專題10圓的證明與計算問題

1.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,D為AB的中點，以CD為直徑的。0分別交AC,BC于點E,F兩

點，過點F作FGLAB于點G.

(1)試判斷FG與。0的位置關系，并說明理由.

(2)若AC=3,CD=2.5,求FG的長.

2.如圖，AB是。。的直徑，AC與。。交于點F,弦AD平分NBAC,DEXAC,垂足為E.

(1)試判斷直線DE與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若。。的半徑為2,/BAC=60°,求線段EF的長.

3.如圖所示，在。的內接一AAW中，NM4N=90°,AM=2AN,作于點P,交(。于

另一點B,C是%0上的一個動點(不與A,M重合)，射線交線段的延長線于點D,分別連接AC

和BC,BC交MN于點匕

D

(1)求證：△CM4s△CBD.

(2)若MN=10,MC=NC，求BC的長.

3ME

(3)在點C運動過程中，當tan/MDB=-時，求——的值.

4NE

4.如圖所示：)。與,的邊8C相切于點C,與AC、AB分別交于點D、E,DEIIOB.DC是O

的直徑.連接0E,過C作CG〃。七交。。于G,連接OG、EC,DG與EC交于點F.

(1)求證：直線與相切；

(2)求證：AE-ED=AC-EF；

(3)若所=3,1211/4。￡=：時，過A作A7W/CE交小。于爪N兩點(M在線段AN上)，求AN的

長.

5.如圖，是；。的直徑，直線40與。。相切于點A，直線BN與「>。相切于點B,點。(異于點A)

在AM上，點。在；。上，且CE>=C4,延長與BN相交于點E,連接并延長交BN于點尸?

ACM

(1)求證：CE是。的切線;

(2)求證：BE=EF；

(3)如圖，連接E0并延長與。分別相交于點G、X,連接若A3=6,AC=4,求tan/BHE.

6.已知：如圖，AB是O。的直徑，點E為。上一點，點D是用E上一點，連接AE1并延長至點C,使

ZCBE=ZBDE,BD與AE交于點F.

(1)求證：是〉。的切線；

(2)若平分/鉆石，求證：AD2=DFDB.

7.如圖，在HjABC中，ZC=90°,AD平分N54c交于點D,0為AB上一點，經過點A、D的二。

分別交AB、AC于點E、F.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若BE=8,sinB=—,求：)。的半徑;

13

(3)求證：AD2=ABAF-

8.古希臘數學家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”.請研究如下美麗的圓.如圖，線段AB

是。。的直徑，延長AB至點C,使BC=OB,點E是線段0B的中點，DELAB交。。于點D,點P是。0上一

動點(不與點A,B重合)，連接CD,PE,PC.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)小明在研究的過程中發現P器F是一個確定的值.回答這個確定的值是多少？并對小明發現的結論加

以證明.

9.如圖，AB是。。的直徑，點C是。0上一點(與點A,B不重合)，過點C作直線PQ,使得NACQ=NABC.

(1)求證：直線PQ是。。的切線.

(2)過點A作ADXPQ于點D,交。0于點E,若。0的半徑為2,sinZDAC=-,求圖中陰影部分的面積.

2

10.如圖，AB為。。的直徑，C為BA延長線上一點，CD是。。的切線，D為切點，0F±

AD于點E,交CD于點F.

(1)求證：ZADC=ZAOF：

(2)若sinC=-,BD=8,求EF的長.

3

C

11.如圖，在半徑為5cm的。。中，AB是。。的直徑，CD是過。0上一點C的直線，且ADLDC于點D,AC

平分/BAD,E是BC的中點，0E=3cm.

(1)求證：CD是。0的切線;

(2)求AD的長.

12.已知。。是，ABC的外接圓，AD為。。的直徑，AD1BC,垂足為E,連接B0,延長B0交AC于點

F.

(1)如圖1,求證：ZBFC=3ZCAD；

(2)如圖2,過點口作。6〃防，交。，。于點G,點H為GD的中點，連接0H,求證：BE=OH；

在(2)的條件下，連接CG,若DG=￡)E,AAOF的面積為述，求線段CG的長.

