第1頁（共30頁）2015年浙江省湖州市中考數學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）（2015?湖州）﹣5的絕對值為（）A．﹣5B．5C．﹣D．2．（3分）（2015?湖州）當x=1時，代數式4﹣3x的值是（）A．1B．2C．3D．43．（3分）（2015?湖州）4的算術平方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．4．（3分）（2015?湖州）若一個圓錐的側面展開圖是半徑為18cm，圓心角為240°的扇形，則這個圓錐的底面半徑長是（）A．6cmB．9cmC．12cmD．18cm5．（3分）（2015?湖州）已知一組數據的方差是3，則這組數據的標準差是（）A．9B．3C．D．6．（3分）（2015?湖州）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC=5，DE=2，則△BCE的面積等于（）A．10B．7C．5D．47．（3分）（2015?湖州）一個布袋內只裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外其余都相同，隨機摸出一個球后放回并攪勻，再隨機摸出一個球，則兩次摸出的球都是黑球的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）（2015?湖州）如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，OA交小圓于點D，若OD=2，tan∠OAB=，則AB的長是（）A．4B．2C．8D．49．（3分）（2015?湖州）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊AD，BC上，連結OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結論不成立的是（）A．CD+DF=4B．CD﹣DF=2﹣3C．BC+AB=2+4D．BC﹣AB=210．（3分）（2015?湖州）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，點A是函數y=（x＜0）圖象上一點，AO的延長線交函數y=（x＞0，k是不等于0的常數）的圖象于點C，點A關于y軸的對稱點為A′，點C關于x軸的對稱點為C′，交于x軸于點B，連結AB，AA′，A′C′．若△ABC的面積等于6，則由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的圖形的面積等于（）A．8B．10C．3D．4二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．（4分）（2015?湖州）計算：23×（）2=．12．（4分）（2015?湖州）放學后，小明騎車回家，他經過的路程s（千米）與所用時間t（分鐘）的函數關系如圖所示，則小明的騎車速度是千米/分鐘．13．（4分）（2015?湖州）在“爭創美麗校園，爭做文明學生”示范校評比活動中，10位評委給某校的評分情況下表所示：評分（分）80859095評委人數1252則這10位評委評分的平均數是分．14．（4分）（2015?湖州）如圖，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，O是圓心，半徑OA=2，∠COD=120°，則圖中陰影部分的面積等于．15．（4分）（2015?湖州）如圖，已知拋物線C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都經過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一交點分別為M，N，如果點A與點B，點M與點N都關于原點O成中心對稱，則稱拋物線C1和C2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解析式是和．16．（4分）（2015?湖州）已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3（如圖所示），以此類推…．若A1C1=2，且點A，D2，D3，…，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10的邊長是．三、解答題（本題有8個小題，共66分）17．（6分）（2015?湖州）計算：．18．（6分）（2015?湖州）解不等式組．19．（6分）（2015?湖州）已知y是x的一次函數，當x=3時，y=1；當x=﹣2時，y=﹣4，求這個一次函數的解析式．20．（8分）（2015?湖州）如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點C，AB交⊙O于點D，E為AC的中點，連結DE．（1）若AD=DB，OC=5，求切線AC的長；（2）求證：ED是⊙O的切線．21．（8分）（2015?湖州）為了深化課程改革，某校積極開展校本課程建設，計劃成立“文學鑒賞”、“科學實驗”、“音樂舞蹈”和“手工編織”等多個社團，要求每位學生都自主選擇其中一個社團．為此，隨機調查了本校各年級部分學生選擇社團的意向，并將調查結果繪制成如下統計圖表（不完整）：選擇意向所占百分比文學鑒賞a科學實驗35%音樂舞蹈b手工編織10%其他c根據統計圖表中的信息，解答下列問題：（1）求本次調查的學生總人數及a，b，c的值；（2）將條形統計圖補充完整；（3）若該校共有1200名學生，試估計全校選擇“科學實驗”社團的學生人數．22．（10分）（2015?湖州）某工廠計劃在規定時間內生產24000個零件．若每天比原計劃多生產30個零件，則在規定時間內可以多生產300個零件．