PAGEPAGE1第一部分保分專題三空間位置與空間計算A組小題提速練一、選擇題1．已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若E，F(xiàn)，G，H四點不共面，則直線EF和GH確定不相交，但直線EF和GH不相交，E，F(xiàn)，G，H四點可以共面，例如EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要條件．答案：B2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出四個命題：①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中正確的命題是()A．①② B．②③C．①④ D．②④解析：兩個平面斜交時也會出現(xiàn)一個平面內(nèi)的直線垂直于兩個平面的交線的狀況，①不正確；垂直于同一條直線的兩個平面平行，②正確；當(dāng)兩個平面與兩條相互垂直的直線分別垂直時，它們所成的二面角為直二面角，故③正確；當(dāng)兩個平面相交時，分別與兩個平面平行的直線也平行，故④不正確．答案：B3.如圖，在三棱錐P-ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因為平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能推斷出AP⊥BC，故選B.答案：B4．已知α，β表示兩個不同平面，a，b表示兩條不同直線，對于下列兩個命題：①若b?α，a?α，則“a∥b”是“a∥α”的充分不必要條件；②若a?α，b?α，則“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要條件．推斷正確的是()A．①②都是真命題B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題D．①②都是假命題解析：若b?α，a?α，a∥b，則由線面平行的判定定理可得a∥α，反過來，若b?α，a?α，a∥α，則a，b可能平行或異面，則b?α，a?α，“a∥b”是“a∥α”的充分不必要條件，①是真命題；若a?α，b?α，α∥β，則由面面平行的性質(zhì)可得a∥β，b∥β，反過來，若a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α，β可能平行或相交，則a?α，b?α，則“α∥β”是“a∥β，b∥β”的充分不必要條件，②是假命題，選項B正確．答案：B5.如圖是一幾何體的平面綻開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面4個結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：將綻開圖還原為幾何體(如圖)，因為E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，所以EF∥AD∥BC，即直線BE與CF共面，①錯；因為B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE與AF是異面直線，②正確；因為EF∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不確定垂直，④錯．故選B.答案：B6．在下列四個正方體中，能得出異面直線AB⊥CD的是()解析：對于A，作出過AB的平面ABE，如圖①，可得直線CD與平面ABE垂直，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)知，AB⊥CD成立，故A正確；對于B，作出過AB的等邊三角形ABE，如圖②，將CD平移至AE，可得CD與AB所成的角等于60°，故B不成立；對于C、D，將CD平移至經(jīng)過點B的側(cè)棱處，可得AB，CD所成的角都是銳角，故C和D均不成立．故選A.答案：A7．(2024·貴陽一中適應(yīng)性考試)已知l為平面α內(nèi)的一條直線，α，β表示兩個不同的平面，則“α⊥β”是“l(fā)⊥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：若l為平面α內(nèi)的一條直線且l⊥β，則α⊥β，反過來則不確定成立，所以“α⊥β”是“l(fā)⊥β”的必要不充分條件，故選B.答案：B8．(2024·廣州模擬)用a，b，c表示空間中三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；②若a∥b，a∥c，則b∥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b.其中真命題的序號是()A．①② B．②③C．①④ D．②④解析：對于①，正方體從同一頂點引出的三條直線a，b，c，滿意a⊥b，b⊥c，但是a⊥c，所以①錯誤；對于②，若a∥b，a∥c，則b∥c，滿意平行線公理，所以②正確；對于③，平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系可能是平行、相交或者異面，所以③錯誤；對于④，由垂直于同一平面的兩條直線平行，知④正確．故選D.答案：D9.(2024·菏澤模擬)如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.故選B.答案：B10.(2024·貴陽模擬)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的內(nèi)心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心解析：由題意可知PA、PE、PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O為△AEF的垂心．故選A.答案：A11．已知點E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E與C1F上的點，則滿意與平面ABCD平行的直線A．0條 B．1條C．2條 D．