...wd......wd......wd...第三章多維隨機變量及其分布1.[一]在一箱子里裝有12只開關，其中2只是次品，在其中隨機地取兩次，每次取一只。考慮兩種試驗：〔1〕放回抽樣，〔2〕不放回抽樣。我們定義隨機變量X，Y如下：試分別就〔1〕〔2〕兩種情況，寫出X和Y的聯合分布律。解：〔1〕放回抽樣情況由于每次取物是獨立的。由獨立性定義知。P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)P(X=0,Y=0)=P(X=0,Y=1)=P(X=1,Y=0)=P(X=1,Y=1)=或寫成XY0101〔2〕不放回抽樣的情況P{X=0,Y=0}=P{X=0,Y=1}=P{X=1,Y=0}=P{X=1,Y=1}=或寫成XY01013.[二]盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數，以Y表示取到白球的只數，求X，Y的聯合分布律。XY01230001020解：〔X，Y〕的可能取值為(i,j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i+j≥2，聯合分布律為P{X=0,Y=2}=P{X=1,Y=1}=P{X=1,Y=2}=P{X=2,Y=0}=P{X=2,Y=1}=P{X=2,Y=2}=P{X=3,Y=0}=P{X=3,Y=1}=P{X=3,Y=2}=05.[三]設隨機變量〔X，Y〕概率密度為〔1〕確定常數k。 〔2〕求P{X<1,Y<3}〔3〕求P(X<1.5} 〔4〕求P(X+Y≤4}分析：利用P{(X,Y)∈G}=再化為累次積分，其中解：〔1〕∵，∴〔2〕〔3〕y〔4〕y6．〔1〕求第1題中的隨機變量〔X、Y〕的邊緣分布律。〔2〕求第2題中的隨機變量〔X、Y〕的邊緣分布律。2解：〔1〕①放回抽樣〔第1題〕2XY0x+y=41x+y=410xoxo1邊緣分布律為 X 0 1 Y 0 1 Pi·P·j②不放回抽樣〔第1題〕XY0101邊緣分布為 X 0 1 Y 0 1 Pi·P·j〔2〕〔X，Y〕的聯合分布律如下XY0123000300解：X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律X 0 1 2 3 Y 1 3Pi·P·j7.[五]設二維隨機變量〔X，Y〕的概率密度為解：8.[六]設二維隨機變量〔X，Y〕的概率密度為x=yy求邊緣概率密度。x=yyxo解:xo9.[七]設二維隨機變量〔X，Y〕的概率密度為〔1〕試確定常數c。〔2〕求邊緣概率密度。解:l=yoyoy=x2xy=x2x15.第1題中的隨機變量X和Y是否相互獨立。解：放回抽樣的情況P{X=0,Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}=P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1}=P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0}=P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=在放回抽樣的情況下，X和Y是獨立的不放回抽樣的情況：P{X=0,Y=0}=P{X=0}=P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{Y=0,X=1}=P{X=0}·P{Y=0}=P{X=0,Y=0}≠P{X=0}P{Y=0}∴X和Y不獨立16.[十四]設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在〔0，1〕上服從均勻分布。Y的概率密度為〔1〕求X和Y的聯合密度。〔2〕設含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實根的概率。解：〔1〕X的概率密度為y=x2Y的概率密度為y=x21xDyo且知X,Y相互獨立，1xDyo于是〔X，Y〕的聯合密度為〔2〕由于a有實跟根，從而判別式即：記19.[十八]設某種商品一周的需要量是一個隨機變量，其概率密度為并設各周的需要量是相互獨立的，試求〔1〕兩周〔2〕三周的需要量的概率密度。解：〔1〕設第一周需要量為X，它是隨機變量設第二周需要量為Y，它是隨機變量且為同分布，其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨立性可知：∵z≥0∴當z<0時，fz(z)=0當z>0時，由和的概率公式知∴〔2〕設z表示前兩周需要量，其概率密度為設ξ表示第三周需要量，其概率密度為：z與ξ相互獨立η=z+ξ表示前三周需要量則：∵η≥0， ∴當u<0， fη(u)=0當u>0時所以η的概率密度為22.[二十二]設某種型號的電子管的壽命〔以小時計〕近似地服從N〔160，20〕分布。