(3)如圖3,

5

13.如圖，在AA5C中，ZC=90°,AD平分44c交5c于點。，過點A和點。的圓，圓心。在線

段AB上，，。交AB于點E,交AC于點尸.

(1)判斷8C與1。的位置關系，并說明理由;

(2)若AD=8,AE=10,求BD長.

14.如圖，在，ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交6C于點。，過點。作DE_LAC,垂足為

(1)求證：△ABD烏ZkACD；

(2)判斷直線DE與(。的位置關系，并說明理由.

15.如圖，00是△ABC的外接圓，AD是。0的直徑，F是AD延長線上一點，連接CD,CF,且/DCF=/

CAD.

(1)求證：CF是。0的切線；

(2)若COSB=3,AD=2,求FD的長.

5

16.如圖，。。與等邊AABC的邊AC,AB分別交于點D,E,AE是直徑，過點D作DFLBC于點F.

(1)求證：DF是。0的切線；

(2)連接EF,當EF是。0的切線時，求00的半徑r與等邊AABC的邊長a之間的數量關系.

專題10圓的證明與計算問題(解析版)

1.如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°,D為AB的中點，以CD為直徑的。0分別交AC,BC于點E,F兩

點，過點F作FGLAB于點G.

(1)試判斷FG與。0的位置關系，并說明理由.

(2)若AC=3,CD=2.5,求FG的長.

【答案】見解析。

【解析】(1)如圖，連接0F,根據直角三角形的性質得到CD=BD,得到NDBC=NDCB,根據等腰三角形

的性質得到NOFC=/OCF,得到N0FC=/DBC,推出N0FG=90°,于是得到結論；

(2)連接DF,根據勾股定理得到BC={AB2_AC2=4,根據圓周角定理得到NDFC=90°,根據三角函數

的定義即可得到結論.

【解答】(1)FG與。0相切，

理由：如圖，連接0F,

,/ZACB=90°,D為AB的中點，

；.CD=BD,

.".ZDBC=ZDCB,

V0F=0C,

.\Z0FC=Z0CF,

.".Z0FC=ZDBC,

，OF〃DB,

.,.Z0FG+ZDGF=180°,

VFG±AB,

；.NDGF=90°,

：.Z0FG=90°,

；.FG與。0相切;

(2)連接DF,

VCD=2.5,

，AB=2CD=5,

"BC=VAB2-AC2=4,

〈CD為。。的直徑，

???NDFC=90°,

AFDXBC,

VDB=DC,

；.BF=LBC=2,

2

VsinZABC=^-^fl,

AB-FB

即

52

,,.FG=A.

5

【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，平行線的判定和性質，勾股定理，解直角三角形，正確的作出

輔助線是解題的關鍵.

2.如圖，AB是00的直徑，AC與。0交于點F,弦AD平分NBAC,DE±AC,垂足為E.

(1)試判斷直線DE與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若。。的半徑為2,ZBAC=60°,求線段EF的長.

【答案】見解析。

【解析】(1)欲證明DE是。。的切線，只要證明/0DE=90°即可;

(2)過。作OGLAF于G,得到AF=2AG,根據直角三角形的性質得到AG=LOA=1,得到AF=2,推出四

2

邊形AODF是菱形，得到DF〃OA,DF=0A=2,于是得到結論.

解：(1)直線DE與。。相切，連結0D.

VAD平分/BAC,

；.NOAD=NCAD,

VOA=OD,

.\Z0AD=Z0DA,

.\ZODA=ZCAD,

二OD〃AC,

VDE±AC,即NAED=90°,

AZODE=90°,即DE_LOD,

；.DE是。0的切線；

(2)過。作OG_LAF于G,

.\AF=2AG,

VZBAC=60°,0A=2,

，AG=LOA=I,

2

.\AF=2,

；.AF=OD,

...四邊形AODF是菱形，

；.DF〃OA,DF=0A=2,

.\ZEFD=ZBAC=60°,

.\EF=1.DF=1.

2

【點撥】本題考查切線的判定和性質、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線,

屬于中考常考題型.

3.如圖所示，在(0的內接中，NM4N=90°,AM=2AN,作于點P,交。Q于

另一點B,C是為w上的一個動點(不與A,M重合),射線交線段朋的延長線于點D,分別連接AC

和8C,BC交MN于點、E.

