2025年中考數學一輪復習

第29講投影與視圖

一.選擇題（共10小題）

1.小明制作了一個如圖所示的象征美好寓意的擺件，其俯視圖是（）

2.某款掃地機器人的俯視圖是一個等寬曲邊三角形/5C（分別以正△NBC的三個頂點B,C為圓心,

N2長為半徑畫弧得到的圖形）.若已知/3=6,則曲邊通的長為（）

一4

3.某三棱柱的三種視圖如圖所示，俯視圖的面積是左視圖面積的1倍，左視圖中矩形的邊長/2=3,

則主視圖的面積為（）

9

A.-B.6C.8D.12

2

4.某一時刻在陽光照射下，廣場上的護欄及其影子如圖1所示，將護欄拐角處在地面上的部分影子抽象

成圖2,已知/MAD=22°,ZFCN=23°,則/ABC的大小為（）

M

A

5.如圖是某平臺銷售的折疊椅子及其左視圖，已知ND/8=60°,CD與地面AB平行，則/CE>￡=（)

A.60°B.75°C.110°D.120°

6.圖1所示的幾何體是由8個大小相同的小正方體組合而成,現要得到一個幾何體，它的主視圖與左視

圖如圖2,則至多還能拿走這樣的小正方體（）

圖1圖2

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.如圖1是由6個相同的小正方塊組成的幾何體,移動其中一個小正方塊，變成圖2所示的幾何體，則

A.主視圖改變,俯視圖改變

B.主視圖不變,俯視圖改變

C.主視圖不變，俯視圖不變

D.主視圖改變，俯視圖不變

8.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）

正視方向

9.圖（1）是矗立千年而不倒的應縣木塔一角，全塔使用了54種形態各異的斗拱.斗拱是中國建筑特有

的一種結構，位于柱與梁之間.斗拱由斗、升、拱、翹、昂組成，圖（2）是其中一個組成部件的三視

圖⑴

10.為迎接“五一,某超市囤積一些飲料，將幾個裝有飲料、大小相同的正方體包裝箱擺放在倉庫

里，這些包裝箱所構成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則包裝箱的個數可能是（）

主視圖俯視圖

A.6B.9C.5D.10

二.填空題（共5小題）

11.中國陶瓷文化源遠流長，圖①是一個具有地方特色的碗.圖②是從正面看到的碗（圖①）的形狀示

意圖.而是。。的一部分，。是荏的中點，連接。D,與弦交于點C,連接CM,OB.己知/3=

24cm,碗深CD=8cm,則OO的半徑。1為

圖①

12.如圖，從三個不同方向看同一個幾何體得到的平面圖形，則這個幾何體的表面積

從止而看從左而看從上而看

13.土圭之法是在平臺中央豎立一根6尺長的桿子，觀察桿子的日影長度.古代的人們發現，夏至時日影

最短，冬至日影最長，這樣通過日影的長度得到夏至和冬至，確定了四季.如圖，利用土圭之法記錄了

兩個時刻桿的影長，發現第一時刻光線與桿的夾角ABAC和第二時刻光線與地面的夾角/ADB相等,

測得第一時刻的影長為1.5尺，則第二時刻的影長為尺.

14.如圖，從三個不同方向看同一個幾何體得到的平面圖形，則這個幾何體的側面積是cm1.

從正面看從左面看從上面看

15.如圖，同一時刻在陽光照射下，樹N3的影子8C=3%，小明的影子夕。=1.5加，已知小明的身高/E

=L7m,則樹IWJAB=.

16.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的表面積為

俯視圖

17.圖1是某款自動旋轉圓形遮陽傘，傘面完全張開時張角呈180°,圖2是其側面示意圖.已知支架N8

長為2.6米，且垂直于地面3C,懸托架NE=D￡=0.5米，點￡固定在傘面上，且傘面直徑。下是

的4倍.當傘面完全張開時，點。，E,尸始終共線.為實現遮陽效果最佳，傘面裝有接收器可以根據

太陽光線的角度變化；自動調整手柄。沿著移動，以保證太陽光線與。尸始終垂直.某一時刻測得

8。=2米.請求出此時遮陽傘影子中G”的長度.

