第二十六章26.1.1反比例函數傳授新知知識探究

一般地,形如_________(k為常數，且k≠0)的函數，叫做反比例函數，其中x是自變量，y是函數，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數．y＝kx-1或xy=k(k≠0)反比例函數的解析式還可寫成：1.為什么k≠0,2.為什么x≠0?想一想反比例函數：素養考點1利用反比例函數的定義求字母的值知識探究解：(1)∵y是x的正比例函數

∴m=-1∴m2+m-1=1且m2+2m≠0∴m1=-2,m2=1且m≠0,m≠-2∴m=1(2)∵y是x的反比例函數∴m2+m-1=-1且m2+2m≠0∴m1=0,m2=-1且m≠0,m≠-2【例1】已知函數

(1)若y是x的正比例函數,求m的值；

(2)若y是x的反比例函數,求m的值；

2.(1)當m=_____時，函數是反比例函數.

(2)已知函數是反比例函數,則m=_______.1.56(3)若函數是反比例函數,則m的值為______.2鞏固練習例2

已知y是x的反比例函數，并且當x=2時，y=6.(1)寫出y關于x的函數解析式；分析：因為y是x的反比例函數，所以設.把x=2和y=6代入上式，就可求出常數k的值.解：(1)設.因為當x=2時，y=6，所以有

解得k=12.

因此

素養考點2利用待定系數法求反比例函數的解析式(2)當x=4時，求y的值.(2)把x=4

代入，得知識探究用待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟是：（1）設，即設所求的反比例函數解析式為（k≠0）．（2）代，即將已知條件中對應的x、y值代入中得到關于k的方程．（3）解，即解方程，求出k的值．（4）定，即將k值代入中，確定函數解析式．歸納總結知識探究3.已知y與x+1成反比例，并且當x=3時，y=4.(1)寫出y關于x的函數解析式；(2)當x=7時，求y的值．解：(1)設，因為當x=3時，y=4，所以有，解得k=16，因此.

(2)當x=7時，鞏固練習

人的視覺機能受運動速度的影響很大，行駛中司機在駕駛室內觀察前方物體是動態的，車速增加，視野變窄.當車速為50km/h時，視野為80度，如果視野f(度)是車速v(km/h)的反比例函數，求f關于v的函數解析式，并計算當車速為100km/h時視野的度數.當v=100時，f=40.所以當車速為100km/h時視野為40度.解：設.由題意知，當v=50時，f=80，解得

k=4000.

因此所以知識點2建立反比例函數的模型解答問題知識探究4.

如圖，已知菱形ABCD的面積為180，設它的兩條對角線AC，BD的長分別為x，y.寫出變量y與x之間的關系式，并指出它是什么函數.ABCD解:因為菱形的面積等于兩條對角線長乘積的一半，所以

所以變量y與x之間的關系式為，它是反比例函數.鞏固練習1.下列函數：（1），（2），（3）xy=9，（4），（5），（6）

y=2x－1，（7），其中是反比例函數的是_____________．

（2）（3）（5）課堂檢測3．矩形的面積為4，一條邊的長為x，另一條邊的長為y，則y與x的函數解析式為

．2．蘋果每千克x元，花10元錢可買y千克的蘋果，則y與x之間的函數解析式為_________．課堂檢測4．若函數是反比例函數，則m的取值是

．35．已知y與x成反比例，且當x=－2時，y=3，則

y與x之間的函數解析式是

，當x=－3時，y=

．2課堂檢測k≠2且k≠-1±16.當m=_____時,y=2x|m|-2是反比例函數.7.已知函數是反比例函數,則k滿足_____________.8.已知函數y=(2m2+m-1)x2m2+3m-3是反比例函數,則m=____.9.若是反比例函數,則m=______.

