2024-2025學年（下）安徽高一3月調研考試

數學

考生注意：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共0分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.下列說法錯誤的是（）

A.向量C力與向量反長度相等

B.a=ba//b

C.若向量方與方共線，分與E共線，則苕與E共線

D.任一向量平移后都和原向量相等

【答案】C

【解析】

【分析】根據相反向量、相等向量、共線向量、零向量等的概念逐一判斷各選項即可.

【詳解】對于A,向量函與向量沅互為相反向量，方向相反、長度相等，故A正確；

對于B,若則方向相同、長度也相等，而方向相同的兩向量一定是平行向量，故B正確；

對于C,若5=6，對任意兩個非零向量商與都有@//5，B/小，故C不正確；

對于D,任一向量在平移過程中保持向量的方向和長度并不改變，故平移后的向量都和原向量相等，故D

正確.

故選：C.

2.設集合A={Rlog2（^-2）＜l},B=|x|y=j4-x卜則（）

A.A=BB.A^B

C.BaAD.AC\B=0

【答案】B

【解析】

【分析】根據對數函數的單調性以及幕函數的定義域，可得集合的元素，即可得答案.

【詳解】由4={尤|log2（x-2）<lj=|x|0<%-2<2}=1x|2<x<4},

3={x|y=j4-x}={x|4-x20}={x|xW4},

則AR5.

故選：B.

3.已知萬萬是單位向量，若（0+B）Z=g,則向量4與5的夾角為（）

2兀5兀?71

A.—B.—C.一

366

【答案】A

【解析】

【分析】先求兩個向量的數量積，再利用夾角公式可得答案.

【詳解】因為（。+役）出=g,所以。出+62=a-B+l=g,即=—；；

/一r\a-b1

所以cos（a,Q=而同=一5，

\a\]b\2

2TT

因為。,5e[0,兀],所以向量a與B的夾角為三.

故選：A

4.已知平面向量M==則向量a在方上的投影向量為（）

2

【答案】D

【解析】

【分析】根據向量的投影向量公式可求答案.

【詳解】因為&=（1/）石=（—2,1）,所以=—1，W=

a-bb

所以向量方在5上的投影向量為

故選：D

5.如圖，在AOCB中，A是邊5C的中點，。是邊08上靠近點。的三等分點，設礪=萬，礪=另，則

DC=（）

r5r5-

A.2。—bB.2aH—b

33

4-4-

C.2a—bD.-2。H—b

33

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的線性運算和三角形法則可以得到.

【詳解】A是邊5c的中點，.=麗，

:.OC=OA+AC=OA+BA=OA+（OA-OB）=2OA-OB,

???。是邊06上靠近點。的三等分點，:.DO=--OB,

3

:.DC=W+OC=~OB+（2OA-OB）=2OA-^OB,

__,__,_—?一4一

又OA=&QB=b，?.DC=2a—b.

3

故選：C

6.已知向量落石滿足卜_司=6,卜+5卜卜_2同,則向=（）

A.75B.73C.V2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據卜+可=卜—2可可得戶=2%Z，結合,一可=君可求答案.

【詳解】因為卜+1=歸_2同,所以戶=275；

因為卜—4=氐所以/_2￡彳+7=5,所以同=技

故選：A

____,1____ks

7.已知。為VA3C所在平面內一點，且蒞=—通+—衣，若S表示面積，則《9=(

34S^ABC

5112

A.—B.—C.-D.一

12433

【答案】A

【解析】

—■1--1—.

【分析】利用AO=—AB+—4C作出圖形，數形結合，將問題轉化為幾何問題.

34

【詳解】如圖，過D悍DMHAC,DNHAB,DG±AB,DH±AC,

因而=’通+!正，則癡=」通，麗=4飛,

3434

設S=SAABC,則SVADB=^x\AB\x\DG\=h,5VADC=|X|AC|X|DH|=|S,

5

S'BCD=SNABC~SVABD-SVACD=5-J

u^BCD5

則

^ABC12?

故選：A.

7TTT4

8.如圖，在平面四邊形AOBC中，ZAOB=-,AO=4,BO=5,ZBCO=-,cosZACO=-,則

245

tanZBOC=(

BC

112

A.-B.-CD.-

63.I3

【答案】B

【解析】

【分析】在AOBC中，由正弦定理，建立OCN3OC的等量關系；再在AQAC中，由正弦定理，再次建

立OCN3OC的關系，從而解方程組，消去OC,即可求得N50C的正切值.