多數(shù)條解析：如圖所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于點N，M，連接MN，由面面平行的性質(zhì)得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有多數(shù)多個，所以平行于平面ABCD的MN有多數(shù)多條，故選D.答案：D12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADEA．BM是定值B．點M在某個球面上運動C．存在某個位置，使DE⊥A1D．MB∥平面A1DE解析：取CD的中點F，連接MF，BF，AF(圖略)，則MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正確．∵∠A1DE＝∠MFB，MF＝eq\f(1,2)A1D，F(xiàn)B＝DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB，∴MB是定值，故A正確．∵B是定點，BM是定值，∴M在以B為球心，MB為半徑的球上，故B正確．∵A1C在平面ABCD中的射影是點C與AF上某點的連線，不行能與DE垂直，∴不存在某個位置，使DE⊥A1C.故選C.答案：C二、填空題13.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線MN與AC所成的角為60°.其中正確的結(jié)論為________(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上)．解析：AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線．因為D1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，為60°.答案：③④14．如圖是一個正方體的平面綻開圖．在這個正方體中，①BM與ED是異面直線；②CN與BE平行；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．解析：由題意畫出該正方體的圖形如圖所示，連接BE，BN，明顯①②正確；對于③，連接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN與BM成60°角，所以③正確；對于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正確．答案：①②③④15.如圖，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確命題的序號是________．解析：∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，∴CB⊥PA，CB⊥AC，又PA∩AC＝A，∴CB⊥平面PAC.又AF?平面PAC，∴CB⊥AF.又∵F是點A在PC上的射影，∴AF⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，∴AF⊥平面PBC，故①③正確．又∵E為A在PB上的射影，∴AE⊥PB，∴PB⊥平面AEF，故②正確．而AF⊥平面PCB，∴AE不行能垂直于平面PBC.故④錯．答案：①②③16．如圖所示，在四棱錐PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形，則異面直線CD與PB所成角的大小為________．解析：如圖所示，延長DA至E，使AE＝DA，連接PE，BE.∵∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，∴DE＝BC，DE∥BC.∴四邊形CBED為平行四邊形，∴CD∥BE.∴∠PBE就是異面直線CD與PB所成的角．在△PAE中，AE＝PA，∠PAE＝120°，由余弦定理，得PE＝eq\r(PA2＋AE2－2PA·AEcos∠PAE)＝eq\r(AE2＋AE2－2AE·AE·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)AE.在△ABE中，AE＝AB，∠BAE＝90°，∴BE＝eq\r(2)AE.∵△PAB是等邊三角形，∴PB＝AB＝AE，∴PB2＋BE2＝AE2＋2AE2＝3AE2＝PE2，∴∠PBE＝90°.答案：90°B組大題規(guī)范練1．(2024·臨沂模擬)如圖①，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝4，E是邊AD上一點，且AE＝3，把△ABE沿BE翻折，使得點A到A′滿意平面A′BE與平面BCDE垂直(如圖②)．(1)若點P在棱A′C上，且CP＝3PA′，求證：DP∥平面A′BE；(2)求二面角B-A′E-D的余弦值的大小．解析：(1)證明：過P作PQ∥BC交A′B于點Q.如圖所示．因為CP＝3PA′，所以eq\f(PQ,BC)＝eq\f(A′P,A′C)＝eq\f(1,4)，因為BC＝4，所以PQ＝1，因為DE∥BC，DE＝1，所以DE綊PQ，所以四邊形QEDP為平行四邊形，所以DP∥EQ.因為DP?平面A′BE，EQ?平面A′BE，所以DP∥平面A′BE.(2)如圖，過A′作A′F⊥BE于點F，因為平面A′BE⊥平面BCDE.所以A′F⊥平面BCDE.因為∠BA′E＝90°，A′B＝eq\r(3)，A′E＝3，所以∠A′EB＝30°，A′F＝eq\f(3,2)，EF＝eq\f(3\r(3),2)，過F作FG⊥DE交DE的延長線于點G，則FG＝eq\f(3\r(3),4)，EG＝eq\f(9,4).如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，D(0,0,0)，E(1,0,0)，B(4，eq\r(3)，0)，C(0，eq\r(3)，0)，A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(3\r(3),4)，\f(3,2)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(3\r(3),4)，0))，則eq\o(EA′,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(3\r(3),4)，\f(3,2)))，eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(3\r(3),4)，0))，eq\o(DE,\s\up10(→))＝(1,0,0)．