安徽省當涂第一中學2024-2025學年高三上學期1月期末考試

數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若—z:1i，貝心=（）

1+12

11.「11.11.11.

A.—+—1B.--------1C.——+—1D.---------1

22222222

2.某停車場在統計停車數量時數據不小心丟失一個，其余六個數據分別是10,8,8,11,

16,8,若這組數據的平均數、中位數、眾數成等差數列，則丟失數據的所有可能值的和為

（）

A.21B.24C.27D.32

3.已知向量■滿足724=0,貝第在￡上的投影向量為（）

A.2aB.-aC.s[?.aD.2A/2?

4.已知四面體/BCD的四個頂點都在同一球面上，BD=CD=1,BC=6平面/8。，平

面8CD當該球的體積最小時，四面體體積的最大值為（）

4824128

5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物

不知數”問題的解法傳至歐洲1.1874年英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的

關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一

個關于同余的問題.現有這樣一個問題將正整數中能被3除余1且被2除余1的數按由小

到大的順序排成一列，構成數列{%},則。10=（）

A.55B.49C.43D.37

6.設函數〃無）=$山（函-胃（0>0）,若/（X）在（0,￡|上有且只有2個零點，且對任意實

數。，/（x）在|■）上存在極值點,

則。的取值范圍是（）

a-3b-Q,3_C.卜罩D.p?

試卷第1頁，共4頁

7.已知雙曲線。:'-芯=1（°>0,6>0）的離心率為右，雙曲線C的一條漸近線與圓

+了2-4丫一2^+1=0交于48兩點，則（

2V55

A.Vn

8.已知函數/（x）滿足了，當0V無1<龍2VI時，/（再）（/（々）,

2025

3TB.3Yc.3-5D.3Y

二、多選題

9.下列說法正確的有（）

A.（1-2x）6的展開式中，Y的系數是160

B.（l+2x）6的展開式中，各二項式系數和為26

C.從4名男生，3名女生中選2名學生參加志愿者服務，X表示參加志愿服務的男生人

數，則E（X）=g

D.36有9個不同的正因數

10.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯數字中的“8”.如圖，曲線0：卜2+必）2=°12-r）是雙紐

線，關于曲線C,下列說法正確的是（）

。上存在點（X。,%）,使得>3

C上的點的縱坐標的最大值為逆

D.若直線>=質與C恰有一個公共點，則人的取值范圍為+

II.已知V4BC中，ABLBC,AB=BC=2,E,尸分別在線段9，CA±,且屜=誦3,

CF=XCA（2e（。」））.現將△4EF沿EF折起，使二面角A-EF-C的大小為?（?e（0,%））.以

試卷第2頁，共4頁

下命題正確的是()

A.若％=a=j,則點尸到平面NBC的距離為必

B.存在彳使得四棱錐/-3CFE有外接球

C.若%=1則棱錐FT協體積的最大值為普

3ol

JT2

D.若三棱錐跖的外接球的半徑取得最小值時，2=-

23

三、填空題

12.若集合/=卜卜2-2x-24V0b8={x"2},A[}B=0,則川的最小值

為.

13.若函數/(力=耳2-，-0)-卜-1|有且僅有一個零點%,且%>0,則實數。的取值集合

為.

14.已知函數/Xx)=(尤+l)e"過點M(1J)可作2條與曲線了=/(x)相切的直線，則實數/的

取值范圍是.

四、解答題

15.某商場為了吸引顧客，邀請顧客憑借消費金額參與抽獎活動.若抽中金獎，則可獲得

15元現金；若抽中銀獎，則可獲得5元現金.已知每位顧客每次抽中金獎和銀獎的概率分

別為:和;，且每次中獎情況相互獨立.現有甲、乙兩位顧客參與該商場的抽獎活動，其中

甲有2次抽獎機會，乙有1次抽獎機會.

(1)求甲抽獎獲得的現金金額大于乙抽獎獲得的現金金額的概率；

(2)記甲、乙兩人抽獎獲得的現金總金額為X,求X的分布列與期望.

16.已知直三棱柱NBC-48cl中，4B=AC=A4,分別為2c和的中點，尸為

試卷第3頁，共4頁

棱4G上的動點，ANLAXCX.

