（2）通過通項(xiàng)公式％研究數(shù)列的單調(diào)性，

a>a.[a<a.

利用"確定最大項(xiàng)，利用""T》2）確定最小項(xiàng).

U2%&<4+1

（3）比較法：

%

①若有。角4=/("+1)一/(")>°（或4〉0時(shí)>1),

a?

則4+1〉。“，即數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，所以數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)為q=/（D；

??+1

②若有4+i??=/(?+1)-/(?)<0(或。”>0時(shí)<1),

a“

則an+l<an,即數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列｛q｝的最大項(xiàng)為q=/⑴.

L⑵3高三下?吉林通化「模）數(shù)列5｝的通項(xiàng)公式為%=會(huì)黑，該數(shù)列的前50項(xiàng)中最大項(xiàng)是（）

A.4B.%4C.a45D.%0

2.（24-25高三下?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)歹￡%｝滿足的前12項(xiàng)組成一組數(shù)據(jù)，其第90百

分位數(shù)為（）

A.〃8B.〃9C.%D.。12

3.（24-25高三下?遼寧?一模）已知在數(shù)列｛%｝中，q=a,ae（0,1）,2+]=〃，則也｝的前eN*,羥3）

項(xiàng)中的最大項(xiàng)為（）

A.4B.〃2C.D.%左一1

（3——3,〃47.I,,（、

4.（24-25高三上?江蘇無錫?月考）已知數(shù)列｛。“｝的通項(xiàng)公式是%=?_6'7（〃eN*）,右數(shù)列{4}

a,〃>/

是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.B.?3C.（2,3）D.[2,3）

已知數(shù)列｛%｝滿足4.=3+：,則下列說法正確的是（）

5.（24-25高三下?安徽銅陵?開學(xué)考試）

A.｛。,｝所有項(xiàng)恒大于等于收B.若4=1,則｛外｝是單調(diào)遞增數(shù)列

見+1+?1是單調(diào)遞增數(shù)列

C.若｛。“｝是常數(shù)列，則q=0D.若％=2,則

考點(diǎn)二：等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

?核不提煉：查漏補(bǔ)缺_____________

知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的概念及公式

1、等差數(shù)列的定義

（1）文字語言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；

（2）符號(hào)語言：4+「冊(cè)=、癡,d為常數(shù)）.

2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a,A,方組成等差數(shù)列，則A叫做a,6的等差中項(xiàng).

3、通項(xiàng)公式與前“項(xiàng)和公式

（1）通項(xiàng)公式：%=%.

（2）前〃項(xiàng)和公式：5,="%+%]"=幽".

（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

①通項(xiàng)公式：當(dāng)公差』片0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為=4+5T）d=d"+%-d是關(guān)于〃的一次函數(shù),

且一次項(xiàng)系數(shù)為公差小若公差d>0,則為遞增數(shù)列，若公差d<0,則為遞減數(shù)列.

②前“項(xiàng)和：當(dāng)公差d*o時(shí)，s“=,/+如六4=5"+（%-3）〃是關(guān)于"的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.

知識(shí)點(diǎn)2等差數(shù)列的性質(zhì)

已知數(shù)列｛/｝是等差數(shù)列，S”是其前〃項(xiàng)和.

1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(n-m)d(n,meN*).

(2)若左+/=加+〃(左，/，九,貝!)以+q=。機(jī)+々〃.

(3)若｛4｝的公差為d,貝乂的“｝也是等差數(shù)列，公差為2d.

(4)若也｝是等差數(shù)列，貝U｛p。"+弛｝也是等差數(shù)列.

2、等差數(shù)列前"項(xiàng)和的性質(zhì)

(1)S2n=n｛ax+a2ll)==〃(4+。用)；

⑵邑二=(2〃-l)a“;

⑶兩個(gè)等差數(shù)列｛%,｝,也｝的前n項(xiàng)和S“，，之間的關(guān)系為2=子.

-^2n-l"n

(4)數(shù)列鼠，與〃「S“，S3,〃-S2”，…構(gòu)成等差數(shù)列?

(5)若項(xiàng)數(shù)為2〃，貝!JS偶一5奇=幾。，于二里1-;

3偶an+l

Sqn

(6)若項(xiàng)數(shù)為2〃—1,則S偶=("1)。“，S奇=〃凡，S奇—S偶=%,-^-=—-

S偶n-1

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分_____________

【題型1等差數(shù)列的基本量求解】

1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量ai,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體

現(xiàn)了方程思想.

2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前”項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而外和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用

它們表示已知量和未知量是常用方法.

1.(24-25高三上?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè))等差數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為S“，且%-%=9,$8-55=66,則%=

()

A.8B.9C.10D.11

2.(24-25高三下?福建龍巖?月考)設(shè)S〃是等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若邑=15耳-55=18,則S&=()

A.132B.88C.44D.33

3.(24-25高三上?甘肅武威?期末)已知S〃為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若$4=12,S8=40,則耳。=(

A.56B.60C.64D.68

4.（24-25高三下?山東泰安?月考）公差不為零的等差數(shù)列｛0｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且&5=5（4+/+%）,則后=

（）

A.8B.10C.12D.13

5.（24-25高三上?上海浦東新?期中）已知S〃為等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，若2%+3%=20,則九二（）

A.39B.52C.65D.78

【題型2等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】

1、在等差數(shù)列｛斯｝中，當(dāng)相初時(shí)，d=號(hào)球?yàn)楣罟剑眠@個(gè)公式很容易求出公差，還可變形為

am=an~\~（m—n）d.