【詳解】設N3oc=e,

jrjr3

在AOBC中，ZBCO=-,則NO3C=TI—N30C—N3co=兀----，=—兀一。，又。8=5,

444

OC5

OCOB

故由正弦定理可得:,即.(3八一.兀.

sin—Ti-0sin

sinZOBCsinN3co(4)4

4_3jr

在4c中，cosZACO故sinZACO,ZCOA=--0,故

52

TT

ZCAO=n-ZCOA-ZACO=-+0-ZACO,

2

OC4

OCOA

又A0=4,故由正弦定理可得:,即sinl四n+g—NACO3,

sinZCAOsinZACO

25

OC4

cos(^-ZACO)-3；

5

OC5

.兀3

s心一esin—5x

4cos(0-ZACO)於即

聯立,消去OC可得:

OC_4心—e]

cos("NACO)一可2

5

cos0cosZACO+sin0sinZACO_3_

/收'

(cos9+sin4x——

2

—cos0H—sin0czi1612.?,3.1八,,

也即nrl5s3,3sme+3cos8=—cos＜n9+一sm。，整理raz得i=：一sm8n=—cos。，故

-------------=—5555

sinO+cosS4

八1

tan。=一.

3

故選：B.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知函數/(x)=logjx+l|(a＞0,且awl)在區間(—1,0)上單調遞減，則()

A./(力在(-1,十功上單調遞減且無最小值

B./(%)在(-1,+8)上單調遞增且無最大值

C./(九)在定義域內既不是奇函數，也不是偶函數

D.“X)的圖象關于直線x=—1對稱

【答案】ACD

【解析】

【分析】由函數/(X)在區間(-1,0)上單調遞減，可得0＜。＜1,再根據復合函數單調性的判斷方法即可

對A、B做出判斷；求出/(九)的定義域，即可對C做出判斷；驗證/(-2-x)=/(x)是否成立，即可對D

做出判斷.

【詳解】對于選項A、B,因為函數y=|x+l|在(―1,十功上單調遞增，

又因為函數/("=log〃卜+1|(a＞0,且aw1)在區間(-1,0)上單調遞減，

所以0＜。＜1,所以/(九)在(-1,+＜兀)上單調遞減且無最小值，故A正確，B錯誤；

對于選項C,因為/(九)的定義域為(f1)U(—L+8)，關于原點不對稱，

所以/(九)在定義域內既不是奇函數，也不是偶函數，故C正確；

對于選項D,因為/(一2-％)=log。卜2-1+1|=log/-(x+l)|=log+=/(X),

所以/(%)的圖象關于直線x=—l對稱，故D正確.

故選：ACD

10.已知VA3C的外接圓半徑為R,內角A8,C所對的邊分別是a,4c,。=1，

Z>cos（B+C）=V37?sinB則（）

A.VABC是銳角三角形

B.VABC是鈍角三角形

C.R=1

D.VA3C面積的最大值為三8

4

【答案】BCD

【解析】

571

【分析】先由正弦定理與和角公式化簡已知式，求出A=—,即可判斷ABC項，利用余弦定理和基本不

6

等式求得三角形面積的最大值判斷D項即可.

【詳解】由Z>cos（3+C）=百HsinB可得-COS431^=R,

由正弦定理，一”=27?,代入化簡得：CosA=-—，

sinB2

5兀

因0<4<兀，解得A=——，故B正確，A錯誤；

6

2R=-^―=—=2,

因a=1,sinA1，解得R=1,故C正確；

2

由余弦定理，a2=b2+c2—2Z?ccos可得/=/?2+c2=1-^3bc>2bc，

解得兒一百，當且僅當6=c=近二走時，等號成立，

2+V32

112—、石

于是，VABC的面積為=

即VA3C面積的最大值為故D正確.

4

故選：BCD.

11.引入平面向量之間的一種新運算“（8）”如下：對任意的向量機=（再,%），〃=（工2，>2），規定

m?n=xix2-yiy2,則對于任意的向量m，b，c,下列說法正確的有（）

A.a?b=b?aB.（^d）?b=X{a?b}

C.a-（b&c）=（a?b）-cD.|a|?|^|>|a0

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據坐標運算計算出每個等式等號左右兩邊的值，由此判斷出AB是否正確；理解C選項中“?”的含義，

由此可判斷是否正確；將不等號兩邊同時平方結合坐標形式下向量的模長公式，采用作差法判斷是否正確.

【詳解】A.因為a⑤3=石/一%%石應。=%2%一%%，所以％二后=故正確；

B.因為（力4）（8）3=（4七）%2_（%%）%=彳（玉工2③石），故正確；

C.C（BGC）=（%2演2y麗）此時a?僅區c）=（a0孫c不恒成立，故錯

誤；

D.因為=（jx；+y；.Jx；+￡）=F2月+才￡+工；￡+君才,

\a?b^=x^xf+y；江一2玉WX%,

所以（|a|?|B|）-1a（8）BF=+x；y；+2x1x2yly2-（占%+%%）~0，

所以（Q|?內丁―|￡區汗20,且e0,區區向20,所以|）|.|3以￡應坂|,故正確，

故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是理解新運算的運算方法，將其與坐標形式下向量的數量積公式區

分開來，通過坐標運算達到判斷的目的.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

/(log2(2x-l))

12.若函數“X）的定義域是［0,3］,則函數y=的定義域是

Jx2-2x-3

【答案】［3,|

【解析】

【分析】根據/（尤）的定義域、對數函數的真數>0、偶次根式被開方式20,以及分式函數分母不為零,

列出不等式組求解集可得定義域.