18.如圖，路燈下一墻墩(用線段表示)的影子是3C,小明(用線段DE表示)的影子是E凡在W

處有一棵大樹，它在這個路燈下的影子是

(1)在圖中畫出路燈的位置并用點尸表示；

(2)在圖中畫出表示大樹的線段

NMBCEF

19.如圖，小樹43在路燈。的照射下形成投影2C.

(1)此光源下形成的投影屬于.(填“平行投影”或“中心投影”)

(2)已知樹高N3為2加，樹影3C為3加，樹與路燈的水平距離8尸為4.5根.求路燈的高度。尸.

20.魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創的樟卯結構，十分巧妙.如圖1是一種簡

單的魯班鎖，由三根完全相同的四棱柱木條，挖去中間部分，使其內部凹凸嚙合，組成外觀嚴絲合縫的

十字型幾何體，其上下、左右、前后分別對稱.

(1)圖2是這個魯班鎖主視圖、左視圖和俯視圖的一部分，請將它們補充完整；

(2)請從下列①，②兩題中任選一題作答，我選擇題.

①已知這些四棱柱木條的高為6,底面正方形的邊長為2,求這個魯班鎖從正面看得到的平面圖形的面

積；

②已知這些四棱柱木條的高為3加，底面正方形的邊長為相，求這個魯班鎖的表面積.(用含加的代數

式表示)

從正面看

俯

視

圖

圖1圖2

2025年中考數學一輪復習

第29講投影與視圖

一.選擇題（共10小題）

1.小明制作了一個如圖所示的象征美好寓意的擺件，其俯視圖是（

【考點】由三視圖判斷幾何體.

【專題】投影與視圖；幾何直觀.

【答案】c

【分析】根據從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【解答】解：從上面看，該圖形俯視圖是長方形，且中間含有兩個虛線，

即。選項的圖形符合，

故選：C.

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，從正面看得到的圖形是主視圖.

2.某款掃地機器人的俯視圖是一個等寬曲邊三角形N3C（分別以正△N3C的三個頂點/,B,C為圓心,

長為半徑畫弧得到的圖形）.若已知/8=6,則曲邊通的長為（）

A.TTB.2irC.6TTD.12TT

【考點】由三視圖判斷幾何體；弧長的計算；簡單幾何體的三視圖.

【專題】與圓有關的計算；投影與視圖；運算能力.

【答案】B

【分析】根據條弧公式計算即可.

607rx6

【解答】解：邊通的長為:

故選：B.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質和弧長公式，注意：①等邊三角形的三條邊都相等，等邊三角形的

YnTY

每個角都等于60°,②一條弧所對的圓心角是武，半徑為r,那么這條弧的長度是面.

一一4

3.某三棱柱的三種視圖如圖所不，俯視圖的面積是左視圖面積的1倍，左視圖中矩形/BCD的邊長/8=3,

則主視圖的面積為（）

【考點】由三視圖判斷幾何體；簡單幾何體的三視圖.

【專題】數據的收集與整理；數據分析觀念.

【答案】B

4

【分析】根據俯視圖的面積是左視圖面積的淮，左視圖中矩形N3CD的邊長/3=3,可得俯視圖的長是

的g倍，據此可得主視圖的底和高，進而得出面積.

4

【解答】解：???俯視圖的面積是左視圖面積的石倍，左視圖中矩形的邊長/5=3,

俯視圖的長為：3x*=4,

主視圖的三角形的底邊是4,高是3,

,1

主視圖的面積為：~x4X3=6.

故選：B.

【點評】本題考查三視圖邊長關系，熟練掌握“長對正、高平齊、寬相等”，通過三視圖準確得到相應圖

形的邊長是解決問題的關鍵.

4.某一時刻在陽光照射下，廣場上的護欄及其影子如圖1所示，將護欄拐角處在地面上的部分影子抽象

成圖2,已知/MAD=22°,ZFCN=23°，則/ABC的大小為（）

圖I圖2

A.44°B.45°C.46°D.47°

【考點】平行投影.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】B

【分析】根據平行線的性質及角的和差即可求得.

【解答】解：：某一時刻在陽光照射下，AD//BE//FC,且NM4D=22°,ZFCN=23

：.NMAD=/ABE=22°,/EBC=/FCN=23°,

ZABC=ZABE+ZEBC=45°.

故選：B.

【點評】本題主要考查平行投影，熟練掌握平行投影的性質是解題的關鍵.