（1）求原計劃每天生產的零件個數和規定的天數；（2）為了提前完成生產任務，工廠在安排原有工人按原計劃正常生產的同時，引進5組機器人生產流水線共同參與零件生產，已知每組機器人生產流水線每天生產零件的個數比20個工人原計劃每天生產的零件總數還多20%．按此測算，恰好提前兩天完成24000個零件的生產任務，求原計劃安排的工人人數．23．（10分）（2015?湖州）問題背景已知在△ABC中，AB邊上的動點D由A向B運動（與A，B不重合），點E與點D同時出發，由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），邊結DE交AC于點F，點H是線段AF上一點．（1）初步嘗試如圖1，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D，E的運動速度相等．求證：HF=AH+CF．小五同學發現可以由以下兩種思路解決此問題：思路一：過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證DH=AH，再證GF=CF，從而證得結論成立；思路二：過點E作EM⊥AC，交AC的延長線于點M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而證得結論成立．請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程（如用兩種方法作答，則以第一種方法評分）；（2）類比探究如圖2，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，且D，E的運動速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如圖3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，記=m，且點D，E運動速度相等，試用含m的代數式表示（直接寫出結果，不必寫解答過程）．24．（12分）（2015?湖州）已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點D．（1）如圖1，若該拋物線經過原點O，且a=﹣．①求點D的坐標及該拋物線的解析式；②連結CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點的個數是4個，請直接寫出a的取值范圍．

2015年浙江省湖州市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）（2015?湖州）﹣5的絕對值為（）A．﹣5B．5C．﹣D．考點：絕對值．分析：根據絕對值的概念：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值可直接得到答案．解答：解：﹣5的絕對值為5，故選：B．點評：此題主要考查了絕對值，關鍵是掌握絕對值規律總結：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．2．（3分）（2015?湖州）當x=1時，代數式4﹣3x的值是（）A．1B．2C．3D．4考點：代數式求值．專題：計算題．分析：把x的值代入原式計算即可得到結果．解答：解：當x=1時，原式=4﹣3=1，故選A．點評：此題考查了代數式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．3．（3分）（2015?湖州）4的算術平方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．考點：算術平方根．分析：根據開方運算，可得一個數的算術平方根．解答：解：4的算術平方根是2，故選：B．點評：本題考查了算術平方根，注意一個正數只有一個算術平方根．4．（3分）（2015?湖州）若一個圓錐的側面展開圖是半徑為18cm，圓心角為240°的扇形，則這個圓錐的底面半徑長是（）A．6cmB．9cmC．12cmD．18cm考點：圓錐的計算．分析：利用弧長公式可得圓錐的側面展開圖的弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑．解答：解：圓錐的弧長為：=24π，∴圓錐的底面半徑為24π÷2π=12，故選C．點評：考查了圓錐的計算，用到的知識點為：圓錐的側面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長；5．（3分）（2015?湖州）已知一組數據的方差是3，則這組數據的標準差是（）A．9B．3C．D．考點：標準差；方差．分析：根據標準差是方差的算術平方根，即可得出答案．解答：解：∵數據的方差是S2=3，∴這組數據的標準差是；故選D．點評：本題考查了標準差，關鍵是掌握標準差和方差的關系，標準差即方差的算術平方根；注意標準差和方差一樣都是非負數．6．（3分）（2015?湖州）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC=5，DE=2，則△BCE的面積等于（）A．10B．7C．5D．4考點：角平分線的性質．分析：作EF⊥BC于F，根據角平分線的性質求得EF=DE=2，然后根據三角形面積公式求得即可．解答：解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC?EF=×5×2=5，故選C．點評：本題考查了角的平分線的性質以及三角形的面積，作出輔助線求得三角形的高是解題的關鍵．7．（3分）（2015?湖州）一個布袋內只裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外其余都相同，隨機摸出一個球后放回并攪勻，再隨機摸出一個球，則兩次摸出的球都是黑球的概率是（）A．