設(shè)平面A′BE的法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up10(→))＝0，,n·\o(EA′,\s\up10(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)x＋\f(3\r(3),4)y＝0，,\f(9,4)x＋\f(3\r(3),4)y＋\f(3,2)z＝0，))可取n＝(1，－eq\r(3)，0)．設(shè)平面A′DE的法向量m＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(DE,\s\up10(→))＝0，,m·\o(EA′,\s\up10(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,\f(9,4)x1＋\f(3\r(3),4)y1＋\f(3,2)z1＝0，))可取m＝(0,2，－eq\r(3))．所以cos〈m，n〉＝eq\f(－2\r(3),\r(1＋3)×\r(4＋3))＝－eq\f(\r(21),7).因為二面角B-A′E-D為鈍角，所以二面角B-A′E-D的余弦值的大小為－eq\f(\r(21),7).2.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝eq\r(6)，AB＝4.(1)求證：M為PB的中點；(2)求二面角B-PD-A的大小；(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．解析：(1)證明：如圖，設(shè)AC，BD的交點為E，連接ME.因為PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因為底面ABCD是正方形，所以E為BD的中點．所以M為PB的中點．(2)取AD的中點O，連接OP，OE.因為PA＝PD，所以O(shè)P⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP?平面PAD，所以O(shè)P⊥平面ABCD.因為OE?平面ABCD，所以O(shè)P⊥OE.因為底面ABCD是正方形，所以O(shè)E⊥AD.以O(shè)為原點，以eq\o(OD,\s\up10(→))，eq\o(OE,\s\up10(→))，eq\o(OP,\s\up10(→))為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則P(0,0，eq\r(2))，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，eq\o(BD,\s\up10(→))＝(4，－4,0)，eq\o(PD,\s\up10(→))＝(2,0，－eq\r(2))．設(shè)平面BDP的一個法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up10(→))＝0，,n·\o(PD,\s\up10(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4y＝0，,2x－\r(2)z＝0.))令x＝1，得y＝1，z＝eq\r(2).于是n＝(1,1，eq\r(2))．又平面PAD的一個法向量為p＝(0,1,0)，所以cos〈n，p〉＝eq\f(n·p,|n||p|)＝eq\f(1,2).由題知二面角B-PD-A為銳角，所以二面角B-PD-A的大小為60°.(3)由題意知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2，\f(\r(2),2)))，C(2,4,0)，則eq\o(MC,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(\r(2),2))).設(shè)直線MC與平面BDP所成角為α，則sinα＝|cos〈n，eq\o(MC,\s\up10(→))〉|＝eq\f(|n·\o(MC,\s\up10(→))|,|n||\o(MC,\s\up10(→))|)＝eq\f(2\r(6),9).所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為eq\f(2\r(6),9).3.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求證：AD⊥平面BFED；(2)點P在線段EF上運動，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試求θ的最小值．解析：(1)證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2.∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝3.∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE?平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.(2)由(1)知，直線AD，BD，ED兩兩垂直，故以D為原點，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令EP＝λ(0≤λ≤eq\r(3))，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，P(0，λ，1)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－1，eq\r(3)，0)，eq\o(BP,\s\up10(→))＝(0，λ－eq\r(3)，1)．設(shè)n1＝(x，y，z)為平面PAB的法向量，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AB,\s\up10(→))＝0，,n1·\o(BP,\s\up10(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋\r(3)y＝0，,λ－\r(3)y＋z＝0，))取y＝1，則n1＝(eq\r(3)，1，eq\r(3)－λ)．