5.如圖是某平臺銷售的折疊椅子及其左視圖，已知ND/8=60°,CO與地面平行，則()

A.60°B.75°C.110°D.120°

【考點】由三視圖判斷幾何體；平行線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】D

【分析】由CD〃48,知NCD/=ND4B=60°,再根據鄰補角概念求解即可.

【解答】解：由題意知，CD//AB,

；.NCD4=/D4B=60°,

：.ZCDE=1800-ZCDA=]2Q°,

故選：D.

【點評】本題主要考查平行線的性質，解題的關鍵是掌握兩直線平行內錯角相等的性質及由三視圖判斷幾

何體.

6.圖1所示的幾何體是由8個大小相同的小正方體組合而成，現要得到一個幾何體，它的主視圖與左視

圖1圖2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】由三視圖判斷幾何體.

【專題】投影與視圖；空間觀念.

【答案】C

【分析】根據題意主視圖和左視圖即可得到結論.

【解答】解：由題意可知，該幾何體的底層至少需要3個小正方體，上層至少需要2個小正方體,

所以至多還能拿走這樣的小正方體3個.

故選：C.

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，正確地得出小正方體的個數是解題的關鍵.

7.如圖1是由6個相同的小正方塊組成的幾何體，移動其中一個小正方塊，變成圖2所示的幾何體，則

移動前后（

圖1圖2

A.主視圖改變,俯視圖改變

B.主視圖不變,俯視圖改變

C.主視圖不變,俯視圖不變

D.主視圖改變,俯視圖不變

【考點】簡單組合體的三視圖.

【答案】B

【分析】分別得到將正方體變化前后的三視圖，依此即可作出判斷.

【解答】解：正方體移走前的主視圖正方形的個數為1,2,1；正方體移走后的主視圖正方形的個數為1,

2,I；不發生改變.

正方體移走前的左視圖正方形的個數為2,1,1；正方體移走后的左視圖正方形的個數為2,1；發生改變.

正方體移走前的俯視圖正方形的個數為3,1,1；正方體移走后的俯視圖正方形的個數為：2,1,2；發生

改變.

故選：B.

【點評】此題主要考查了三視圖中的知識，得到從幾何體的正面，左面，上面看的平面圖形中正方形的列

數及每列正方形的個數是解決本題的關鍵.

8.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）

【考點】簡單組合體的三視圖.

【專題】投影與視圖；空間觀念.

【答案】B

【分析】根據俯視圖的概念逐一判斷即可得.

【解答】解：圖中幾何體的俯視圖如圖所示:

故答案為：B.

【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖，解題的關鍵是掌握常見幾何體的三視圖.

9.圖（1）是矗立千年而不倒的應縣木塔一角，全塔使用了54種形態各異的斗拱.斗拱是中國建筑特有

的一種結構，位于柱與梁之間.斗拱由斗、升、拱、翹、昂組成，圖（2）是其中一個組成部件的三視圖,

則這個部件是（）

【考點】由三視圖判斷幾何體.

【專題】投影與視圖；空間觀念.

【答案】c

【分析】根據三視圖結合四個選項找到正確的答案即可.

【解答】解：根據俯視圖是一個正方形，只有選項C符合題意，其他選項均不符合題意，

故選：C.

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是有較強的空間想象能力，難度不大.

10.為迎接“五一”假期，某超市囤積一些飲料，將幾個裝有飲料、大小相同的正方體包裝箱擺放在倉庫

里，這些包裝箱所構成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則包裝箱的個數可能是（）

主視圖俯視圖

A.6B.9C.5D.10

【考點】由三視圖判斷幾何體.

【專題】投影與視圖；空間觀念.

【答案】B

【分析】易得這個幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層立方體的個數，由主視圖可得第二層立方體的可

能的個數，相加即可.

【解答】解：結合主視圖和俯視圖可知，上層最多有4個，最少2個，下層一定有5個，

故搭成這個幾何體的小正方體包裝箱的個數可能是7個或8個或9個.

故選：B.

【點評】本題考查了學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查.

二.填空題(共5小題)

11.中國陶瓷文化源遠流長，圖①是一個具有地方特色的碗.圖②是從正面看到的碗(圖①)的形狀示

意圖.砂是。。的一部分，。是砂的中點，連接O。，與弦48交于點C,連接。OB.己知/2=24(?,

碗深CD=Scm,則。。的半徑OA為13.