B．C．D．考點：列表法與樹狀圖法．分析：列表將所有等可能的結果列舉出來，利用概率公式求解即可．解答：解：列表得：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）∵共9種等可能的結果，兩次都是黑色的情況有1種，∴兩次摸出的球都是黑球的概率為，故選D．點評：本題考查了列表法與樹狀圖法的知識，解決本題時采用了兩個獨立事件同時發生的概率等于兩個獨立事件單獨發生的概率的積，難度不大．8．（3分）（2015?湖州）如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，OA交小圓于點D，若OD=2，tan∠OAB=，則AB的長是（）A．4B．2C．8D．4考點：切線的性質．分析：連接OC，利用切線的性質知OC⊥AB，由垂徑定理得AB=2AC，因為tan∠OAB=，易得=，代入得結果．解答：解：連接OC，∵大圓的弦AB切小圓于點C，∴OC⊥AB，∴AB=2AC，∵OD=2，∴OC=2，∵tan∠OAB=，∴AC=4，∴AB=8，故選C．點評：本題主要考查了切線的性質和垂徑定理，連接過切點的半徑是解答此題的關鍵．9．（3分）（2015?湖州）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊AD，BC上，連結OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結論不成立的是（）A．CD+DF=4B．CD﹣DF=2﹣3C．BC+AB=2+4D．BC﹣AB=2考點：三角形的內切圓與內心；翻折變換（折疊問題）．分析：設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，證明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．設AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r=（a+b﹣c），所以c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得（舍去），從而求出a，b的值，所以BC+AB=2+4．再設DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，從而得到CD﹣DF=，CD+DF=．即可解答．解答：解：如圖，設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，∴OG=DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC，在△OMG和△GCD中，∴△OMG≌△GCD，∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．∵AB=CD，∴BC﹣AB=2．設AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r=（a+b﹣c），∴c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，解得（舍去），∴，∴BC+AB=2+4．再設DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，∴CD﹣DF=，CD+DF=．綜上只有選項A錯誤，故選A．點評：本題考查了三角形的內切圓和內心，切線的性質，勾股定理，矩形的性質等知識點的綜合應用，解決本題的關鍵是三角形內切圓的性質．10．（3分）（2015?湖州）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，點A是函數y=（x＜0）圖象上一點，AO的延長線交函數y=（x＞0，k是不等于0的常數）的圖象于點C，點A關于y軸的對稱點為A′，點C關于x軸的對稱點為C′，交于x軸于點B，連結AB，AA′，A′C′．若△ABC的面積等于6，則由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的圖形的面積等于（）A．8B．10C．3D．4考點：反比例函數綜合題．分析：過A作AD⊥x軸于D，連接OA′，設A（a，），C（b，），由△OAD∽△BCO，得到==，根據反比例函數的系數k的幾何意義得到S△ADO=，S△BOC=，求出k2=，得到k=﹣，根據S△ABC=S△AOB+S△BOC=（﹣）?b+=6，列出關于k的方程k2+k﹣12=0，求得k=3，由于點A關于y軸的對稱點為A′，點C關于x軸的對稱點為C′，得到OA′，OC′在同一條直線上，于是得到由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的圖形的面積=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10．解答：解：過A作AD⊥x軸于D，連接OA′，∵點A是函數y=（x＜0）圖象上一點，∴設A（a，），∵點C在函數y=（x＞0，k是不等于0的常數）的圖象上，∴設C（b，），∵AD⊥BD，BC⊥BD，∴△OAD∽△BCO，∴==，∵S△ADO=，S△BOC=，∴k2=，∴k=﹣，∵S△ABC=S△AOB+S△BOC=（﹣）?b+=6，∴k2﹣=12，∴k2+k﹣12=0，解得：k=3，k=﹣4（不合題意舍去），∵點A關于y軸的對稱點為A′，點C關于x軸的對稱點為C′，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，∴OA′，OC′在同一條直線上，∴S△OBC′=S△OBC==，∵S△OAA′=2S△OAD=1，∴由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的圖形的面積=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10．