第二十七章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性質(zhì)

新課講解

知識(shí)點(diǎn)1相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比合作探究

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比各是多少？ABCA'B'C'新課講解練一練1.如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比為2:3，那么對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比是

，對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)的比是______.2.

已知△ABC∽△A'B'C'，相似比為3:4，若BC邊上的高AD＝12cm，則B'C'邊上的高A'D'＝______.2:32:316cm新課講解如果△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，那么因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，從而結(jié)論相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.新課講解

知識(shí)點(diǎn)2相似三角形面積的比合作探究

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？ABCA'B'C'新課講解由前面的結(jié)論，我們有ABCA'B'C'D'D新課講解結(jié)論相似三角形面積的比等于相似比的平方．課堂小結(jié)相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形的性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比當(dāng)堂小練1.判斷：(1)一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)也擴(kuò)大為原來(lái)的5倍

()(2)一個(gè)四邊形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，這個(gè)四邊形的面積也擴(kuò)大為原來(lái)的9倍

()√×當(dāng)堂小練3.

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段把三角形截成的一個(gè)小三角形與原三角形的周長(zhǎng)比等于______，面積比等于_____.1:21:42.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中線(xiàn)，若AP＝2，則DQ的值為()A．2B．4C．1D.C如圖，兩個(gè)三角形相似，則：相似比k＝對(duì)應(yīng)邊的比＝

的比＝

的比＝

的比．

對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)對(duì)應(yīng)中線(xiàn)相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的性質(zhì)對(duì)應(yīng)高小結(jié)：一般地，相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比.(1)對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比等于

；

(2)對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于

；

(3)對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)的比等于

．

2∶3

2∶3

1．(人教9下P37、北師9上P106)如圖，若△ABC∽△DEF，相似比為2∶3，則：

2∶3

相似三角形周長(zhǎng)的比＝

．

相似三角形周長(zhǎng)的性質(zhì)相似比2．若△ABC∽△DEF，周長(zhǎng)比為2∶1，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．相似比為2∶1 B．對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比為2∶1C．對(duì)應(yīng)角的比為2∶1 D．對(duì)應(yīng)高的比為2∶1C相似三角形面積的比＝

．

相似三角形面積的性質(zhì)相似比的平方

C小結(jié)：相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段、周長(zhǎng)和面積的性質(zhì)的簡(jiǎn)單綜合，注意其中只有面積比不同.4．【例1】若△ABC∽△DEF，面積比為9∶1，則下列說(shuō)法正確的是(

)A．相似比為9∶1 B．對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比為9∶1C．周長(zhǎng)比為9∶1 D．對(duì)應(yīng)角的比為1∶1D小結(jié)：應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)求三角形的面積比.

B6．【例3】如圖，在?ABCD中，E是CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，且AF＝2FD．(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)若△CEB的面積為9，求?ABCD的面積．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，在△ABF和△CEB中，∠A＝∠C，∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB．(2)解：∵AF＝2FD，∴AD＝3FD，∴DF∶BC＝1∶3，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2，S△BCE∶S△FDE＝BC2∶FD2，∵△CEB的面積為9，∴△FDE的面積為1，∴△ABF的面積為4，∴?ABCD的面積＝9－1＋4＝12．(2)若△CEB的面積為9，求?ABCD的面積．小結(jié)：求面積的一種新方法——應(yīng)用相似三角形面積的性質(zhì).

D

C

(2)若S△ADE＝S四邊形DBCE，則AD∶DB等于多少？

據(jù)傳說(shuō)，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽(yáng)光線(xiàn)構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來(lái)測(cè)量金字塔的高度.知識(shí)點(diǎn)1利用相似三角形測(cè)量高度知識(shí)探究素養(yǎng)考點(diǎn)1利用相似三角形測(cè)量高度知識(shí)探究解：太陽(yáng)光是平行的光線(xiàn),因此∠BAO=∠EDF.因此金字塔的高為134m.又∠AOB=∠DFE=90°，例1、如圖，木桿EF長(zhǎng)2m，它的影長(zhǎng)FD為3m，測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO.∴△ABO∽△DEF.AFEBO┐┐還可以有其他測(cè)量方法嗎？△ABO∽△AEF平面鏡【想一想】知識(shí)探究知識(shí)探究測(cè)高方法二：可以用“利用鏡子的反射測(cè)量高度”的原理解決.【歸納總結(jié)】測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度2.如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P

處放一水平的平面鏡，光線(xiàn)從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻的頂端C

處，已知AB=2米，且測(cè)得

BP=3米，DP=12米，那么該古城墻的高度是（）A.6米B.8米C.18米D.24米B知識(shí)探究素養(yǎng)考點(diǎn)2利用相似三角形測(cè)量寬度知識(shí)探究

如圖，為了估算河的寬度,我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P，Q,S共線(xiàn)且直線(xiàn)PS與河垂直,接著在過(guò)點(diǎn)S且與PS垂直的直線(xiàn)a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T,RT確定PT與過(guò)點(diǎn)Q且垂直P(pán)S的直線(xiàn)b的交點(diǎn)R.已測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù),計(jì)算河寬PQ.知識(shí)探究分析：設(shè)河寬PQ長(zhǎng)xm,由于此種測(cè)量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線(xiàn)，故可得到_______∽_______，△PST△PQR再解x的方程可求出河寬．因此有即已測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù),計(jì)算河寬PQ.知識(shí)探究解：