【考點】由三視圖判斷幾何體；垂徑定理的應用；簡單組合體的三視圖.

【專題】等腰三角形與直角三角形；投影與視圖；空間觀念；推理能力.

【答案】13.

【分析】首先利用垂徑定理的推論得出OD_L4B,4C=BC=%B=12cm,再設。。的半徑。4為Ra”，

貝OC—(R-8)cm.在口1/\。/。中根據勾股定理列出方程尺2=122+(R-8)2,求出R即可.

【解答】解：?..福是。。的一部分，。是荏的中點，48=24。〃，

C.ODLAB,4C=BC=%B=12cm.

設。。的半徑OA為Rcm,則0c=OD-CD=(R-8)cm.

在RtzXO/C中，：NOG4=90。，

：.OA2^AC2+OC2,

.,.7?2=122+(R-8)2,

.\R=13,

即。。的半徑。/為13cm.

故答案為：13.

【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應用，設。。的半徑。/為Rem,列出關于R的方程是解題的

關鍵.

12.如圖，從三個不同方向看同一個幾何體得到的平面圖形，則這個幾何體的表面積是

(36+8V3')cm

從正而看從左而看從上而看

【考點】由三視圖判斷幾何體；幾何體的表面積.

【專題】投影與視圖；空間觀念；運算能力.

【答案】(36+8V3)cw2.

【分析】利用三視圖可得出幾何體的形狀，再利用已知各棱長得出這個幾何體的側面積.

【解答】解：這個幾何體是直三棱柱，

4X3X3=36(cm2).

故這個幾何體的側面積是36c加2.

兩個底面的面積之和為：2xgx4xJ42-弓/=8%(cm2),

...這個幾何體的表面積是(36+8V3)cm2.

故答案為：(36+8V3)cm2.

【點評】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體以及幾何體的表面積，正確得出物體的形狀是解題關鍵.

13.土圭之法是在平臺中央豎立一根6尺長的桿子，觀察桿子的日影長度.古代的人們發現，夏至時日影

最短，冬至日影最長，這樣通過日影的長度得到夏至和冬至，確定了四季.如圖，利用土圭之法記錄了兩

個時刻桿的影長，發現第一?時刻光線與桿的夾角/A4c和第二時刻光線與地面的夾角/4D3相等，測得第

一時刻的影長為1.5尺，則第二時刻的影長為24尺.

【考點】平行投影；相似三角形的應用.

【專題】三角形；投影與視圖；推理能力.

【答案】24.

ABBC62

【分析】由NBAC=NADB,得△4BCs/\DB4,知一=一,故方=24（尺），

BDAB1.5

即第二時刻的影長為24尺.

【解答】解：,:NABC=NDBA=90°,/BAC=NADB,

：.△ABCsdDBA,

ABBC

"BD~AB'

,,BD-BC'

根據題意得：4B=6尺,3c=1.5尺，

62

：.BD=Y^=24（尺），

第二時刻的影長為24尺；

故答案為：24.

【點評】本題考查平行投影以及相似三角形的應用，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理和性質定理.

14.如圖，從三個不同方向看同一個幾何體得到的平面圖形，則這個幾何體的側面積是36cm2.

從正面看從左面看從上面看

【考點】由三視圖判斷幾何體；幾何體的表面積；簡單組合體的三視圖.

【專題】投影與視圖；空間觀念；運算能力.

【答案】36.

【分析】利用三視圖可得出幾何體的形狀，再利用已知各棱長得出這個幾何體的側面積.

【解答】解：這個幾何體是直三棱柱，

4X3X3=36（cm2）.

故這個幾何體的側面積是36cm2.

故答案為：36.

【點評】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體的形狀，正確得出物體的形狀是解題關鍵.

15.如圖，同一時刻在陽光照射下，樹48的影子BC=3根，小明的影子2'。=1.5加，已知小明的身高49

=1.7/7?,則樹高AB=3Am

【考點】平行投影.

【答案】見試題解答內容

4D17

【分析】利用同一時刻物體的高度與其影長成正比得到三=E，然后利用比例性質求出N3即可.

ABA'B'AB1.7

【解答】解：根據題意得,即丁=

DCDC31.5

所以AB=3.4(m).

故答案為3.4m.

【點評】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子

就是平行投影.平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的.

三.解答題(共5小題)

16.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的表面積為(2V3+18)

俯視圖

【考點】由三視圖判斷幾何體；幾何體的表面積.