(1)證明：平面平面4"尸；

(2)設乖=彳/，是否存在實數力，使得平面44田田與平面RWN所成的角的余弦值為巫？

3

17.已知函數/(x)=(Qx+l)lnx—(a+l)x,其中〃wO.

(1)當。<0時，若函數/(%)有兩個零點，求實數。的取值范圍；

⑵若x=l是函數/")的極小值點，求實數。的取值范圍.

18.已知橢圓C:/+5=l(a>b>0)的左頂點為A,焦距為28，且離心率為等.

(1)求橢圓。的方程；

⑵直線/與橢圓C交于兩點，點p為AWV的外心.

(i)若AAMN為等邊三角形,求點尸的坐標；

(ii)若點尸在直線x=-g上，求點A到直線/的距離的取值范圍.

19.給定數列4嗎，a2,L,。,(。,€3=1,2廣、")，定義“0變換”為將數列4變換成紇：4,

%L,少，其中2=|%]-⑷(，=1,2,…,〃-1),且“=|%-%|.這種“。變換”記作久=0(/“)，

繼續對數列4進行“。變換”，得到數列C“，L,依此類推，當得到的數列各項為0時變換

結束.

(1)求數列4:1,4,2,9經過4次“。變換”后得到的數列；

(2)證明：數列4：%,a2,%經過有限次"0變換”后能夠結束的充要條件是6=。2=。3；

(3)已知數列4：2024,2,2028經過K次“。變換”后得到的數列各項之和最小，求K的最小

值.

試卷第4頁，共4頁

《安徽省當涂第一中學2024-2025學年高三上學期1月期末考試數學試題》參考答案

題號12345678910

答案CDBBADDABCDACD

題號11

答案ACD

1.C

【分析】應用復數乘法求復數.

【詳角星】由z=1i(l+i)=-1+1i.

故選：C

2.D

【分析】根據已知條件，結合平均數公式,中位數，眾數的定義，即可求解.

10+8+8+11+16+8+x61+x

【詳解】設丟失的數據為x,則平均數為:

77

眾數是8,

若xV8,則中位數為8,此時2X8=T^+X,解得：尤=-5（舍去）,

若8〈尤＜10,則中位數為x,此時2x=2尸+8,解得:x=9,

若X210,則中位數為10,此時2'10=生尸+8,解得：x=23,

所有可能的值為9,23,其和為32.

故選：D.

3.B

【分析】利用平面向量數量積的運算性質求得二=2屋B，再利用投影向量的定義可求得否在

［上的投影向量.

【詳解】因為。?"無）=0,所以7_213=0,所以7=2遍，

ah?aah,a-I—

RC下『彳F.

故選：B.

4.B

【分析】分析可知四面體的外接球的體積最小時，球心即為△BCD的外接圓的圓心,

進而求三棱錐的高和體積.

答案第1頁，共17頁

【詳解】因為平面平面3cO,所以點N在平面BCD的射影E落在3。上,

當點￡為AD的中點時，/￡最大，此時四面體/BCD的體積取最大，

在△8C。中，設其外接圓的圓心為。，取的中點尸，連接。尸，則點。在。下的直線上,

由余弦定理得，CosZ^=^±=-l

且0°<N8DC<180°,則N5DC=120°,

設外接圓的半徑為％則2r=1—,得廠=1,

sin120°

當四面體/BCD的外接球的體積最小時，此時球心應為點O,

則OE_L，KOB=OA=OD=OC^\,

得OE=J-[；）=*AE=yJOA2-OE2=『g]=|,

此時四面體ABCD體積的最大值為：-S,pg-AE=-x-x且xL=6.

3BCD322224

故選：B.

【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法

1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點（一般為接、切點）或

線作截面，把空間問題轉化為平面問題求解；

2.若球面上四點尸、/、B、C構成的三條線段為、PB、PC兩兩垂直，一般把有關元素“補

形”成為一個球內接長方體求解；

3.正方體的內切球的直徑為正方體的棱長；

4.球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；

5.利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確

答案第2頁，共17頁

定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.

5.A

【分析】由條件寫出通項公式，即可求解.

