PAGEPAGE1專題16數列的通項公式的求解方法一．【學習目標】1.了解數列的概念和幾種簡潔的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數列是自變量為正整數的一類函數.3.會利用已知數列的通項公式或遞推關系式求數列的某項.4.會用數列的遞推關系求其通項公式.二．【方法總結】1.利用通項公式，應用函數思想是探討數列特征的基本方法之一，應擅長運用函數觀點相識數列，用函數的圖象與性質探討數列性質.練習1.已知數列滿意，，則數列的前40項的和為（）A.B.C.D.【答案】D【方法總結】：這個題目考查的是數列的求和問題。首先數列求和選用的方法有，裂項求和，主要用于分式能夠通過寫成兩項相減的形式從而消掉中間的項；分組求和，用于相鄰兩項之和是定值，或者有規律的；錯位相減求和，用于一個等差一個等比乘在一起求和的數列。練習2.數列滿意，且對于隨意的都有，則等于（）A.B.C.D.【答案】D【方法總結】：數列的遞推關系是給出數列的一種方法，依據給出的初始值和遞推關系可以依次寫出這個數列的各項，由遞推關系求數列的通項公式，常用的方法有：①求出數列的前幾項，再歸納猜想出數列的一個通項公式；②將已知遞推關系式整理、變形，變成等差、等比數列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項．運用裂項法求和時，要留意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不行漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的．練習3.已知數列滿意，，若，則數列的通項（）A.B.C.D.【答案】B【解析】,,,則,數列是首項為2，公比為2的等比數列，，利用疊加法，，，則.選B.【方法總結】：由前幾項歸納數列通項或改變規律的常用方法及詳細策略(1)常用方法：視察(視察規律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特別數列)、聯想(聯想常見的數列)等方法.(2)詳細策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的改變特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和肯定值特征；⑤化異為同.對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或找尋分子、分母之間的關系；⑥對于符號交替出現的狀況，可用處理.練習1.數列的一個通項公式可能是（）A.B.C.D.【答案】D練習2.數列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通項公式是an＝()A.(10n－1)B.C.(10n－1)D.(10n－1).【答案】B【解析】1－＝0.9，1－＝0.99，…，故原數列的通項公式為an＝.選B.練習3．兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上探討數學問題.他們在沙灘上畫點或用小石子表示數，依據點或小石子能排列的形態對數進行分類.如下圖中實心點的個數5，9，14，20，…為梯形數.依據圖形的構成，記此數列的第2024項為，則（）A.B.C.D.【答案】C【方法總結】：依據所給數列的前幾項求其通項時，需細致視察分析，抓住其幾方面的特征：相鄰項的改變特征；拆項后的各部分特征；符號特征．應多進行對比、分析，從整體到局部多角度視察、歸納、聯想．4.項和互化求通項例4.設是數列的前項和，且，則=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意可得：，考查所給選項：，則選項B錯誤；當時：，即，考查ACD選項：,則選項AC錯誤，本題選擇D選項.【方法規律總結】：給出與的遞推關系，求an，常用思路是：一是利用轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.練習1.設數列滿意，通項公式是（）A.B.C.D.【答案】C練習2.設數列滿意，通項公式是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】當時，，…………...(1)，……(2),(1)-(2)得：，，符合，則通項公式是，選C.練習3.已知正項數列的前項和為，且，，現有如下說法：①；②當為奇數時，；③．則上述說法正確的個數為（）A.0個B.1個C.2個D.3個【答案】D【方法總結】：給出與的遞推關系求，常用思路是：一是利用轉化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為的遞推關系，先求出與之間的關系，再求.應用關系式時，肯定要留意分兩種狀況，在求出結果后，看看這兩種狀況能否整合在一起.5.構造協助數列求通項（1）的形式例5.數列滿意則（）A.33B.32C.31D.34【答案】A【解析】數列滿意，是以2為公比的等比數列，首項為1，得到故答案為：A。練習1.已知數列{an}滿意a1＝2，an+1＝3an+2，則{an}的通項公式為A.an＝2n-1B.an＝3n-1C.an＝2n-1D.an＝6n-4【答案】B【解析】，得是以3為首項，3為公比的等比數列，則，即。故選B。（2）的形式例6設為數列的前項和，，且.記為數列的前項和，若，則的最小值為（）A.B.C.D.1【答案】A【方法總結】：這個題目考查的是數列求通項的常用方法：配湊法，構造新數列。也考查了等比數列求和公式的應用，數列和的最值。關于數列之和的最值，可以干脆視察，比如這個題目，一般狀況下須要探討和的表達式的單調性：構造函數探討單調性，做差和0比探討單調性，干脆探討表達式的單調性。練習1.已知數列的前項和為，，則數列的前項和為（）A.B.C.D.【答案】C練習2.已知數列滿意，則的通項公式為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由得，∴，∴，當時也符合，∴數列的通項公式為.故選C.練習2.已知數列滿意，，則()A.121B.136C.144D.169【答案】C練習3.數列中，已知對隨意正整數，有，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵∴∴（）當也適合，故所以是以1為首項，4為公比的等比數列，所以，故選B.練習4.已知數列則（）A.B.C.或1D.【答案】B【方法總結】：已知數列要求通項，可以兩邊取倒數，得到是等差數列，已知可以求出，再依據等差數列的性質求出數列的通項公式，，再取倒數可以求出，代入n=7,求得結果即可.練習5.已知數列的首項，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，可得，是以為公差，以為首項的等差數列，，故選C.7.倒序相加求通項例7.已知是上的奇函數，，則數列的通項公式為（）．A.B.C.D.【答案】C【方法總結】：本題首先考查函數的基本性質，借助函數性質處理數列問題問題，非常奇妙，對數學思維的要求比較高，奇函數的應用與數列第一項聯系起來，就知道該怎么對x賦值了，接著推導，要求學生理解f（t）+f（1-t）=2．本題有肯定的探究性，難度大.練習2.已知數列滿意，，，則（）A.B.C.D.3【答案】A【解析】由題意，對進行變形，得則，即4個一循環，那么，故選A.【方法總結】：本題主要考查數列通項公式的求解，依據遞推關系求出數列的循環是解決問題的關鍵.練習2.在數列中，，則（）A.2B.C.D.【答案】A練習3.已知數列滿意，則＝（）A.0B.C.D.【答案】C【解析】，，是周期為的數列，，故選C.10.裂項求通項例10.數列滿意，且對隨意的都有，則等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】對隨意的都成立，，即，，把上面個式子相加