D

(1)求證：ACM4sACBD.

(2)若MN=10,MC=NC，求BC的長.

(3)在點C運動過程中，當=a時，求絲目的值.

4NE

3

【答案】(1)證明見解析(2)6拒(3)-

2

【解析】【分析】(1)利用圓周角定理得到/CMA=NABC,再利用兩角分別相等即可證明相似；

(2)連接0C,先證明MN是直徑，再求出AP和NP的長，接著證明△COESLBPE，利用相似三角形

的性質求出0E和PE,再利用勾股定理求解即可；

(3)先過C點作CGLMN,垂足為G,連接CN,設出GM=3x,CG=4x,

再利用三角函數和勾股定理分別表示出PB和PG,最后利用相似三角形的性質表示出EG,然后表示出ME

和NE,算出比值即可.

【詳解】(1)M：VAB1MN,

.,.ZAPM=90°,

：.ZD+ZDMP=90°,

又：/DMP+/NAC=180°,ZMAN=90°,

ZDMP+ZCAM=90°,

.\ZCAM=ZD,

VZCMA=ZABC,

ACMAs^CBD.

(2)連接OC,

,//肪W=90°，

二MN是直徑，

'：MN=1Q，

.?.OM=ON=OC=5,

,/AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，

AAN=2A/5,AM=45

-：S^AMN=^AM-AN=^MN-AP,

AP=4，

.??6F=AP=4，

；?NP=yjAN2-AP2=2，

：.OP=5-2=3,

MC=NC，

.\OC±MN,

.\ZC0E=90°,

VAB±MN,

.\ZBPE=90°,

...NBPE=NC0E,

又：NBEP=NCE0,

△COEsdBPE

.COOECE

''~BP~~PE~~BE'

5OECE

m即一=---=----

4PEBE

由OE+PE=OP=3,

54

/.OE=-,PE=—,

33

???CE=4℃2+OE2=卜2+百=?6

BE=yjBP2+PE2=/2+百=，

??.BC=—V3+-A/3=6^.

33

(3)過C點作CGJLMN,垂足為G,連接CN,

〈MN是直徑，

AZMCN=90°,

AZCNM+ZDMP=90°,

VZD+ZDMP=90°,

???ZD=ZCNM,

3

VtanZMDB=-,

4

3

tanZCA^M=—,

4

設GA/=3x,CG=4x,

CM=5x,

：.CN=^,

3

:.NG=3,

....25x

：.NM=——

3

：.0M=0N=,

6

AM=2AN，且折+d=膈,

....5A/5IO，?

??AN=-----x,AM=-x，

33

SZA-XA/iiMtzNV=-AM-AN=-MN-AP,

:.AP=—x=PB,

3

：.NP=-x,

3

16511

PG=—x—x——X

333

VZCGE=ZBPE=90°,ZCEG=ZBEP,

...ACGEsABPE,

.CGGECE

"BP-PE-BE?

4xGECE

即~^E~~BE

：.GE=2x,PE=-x

3

ME=5x,NE=----,

3

，ME:NE=3:2,

ME,,..3

——的值為一.

NE2

D

【點睛】考查圓的相關知識、相似三角形的判定與性質、三角函數、勾股定理等知識，涉及到了動點問題,

解題關鍵是構造相似三角形，正確表示出各線段并找出它們的關系，本題綜合性較強，屬于壓軸題.

4.如圖所示：)。與,A6c的邊6C相切于點C,與AC、A3分別交于點D、E,DEHOB.DC是一。

的直徑.連接0E,過C作CG〃OE交I。于G,連接。G、EC,DG與EC交于點F.

(1)求證：直線與。。相切；

(2)求證：AEED=ACEF；

(3)若EF=3,tanNACE=g時，過A作AN〃CE交」。于M、N兩點(M在線段AN上)，求AN的

長.

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)10+2B

【解析】(1)由兩組平行條件推出NDEO=NBOE,即可利用SAS證明ABOE四△BOC,進而推出AB是圓的切線;

⑵將DG與0E的交點作為H,根據直角的性質得出AE//DF,可得△AECs/iDFC,得出——=——，再根據圓

ACDC

DFFFAFFF

周角定理求出NECD=NEDF,再由一組公共角可得△FEDs\DEC,得出——=——，進而推出——=——，即

ZDCEDACED

AEED=ACEF;

⑶先根據題意算出EC,再根據勾股定理得出直徑CD,從而得出半徑,再利用(2)中的比例條件將AC算出來,

延長B0到I,連接ON,根據垂徑定理可得01垂直AN,即可利用勾股定理分別求出AI和IN,即可得出AN.