【詳解】正整數中既能被3除余1且被2除余1的數，即被6除余1,那么

%=1+x6=6〃-5,有％°=55.

故選：A

6.D

【分析】根據正弦函數的性質及零點個數、極值點的定義列不等式求參數范圍.

【詳解】由題意，當時，

因為函數/（x）=sin（Oxq）（O＞0）,若〃x）在上有且只有2個零點，

貝！J兀〈生。一工42兀，解得。.

2633

又對任意實數0,/（X）在卜,上存在極值點，且的長度為:，

而函數/（X）的最小正周期為女，則彳＞工，解得。＞3,

G)3G)

綜上，。的取值范圍是,

故選：D

7.D

【分析】根據離心率得到。,6的關系，求出漸近線方程，求出圓心到兩漸近線的距離，推理

得到漸近線2x7=0與圓M相交，由垂徑定理得到弦長.

【詳解】由一=石，有°=4ia,b=yjc2-a2-45a2-a，=la，

a

可得雙曲線C的漸近線方程為了=±?x=±2x,即2x-y=0和2x+y=o.

由圓Af:f+、2―以―2＞+]=0配方得AfAf:（x-2）2+（y-l）2=4,

（2,1）到直線2x+y=0的距離為]^=柄＞2,

可得直線2x+y=0與圓M相離，不合題意；

而圓心（2,1）到直線2x-y

2

可得直線2x7=0與圓M相交，即得叫=2,底

答案第3頁，共17頁

故選：D.

8.A

【分析】由/⑴=1,列舉遞推出^再由/[；]=；,列舉遞推

\Z1o/)3\/Zzz)Z1o/JJ

出焉,又因為當ov玉<々<1時，〃再)<〃Z),即可得到答案.

【詳解】由題意得/⑴=1,故/]￡i=；/(i)=;，

/&=?〕』$，叱>?=擊

_L%_L/i)」/i]i

1k729J31.243J729’(2187)5(729J2187?

-■-/(6)=3/(l)=9,d￡Kd：]$叱=/￡)=>

LX/n-i/xLx

(162J3(54J243’(486)31162)729’

(1458J3(486)2187?

綜匕^(1458)=7"(2187)=2187,

?.,當。VX]<x?VI時，/(xi)-/(x2)>'當2187V1458時，/(x)=2187；

—<—<—,.../f-^L-L-=3-7,

218720251458,(2025)2187

故選：A

9.BCD

【分析】根據二項式定理求指定項系數、二項式系數和判斷A、B；根據隨機變量的取值及

其對應概率求期望判斷C；由36=1x36=2x18=3x12=4x9=6x6即可判斷D.

【詳解】由(1-2x)6展開式的通項公式為加=c；(-2xy,

令廠=3時，展開式中丁的系數為C(2)3=T60,A錯誤;

由(1+2尤苗的展開式中，可得各二項式系數和為26,B正確;

答案第4頁，共17頁

由題意，從4名男生和3名女生中任選2名參加活動，共有C：=21（種）不同選法,

C214C22

X的取值為0、1、2,尸(X=0)=才=,p(x=l)=-^=|,尸(x=2)=1^

7

1A28

所以E(X)=0x1+lX1+2x,=,,C正確;

因為36=1x36=2x18=3x12=4x9=6x6,所以36有9個不同的正因數，D正確.

故選：BCD

10.ACD

【分析】根據圖象所過的定點，即可判斷A,根據方程可得0<f+2=9（』-V9,即

丁+/

可判斷B,根據方程的轉化，變量的轉化，利用韋達定理和判別式求V得到取值范圍，判斷

C,聯立方程后，方程的根只有0,求左的取值范圍，即可判斷D.

【詳解】由圖可知，點（3,0）在C上，所以。=9,A正確，

設曲線C上任一點尸（"），由卜2+力2=9（/-力，可得（）</+/=岑/W9,

yjx2+y2<3,

即C上不存在點（%,%）,使得Jf+j?>3,B不正確，

方程（/+/丫=9h-力可化為一+（2/-9）/+/"2+葉=0,

令T,得/+（2/-9）/+/（/+9）=0,

A=(2/-9)2-4/(/+9)=-9如2_9?0,

g

由'%+t2=-(2y2-9)>0,可得

o

他=夕2(/+9)20,

即一逑WyV逑，等號成立，故C上的點的縱坐標的最大值為逑，C正確.