10.如圖,已知菱形ABCD的面積為180,設它的兩條對角線AC、BD的長分別為x、y.寫出變量y與x之間的關系式_______.-1-2ABCD課堂檢測11.如果y是z的正比例函數,z是x的反比例函數,那么y與x具有怎樣的函數關系？解：設y=k1z,∴y是x的反比例函數.課堂檢測12.已知y=y1+y2,y1與(x-1)成正比例,y2與(x+1)成反比例,當x=0時,y=-3；當x=1時,y=-1，求：(1)y關于x的關系式；(2)當x=時,y的值.解:(1)設∵y=y1+y2∴把x=0,y=-3和x=1,y=-1代入上式,得：解得：k1=1k2=2∴(2)當x=時,課堂檢測13.如圖：⊙O的直徑AB=12,AM和BN是它的兩條切線,DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C,設AD=x,BC=y,求y與x的函數關系式；HACDBEMON解:過D作DH⊥BC于點H，∵AM、BN和DE都是⊙O的切線,∴AM⊥AB,BN⊥AB；DE=AD=x,EC=BC=y.∴四邊形ABHD為矩形；CD=DE+CE=x+y.∴BH=AD=x,DH=AB=12.由勾股定理得：DH2+HC2=CD2.∴122+(y-x)2=(x+y)2.∴CH=BC-BH=y-x.∴xy=36.課堂檢測14.李貝說：“如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是BC邊上一動點,過D作DE⊥AP于E,設AP=x(6≤x≤10),DE=y,則y是x的反比例函數嗎？”你認為李貝的說法正確嗎？若正確,請給出證明；若不正確,請說明理由.ADEPCB解:連接DP，S△ADP=0.5AD·AB=0.5AP·DE即：0.5×8·6=0.5x·y1.下列函數中哪些是反比例函數？

①②③④

⑤⑥⑦⑧

y=3x-1y=2x2y=x1y=2x3y=3xy=x1y=13xy=32x2.上節課我們學的反比例函數解析式是什么？

自變量x的取值范圍是什么？函數y的取值范圍是什么？x≠0，y≠0。（k≠0，k是常數。）

回顧與思考

回顧與思考正比例函數y=kx(k≠0)的圖象是y隨x的增大而增大;xyoxyoy隨x的增大而減小.當k>0時,當k<0時,

一條直線

知識點

反比例函數的圖象和性質合作探究例

畫反比例函數與的圖象.提示：畫函數的圖象步驟一般分為：列表→描點→連線.

需要注意的是在反比例函數中自變量x不能為0.解：列表如下：x…－6－5－4－3－2－1123456……………－1－1.2－1.5－2－3－66321.51.21－2－2.4－3－4－66432.42

x…………y=x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy16233241.561-1-6-2-3-3-1.5-2-4-6-1y=x6畫圖象時應注意：1.列表時,注意自變量的取值.2.線連時，必須用光滑的曲線連接各點,不能用折線連接．因為x≠0，所以連線在x=0處斷開.3.圖象是延伸的，注意不要畫的有明確端點．4.曲線的發展趨勢只能靠近坐標軸,但不能和坐標軸相交問題1畫出反比例函數的圖象.雙曲線圖象是什么形狀？畫圖象應注意哪些問題？新課進行時核心知識點ykx=（k＞0）圖像和性質612x612-6-12-6-12yO問題2在同一坐標系內畫出反比例函數的圖象

x…………-12-6-4-3-2-11234612-1-2-3-4-6-121264321問題3觀察反比例函數與的圖象，思考:①它們的圖象有什么共同特征？②在每一個象限內，y隨x的變化是如何變化的？歸納：1.反比例函數與的圖象都有兩支，分別位于第一、第三象限；2.在每一象限內，y隨x的增大而減小.y

減小x增大新課進行時O－256xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6觀察這兩個函數圖象，回答問題：(1)每個函數圖象分別位于哪些象限？(2)在每一個象限內，隨著x的增大，y如何變化？你能由它們的解析式說明理由嗎？(3)對于反比例函數(k＞0)，考慮問題(1)(2)，你能得出同樣的結論嗎？y也為負y也為正x為正時

x…………-12-6-4-3-2-11234612-1-2-3-4-6-121264321在每一象限內（每一支），y隨x的增大而減小.y逐漸減小x逐漸增大x為負時x逐漸增大y逐漸減小y也為正x為正時y也為負x為負時函數圖象有兩支位于第一象限位于第三象限（+，+）（-，-）x≠0新課進行時Oxy對于反比例函數

(k＞0),你能得到同樣的性質嗎？反比例函數(k＞0)的圖象和性質：●由兩條曲線組成，且分別位于第一、三象限，它們與x軸、y軸都不相交；●在每個象限內，y隨x的增大而減小.【反思小結】由于雙曲線的兩個分支在兩個不同的象限內，因此函數y隨x的增減性就不能連續的看，一定要強調“在每一象限內”，否則，籠統說當k＞0時，y隨x的增大而減小，從而出現錯誤.