【詳解】(1)VDE//OB,AZBOC=ZEDC,

VCG//OE,.,.ZDEO=ZBOE,

又?.?NDEO=NEDC,Z.ZDEO=ZBOE,

由題意得：EO=CO,BOBO,

.".△BOE^ABOC(SAS),

.?.ZBE0=ZBC0=90°,

；.AB是。0的切線.

如圖所示DG與0E交點作為H點，

VE0//GC,

.\ZEHD=ZDGC=90°,

又由⑴所知NAE0=90°,

AE//DF,；.AAEC<^ADFC,

.AE_DF

"AC-DC'

由圓周角定理可知NEDG=/ECG,ZE0D=2ZECD,

VD0//GC,

ZEOD=ZGCD=ZGCE+ZECD,ZECD=ZGCE=ZEDF,

又：ZFED=ZDEC,

.".△FED^ADEC,

.DFEF

"~DC~~ED'

AEEF

??---=---,即AE-ED=AC-EF.

ACED

EF=3,tanNACE=J，與ZACE相等角的tan值都相同.

2

AED=6,則EC=12,

根據勾股定理可得CD=y]ED2+EC2=V36+144=645-

.".E0=D0=C0=3-x/5.

一、?AEEF1

由（2）可得——=——=-,

ACED2

22

在Rt^AEO中，可得AO?=AE^+EO\即（AC—OCT=AE+EO,

：.（2AE-2=AE2+（3A/5）\

角星得AE=475,貝UAC=875,A0=5石.

連接ON,延長BO交MN于點I,根據垂徑定理可知01，MN,

VAN//CE,ZCAN=ZACE.

在RtAAIO中,可得AO2=AI'+IO~,即2+OI2,

解得01=5,則AI=10,

在Rt^OIN中，ON2=IN2+IO1,即（3&『=/N?+52,

解得IN=2遍.

.\AN=AI+IN=10+2>/5.

【點睛】本題考查圓的綜合知識及相似全等,關鍵在于根據條件結合知識點,特別是輔助線的做法要迎合題

目給出的條件.

5.如圖，是I。的直徑，直線AM與「。相切于點A，直線與_>。相切于點3,點C（異于點

A）在40上，點。在。。上，且CD=C4,延長CD與BN相交于點E,連接AO并延長交5N于點尸.

ACM

（1）求證：CE是。的切線；

（2）求證：BE=EF；

（3）如圖，連接E0并延長與。分別相交于點G、X,連接若A3=6,AC=4,求tan/BHE.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）-

3

【解析】（1）連接0D,根據等邊對等角可知：ZCAD=ZCDA,Z0AD=Z0DA,再根據切線的性質可知NCA0=

ZCAD+Z0AD=ZCDA+Z0DA=90°=Z0DC,由切線的判定定理可得結論；

（2）連接BD,根據等邊對等角可知NODB=/OBD,再根據切線的性質可知NODE=N0BE=90°,由等量減等

量差相等得NEDB=NEBD,再根據等角對等邊得到ED=EB,然后根據平行線的性質及對頂角相等可得NEDF=

ZEFD,推出DE=EF,由此得出結論；

（3）過E點作EL_LAM于L,根據勾股定理可求出BE的長，即可求出tan/BOE的值，再利用倍角公式即

可求出tanNBHE的值.