故選B．點評：本題考查了反比例函數的圖象的性質，系數k的幾何意義，相似三角形的判定和性質，軸對稱的性質，正確的理解軸對稱圖形的性質是解題的關鍵．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．（4分）（2015?湖州）計算：23×（）2=2．考點：有理數的乘方；有理數的乘法．分析：根據有理數的乘方，即可解答．解答：解：23×（）2=8×=2，故答案為：2．點評：本題考查了有理數的乘方，解決本題的關鍵是熟記有理數乘方的定義．12．（4分）（2015?湖州）放學后，小明騎車回家，他經過的路程s（千米）與所用時間t（分鐘）的函數關系如圖所示，則小明的騎車速度是0.2千米/分鐘．考點：函數的圖象．分析：根據函數圖象的縱坐標，可得路程，根據函數圖象的橫坐標，可得時間，根據路程與時間的關系，可得答案．解答：解：由縱坐標看出路程是2千米，由橫坐標看出時間是10分鐘，小明的騎車速度是2÷10=0.2（千米/分鐘），故答案為：0.2．點評：本題考查了函數圖象，觀察函數圖象的縱坐標得出路程，觀察函數圖象的橫坐標得出時間，利用了路程與時間的關系．13．（4分）（2015?湖州）在“爭創美麗校園，爭做文明學生”示范校評比活動中，10位評委給某校的評分情況下表所示：評分（分）80859095評委人數1252則這10位評委評分的平均數是89分．考點：加權平均數．分析：平均數的計算方法是求出所有數據的和，然后除以數據的總個數．解答：解：這10位評委評分的平均數是：（80+85×2+90×5+95×2）÷10=89（分）．故答案為89．點評：本題考查的是加權平均數的求法．本題易出現的錯誤是求80，85，90，95這四個數的平均數，對平均數的理解不正確．14．（4分）（2015?湖州）如圖，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，O是圓心，半徑OA=2，∠COD=120°，則圖中陰影部分的面積等于π．考點：扇形面積的計算．分析：圖中陰影部分的面積=半圓的面積﹣圓心角是120°的扇形的面積，根據扇形面積的計算公式計算即可求解．解答：解：圖中陰影部分的面積=π×22﹣=2π﹣π=π．答：圖中陰影部分的面積等于π．故答案為：π．點評：考查了扇形面積的計算，求陰影面積的主要思路是將不規則圖形面積轉化為規則圖形的面積．15．（4分）（2015?湖州）如圖，已知拋物線C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都經過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一交點分別為M，N，如果點A與點B，點M與點N都關于原點O成中心對稱，則稱拋物線C1和C2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解析式是y=﹣x2+2x和y=x2+2x．考點：二次函數圖象與幾何變換．專題：新定義．分析：連接AB，根據姐妹拋物線的二次項的系數互為相反數，一次項系數相等且不等于零，常數項都是零，設拋物線C1的解析式為y=ax2+bx，根據四邊形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等邊三角形，設OM=2，則點A的坐標是（1，），求出拋物線C1的解析式，從而求出拋物線C2的解析式．解答：解：連接AB，根據姐妹拋物線的定義，可得姐妹拋物線的二次項的系數互為相反數，一次項系數相等且不等于零，常數項都是零，設拋物線C1的解析式為y=ax2+bx，根據四邊形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，∵OA=MA，∴△AOM是等邊三角形，設OM=2，則點A的坐標是（1，），則，解得：則拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x，拋物線C2的解析式為y=x2+2x，故答案為：y=﹣x2+2x，y=x2+2x．點評：此題考查了二次函數的圖象與幾何變換，用到的知識點是姐妹拋物線的定義、二次函數的圖象與性質、矩形的判定，關鍵是根據姐妹拋物線的定義得出姐妹拋物線的二次項的系數、一次項系數、常數項之間的關系．16．（4分）（2015?湖州）已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3（如圖所示），以此類推…．若A1C1=2，且點A，D2，D3，…，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10的邊長是．考點：相似三角形的判定與性質；正方形的性質．專題：規律型．分析：延長D4A和C1B交于O，根據正方形的性質和三角形相似的性質即可求得各個正方形的邊長，從而得出規律，即可求得正方形A9C9C10D10的邊長．解答：解：延長D4A和C1B交于O，∵AB∥A2C1，∴△AOB∽△D2OC2，∴=，∵AB=BC1=1，DC2=C1C2=2，∴==∴OC2=2OB，∴OB=BC2=3，∴OC2=6，設正方形A2C2C3D3的邊長為x1，同理證得：△D2OC2∽△D3OC3，∴=，解得，x1=3，∴正方形A2C2C3D3的邊長為3，設正方形A3C3C4D4的邊長為x2，同理證得：△D3OC3∽△D4OC4，∴=，解得x2=，∴正方形A3C3C4D4的邊長為；設正方形A4C4C5D5的邊長為x3，同理證得：△D4OC4∽△D5OC5，∴=，解得x=，∴正方形A4C4C5D5的邊長為；以此類推…．正方形An﹣1Cn﹣1CnDn的邊長為；∴正方形A9C9C10D10的邊長為．故答案為．