∵n2＝(0,1,0)是平面ADE的一個法向量，∴cosθ＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(1,\r(3＋1＋\r(3)－λ2)×1)＝eq\f(1,\r(λ－\r(3)2＋4)).∵0≤λ≤eq\r(3)，∴當(dāng)λ＝eq\r(3)時，cosθ有最大值eq\f(1,2)，∴θ的最小值為60°.4.在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，BC＝1，AC＝eq\r(3)，AC⊥BC.(1)求點B到平面PAC的距離．(2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值．解析：(1)以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取AB的中點D，連接PD，DC，因為△ACB為直角三角形且AC＝eq\r(3)，BC＝1，所以AB＝2，故DC＝1，所以△PAB為正三角形，所以PD⊥AB且PD＝eq\r(3)，在△PDC中，PC＝2，PD＝eq\r(3)，DC＝1，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC，又AB∩DC＝D，所以PD⊥平面ABC.則A(eq\r(3)，0,0)，B(0,1,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，\r(3)))，C(0,0,0)，eq\o(CA,\s\up10(→))＝(eq\r(3)，0,0)，eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，eq\o(CP,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，\r(3)))，eq\o(CB,\s\up10(→))＝(0,1,0)，設(shè)平面PAC的法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(CA,\s\up10(→))＝\r(3)x＝0，,n·\o(CP,\s\up10(→))＝\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y＋\r(3)z＝0，))取y＝2eq\r(3)，得n＝(0,2eq\r(3)，－1)，所以點B到平面PAC的距離d＝eq\f(|\o(CB,\s\up10(→))·n|,|n|)＝eq\f(2\r(3),\r(13))＝eq\f(2\r(39),13).(2)eq\o(PA,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，－\r(3)))，eq\o(BC,\s\up10(→))＝(0，－1,0)，設(shè)異面直線PA與BC所成角為θ，cosθ＝eq\f(|\o(PA,\s\up10(→))·\o(BC,\s\up10(→))|,|\o(PA,\s\up10(→))·|\o(BC,\s\up10(→))|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),\r(4)·1)＝eq\f(1,4).所以異面直線PA與BC所成角的余弦值為eq\f(1,4).(二)A組小題提速練一、選擇題1．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．6 B．3eq\r(3)C．2eq\r(3) D．3解析：由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為2，高為eq\r(3)的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故h＝3，所以幾何體的體積V＝S·h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×3＝3eq\r(3).答案：B2．某個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓，則該幾何體的表面積為()A．92＋24π B．82＋24πC．92＋14π D．82＋14π解析：依題意，題中的幾何體是在一個長方體的上表面放置了半個圓柱，其中長方體的長、寬、高分別是5、4、4，圓柱的底面半徑是2，高是5，因此該幾何體的表面積等于3×(4×5)＋2×(4×4)＋π×22＋eq\f(1,2)×(2π×2)×5＝92＋14π，故選C.答案：C3．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，點P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，則三棱錐P-A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2解析：由題意可得正視圖的面積等于矩形ADD1A1面積的eq\f(1,2)，側(cè)視圖的面積等于矩形CDD1C1面積的eq\f(1,2)，又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1與矩形CDD1C1的面積相等，即正視圖與側(cè)視圖的面積之比是1∶1，故選A.答案：A4．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點．若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36π B．64πC．144π D．256π解析：如圖，設(shè)點C到平面OAB的距離為h，球O的半徑為R，因為∠AOB＝90°，所以S△OAB＝eq\f(1,2)R2，要使VO－ABC＝eq\f(1,3)·S△OAB·h最大，則OA，OB，OC應(yīng)兩兩垂直，且(VO－ABC)max＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，此時R＝6，所以球O的表面積為S球＝4πR2＝144π.故選C.答案：C5．