【詳解】（1）連接0D,

?：CD=CA,

：.NCAD=NCDA,

VOA=OD

ZOAD=N0DA,

???直線AM與：。相切于點A,

JZCA0=ZCAD+Z0AD=90°

ZODC=ZCDA+Z0DA=90°

ACE＞（。的切線；

ACM

(2)連接BD

VOD=OB

，ZODB=ZOBD,

???CE是(。的切線,BF是的切線,

Z0BD=Z0DE=90°

???ZEDB=ZEBD

AED=EB

VAM±AB,BN±AB

，AM〃BN

???ZCAD=ZBFD

NCAD=NCDA=NEDF

JZBFD=ZEDF

???EF=ED

.\BE=EF

(3)過E點作ELLAM于L,則四邊形ABEL是矩形,

設BE=x,則CL=4-x,CE=4+X

A(4+X)2=(4-X)2+62

9

解得「二

9

tanZBOE=—==-

0334

VZB0E=2ZBHE

…尸2tanNBHE3

tanZBOE=--------------=一

1-tan2ZBHE4

解得：tanNBHE=—或-3(-3不和題意舍去)

3

1

tanZBHE=—

3

ALCM

H

\V\i\1/

\\W）

BE：-

【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，三角函數

/,勾股定理等知識，熟練掌握這些知識點并能熟練應用是解題的關鍵.

6.己知：如圖，AB是的直徑，點E為。上一點，點D是片后上一點，連接AE并延長至點C,使

ZCBE=ZBDE,BD與AE交于點F.

（1）求證：是。。的切線；

（2）若平分/4SE，求證：ACr=DFDB.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】（1）利用A6為直徑，得出NBE4=90。，利用NBDE=NBAE,NCBE=NBDE得出

4BAE=/CBE,從而得出NEB4+NEBC=90°,進而得出結論；

（2）證出CEJMS.,ADB即可得出結論.

證明：（1）QAB為直徑，

.-.ZBEA=90°.

在RNBEA中,ZEBA+ZBAE=9Q°,

又?ZBDE=NBAE/CBE=ZBDE,

：.ZBAE=ZCBE,

.-.ZEBA+ZCBE=90°,即NABC=90°,

.-.BC±AB,

又QAB為（。的直徑，

.?.3C是。。的切線；

（2）QBD平分ZABE，

:.ZEBD=ZDBA，

又?ZEBD:/EAD，

:.ZDBA=ZEAD，

又?NFDA=ZADB.

..^FDA^^ADB，

ADFD

"~BD~~AD'

:.AD2=DFDB-

【點睛】本題考查了切線的判定，同弧所對的圓周角相等，三角形相似的判定和性質；證明切線有兩種情

況（1）有交點，作半徑，證垂直；（2）無交點，作垂直，證半徑.

7.如圖，在中，NC=90°,AD平分N54c交于點D,0為AB上一點，經過點A、D的0

分別交AB、AC于點E、F.

（1）求證：是的切線；

（2）若BE=8,sinB=—,求。。的半徑；

13

（3）求證：AD1=ABAF-

【答案】（1）見解析（2）8（3）見解析

【解析】（1）連接0D,由AD為角平分線得到一對角相等，再由等邊對等角得到一對角相等，等量代換得

到內錯角相等，進而得到0D與AC平行，得到0D與BC垂直，即可得證；

（2）連接EF,設圓的半徑為r,由sinB的值，利用銳角三角函數定義即可求出r的值；

（3）先判斷出/AEF=/B.再判斷出NAEF=NADF,進而得出NB=/ADF,進而判斷出△ABDs/\ADF,

即可得出結論.

【詳解】（1）如圖，連接0D,則OA=OD,

.\ZODA=ZOAD,

TAD是NBAC的平分線,

???NOAD=NCAD,

???NODA=NCAD,

???OD〃AC,

.,.Z0DB=ZC=90°,

???點D在。0上，

???BC是。。的切線；

(2)由(1)知，0D1BC,

.,.ZBD0=90°,

設。0的半徑為R,則OA=OD=OE=R,

???BE=8,

??-0B=BE+0E=8+R,

在Rtz^XBDO中，sinB=—,

13

ODR5

sinB=------=--------=—

OBH+813

???R=5;

(3)連接OD,DF,EF,

TAE是。。的直徑,

???NAFE=90°=NC,

???EF〃BC,

???NB=NAEF,

VZAEF=ZADF,

AZB=ZADF,

由(1)知，ZBAD=ZDAF,

AAABD^AADF,

.AB_AD

AD-AF?

???AD2=AB?AF.

【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定，圓周角的性質，相似三角形的判定和性質，銳角三

角函數，求出圓的半徑是解本題的關鍵.