0<log2（2x-l）<3

【詳解】要使函數有意義，貝卜2x-l>0,

%2—2x—3>0

9

l<x<-

2

1取交集得xe13,|

%>一

2

%>3或1<-1

故答案為：^3,—.

13.高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，&E,尸為山的兩側共

線的三點，且與山腳。處于同一水平線上，在山頂A處測得5E,尸三點的俯角分別為30。,60。,45。，

計劃沿直線酬開通穿山遂道，現已測得3。,。旦￡廠三條線段的長度分別為4,2,3,則隧道的長度為

【答案】673

【解析】

【分析】過A作40，斯于設=則有“￡>=x—5=走》—2,從而可得》=%0且,

32

MD=30T,在RsABM中，可得3M=96+9,從而解得。知=9—+1,再由

222

CD=QW+VD求解即可.

【詳解】解：過A作于"，如圖所示：

設

由題意可知設NABM=30°,ZAFM=45°,ZAEM=60°,

則有9=X=5+MD,EM^—X=MD+2,

3

所以MD=x—5=^x-2，

3

解得x=9+36,

2

所以MD=x—5=之叵匚，

2

在R3ABM中，BM=瓜=9&9，

2

所以CM-4=96+1,

2

所以CD=CM+MD=9^+1+3^-1=6g.

22

故答案為：6A/3

5兀

14.給定兩個長度為1的平面向量礪和礪，它們的夾角為二，如圖，點C在以。為圓心的圓弧A3上

6

運動，若反=aC5+b赤，其中a,Z?eR,則的取值范圍是.

【答案】[0,2+6]

【解析】

【分析】由題意可得向量的模長，根據數量積的運算律，結合基本不等式，可得答案.

【詳解】由題意可得甌|=1,則（a礪+6網2=1,4網）2疝萬.礪+/畫2=1,

由網=網=1,NAOB='則/+2aCcos*/=l,^3ab+l=a2+b2,

可得6ab+lN2ab，解得aZ?42+JL當且僅當。=》時，等號成立，

由圖易知a〉0,Z?20,所以abe[o,2+6]

故答案為：[0,2+^].

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知向量句=（2,—1）石=（3,2）.

（1）當府+23與的夾角為鈍角時，求實數人的取值范圍；

（2）^AB=2a+b,BC=a-mb,且三點共線，求實數加的值.

【答案】（1）（y,-2）u（-2,18）

（2）m=--

2

【解析】

【分析】（1）由向量線性運算的坐標表示，根據數量積的定義以及坐標表示，結合題意，建立不等式組，可

得答案；

（2）根據共線向量的坐標表示，建立方程，可得答案.

【小問1詳解】

因為2=（2,—1）,3=（3,2）,

所以而+23=（2左+6,—左+4）,萬一5=（—1,—3）.

因為屈+26與1夾角為鈍角,

-3（2左+6）+（-%+4）/0

所以《得大＜18且左w—2,

-（2左+6）-3x（-左+4）＜0,

故人的取值范圍為（f,-2）u（-2,18）.

【小問2詳解】

AB=2a+b=（7,0）,BC=a—mb=（2-3m,-l-2m）.

因為AB,C三點共線，

所以7x（-l-2，n）—0x（2-3〃z）=0,得加=一；.

16.已知向量扇B滿足同=2,同=/，且4與B的夾角為4.

116

（1）若（乙+石），（萬+25）,求實數x的值；

（2）求日與2萬的夾角的余弦直

7

【答案】(1)X=—

6

(2)

14

【解析】

【分析】(1)根據垂直得出數量積為零，結合夾角和模長可求答案；

(2)先求數量積和模長，代入夾角公式可得答案.

【小問1詳解】

因為(汗+丸5),所以=

即,『|2+(1+2)萬4=0,即卜|2+4忸|2+(1+2)|^|?|^|cos-^-=0,

7

所以4+3X+3(l+；l)=0,解得;1=——.

6

【小問2詳解】

因為小(24一行)=242一無石二2|萬F-|(j|-|^|cos-^=5,

'一司=yj(2a-b)2=《4a2+5、-4萬?5=5,

一一a-(2a-b\5J7

所以cos<2〃-b>=-_-；----zq-=----，

同忸—414

即)與2商的夾角的余弦值為處.