在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則VA．4π B.eq\f(9π,2)C．6π D.eq\f(32π,3)解析：由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時球的半徑R＝eq\f(3,2)，該球的體積最大，Vmax＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).答案：B6．已知三棱錐SABC的全部頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)解析：在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)；同理SB＝eq\r(3).過A點作SC的垂線交SC于D點，連接DB(圖略)，因為△SAC≌△SBC，所以BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD為等腰三角形，因為∠ASC＝30°，所以AD＝eq\f(1,2)SA＝eq\f(\r(3),2)，則△ABD的面積為eq\f(1,2)×1×eq\r(AD2－\f(1,2)2)＝eq\f(\r(2),4)，則三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),6).答案：A7．四棱錐SABCD的全部頂點都在同一個球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時，其表面積等于8＋8eq\r(3)，則球O的體積等于()A.eq\f(32π,3) B.eq\f(32\r(2)π,3)C．16π D.eq\f(16\r(2)π,3)解析：依題意，設(shè)球O的半徑為R，四棱錐SABCD的底面邊長為a、高為h，則有h≤R，即h的最大值是R，又AC＝2R，則四棱錐SABCD的體積VSABCD＝eq\f(1,3)×2R2h≤eq\f(2R3,3).因此，當(dāng)四棱錐SABCD的體積最大，即h＝R時，其表面積等于(eq\r(2)R)2＋4×eq\f(1,2)×eq\r(2)R×eq\r(\f(\r(2)R,2)2＋R2)＝8＋8eq\r(3)，解得R＝2，因此球O的體積等于eq\f(4πR3,3)＝eq\f(32π,3)，選A.答案：A8．已知三棱錐PABC的全部頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為eq\f(\r(2),6)，則球O的表面積為()A．4π B．8πC．12π D．16π解析：依題意，設(shè)球O的半徑為R，球心O到平面ABC的距離為d，則由O是PC的中點得，點P到平面ABC的距離等于2d，所以VP－ABC＝2VO－ABC＝2×eq\f(1,3)S△ABC×d＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),4)×12×d＝eq\f(\r(2),6)，解得d＝eq\r(\f(2,3))，又R2＝d2＋(eq\f(\r(3),3))2＝1，所以球O的表面積等于4πR2＝4π，選A.答案：A9．已知Rt△ABC，其三邊長分別為a，b，c(a>b>c)．分別以三角形的邊a，b，c所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個幾何體，其表面積和體積分別為S1，S2，S3和V1，V2，V3.則它們的關(guān)系為()A．S1>S2>S3，V1>V2>V3B．S1<S2<S3，V1<V2<V3C．S1>S2>S3，V1＝V2＝V3D．S1<S2<S3，V1＝V2＝V3解析：S1＝π·eq\f(bc,a)·(b＋c)，V1＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)))2a，S2＝πac＋πc2，V2＝eq\f(1,3)πbc2，S3＝πab＋πb2，V3＝eq\f(1,3)πb2c.由a>b>c，可得S1<S2<S3，V1<V2<V3.答案：B10．正三角形ABC的邊長為2eq\r(3)，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為eq\r(3)，此時四面體ABCD的外接球的半徑為()A.eq\r(13) B.eq\f(\r(13),2)C．2eq\r(3) D.eq\r(3)解析：球心O確定在與平面BCD垂直且過底面正三角形中心O′的直線上，也在平面ADO中AD的垂直平分線上，如圖．OE＝O′D＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝1，DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，故所求外接球的半徑r＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(\r(13),2).答案：B11．已知點A，B，C，D在同一個球的球面上，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，若四面體ABCD體積的最大值為eq\f(2,3)，則這個球的表面積為()A.eq\f(125π,6) B．8πC.eq\f(25π,4) D.eq\f(25π,16)解析：∵AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圓的圓心為邊AC的中點O1，如圖所示，若使四面體ABCD體積取得最大值只需使點D到平面ABC的距離最大，又OO1⊥平面ABC，∴點D是直線OO1與球上方的交點時體積最大．設(shè)球的半徑為R，則由體積公式有O1D＝2.在Rt△AOO1中，R2＝1＋(2－R)2，解得R＝eq\f(5,4)，故球的表面積S＝eq\f(25π,4)，故選C.答案：C12．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1PA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),2)))解析：取B1C1的中點M，BB1的中點N，連接A1M，A1N，MN，則平面A1MN∥平面AEF，所以點P位于線段MN上．