隨機地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時的概率。解：設X1，X2，X3，X4為4只電子管的壽命，它們相互獨立，同分布，其概率密度為：設N=min{X1，X2，X3，X4}P{N>180}=P{X1>180,X2>180,X3>180,X4>180}=P{X>180}4={1－p[X<180]}4=(0.1587)4=0.0006327.[二十八]設隨機變量〔X，Y〕的分布律為XY012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05〔1〕求P{X=2|Y=2}，P{Y=3|X=0}〔2〕求V=max(X,Y)的分布律〔3〕求U=min(X,Y)的分布律解：〔1〕由條件概率公式P{X=2|Y=2}===同理 P{Y=3|X=0}=〔2〕變量V=max{X,Y}顯然V是一隨機變量，其取值為V：012345P{V=0}=P{X=0Y=0}=0P{V=1}=P{X=1，Y=0}+P{X=1，Y=1}+P{X=0，Y=1}=0.01+0.02+0.01=0.04P{V=2}=P{X=2，Y=0}+P{X=2，Y=1}+P{X=2，Y=2}+P{Y=2,X=0}+P{Y=2,X=1}=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P{V=3}=P{X=3，Y=0}+P{X=3，Y=1}+P{X=3，Y=2}+P{X=3，Y=3}+P{Y=3,X=0}+P{Y=3,X=1}+P{Y=3,X=2}=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P{V=4}=P{X=4，Y=0}+P{X=4，Y=1}+P{X=4，Y=2}+P{X=4，Y=3}=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P{V=5}=P{X=5，Y=0}+……+P{X=5，Y=3}=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28〔3〕顯然U的取值為0，1，2，3P{U=0}=P{X=0，Y=0}+……+P{X=0，Y=3}+P{Y=0，X=1}+……+P{Y=0，X=5}=0.28同理P{U=1}=0.30P{U=2}=0.25P{U=3}=0.17或縮寫成表格形式〔2〕V 0 1 2 3 4 5Pk0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28〔3〕 U 0 1 2 3Pk0.28 0.30 0.25 0.17〔4〕W=V+U顯然W的取值為0，1，……8P{W=0}=P{V=0U=0}=0P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1U=0}∵V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能上式中的P{V=0，U=1}=0，又P{V=1U=0}=P{X=1Y=0}+P{X=0Y=1}=0.2故P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1，U=0}=0.2P{W=2}=P{V+U=2}=P{V=2,U=0}+P{V=1，U=1}=P{X=2Y=0}+P{X=0Y=2}+P{X=1Y=1}=0.03+0.01+0.02=0.06P{W=3}=P{V+U=3}=P{V=3,U=0}+P{V=2，U=1}=P{X=3Y=0}+P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1}+P{X=1，Y=2}=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13P{W=4}=P{V=4,U=0}+P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2}=P{X=4Y=0}+P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3}+P{X=2，Y=2}=0.19P{W=5}=P{V+U=5}=P{V=5,U=0}+P{V=5，U=1}+P{V=3，U=2}=P{X=5Y=0}+P{X=5，Y=1}+P{X=3，Y=2}+P{X=2，Y=3}=0.24P{W=6}=P{V+U=6}=P{V=5,U=1}+P{V=4，U=2}+P{V=3，U=3}=P{X=5，Y=1}+P{X=4，Y=2}+P{X=3，Y=3}=0.19P{W=7}=P{V+U=7}=P{V=5,U=2}+P{V=4，U=3}=P{V=5，U=2}+P{X=4，Y=3}=0.6+0.6=0.12P{W=8}=P{V+U=8}=P{V=5,U=3}+P{X=5，Y=3}=0.05或列表為W 0 1 2