i重難題型?解題技巧攻略

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專題14阿基米德三角形與橢圓、雙曲線焦點三角形內切圓問題

檢-----------題型歸納?定方向----------*>

目錄

題型①阿基米德三角形.........................................................................1

題型02橢圓中焦點三角形的內切圓..............................................................5

題型03雙曲線中焦點三角形的內切圓............................................................8

-----------題型探析,明規律-----------?>

題型01阿基米德三角形

①拋物線焦點弦與拋物線的交點

②由準線上一點向拋物線引兩條切線所對應的切點

對于點M

③過焦點弦的一個端點所作的切線與準線的交點

④過焦點弦的兩個端點所作兩條切線的交點

滿足以上①③或①④或②③或②④的三個點所組成的三角形即為“底邊過焦點的阿基米德三角形

3、阿基米德三角形一般性質（弦AB不經過焦點F時）

1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.

2、若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內定點C（x。，%）,則另一頂點P的軌跡為一條直線.

3、若直線/與拋物線沒有公共點，以/上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點.

4、底邊長為“的阿基米德三角形的面積的最大值為C.

8P

5、若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點。的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為p2.

6、點P的坐標為］上黃,?亍;

7、底邊AB所在的直線方程為（石+元2）%-2刃-斗工2=。；

8、的面積為S皿」為7.

8P

9、若點尸的坐標為（x0,%）,則底邊的直線方程為無°x-p（y+%）=0.

10、如圖1,若E為拋物線弧AB上的動點，點E處的切線與上4,PB分別交于點C,D,則

\AC\_\CE\_\PD\

\CP\~\ED\~\DB\'

11、若石為拋物線弧AB上的動點，拋物線在點石處的切線與阿基米德三角形△PR的邊B4,PB分別交

q

于點C,D,貝IJ上旦殳=2.

q

".PCD

12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的2.

3

【典例訓練】

一、單選題

1.（2024高三?全國?專題練習）A8為拋物線丁=24（0>0）的弦，久久口乃），/冷,火）分別過作的拋

物線的切線交于點稱一為阿基米德三角形，弦48為阿基米德三角形的底邊.若弦A3過焦點

尸，則下列結論錯誤的是（）

A.xt+x2=2x0

B.底邊A3的直線方程為XoX-p（y+%）=O；

C.是直角三角形；

D.AMfi面積的最小值為2P2.

2.（2024.陜西西安.二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數學家、天

文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數學之神”的稱號.拋物線上任意兩點48處的切線交于點

P,稱三角形為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：/二分的焦點為己過a,8兩點的直線的方程為

屈-3>+6=0,關于“阿基米德三角形”△出8,下列結論不正確的是（）

32

A.|AB|=yB.PA±PB

C.PF±ABD.點P的坐標為（若，-2）

二、多選題

3.（2024?山東?模擬預測）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知

拋物線C:/=8y,阿基米德三角形9,弦48過C的焦點其中點A在第一象限，則下列說法正確的

是（）

A.點尸的縱坐標為-2B.C的準線方程為》=-2

C.若|A可=8,貝ijA3的斜率為如D.加面積的最小值為16

4.（23-24高三上.江蘇南京?階段練習）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米

德三角形.己知三角形&R為拋物線y?=2x的“阿基米德三角形”，線段A3為拋物線的弦，設線段AB中點

為M,下列命題正確的是（）

A.5〃〃》軸

B.若A3過點（2,0）,則點S在直線％=-2上

C.若AB=4,則ASAB面積的最大值為4

D.若過點（go],則SA_LSB

5.（2024?湖北黃岡?模擬預測）拋物線的弦與過弦端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,

阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線

上.設拋物線9=4尤，弦A5過焦點為"的中點，。為坐標原點，.鉆。為其阿基米德三角形，則

（）

A.存在點Q,使得Q4QB>0B.任意點Q,都有

C.任意點Q,都有0H〃。/D.面積的最小值為4

6.（24-25高三上?陜西榆林?期末）若過點C可以作拋物線的兩條切線，切點分別是AB,則稱VABC為“阿

基米德三角形已知拋物線E:y2=8x的焦點為歹，過下的直線/交E于AB兩點，以AB為頂點的“阿基

米德三角形”為VABC,則（）

JT

A.點C的橫坐標為-2B.ZACB=-

2

C.\BCf>\AB\-\BF\D.VABC面積的最小值為16

三、填空題

7.（24-25高三上?上海?單元測試）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A、B處的兩條切線所圍成的PAB

（尸為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段經過拋

物線的焦點尸時，一上鉆具有以下性質：

①尸點必在拋物線的準線上；②③尸產_LAB.

己知直線/：）=左（》-1）與拋物線/=4x交于42兩點，若|皿|=8,則拋物線的“阿基米德三角形。R4B

的頂點P的坐標為.

四、解答題

8.（23-24高三下?重慶?階段練習）過拋物線外一點尸作拋物線的兩條切線，切點分別為A,B,我們稱一R4s

為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應的“冏邊形”，且已知“冏邊形”的面

積恰為相應阿基米德三角形面積的三分之二.如圖，點P是圓。:尤?+（y+5）2=4上的動點，一上4B是拋物線

「無2=20；5>0）的阿基米德三角形，尸是拋物線「的焦點，且12刊出=6.

⑴求拋物線「的方程；

(2)利用題給的結論，求圖中“冏邊形”面積的取值范圍；

⑶設。是“圓邊形”的拋物線弧AB上的任意一動點(異于48兩點)，過。作拋物線的切線/交阿基米德三

角形的兩切線邊外，PB于M,N,證明：

題型02橢圓中焦點三角形的內切圓

【解題規律?提分快招】

焦點三角形雙內切圓模型1

22

點,%)為橢圓++2=1上任意一點，點P為APGK的內心，點G為APFR的重心o

性質1、假設焦點公產片工的內切圓半徑為廠，則S=(a+c)r.

性質2、MA=MB=a-c

性質3、MF,-MF,=2x

141

性質4、XL%%=六八5入BE

PQ_o

性質5、麗

性質6、^^?-一近彳

玉）為、

性質7、0（于7

性質8A/G=彳（"—QC）

22

性質9、P的軌跡為，+L=l（yNO）

Cbc2

（a+c）2

焦點三角形內切圓模型2

22

點P（XO，為）為橢圓=+多=1上任意一點，點I為旁切圓圓心，A,B,C為切點。

ab

y

結論：x,=±a'J（a°}

I"，（a+c）%o'

焦點三角形雙內切圓模型3

4/

........—r+e2-1,左為直線AB的傾斜角

k'=（1—田2

【典例訓練】

一、單選題

22

1.（23-24高三上.吉林?期末）已知橢圓方程為C:土+二=1,尸為橢圓上一點，若/耳尸工=90。，r為FyPF2

82一一

的內切圓，貝1）廠=（）

A.A/6-A/2B.2A/2-76C.2拒+#D.76+72

2.（23-24高三上?吉林延邊?期中）點尸是橢圓上+匯=1上一點，可,工是橢圓的兩個焦點，且.尸KK的

167

內切圓半徑為1,當點P在第一象限時，尸點的縱坐標為（）

cc7-59

A.2B.—C.D.