【專題】投影與視圖；空間觀念；運算能力.

【答案】(2V3+18).

【分析】由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應分別根據主視圖、左視圖和俯視圖想象幾何體的前面、左

側面和上面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀.

【解答】解：該幾何體是一個三棱柱，底面等邊三角形邊長為2cm,底面三角形的高為后R=V3(cm),

三棱柱的高為3cm,

所以該幾何體的表面積為：

2x73-2X2+2X3X3=(2V3+18)cm2.

故答案為：(2V3+18)cm2.

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，掌握對常見幾何體的三視圖是解答本題的關鍵.

17.圖1是某款自動旋轉圓形遮陽傘，傘面完全張開時張角呈180°,圖2是其側面示意圖.已知支架N8

長為2.6米，且垂直于地面2C,懸托架/片=。石=0.5米，點E固定在傘面上，且傘面直徑。尸是的4

倍.當傘面完全張開時，點。，E,尸始終共線.為實現遮陽效果最佳，傘面裝有接收器可以根據太陽光

線的角度變化；自動調整手柄D沿著AB移動，以保證太陽光線與DF始終垂直.某一時刻測得3。=2米.請

求出此時遮陽傘影子中G”的長度.

【考點】平行投影；勾股定理的應用；圓錐的計算；生活中的旋轉現象.

【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力.

【答案】2.5米.

【分析】根據等腰三角形的性質求出NN=DN=0.3,再根據勾股定理為￡N的長，根據三角形內角和定理

以及平角的定義得出Na=/NOE,再根據直角三角形的邊角關系即可求出G8即可.

【解答】解：如圖，過點G作■于點M,過點E作ENLAB于點N,

：/2=2.5米，AD=2米，

：.AD=2.6-2=0.6(米)，

:/￡=DE=0.5米，ENL4B,

1

:.DN=AN=240=0.3米，

在RtZVJEN中，DN=Q3米，DE=0.5米，

EN='DE2-DN2=0.4(米)，

,：Za+ZMGH=90°,NMGH+NBGD=180°-90°=90°,/BGD+NBDG=90°,ZBDG+ZNDG=

180°-90°=90°,

：.Za=ZNDEf

FN4

在RtZXQEN中，sin/NDE=面=可,

在RtZkHGM中，sinZa=-|^=|,

9：GM=DF=0.5X4=2（米），

?__2___4_

??—，

GH5

：.GH=2.5,

即此時遮陽傘影子中GX的長度為2.5米.

圖2

【點評】本題考查等腰三角形的性質，平行投影以及直角三角形的邊角關系，掌握平行投影的性質，等腰

三角形的性質以及直角三角形的邊角關系是正確解答的關鍵.

18.如圖，路燈下一墻墩（用線段N8表示）的影子是3C,小明（用線段。E表示）的影子是即，在M

處有一棵大樹，它在這個路燈下的影子是

（1）在圖中畫出路燈的位置并用點尸表示；

（2）在圖中畫出表示大樹的線段

A

NMBCEF

【考點】中心投影.

【答案】見試題解答內容

【分析】（1）連接◎、陽并延長，交點即為路燈尸的位置；

（2）連接PN,過點M作交PN于。，即為表示大樹的線段.

【解答】解：（1）點尸位置如圖；

（2）線段血①如圖.

【點評】本題考查了中心投影，理解影子與物體的端點的連線所在的直線一定經過光源點是解題的關鍵.

19.如圖，小樹43在路燈。的照射下形成投影8C.

（1）此光源下形成的投影屬于中心投影.（填“平行投影”或“中心投影”）

（2）已知樹高48為2〃?，樹影3c為3加，樹與路燈的水平距離AP為4.5〃?.求路燈的高度。尸.

【考點】中心投影；平行投影.

【專題】圖形的相似；運算能力.

【答案】（1）中心投影；（2）5米.

【分析】（1）由中心投影的定義確定答案即可；

（2）先判斷相似三角形，再利用相似三角形的性質求解.

【解答】解：（1）:此光源屬于點光源，

...此光源下形成的投影屬于中心投影，

故答案為：中心投影；

（2）'：ABLCP,POA,PC,

J.OP//AB,

：.AABCsdOPC,

?_A_B__B_C

??—，

OPPC

23

即：—=----

OP3+4.5

解得：OP=5(m),

，路燈的圖度為5米.