2、等差數(shù)列｛斯｝中，每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列.

3、等差數(shù)列｛斯｝中，若加+〃=p+q,則以+。加=%+他（〃，m,p,q￡N*）,

特別地，若加+〃=2〃，則斯+〃加=2他.

1.（24-25高三下?安徽合肥?月考）S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知。5+4+%=15,則%為（）

A.25B.30C.35D.55

2.（24-25高三下?廣東?模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列也,｝中，若生+%+。9=27,則2ag-%的值為（）

A.18B.15C.12D.9

3.（24-25高三下?福建廈門?模擬預(yù)測(cè)）記等差數(shù)列｛%｝的前力項(xiàng)和為S.,公差為d,若陽+%>0,幾<。，

則（）

A.邑。<。B.4+%7<。C.%]>0D.]?（-9,—8）

4.（24-25高三上?海南?月考）（多選）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,公差為d,若為+%>0,ag<0,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.d<QB.當(dāng)〃=8時(shí)，S,取得最大值

C.a2+a5+al2>0D.使得S“>0成立的最大自然數(shù)〃是15

5.（24-25高三下?四川成都?二模汨知正項(xiàng)等差數(shù)列｛帽滿足*「|^=舟（心d），則等=（）

A.4050B.2025C.4048D.2024

【題型3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用】

1、等差數(shù)列的依次上項(xiàng)之和，Sk，S2k-Sk,珀上一Sk，…組成公差為Md的等差數(shù)歹！J.

2、數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列=S,=a/+加（a,6為常數(shù)）=數(shù)列為等差數(shù)列.

3、若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S倜表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d,

①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃時(shí)，SK-S^=nd,^=—；

3偶4"十1

②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2w—1時(shí)，S奇一S倜=a“，

J偶n—1

1.（24-25高三下?山西?一模）設(shè)S,是等差數(shù)列｛q｝的前“項(xiàng)和，若邑=28,兒=88,則｛%｝的公差d=（）

A.1B.2C.3D.4

2.（24-25高三下?吉林長春?二模）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,，若S?=S9=6,則無的值為（）

A.0B.3C.6D.12

3.（24-25高三上?河北?期中）若兩個(gè)等差數(shù)列｛%｝,｛〃｝的前“項(xiàng)和分別為滿足'=%J（"eN*）,

%

則

一-

打

57

一

15一

17一

A.9-B.D.

122326

4.（24-25高三上?安徽六安?月考）（多選）已知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為6,公差為d,前〃項(xiàng)和為工，若

幾<S8<S9,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)“=9時(shí)，S,最大B.使得S“<0成立的最小自然數(shù)”=18

C.儂+⑷>ko+On|D.數(shù)列:^中最小項(xiàng)為“

5.（24-25高三上?山西呂梁?月考）（多選）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和，則（）

A.S6=3（S4—52）B.若｛%｝的公差不為0,S］5=5（%+/+%），貝！］%=10

c.s2n,S4n-S2n,$6“-S.成等差數(shù)列D.［今4是等差數(shù)列

【題型4等差數(shù)列的單調(diào)性及最值】

1、二次函數(shù)法：將5“=〃的+的嚴(yán)d=$2+（s—配方.轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題，但要注意“

GN*,結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來確定〃的值，更加直觀.

［。侖0,f〃及0,

2、鄰項(xiàng)變號(hào)法：當(dāng)?shù)?gt;0,d<0,八時(shí)，S〃取得最大值；當(dāng)QI<0,d>0,八時(shí)，S〃取得最小值.

〔斯+1S0〔斯+侖0

特別地，若〃1>0,d>0,則51是｛S〃｝的最小值；若〃1<0,dvo,則S1是｛*｝的最大值.

1.（24-25高三上?廣西貴港?月考）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和是5,,為>。39<。，則數(shù)列｛叫中最小的項(xiàng)

為第一項(xiàng).

2.（24-25高三上?上海?期中）已知無窮等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且的=2024,則％的最小值是.

3.（24-25高三上?黑龍江齊齊哈爾?期中）設(shè)等差數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項(xiàng)和為S“，且％+為=-22,Sn=-110,

則S“取最小值時(shí)，〃的值為（）

A.15或16B.13或14C.16或17D.14或15

4.（24-25高三上?云南昆明?月考）（多選）數(shù)列｛%｝的前a項(xiàng)和為S“，已知S”=加？一力?紙eR）,則下列結(jié)

論正確的是（）

A.｛0｝為等差數(shù)列B.｛4,｝不可能為常數(shù)列

C.若｛。“｝為遞增數(shù)列，貝必>0D.若電｝為遞增數(shù)列，貝心>1

5.（24-25高三上?浙江杭州?期末）已知S”是等差數(shù)列｛4｝的前力項(xiàng)和，且為>。，a6+a9<0,貝I］（）

A.數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列B.6>0

C.S”的最大值為S7