334

/2、,2

3.（24-25高三上?北京?期末）若五一F?是橢圓C：二+2=1的左、右焦點，尸為橢圓C上一

ab

點（不是頂點），點,為.尸片區的內心，若?產月區的面積是有且面積的3倍，則橢圓C的離心率為（）

A.-B.|C.—D.也

3223

22

4.（24-25高三上?福建泉州?期中）己知橢圓C：?+「=l（a>b>0）的左、右焦點分別為與區,點尸（國,乂）

ab

是C上的一點，尸耳工的內切圓圓心為。（%,%），當玉=石時，2=1,則橢圓C的離心率為（）

A.3B.73-1C.@D.2-73

23

22

5.（2024高三下?全國?專題練習）已知片，F?分別是橢圓C：\+?=1的左、右焦點，尸為第一象限內橢

圓C上一點，P耳鳥的內心為點/，則直線/耳與外的斜率之積為（）

AA/50^5「V5-3「V5-3

5842

22

6.（浙江省臺州市2024-2025學年高三上學期期末質量評估數學試題）已知橢圓E:（■+%=1（0<6〈近）的

左右焦點分別為與月，點M伉,%）是橢圓E上第一象限的一點，△叫乙的內心為N（4%）,若毛=百七,

則橢圓E的方程為（）

AJ2[RX—

A.——+y=1D.-----1-----=1

552

D.JJ1

54

22

7.（23-24高三上?四川成都?期中）已知橢圓￡:上+乙=1的左、右焦點分別為耳,鳥，P是橢圓E在第一象限

43

的任意一點，/為尸片K的內心，點。是坐標原點，貝IJtanNF。/的最大值為（）

A.邁B.五C.士D.空

12623

22

8.（24-25高三上?浙江杭州?階段練習）已知橢圓C:=+與=10>。>0）的左、右焦點分別為4,耳.點尸

ab

在C上且位于第一象限，圓（01與線段耳尸的延長線，線段PF]以及無軸均相切，一尸耳旦的內切圓為圓。2.若

圓。|與圓。2外切，且圓。|圓。2的面積之比為9,則C的離心率為（）

A?三B-Ic-TD-T

題型03雙曲線中焦點三角形的內切圓

【解題規律?提分快招】

一、雙曲線焦點三角形內切圓的統一性質

22

【性質1】如圖，已知片，鳥為雙曲線C:1-當=1（。>0）>0）的左、右焦點，則△尸片鳥的內切圓與X軸

ab

切于雙曲線的頂點；且當P點為雙曲線左支時，切點為左頂點；且當尸點為雙曲線右支時，切點為右頂點.

22

【性質2】如圖，雙曲線C的標準方程為1r-方=l（a>0,b>0）,片，鳥為雙曲線C的左、右焦點，P為雙

曲線C上異于實軸端點的任意一點，△尸￡區的內切圓圓心為/,且圓/與三邊相切于點設

尸,%）,/（七,%）,則閨。|=|耳M=a+c,X/=0.

【注】性質2的證明邏輯上同樣是利用“算兩次”構造方程求解.同理可得，尸為雙曲線C的左支上異于實

軸端點的任意一點，|瑪。|=|月M=a+c,x,=-a.若點尸為雙曲線C的上異于實軸端點的動點，△尸片入內

心/的軌跡為％=G或%=_〃，且yw0.

22

【性質3】如圖，已知耳，心為雙曲線。:亍-云二：1,〉。/〉。）的左、右焦點，過右焦點工作傾斜角為。的

直線/交雙曲線于4,3兩點，若AAE工，的內切圓圓心分別為/一八，半徑分別為小馬,貝心1）/,,/2

單內切圓模型3：QC=a

單內切圓模型5：QC=2a

雙內切圓模型6：小馬分別為△AEK45與弱的內切圓半徑，。為直線A3的傾斜角，直線A5

與右支交于AB兩點。

①與r,=(c-a)2②彳+弓e2c-2a,—(2c-2a)

-LbJ

(3)-re\-—(2c-2a),—(2c-2a)|=——AfN在x=a上

2IbbJ④4tan?⑤

一、單選題

22

1.(24-25高三上?云南麗江?階段練習)已知點P為雙曲線?-==l(a>0,6>0)右支上一點，片,尸2分別

db

為雙曲線的左右焦點，且I耳工|=——，/為尸片工的內心，若S△尸甲=5-%+掂”也，則力的值為（）

A.也B.—C.yD.—

223

22

2.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）雙曲線C:=-^=l的右支上一點尸在第一象限，K，F?分別為雙曲