14

17.在2025年春晚的舞臺設計中，有一個“靈蛇”造型的燈光圖案，其形狀可以近似看作由函數

/(x)=Asin(a)x+0+c的圖象組成，其中4>00>0,0<0<兀.下面是該函數的部分圖象.

(1)求/(力的解析式；

(2)將/(x)=Asin(cM+0)+c的圖象向右平移￡個單位長度，再將所得圖象上所在點的橫坐標伸長為

7C

原來的2倍(縱坐標不變)得到函數g(x)的圖象，若g(x)=a-1在xe0,-時有兩個不同的實數解,

求實數。的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=2sin12x+^~1+l

(2)12+6',4)

【解析】

【分析】(1)根據圖象中函數的最值、對稱性，可得函數解析式；

(2)由函數圖象變換可得新函數解析式，根據函數與方程的關系，利用數形結合的思想，可得答案.

小問1詳解】

設/(力的最小正周期為T，根據題圖，由三角函數圖象的對稱性，

A+c=3A=2

可得《解得

—A+Ic=1，

由=得『=兀,又丁=生,所以6y=2.

21212y2co

故f(x)=2sin(2x++1.

由里]二一1，得2x2+°=2E+羽，左wZ,所以0=2E+生，左￡Z.

U2J1223

又因為0<0<兀，所以"=與，所以/(x)=2sin[2x+g]+l.

【小問2詳解】

將函數/(x)=2sin[2x+B1+l的圖象向右平移m個單位長度，

得到函數"(x)=2sin2〔x—/+1=2sin[2x+g1+l的圖象，

再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)

得到函數8(%)=25垣,+1]+1的圖象.

要使g(x)=aT在xe。看時有兩個不同的實數解，

需+=在xe0,^時有兩個不同的實數解，

即需函數〉=sin［x+m］的圖象與直線y=\2在xe0,|-時有兩個不同的交點,

畫出函數〉=sin［x+m)的部分圖象與直線y=旦'2,如圖，

由圖可知，^<—<1，解得2+百<。<4,

22

故實數a的取值范圍是［2+73,4).

18.已知函數/(x)=l+log3X，g(x)=3*.

(1)設函數*x)=/(g(x))-g(/(x)),求＞(x)在區間(0,2)上的值域;

(2)設證明：H(x)的圖象是中心對稱圖形;

(3)若函數G(x)="(x)—lf+(4—左)/(%),且G(x)在區間［1,9］上有零點，求實數上的取值范圍.

【答案】⑴(0,18)

(2)證明見解析(3)4,y

【分析】⑴化簡函數網光)的解析式，利用二次函數的基本性質求得/(九)在(0,2)上的值域；

⑵利用H(x)+H(1—”求解為定值，求解對稱中心；

⑶設"log3%,當xe［1,9］時，小［0,2］,等價于函數M0=r+(4—左"+4—左在區間［0,2］上有

零點，利用對勾函數進行求解參數屋

【小問1詳解】

F(x)=/(g(x))-g(/(x))=(l+log33,”2

=(1+x)x3x3"的*=3x(1+%)=3x2+3x=+一；

當xe(0,2)時，/(%)單調遞增，

又/(2)=18，/(0)=0,

故廠（％）在區間（0,2）上的值域為（0,18）.

【小問2詳解】

因為〃（力=m1=』，

g（x）+括3,+6

3X3l-x

所以H（x）+H（l—力=y+y/3+3l-x+^3

=-----1------=-----1-----=],

3,+63+指33*+指指+3，

故H(x)的圖象關于點對稱.

【小問3詳解】

由題意得G(x)=(log3X『+(4-^)log3x+4-^.

設。=log3X,當xe[l,9]時，te[0,2].

則G（x）在區間［1,9］上有零點，等價于函數,。）=r+（4—左）f+4—左在區間［0,2］上有零點,

即0（。=產+（4—左"+4—左=0在『6［0,2］時有實數解,

即/+4+4—左（1+/）=0在/且0,2］時有實數解，

即左=『+*+4="+iy+2"+l)+l=/+1+，+2在/e[o,2]時有實數解.

1+tt+1t+1

設加=1+1,則加，左=加+一+2,

m

易知％=m+1■+2在加￡[1,3]時單調遞增，

m

且當加=1時，左=1+1+2=4,

當根=3時，k=3+—+2=—,

33

所以4K左V—,

3

故實數％的取值范圍是4,與.

19.在VAfiC中，內角ABC的對邊分別為名4c,已知2加inAsin3+cos23=2限csinA—3c2=1.

(1)求a；

(2)求VABC的面積；

(3)以5為坐標原點，以就方向為x軸正方向，垂直于5c的直線為〉軸(使點A在x軸上方)建立

平面直角坐標系，在VA3C所在的平面內有一動點。(羽y),滿足方?皮=1,求Ji