歸納新課進行時練一練

反比例函數

的圖象大致是()。CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo練一練已知反比例函數的圖象過點(－2，－3)，函數圖象上有兩點A(，y1)，B(5，y2)，則y1與y2的大小關系為。()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.無法確定C提示：由題可知反比例函數的解析式為，因為6＞0，且A，B兩點均在該函數圖象的第一象限部分，根據>5，可知y1，y2的大小關系.(1)函數

圖象在第_______象限，在每個象限內，

y隨x的增大而

______.一、三減小(2)已知反比例函數在每一個象限內，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是_____.

m＞2做一做：觀察與思考

當k=－6，－12，時，反比例函數的圖象，有哪些共同特征？回顧上面我們利用函數圖象，從特殊到一般研究反比例函數(k＞0)的性質的過程，你能用類似的方法研究反比例函數(k＜0)的圖象和性質嗎？

問題

在同一坐標系內畫出反比例函數和的圖象．問題

觀察圖象思考：xyO66-6-6-12-1212121.函數圖象有什么共同特征？2.在每一象限內，y隨x的變化是如何變化的？

歸納：1.反比例函數與的圖象有兩支，分別位于第二、四象限；2.在每一象限內，y隨x的增大而增大.新課進行時y為正y為負x為正時

x…………-12-6-4-3-2-112346121234612-12-6-4-3-2-1在每一象限內（每一支），y隨x的增大而增大.y逐漸增大x逐漸增大x為負時x逐漸增大y逐漸增大y為負x為正時y為正x為負時函數圖象有兩支位于第四象限位于第二象限（-，+）（+，-）x≠0新課進行時問題這些反比例函數的圖象有什么共同特點？有什么不同點？不同點是由什么決定的？歸納：反比例函數圖象由兩條曲線組成，它是雙曲線.k＞0k＜0雙曲線的兩支分別位于第一、三象限.雙曲線的兩支分別位于第二、四象限.在每一個象限內，y隨x的增大而減小.在每一個象限內，y隨x的增大而增大.y612x612-6-12-6OxyO66-6-6-12-121212k＞0k＜0新課進行時歸納一般地，反比例函數的圖象是雙曲線，它具有以下性質：(1)當k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減小；(2)當k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大.k的正負決定反比例函數所在的象限和增減性.(1)由于x≠0，y≠0，所以反比例函數的圖象與坐標軸沒有交點(不經過原點).(2)在描述反比例函數的增減性時，必須指明是“在每一個象限內”.(3)反比例函數圖象的位置和函數的增減性由k的符號決定；反之，由雙曲線的位置或函數的增減性可確定k的符號.例典例分析

點(2，y1)和(3，y2)在函數上，則y1

y2

(填“>”“<”或“=”).<例方法總結：已知某個函數為反比例函數，只需要根據反比例函數的定義列出方程(組)求解即可.已知反比例函數，y隨x的增大而增大，求a的值.解：由題意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.無法確定C

反比例函數的圖象上有兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且點A，B均在該函數圖象的第一象限部分，若x1＞x2，則y1與y2的大小關系為（）。

解析：因為8＞0，且A，B兩點均在該函數圖象的第一象限部分，根據x1＞x2，可知y1，y2的大小關系.考點利用反比例函數的性質比較大小已知點A（－3，a），B（－2，b），在雙曲線，則a___b(填>、=或<).

>已知點(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函數（k≠0)的圖象上,則下列結論中正確的是()。

A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y1>y2

D.y2>y3>y1B已知反比例函數在每個象限內，y隨著x的增大而減小，求m的值．解：由題意得m2－10=－1，且3m－8＞0．解得m=3.A：xyoB：xyoD：xyoC：xyo1、反比例函數y=的圖象大致是（）

C隨堂演練2.函數的圖象在第________象限,在每一象限內，y隨x的增大而_________.3.已知反比例函數若函數的圖象位于第一、三象限，則k_________;若在每一象限內，y隨x增大而減小，則k_______.4.若點（2，y1）、（1，y2）在反比例函數