點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，求得前五個正方形的邊長得出規律是解題的關鍵．三、解答題（本題有8個小題，共66分）17．（6分）（2015?湖州）計算：．考點：分式的加減法．專題：計算題．分析：原式利用同分母分式的減法法則計算，約分即可得到結果．解答：解：原式===a+b．點評：此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．18．（6分）（2015?湖州）解不等式組．考點：解一元一次不等式組．分析：先求出每個不等式的解集，再根據找不等式組解集的規律找出不等式組的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x＜6，解不等式②得：x＞1，∴不等式組的解集為1＜x＜6．點評：本題考查了解一元一次不等式組的應用，解此題的關鍵是能根據不等式的解集求出不等式組的解集，難度適中．19．（6分）（2015?湖州）已知y是x的一次函數，當x=3時，y=1；當x=﹣2時，y=﹣4，求這個一次函數的解析式．考點：待定系數法求一次函數解析式．分析：一次函數解析式為y=kx+b，將x與y的兩對值代入求出k與b的值，即可確定出一次函數解析式．解答：解：設一次函數解析式為y=kx+b，將x=3，y=1；x=﹣2，y=﹣4代入得：，解得：k=1，b=﹣2．則一次函數解析式為y=x﹣2．點評：此題考查了待定系數法求一次函數解析式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．20．（8分）（2015?湖州）如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點C，AB交⊙O于點D，E為AC的中點，連結DE．（1）若AD=DB，OC=5，求切線AC的長；（2）求證：ED是⊙O的切線．考點：切線的判定與性質．分析：（1）連接CD，由直徑所對的圓周角為直角可得：∠BDC=90°，即可得：CD⊥AB，然后根據AD=DB，進而可得CD是AB的垂直平分線，進而可得AC=BC=2OC=10；（2）連接OD，先由直角三角形中線的性質可得DE=EC，然后根據等邊對等角可得∠1=∠2，由OD=OC，根據等邊對等角可得∠3=∠4，然后根據切線的性質可得∠2+∠4=90°，進而可得：∠1+∠3=90°，進而可得：DE⊥OD，從而可得：ED是⊙O的切線．解答：（1）解：連接CD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵AD=DB，OC=5，∴CD是AB的垂直平分線，∴AC=BC=2OC=10；（2）證明：連接OD，如圖所示，∵∠ADC=90°，E為AC的中點，∴DE=EC=AC，∴∠1=∠2，∵OD=OC，∴∠3=∠4，∵AC切⊙O于點C，∴AC⊥OC，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即DE⊥OD，∴ED是⊙O的切線．點評：此題考查了切線的判定與性質，解題的關鍵是：熟記切線的判定定理與性質定理，經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點的直徑．21．（8分）（2015?湖州）為了深化課程改革，某校積極開展校本課程建設，計劃成立“文學鑒賞”、“科學實驗”、“音樂舞蹈”和“手工編織”等多個社團，要求每位學生都自主選擇其中一個社團．為此，隨機調查了本校各年級部分學生選擇社團的意向，并將調查結果繪制成如下統計圖表（不完整）：選擇意向所占百分比文學鑒賞a科學實驗35%音樂舞蹈b手工編織10%其他c根據統計圖表中的信息，解答下列問題：（1）求本次調查的學生總人數及a，b，c的值；（2）將條形統計圖補充完整；（3）若該校共有1200名學生，試估計全校選擇“科學實驗”社團的學生人數．考點：條形統計圖；用樣本估計總體；統計表．分析：（1）先計算出本次調查的學生總人數，再分別計算出百分比，即可解答；（2）根據百分比，計算出文學鑒賞和手工編織的人數，即可補全條形統計圖；（3）用總人數乘以“科學實驗”社團的百分比，即可解答．解答：解：（1）本次調查的學生總人數是：70÷35%=200（人），b=40÷200=20%，c=10÷200=5%，a=1﹣（35%+20%+10%+5%）=30%．（2）文學鑒賞的人數：30%×200=60（人），手工編織的人數：10%×200=20（人），如圖所示，（3）全校選擇“科學實驗”社團的學生人數：1200×35%=420（人）．點評：本題考查條形統計圖，解決本題的關鍵是讀懂圖形，獲取相關信息．22．（10分）（2015?湖州）某工廠計劃在規定時間內生產24000個零件．若每天比原計劃多生產30個零件，則在規定時間內可以多生產300個零件．（1）求原計劃每天生產的零件個數和規定的天數；（2）為了提前完成生產任務，工廠在安排原有工人按原計劃正常生產的同時，引進5組機器人生產流水線共同參與零件生產，已知每組機器人生產流水線每天生產零件的個數比20個工人原計劃每天生產的零件總數還多20%．按此測算，恰好提前兩天完成24000個零件的生產任務，求原計劃安排的工人人數．考點：分式方程的應用；一元一次方程的應用．分析：（1）可設原計劃每天生產的零件x個，根據時間是一定的，列出方程求得原計劃每天生產的零件個數，再根據工作時間=工作總量÷工作效率，即可求得規定的天數；（2）可設原計劃安排的工人人數為y人，根據等量關系：恰好提前兩天完成24000個零件的生產任務，列出方程求解即可．解答：解：（1）設原計劃每天生產的零件x個，依題意有=，解得x=2400，經檢驗，x=2400是原方程的根，且符合題意．∴規定的天數為24000÷2400=10（天）．