8.古希臘數學家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”.請研究如下美麗的圓.如圖，線段AB

是。。的直徑，延長AB至點C,使BC=OB,點E是線段0B的中點，DELAB交。0于點D,點P是。0上一

動點(不與點A,B重合)，連接CD,PE,PC.

(1)求證：CD是。0的切線；

(2)小明在研究的過程中發現P急F是一個確定的值.回答這個確定的值是多少？并對小明發現的結論加

以證明.

【解析】本題考查了切線的判定與性質及相似三角形的判定與性質.(1)連接OD,DB,由已知可得DE垂

直平分0B,于是DB=DO,而OB=OD,所以DB=DO=OB,即AODB是等邊三角形，于是/BD0=60°,再由

等腰三角形的性質及三角形的外角性質可得NCDB=30°,從而可得N0DC=90°,所以OD±CD,所以CD

是。。的切線；(2)連接0P,由已知條件得OP=OB=BC=2OE,再利用“兩組邊成比例，夾角相等”證明

△OEP^AOPC,最后由相似三角形的對應邊成比例得到結論.

【詳解】解：(1)如答圖，連接OD,DB,：點E是線段0B的中點，DELAB交。。于點D,，DE垂直平分

OB,；.DB=DO.：DO=OB,，DB=DO=OB,二△ODB是等邊三角形，NBD0=NDB0=60。.；

BC=OB=BD,且NDBE為ABDC的外角，NBCD=NBDC=上NDBO.VZDB0=60°，：.ZCDB=30°.

2

Z0DC=ZBD0+ZBDC=60°+30°=90°，.\OD±CD,；.CD是OO的切線;

^⑵這個確定的0值是?

0EOP1

證明：如答圖，連接OP,V0P=0B=BC=20E,/.—=——=一,又^.^/C0P=/P0E,.^.△0EPs△0PC,

OPOC2

.PEOP1

【點撥】考查切線的判定與性質及相似三角形的判定與性質，熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵.

9.如圖，AB是。0的直徑，點C是。0上一點（與點A,B不重合），過點C作直線PQ,使得NACQ=NABC.

（1）求證：直線PQ是。0的切線.

（2）過點A作ADLPQ于點D,交。。于點E,若。。的半徑為2,sin/DAC=g,求圖中陰影部分的面積.

2

27r/—

【答案】（1）見解析；（2）-j--y/3-

【解析】（1）連接03由直徑所對的圓周角為直角，可得/ACB=90。；利用等腰三角形的性質及已知條

件NACQ=/ABC,可求得/0CQ=90°,按照切線的判定定理可得結論.

（2）由sin/DAC=,，可得/DAC=30°,從而可得/ACD的度數，進而判定AAEO為等邊三角形，則

2

NAOE的度數可得；利用S陰影=S扇形-SAAB。，可求得答案.

【詳解】解：（1）證明：如圖，連接0C,

0

TAB是。。的直徑,

.?.ZACB=90°，

VOA=OC,

AZCAB=ZACO.

?.?NACQ=NABC,

???NCAB+NABC=NAC0+NACQ=N0CQ=90°,即OC_LPQ,

???直線PQ是。。的切線.

(2)連接OE,

VsinZDAC=—,AD±PQ,

2

???NDAC=30°,NACD=NABC=60°.

AZBAC=30°,

AZBAD=ZDAC+ZBAC=60°,

又?.,OA=OE,

/.△AEO為等邊三角形，

AZA0E=60°.

S陰影=S扇形-SAAEO

=S扇形—-0A*0E*sin60°

2

607r

------x22-IX2X2XT

360

On

圖中陰影部分的面積為千-百.

【點睛】本題考查了切線的判定和性質，求弓形的面積和扇形的面積，等腰三角形的性質，等邊三角形的

判定和性質，以及三角函數，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識進行解題.

10.如圖，AB為。。的直徑，C為BA延長線上一點，CD是。。的切線，D為切點，0FLAD于點E,交CD于

點F.

(1)求證：ZADC=ZAOF；

(2)若sinC=』，BD=8,求EF的長.

3

【答案】（1）見解析；（2）2.