444

直線y=丘與C均經過原點（0,0），則直線y=質與。除原點外無其他公共點.

聯立方程組<（尤2+/）=9（X2-/），整理得/（1+公）2_獷（1_/）=0.

y=kx,

當1-r=0時，方程/=0僅有一解x=0,滿足題意，

答案第5頁，共17頁

90-F）

當1-父中0時，當x=0時，方程恒成立，即恒有一解，當XWO時，方程化簡得f=E'

即當1-嚴＜0時，方程無解，滿足題意，綜上，1-/V0,解得左21或左V-l,D正確.

故選：ACD

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用方程的思想分析幾何問題，C選項轉化為關于I的

方程有正根，D轉化為方程只有1個根x=0.

II.ACD

【分析】對于A,由線面平行將點尸到平面/8C的距離轉化成點￡到平面N8C的距離即可

求解，對于B,通過四邊形8C/組沒有外接圓即可判斷，對于C,確定NE,8瓦斯的長度，結

合體積公式及基本不等式即可判斷，對于D,補全長方體即可判斷.

【詳解】而=4防，CF=/lC4（/le（0,l））,易知好||小，（Z平面A8C,3cu平面N3C,

易知所〃面4BC

故點F到平面N3C的距離為即為點E到平面/3C的距離,

因為48_LBC,所以所以EF工BE,EF工AE,

所以N3E/為二面角/-跖-C的平面角，

又/￡*￡為平面/BE內兩條相交直線，

所以E尸_L平面/3E,

所以8C_L平面N3E,又5c在平面4BC內,

所以平面/3CJ■平面N3E,

所以E到平面N5C的距離即為E到,

1TT1T

A選項：2=-,a=~,即8e=/石=1,/8E4=§,三角形N5E等邊三角形，

可得：E到NB的距離為lxsin60°=且，故A正確；

2

B選項：由于直角梯形EFC8不可能共圓，所以四棱錐4-3CFE無外接球，所以B錯誤;

C選項：由題意可知8￡=24,AE=2-2九,EF=2-2A,sinZAEB=a

V=—SxEF=—AExBExsinZAEBxEF.

rF—AEF,DBrNVAB匕F，，

36

=122（2-22）（2-22）sinAAEB

4A+2—24+2—24364

由基本不等式可知:42（2-2A）（2-2A）＜

3F

答案第6頁，共17頁

當且僅當42=2-22=2-22,即幾=；時取得最大值，

所以VF-AEB=-x2A(2-22)(2-2A)sinNAEB<—sinZAEB,

681

所以當％=sin4E3=a=］時，體積取到最大值：，故正確；

D選項：由題意可知3￡=2彳，^￡=2-22,EF=2-2A,

7T

a=—,也即￡￡助,區4兩兩垂直，

2

可以依次構造長方體，長方體的體對角線即為外接球的直徑，設外接球半徑為小

貝!1(2/)2=4力+2(2—24)2=12力一164+8,AG(0,1),

所以％4時，2r取得最小值馬反，此時*n=",所以D正確.

333

故選：ACD

12.6

【分析】先求出集合/={H-4VXV6},然后由NC8=0,從而求解.

【詳角軍】由/-2尤一24<0,解得一4V尤V6,所以/={4-4VxW6},

因為ZcB=0,>0，所以加2泊，

所以小的最小值為6.

故答案為：6.

13.

【分析】根據函數的零點個數分x<0,0<x<l,xWl三種情況分別討論函數零點，再結合函

數圖象求出參數范圍.

【詳解】由題可知：函數/'(x)有且僅有一個正零點，

又/(0)=-"0.

當XW0時，不妨令〃x)=x(2T-a)-|x-l|=0,

則2-0=3』

X

所以°=2-￡-日.

X

①當x<0時，2T=一==2-，一\1,

XXX

答案第7頁，共17頁

由2r>1，-->0,所以27-"^^=2一'-1+1>2.