設(shè)河寬PQ長(zhǎng)Xm，依題意得：a//b∴△PST∽△PQR∴∴解得X=90

因此河寬為90m。經(jīng)檢驗(yàn)：X=90是原分式方程的解。已測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù),計(jì)算河寬PQ.【討論】測(cè)量前面例題中的河寬，你還有哪些方法？【方法總結(jié)】利用相似測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，構(gòu)造的相似三角形可以為“A”字型，也可以為“X”字型，并測(cè)量出必要的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出所要求的兩點(diǎn)間的距離．知識(shí)探究鞏固練習(xí)3.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后，再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線(xiàn)確定BC和AE的交點(diǎn)D．

此時(shí)如果測(cè)得BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求兩岸間的大致距離AB．EADCB30m24m80m鞏固練習(xí)解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

解得AB=64.因此，兩岸間的大致距離為64m.EADCB30m24m80m鞏固練習(xí)測(cè)量如河寬等不易直接測(cè)量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.【歸納總結(jié)】例3

已知左、右并排的兩棵大樹(shù)的高分別是AB＝8m和CD＝12m，兩樹(shù)底部的距離BD＝5m．一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距地面1.6m.她沿著正對(duì)這兩棵樹(shù)的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹(shù)的距離小于多少時(shí)，就不能看到右邊較高的樹(shù)的頂端點(diǎn)C了？分析：如圖（1），設(shè)觀察者眼睛的位置為點(diǎn)F，畫(huà)出觀察者的水平視線(xiàn)FG，分別交AB、CD于點(diǎn)H、K．視線(xiàn)FA、FG的夾角∠AFH是觀察點(diǎn)A時(shí)的仰角.類(lèi)似地，∠CFK是觀察點(diǎn)C時(shí)的仰角．由于樹(shù)的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域（盲區(qū)）之內(nèi)．素養(yǎng)考點(diǎn)3利用相似三角形測(cè)量有遮擋的物體圖（1）仰角水平線(xiàn)視線(xiàn)知識(shí)探究解：如圖（2），假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)E與兩棵樹(shù)頂端點(diǎn)A、C恰在一條直線(xiàn)上．由題意可知，AB⊥l，CD⊥l∴AB∥CD，△AEH∽△CEK即解得EH＝8（m）由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，即她與左邊樹(shù)的距離小于8m時(shí)，由于這棵樹(shù)的遮擋，右邊樹(shù)的頂端點(diǎn)C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，觀察者看不到它．圖（2）∴知識(shí)探究【討論】利用相似來(lái)解決測(cè)量物體高度的問(wèn)題的一般思路是怎樣的?【方法總結(jié)】一般情況下，可以從人眼所在的部位向物體作垂線(xiàn)，根據(jù)人、物體都與地面垂直構(gòu)造相似三角形數(shù)學(xué)模型，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等解決問(wèn)題．知識(shí)探究4.

如圖，AD⊥AB，EF⊥AB，BC⊥AB，DH⊥BC，DH交EF于G點(diǎn)，則AD＝_____＝_____，圖中的相似三角形是______∽______．EGBH△DGF△DHC鞏固練習(xí)1.

如圖，要測(cè)量旗桿AB

的高度，可在地面上豎一根竹竿DE，測(cè)量出DE

的長(zhǎng)以及DE

和AB

在同一時(shí)刻下地面上的影長(zhǎng)即可，則下面能用來(lái)求AB長(zhǎng)的等式是（）

A．B．

C．D．C課堂檢測(cè)2.

如圖，九年級(jí)某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)身高1.6米的楚陽(yáng)同學(xué)站在C

處時(shí)，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，同一時(shí)刻，其他成員測(cè)得AC=2米，AB=10米，則旗桿的高度是____米．

8課堂檢測(cè)3.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后，再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線(xiàn)確定BC和AE的交點(diǎn)D．

此時(shí)如果測(cè)得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．EADCB60m50m120m課堂檢測(cè)解：∵∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴

，即，解得AB=100(m).因此，兩岸間的大致距離為100m.EADCB60m50m120m課堂檢測(cè)

4.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來(lái)測(cè)量操場(chǎng)旗桿AB的高度，他們通過(guò)調(diào)整測(cè)量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線(xiàn)上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測(cè)點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度.ABCDGEF課堂檢測(cè)ABCDGEF解：由題意可得：△DEF∽△DCA，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，則

解得：AC=10，AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）.答：旗桿的高度為11.5m.∴

課堂檢測(cè)

5.如圖，某一時(shí)刻，旗桿AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上．小明測(cè)得旗桿AB在地面上的影長(zhǎng)BC為9.6m，在墻面上的影長(zhǎng)CD為2m．同一時(shí)刻，小明又測(cè)得豎立于地面長(zhǎng)1m的標(biāo)桿的影長(zhǎng)為1.2m．請(qǐng)幫助小明求出旗桿的高度．ABCD課堂檢測(cè)解：如圖：過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一時(shí)刻