【解析】（1）連接0D,根據CD是。。的切線，可推出NADC+N0DA=90°,根據OF_LAD,ZA0F+ZDA0=90

0,根據OD=OA,可得N0DA=NDA0,即可證明；

（2）設半徑為r,根據在RtZkOCD中，sinC=-,可得。D=r,OC=3r,AC=2r,由AB為。。的直徑，

3

OEOA1

得出NADB=90°,再根據推出OF,AD,OF〃BD,然后由平行線分線段成比例定理可得一=—=-,求

BDAB2

OFOC3

出0E,——=——=—,求出OF,即可求出EF.

BDBC4

【詳解】（1）證明：連接0D,

VCDMOO的切線，

.\OD±CD,

ZADC+Z0DA=90°,

VOF±AD,

ZA0F+ZDA0=90°,

V0D=0A,

Z0DA=ZDA0,

.\ZADC=ZA0F；

(2)設半徑r,

cA,ft

在RtzXOCD中，sinC=-,

3

OD1

——=-,

OC3

OD=r,OC=3r,

：0A=r,

.".AC=0C-0A=2r,

VAB為。0的直徑，

.\ZADB=90°,

XV0F±AD,

.,.0F/7BD,

?OE_OA_1

"BD~AB^1'

；.0E=4,

..OFOC_3

'BD~BC~4'

OF=6,

：.EF=OF-OE=2.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，銳角三角函數，切線的性質，直徑所對的圓周角是90°,

靈活運用知識點是解題關鍵.

11.如圖，在半徑為5cm的。。中，AB是。。的直徑，CD是過。0上一點C的直線，且ADLDC于點D,AC

平分/BAD,E是BC的中點，0E=3cm.

(1)求證：CD是。0的切線；

(2)求AD的長.

【答案】見解析。

【解析】（1）連接03由AC平分/BAD,OA=OC,可得/DAC=/OCA,AD〃OC,根據AD_LDC,即可證明

CD是。0的切線；

（2）由0E是AABC的中位線，得AC=6,再證明△DACs/\CAB,得期即&□=_§_,從而可得AD

ACAB610

=歿

V

【解答】（1）證明：連接OC,如圖：

VAC平分/BAD,

.\ZDAC=ZCAO,

：OA=OC,

.,.ZCAO=ZOCA,

.\ZDAC=ZOCA,

AAD/70C,

VAD1DC,

ACO±DC,

ACDMOO的切線；

(2)YE是BC的中點,且OA=OB,

...0E是aABC的中位線，AC=2OE,

V0E=3,

.\AC=6,

：AB是。0的直徑，

.\ZACB=90o=ZADC,

又NDAC=NCAB,

.,.△DAC^ACAB,

?AD—AC即AD=6

**ACAB5T元’

;加=里

5

15.已知。。是，ABC的外接圓，AD為。。的直徑，AD1BC,垂足為E,連接B0,延長B0交AC于點

F.

(1)如圖1,求證：ZBFC=3ZCAD；

(2)如圖2,過點D作。G〃防，交。，。于點G,點H為GD的中點，連接0H,求證：BE=OH

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CG,若DG=DE,AAO下的面積為述，求線段CG的長.

5

【答案】(1)見詳解；(2)見詳解；(3)CG=2四.

3

【解析】(1)先推出NBAD=/CAD,然后根據圓周角定理可得出/B0D=2NBAD=2/CAD,根據NBOD=/AOF,

可得出NA0F=2NCAD,根據NBFC=NAOF+NCAD,即可證明結論；

(2)連接0G,證明△OBEg^DOH,即可證明結論；

(3)連接AG,過A點作AM_LCG于點M,過F點作FN_LAD于點N,先推出DE=20E,設0E=m,則DE=2m,

BEO5

0B=0D=0A=3m,AE=4m,根據勾股定理得出CE=BE=2"n，再求出tan/BOE=——=、加=20，tan/

OEm

EAC=—=———=—^~,根據tanNA0F=tan/B0E=2V^，得出^^=2及，設0N=a,貝！JNF=2?a,可

得tanZ

EAC=—=^^-=^1,解出AN,根據AN+NO=AO,解出a=3m,再根據?0A-FN=2也，可求

ANAN2525

出m=l,可得出DH=1,0D=3,BE=CE=OH=20，AE=4,根據勾股定理可得AC=2#,根據OD=OA,DH=HG,

得出AG=20H=4后，推出cosZADG=cosZACM,即可求出CM=2^S,利用勾股定理可得人\1='叵，GM=^^,

333

即可得出答案.