XXX

此時函數/(X)沒有零點；

②當0<x<l時，2r一^^=2-'」+1,

XX

令g(x)=2-"一,+1,0<x<l,

，/\CT1c］1__2r-%2

g(x)=-2-ln2d--->—-2x=------,

6V7x2x2X2-2X

當0<X<1時，2X>\,0<x2<b所以2'——>o,

即g，⑺=>0在(0,1)上恒成立，

x-2”

則g(x)在(o,l)單調遞增,

當x->0時，2-*-1,--,則g(x)=2T-1+l--e,

xx

又g⑴=；，所以g(X)在(0,1)上的值域為［-8,￡).

③當XN1時，2-x-^^=2-x--=2-x+—1,

XXX

令/Z(X)=2，H---1,x>1,

由必=2一工在［1,+向上單調遞減，%=!在I,+s)上單調遞減，

x

所以〃(x)=2一工+：-1也在口,+⑹上單調遞減，

當x—>+°o時,2T—>0,---0,貝！］〃(無)=2"H-----1—>—1,

XX

又所以力⑴在口，+⑹上的值域為卜1,；.

由上述分析可得。的取值范圍為:

答案第8頁，共17頁

。(一1或。=一.

2

故答案為：.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是畫出函數了=2-，-口，XHO的圖象，數形結合得

X

出參數范圍.

14.[0,2e)u

【分析】求出切線方程為y-(a+l)e"=(a+2)e"(x-a)，代入點W的坐標化簡可得

”(3-。2威，設g(a)=(3--)e",依題意，直線＞"與g(a)=(3--)e"的圖象有兩個交點,

利用導數研究函數g(a)的性質，進而作出草圖，結合圖象即可得解.

【詳解】/'(x)=(x+2)e，，設切點為(a,(“+l)e"),

則切線方程為y-S+l)e[=(“+2)e"(x-a),

將點代入切線方程得，/_(“+l)e"=(a+2)(l-a)e",化簡得”(3-/同，

設g(a)=(3-/)e",則g'(a)=-2ae"+(3-/)e"=-(a2+2a-3)ea=-(a+3)(aT)e',

令g'(a)>0,解得-3<a<1,令g'(a)<0,解得a<-3或a>1,

.??g⑷在(-8,-3),(1,+s)上單調遞減，在(-3,1)上單調遞增，且g(_3)=-?,g⑴=2e,

e

作出函數g(。)的大致圖象如下圖所示，

由圖象可知，要使直線＞=/與g(a)=(3-a2)e"的圖象有兩個交點，貝/e[0,2e)u1,

故答案為：[0,2e)u.g}.

【點睛】方法點睛：利用導數的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系

數相等，得到方程組，消去一個變量后，問題轉化為方程的根的個數問題，構造函數，利用

導數研究其性質，作出圖象，數形結合求解即可.

答案第9頁，共17頁

/、25

15.（1）—

v727

(2)分布列見解析；期望為35

【分析】(1)通過互斥事件的概率加法公式可求得答案;

(2)X的所有可能取值為15,25,35,45,進而通過獨立事件與互斥事件的概率公式求出

相應的概率，進而得到分布列，最后求出期望.

【詳解】(1)若甲抽中2次銀獎，則由甲抽獎獲得的現金金額大于乙抽獎獲得的現金金額,

可知乙也得抽中銀獎，此時概率4=1

1327

若甲至少抽中1次金獎，則甲抽獎獲得的現金金額一定大于乙抽獎獲得的現金金額，此時概

率一《I28

9

25

故甲抽獎獲得的現金金額大于乙抽獎獲得的現金金額的概率P=P\”2=W

(2)記甲、乙兩人抽獎獲得的現金金額分別為y,Z,則萬=丫+2.

21124

尸"214

由題可知p(y=io)2,P（Y=20）=C\x-x-=-f=30）=

12

P（Z=5）=],P（Z=15）=-,

i1ii941242414

貝尸（X=15）=—x—=——,P（X=25）=-x—+-x,P（X=35）=-x—+-x

,79327v793939,793939

x的分布列為

X15253545

1248

p

279927

1—2cL4“8―

￡（X）=15x-----F25x—F35x—+45x—=35.