【點評】本題考查了中心投影，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵.

20.魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創的梯卯結構，十分巧妙.如圖1是一種簡

單的魯班鎖，由三根完全相同的四棱柱木條，挖去中間部分，使其內部凹凸嚙合，組成外觀嚴絲合縫的十

字型幾何體，其上下、左右、前后分別對稱.

（1）圖2是這個魯班鎖主視圖、左視圖和俯視圖的一部分，請將它們補充完整；

（2）請從下列①，②兩題中任選一題作答，我選擇①題.

①已知這些四棱柱木條的高為6,底面正方形的邊長為2,求這個魯班鎖從正面看得到的平面圖形的面積;

②已知這些四棱柱木條的高為3加，底面正方形的邊長為加，求這個魯班鎖的表面積.（用含機的代數式

表示）

從正面看

俯

視

圖

圖1圖2

【考點】作圖-三視圖；幾何體的表面積；簡單組合體的三視圖；由三視圖判斷幾何體.

【專題】投影與視圖；空間觀念；運算能力.

【答案】（1）見解答.

（2）見解答.

【分析】（1）根據三視圖的定義補全圖形即可.

（2）由兩個長方形的面積減去中間重疊部分的小正方形面積即為這個魯班鎖從正面看得到的平面圖形的

面積；求出從正面看得到的平面圖形的面積，乘以6即為這個魯班鎖的表面積.

【解答】解：（1）如圖2所示.

圖2

(2)選擇①.

這個魯班鎖從正面看得到的平面圖形的面積為2X6X2-2X2=24-4=20.

選擇②.

這個魯班鎖從正面看得到的平面圖形的面積為2X3m-m-m2=&)/-m2=5m2,

.?.這個魯班鎖的表面積為6義5僅2=30混.

【點評】本題考查作圖-三視圖、簡單組合體的三視圖、幾何體的表面積，解題的關鍵是理解三視圖的定

義.

考點卡片

1.幾何體的表面積

（1）幾何體的表面積=側面積+底面積（上、下底的面積和）

（2）常見的幾種幾何體的表面積的計算公式

①圓柱體表面積：2TTK2+2nR〃（R為圓柱體上下底圓半徑，〃為圓柱體高）

②圓錐體表面積："+嗎:藍2）（/為圓錐體底面圓半徑,"為其高，"為圓錐側面展開圖中扇形的圓心

角）

③長方體表面積：2（.ab+ah+bh^（0為長方體的長，b為長方體的寬，〃為長方體的高）

④正方體表面積：6a2（0為正方體棱長）

2.平行線的性質

1、平行線性質定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

3.勾股定理的應用

（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中

抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖.領會數形結合的思想的應用.

（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度.

②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形

的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和.

③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題.

④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三

角形的斜邊.

4.垂徑定理的應用

垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題即幾何代數解的數學思想方法一定要掌握.

5.弧長的計算

(1)圓周長公式：C=2TVR

(2)弧長公式：/=嚼(弧長為/,圓心角度數為"，圓的半徑為R)

loU

①在弧長的計算公式中，”是表示1°的圓心角的倍數，"和180都不要帶單位.

②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長.

③題設未標明精確度的，可以將弧長用IT表示.

④正確區分弧、弧的度數、弧長三個概念，度數相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，

只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統一.

6.圓錐的計算

(1)連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線.連接頂點與底面圓心的線段叫圓錐的

高.

(2)圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

,1

(3)圓錐的側面積：S側=^”互尸?/=TU7.

(4)圓錐的全面積：S全=8底+S側=71/+冗力

(5)圓錐的體積=梟底面積X高

注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等.

②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等.

7.生活中的旋轉現象

(1)旋轉的定義：在平面內，把一個圖形繞著某一個點。旋轉一個角度的圖形變換叫做旋轉.點。叫做

旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角，如果圖形上的點P經過旋轉變為點P,那么這兩個點叫做對應點.

(2)注意：

①旋轉是圍繞一點旋轉一定的角度的圖形變換，因而旋轉一定有旋轉中心和旋轉角，且旋轉前后圖形能夠

重合，這時判斷旋轉的關鍵.

②旋轉中心是點而不是線，旋轉必須指出旋轉方向.

③旋轉的范圍是平面內的旋轉，否則有可能旋轉成立