【詳解】⑴：AD為。。的直徑，ADLBC,

:,BD=CD，BE=CE,

JZBAD=ZCAD,

ZB0D=2ZBAD,

AZB0D=2ZCAD,

ZBOD=ZAOF,

??,NA0F=2NCAD,

???NBFC=NAOF+NCAD,

JNBFO2NCAD+NCAD=3NCAD；

(2)連接OG,

???點H為GD的中點,OG-OD,

.*.DH=GH,OH±DG,

VADXBC,

AZAEB=Z0HD=90°,

VDG//BF,

AZB0H=Z0HD=90°,

即NDOH+NBOD=90°,

VZB0D+Z0BE=90°,

???ZOBE=ZDOH,

又二OB=OD,

AAOBE^ADOH,

/.BE=OH；

(3)如圖，連接AG,過A點作AMLCG于點M,過F點作FNJ_AD于點N,

A

由（2）可知DH=OE,

VDG=2DH=20E,DG=DE,

Z.DE-20E,

設OE=m,則DE=2m,

A0B=0D=0A=3m,

AE=4m,

在Rt^OBE中，BE=y]oB2-OE2=242m，

CE-BE=2，tanNBOE=----------二2J2,tanZ^EAC-——=------=---，

OEmAE4m2

VtanZAOF=tanZBOE=2^/2，

NF「

???獷2。

設0N=a,則NF=2A/2a，

.十_NF_2缶_V2

??ta.n/pAErAC---=----------,

ANAN2

AN=4a,

VAN+NO=AO,

??4a+a=3m,

3

??a=—m，

5

FN=2^2X—m=$忘m,

55

19\/2

VSAAOF=--OA?FN=^^,

25

.￡&6x/2_972

??,3m,----mm------，

255

/.m2=l,

m=±l,

Vm>0,

??m=1,

/.DH=1,0D=3,由（2）得BE=CE=0H=2&，AE=4,

在RtAAEC中AC7AE2+CE2=2娓，

VOD=OA,DH=HG,

???AG=20H=4五，

VZADG+ZACG=180°,ZACM+ZACG=180°,

???NADG=NACM,

cosNADG=cosNACM,

.PH_CM

"~DO~~AC'

.1-CM

"3-2V6'

.RY2A/6

3

在RtZ\ACM中,AM==半,

在Rt.AGM中，GM=JAG?—AM2，

2[2

；.CG=GM-CM=1.

3

【點睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形性質和判定，銳角三角函數，垂徑定理，勾股定理，掌握

知識點靈活運用是解題關鍵.

16.如圖，在AABC中，ZC=90°,AD平分44c交8C于點。，過點A和點。的圓，圓心。在線

段AB上，，。交AB于點E，交AC于點尸.

(1)判斷與］。的位置關系，并說明理由；

(2)若AD=8,AE=10,求BD長.

120

【答案】(1)BC與。相切.證明見解析；(2)——.

7

【解析】(1)利用角平分線的定義證明=ZCAD,結合等腰三角形的性質證明ZODA=ZCAD,從

而證明O￡>//AC,結合ZC=90°可得答案；

(2)連接DE,先利用勾股定理求解DE的長，再證明「BDES-BA。，利用相似三角形的性質列方程

組求解即可得到答案.

【詳解】解：(1)與C。相切.

理由如下：

如圖，連接OD,

AD平分44C,

ZOAD=ACAD,

QOA=OD,

ZODA=ZOAD,

ZODA=ACAD,

:.OD//AC,

-ZC=90°,

:.NODB=NC=90。,

Q。在0。上,

.?.BC是o。的切線.

(2)連接DE,

,:AE為二。的直徑，

.-.ZADE=9Q°,

AD=8,AE=1Q,

DE=A/A￡2-AD2=6,

ZODB=ZADE=90°,

ZBDE+NODE=ZADO+NODE=90°,

:.ZBDE^ZADO,

OD=OA,

ZADO=ZDAO,

:.ZBDE=ZDAO,

ZB=ZB,

:._BDEs3BAD,

BDDE_BE

"BA^AD~