279927

16.(1)證明見解析;

（2）存在2=；.

【分析】(1)先用線面垂直的判定定理證明平面4〃尸，再使用面面垂直的判定定理

即可;

答案第10頁，共"頁

（2）使用空間向量法直接求解兩平面的夾角（用彳表示），再根據夾角條件，解關于2的方

程即可.

由于在直三棱柱-43G中，有44—平面而NC在平面/BC內，故44J/C.

同時有/C//4G，且/N，4G，故

由于NN_L/C,AA11AC,且4V和在平面44e3內交于點A,故ZC_L平面月2.

由于48在平面/，田田內，故/37./C.

取的中點R,由于分別是5C和A4的中點，故MR//ZC,而/C//4G，故“R//4G，

即必?〃4尸.

由于分別是8C和創的中點，可以得到〃R=；/C=；4G=/r，所以有平行四邊形

MRPAX,故&R//MP.

設4及和/N交于點T,由于==AB=A,A,

NABN=90°=NAAR,

5

從而得到AABN全等于,故ATRA=ZAtRA=ZANB=90-ZBAN=9CP-ZRAT.

這就得到/加+NQ1T=9O。，從而NAL4=90。，即NN_L4R.

而4尺〃A/P,故AN~MP.

由于即NN，4尸，而NN'MP,4尸和MP在平面4〃尸內交于點尸，故AN工

平面A{MP.

由于NN工平面&WP,/N在平面/NP內，故平面ZNP_L平面4"P.

答案第11頁，共17頁

(2)有又因為，平面力BC,和4C在平面/4內臺內，故

AA.1AC,

由于N8,NC,/4兩兩垂直，故我們能夠以A為原點，刀，工,怒分別作為x/,z軸正方向,

建立空間直角坐標系.

由于題設條件和需要求證的結論均只依賴于線段間的比值，不妨設==2,

這就得到4（0,0,0）,5（0,2,0）,C（2,0,0）,4（0,0,2）,美（0,2,2）,G（2,0,2）,M（1,1,0）,

N（0,2,l）.

據題設有乖=2而，顯然0WXW1,此時尸（2九0,2）.

從而有方=（0,2,0）,=（0,0,2）,標=（2尢-2,1）,W=（-1,1,1）.

設4=（p,g,r）和叼=（",v,w）分別是平面44百3和平面R0N的法向量，則

nx-AB-nx-AA{=0,n2-NP=n2?MN=0.

即2q=2尸=0,2Au-2v+w=-u+v+w=0,從而可取々=（1,0,0）,n2=（3,24+1,2—24）.

此時平面AAXBXB與平面PMN所成的角的余弦值為

一—〃1?%33

COS九1，孔2=I—?|I——?1=~/=~/

同悶心+（2.+1）2+（2-24）2V822-4A+14

3?即"f+14=(解得幾斗

故條件等價于

A/8A2-4A+14

所以存在4=1,使得平面AAtBtB與平面麗所成的角的余弦值為"

43

17.（1）（一-T）

(2)0，+8)

【分析】(1)求導，確定函數的單調性，根據/(“有兩個零點，可得。<-1,構造函數

g(x)=xhw-x(O<x<l),即可求導求解.

(2)求導，構造函數為a)=alnx+：-1,結合分類討論，求解函數的單調性，結合極值的

定義，即可求解.

答案第12頁，共17頁

【詳解】(1)由(x)=alrvc+a-1=alwc+—-1=ahvc+—,

xxx

有了'⑴=0，

當0<x<l時，wlnx<0,l-x>0,又由a<0,<a\nx>0,可得了'(%)>0,

當x〉l時，有lnx>0,l—i<0,又由q<0,<a\wc<0,可得/'(%)<0,

可得當。<0時，函數/(x)的減區間為(1,+8),增區間為(0,1),

若函數/(可有兩個零點，必有〃1)=-"1>0,可得1,

又由/(e)="e+l-(〃+l)e=l-e<0,可得函數/(x)在(l,e)上有一個零點，

令g(x)=xlnx-x(O<x<l),有g[x)=lnx<0,可知函數g(x)單調遞減，

有-l<g(x)<0,可得當0<x<l且q<0時，0<a(xlnx-x)<-Q,

當0cx<e"時，有0<e"<l,

a

又由/(x)=(xlnx-x^-x+hvc<-a-x+hvc<-a+hvc<-a+lne=-a+a=0f

可知函數/(x)在(0,1)上有一個零點，

由上知，若函數/(x)有兩個零點，可得實數。的取值范圍為

(2)由(1)知，當。<0時，x=l是函數/(%)的極大值點，不合題意，若x=l是函數/(%)