在△A1MN中，A1M＝A1N＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).當(dāng)點P位于點M，N時，A1P最大，為eq\f(\r(5),2)；當(dāng)點P位于MN的中點時，A1P最小，為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(3\r(2),4)，所以eq\f(3\r(2),4)≤A1P≤eq\f(\r(5),2).答案：B二、填空題13．若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與軸所成角的正弦值為________．解析：設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，母線與軸所成角為θ，則S側(cè)＝eq\f(1,2)·2πr·eq\r(r2＋h2)，S底＝πr2，因為S側(cè)＝3S底，所以πr·eq\r(r2＋h2)＝3πr2，得eq\r(r2＋h2)＝3r，即8r2＝h2，所以tanθ＝eq\f(1,2\r(2))，sinθ＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且底面邊長與側(cè)棱長都等于3.螞蟻從A點沿側(cè)面經(jīng)過棱BB1上的點N和CC1上的點M爬到點A1解析：將三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面綻開如圖所示，則有A′A′1＝3，AA′1＝eq\r(AA′2＋A′A′12)＝3eq\r(10).所以螞蟻爬過的路程最短為AA′1.答案：3eq\r(10)15．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝eq\f(a,3)，過B1、D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________.解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ.又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，設(shè)PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ.∴eq\f(PM,PQ)＝eq\f(AP,PD)＝eq\f(1,2)，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，∴eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3)，∴PM＝eq\f(1,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，∴PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.答案：eq\f(2\r(2),3)a16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點．若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AD＝2，點M在線段PC上，且PM＝2MC，則四棱錐P-ABCD與三棱錐P-QBM的體積之比是________．解析：過點M作MH∥BC交PB于點H.∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD.∵PA＝PD＝AD＝AB＝2，∠BAD＝60°，∴PQ＝BQ＝eq\r(3).∴VP-ABCD＝eq\f(1,3)PQ·S菱形ABCD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×2×eq\r(3)＝2.又PQ⊥BC，BQ⊥AD，AD∥BC.∴BQ⊥BC，又QB∩QP＝Q，∴BC⊥平面PQB，由MH∥BC，∴MH⊥平面PQB，eq\f(MH,BC)＝eq\f(PM,PC)＝eq\f(2,3)，∵BC＝2，∴MH＝eq\f(4,3)，∴VP-QBM＝VM-PQB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×eq\f(4,3)＝eq\f(2,3)，∴VP-ABCD∶VP-QBM＝3∶1.答案：3∶1B組大題規(guī)范練1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，E為棱CC1(1)求證：B1D1⊥AE；(2)求證：AC∥平面B1DE.證明：(1)連接BD，則BD∥B1D1.∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD.又AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE.∵AE?平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE.(2)取BB1的中點F，連接AF，CF，EF，則FC∥B1E，∴CF∥平面B1DE.∵E，F(xiàn)是CC1，BB1的中點，∴EF綊BC.又BC綊AD，∴EF綊AD，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥ED.∵AF?平面B1DE，ED?平面B1DE，∴AF∥平面B1DE.∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE.又∵AC?平面ACF，∴AC∥平面B1DE.2.如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點．(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V-ABC的體積．解析：(1)證明：因為O，M分別為AB，VA的中點，所以O(shè)M∥VB.又因為VB?平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)證明：因為AC＝BC，O為AB的中點，所以O(shè)C⊥AB.又因為平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，