答：原計劃每天生產的零件2400個，規定的天數是10天；（2）設原計劃安排的工人人數為y人，依題意有[5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）=24000，解得y=480，經檢驗，y=480是原方程的根，且符合題意．答：原計劃安排的工人人數為480人．點評：考查了分式方程的應用，一元一次方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．此題等量關系比較多，主要用到公式：工作總量=工作效率×工作時間．23．（10分）（2015?湖州）問題背景已知在△ABC中，AB邊上的動點D由A向B運動（與A，B不重合），點E與點D同時出發，由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），邊結DE交AC于點F，點H是線段AF上一點．（1）初步嘗試如圖1，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D，E的運動速度相等．求證：HF=AH+CF．小五同學發現可以由以下兩種思路解決此問題：思路一：過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證DH=AH，再證GF=CF，從而證得結論成立；思路二：過點E作EM⊥AC，交AC的延長線于點M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而證得結論成立．請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程（如用兩種方法作答，則以第一種方法評分）；（2）類比探究如圖2，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，且D，E的運動速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如圖3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，記=m，且點D，E運動速度相等，試用含m的代數式表示（直接寫出結果，不必寫解答過程）．考點：相似形綜合題．分析：（1）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證明△ADG是等邊三角形，得出GD=AD=CE，再證明GH=AH，由ASA證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結論；（2）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證出AH=GH=GD，AD=GD，由題意AD=CE，得出GD=CE，再證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結論；（3）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證出DG=DH=AH，再證明△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出=m，=m，△DGH∽△ABC，得出=m，=m，證明△DFG∽△EFC，得出=m，=m，=，即可得出結果．解答：（1）證明（選擇思路一）：過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖1所示：則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∴∠ADG=∠AGD=∠A，∴△ADG是等邊三角形，∴GD=AD=CE，∵DH⊥AC，∴GH=AH，∵DG∥BC，∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GF=CF，∴GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF；（2）解：過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖2所示：則∠ADG=∠B=90°，∵∠BAC=∠ADH=30°，∴∠HGD=∠HDG=60°，∴AH=GH=GD，AD=GD，根據題意得：AD=CE，∴GD=CE，∵DG∥BC，∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GF=CF，∴GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF，∴=2；（3）解：，理由如下：過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖3所示：則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，∵∠ADH=∠BAC=36°，∴AH=DH，∠DHG=72°=∠AGD，∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，∴=m，=m，∴△DGH∽△ABC，∴=m，∴=m，∵DG∥BC，∴△DFG∽△EFC，∴=m，∴=m，即=m，∴=，∴===．點評：本題是相似形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需要通過作輔助線證明三角形全等或三角形相似才能得出結果．24．（12分）（2015?湖州）已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點D．（1）如圖1，若該拋物線經過原點O，且a=﹣．①求點D的坐標及該拋物線的解析式；②連結CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點E（1，1