的極小值點，必有。>0,

由/'(X)1m+，一1，令〃(%)=Qlnx+L—1,h'(x\=---7=aX,

xxxxx

①當0=1時，1(x)=?,易知函數〃(X)的減區間為(0,1),增區間為(1,+⑹，

可得⑴=0,此時函數/(力單調遞增,x=l不是函數/(x)的極小值點，

②當a>1時，易知函數人⑺的減區間為(0,J,增區間為(J+1|,

由工<1,〃(1)=0,可得當L<x<l時，/'(x)<0；當x>l時，f'(x)>0,

aa

可得當：<X<1時，函數/(X)單調遞減，當X>1時，

函數/'(無)單調遞增，可得X=1是函數/(X)的極小值點，

答案第13頁，共17頁

③當0<”1時，易知函數〃（尤）的減區間為（o，B，增區間為心,+，!，由/>1，M1）=0,

可得當1<X<L時，/,（x）<0；當O<X<1時，/，（x）>o,

a

可得當1<X<L時，函數/（X）單調遞減，當0<x<l時，函數/（X）單調遞增，

a

可得x=l是函數/'（X）的極大值點，由上知，

若X=1是函數/（X）的極小值點，則實數。的取值范圍為（1,+8）

【點睛】方法點睛：對于利用導數研究函數的綜合問題的求解策略：

1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍;

2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分

離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就

要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別.

18.（l）］+/=i

⑵⑴P1*。］；（ii）

【分析】（1）根據焦距為2百，離心率為魚即可求出。，。，再由/=〃+c2即可求出6,進

2

而得橢圓C的方程；

（2）（i）根據A/W為等邊三角形，可設直線/的方程為：x=t,根據|4W|=|九W|求得t的

值，點P為外心，即為中垂線的交點；

（ii）設直線/的方程為：x=my+n,設可（西,必）川（馬,%），聯立方程組有

rmi

M+y2=_2，/%=J—,“AMN的外心點尸在直線x=-g上，

m-+4"m-+43

_1（加2+20）

所以有占+無2=1，即可得8〃=〃/+4,最后由點A到直線/的距離得/）,利用函

8AW+1

數求出最值即可.

【詳解】（1）因為橢圓的焦距為2c=2V^nc=J5，

又因為離心率為e=￡所以。=2,

a2

由=/—°2得％=］,

答案第14頁，共17頁

所以橢圓C的方程為J+/=1；

4-

(2)(i)因為A/W為等邊三角形，所以|/閭=|3|=|跖^,

由對稱性可知”,N關于x軸對稱，

可設直線/的方程為：x=t,當x=Z時，匚+J=in土業二匚,

42

(([Z~p\

所以點M，點N,/(一2,0),|九明="7

\J\7

,___(/J77~~V

因為=所以?+2『+74To,

VI2

2

化簡整理有：7〃+16/+4=0,解得或-2(舍去)，

又因為點尸為的外心，即為A/MN的重心，

設尸伉⑼，則有「2-2X,_6,所以尸音,0

%=-3-=-y(7

(ii)當直線/的斜率為0時，線段龍W的中垂線為了軸，不滿足題意.

x=my+n

設直線/的方程為：x=my+n,則有：（m2++2mny+n2-4=0,

——+y=1、7

14'

所以△=（2加〃y-4（加2+4）（〃2_4）=16（加2一〃2+4）>o,

〃2—4

設〃(再,必),N(%2，%),則有：必+%=--2―7,=

m+4m2+4

設E、尸為線段/W,/N的中點，則￡廣『仔]，/[上U'S'

可得線段3的中垂線方程為冶。丁口-"],即—產x三①,

同理可得線