916

線C的左、右焦點，/為尸耳鳥的內心，若內切圓/的半徑為1,則尸4歹2的面積等于（）

A.24B.12C.—D.—

33

22

3.（2024.河南鄭州.模擬預測）已知第一象限內的點P在雙曲線C：A—2r=1（。〉0,b>0）上，點尸關

ab

于原點的對稱點為。，可，尸2，是。的左、右焦點，點M是，尸EK的內心（內切圓圓心），M在％軸上的

射影為“，記直線PMIQAT的斜率分別為左，右，且勺=則。的離心率為（）

上2M

A.2B.8C.2.72D.2質

22

4.（23-24高三上.湖北襄陽.期末）已知耳，6分別為雙曲線C:3暇=1的左、右焦點，E為雙曲線C的右

頂點.過F?的直線與雙曲線C的右支交于A,8兩點（其中點A在第一象限），設M,N分別為AFXF2,BFXF2

的內心，則|ME|+|NE|的取值范圍是（）

22

5.（2024?山東濟寧?三模）已知雙曲線C:=-2=1（〃>0,。>0）的左、右焦點分別為耳耳，根據雙曲線的

ab

光學性質可知，過雙曲線C上任意一點尸（X。,%）的切線/:警-岑=1（“>0”>0）平分/耳尸馬.直線/1過戶2

ab

交雙曲線C的右支于A,8兩點，設AFtF2,BFF2,的內心分別為44,/,若〃/與-的面積之

3

比為則雙曲線C的離心率為（）

6.（2024.四川.模擬預測）已知雙曲線。:工-5=1（。>0）>0）的左、右焦點分別為4,入，離心率為2,焦

ab

點到漸近線的距離為76.過F2作直線/交雙曲線C的右支于A3兩點，若",G分別為AAF遙與△朗區的內

心，則|"G|的取值范圍為（）

A.[2^,4]B,["2）。?卜喇D.警、

二、多選題

22

7.（23-24高三上.吉林長春.期末）設斗鳥分別是雙曲線土-當=1的左右焦點，過F?的直線與雙曲線的右

4b-

支交于A,8兩點，鳥的內心為/,則下列結論正確的是（）

A.若ABK為正三角形，則雙曲線的離心率為g

B.若直線Q4交雙曲線的左支于點。，則月D//AB

C.若片為垂足，則|0川=2

D.△A￡鳥的內心/一定在直線尤=4上

22

8.（24-25高三上?山東泰安?階段練習）已知雙曲線C$一彳=l（a>0">0）的左、右焦點分別為耳，工.過

弱的直線/交雙曲線C的右支于A3兩點，其中點A在第一象限.居的內心為4，A/1與X軸的交點

為P,記心的內切圓人的半徑為今,△8月月的內切圓八的半徑為則下列說法正確的有（）

A.若雙曲線漸近線的夾角為60。，則雙曲線的離心率為冬8

3

B.若且怛耳|-|4耳|=2a,則雙曲線的離心率為羋

C.若a=l,b=6,則1-馬的取值范圍是卜百,6）

D.若直線/的斜率為百，A4=21]P,則雙曲線的離心率為。

三、填空題

22

9.（2024?山西晉中?一模）己知點尸為雙曲線5-e=1（。>0,。>0）右支上的一點，點與，F?分別為雙曲線

ab

的左、右焦點，若M為力眼的內心，且S△啊=以《叫+飆”叱2,則雙曲線的離心率為.

22

10.（2024.全國.模擬預測）在平面直角坐標系中，己知雙曲線C:，珠=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別

為6,鳥，過片且斜率為g的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于43兩點（8在第一象限），入的

重心為G,內心為/,且G/〃y軸，則雙曲線C的離心率為

o-----------題型通關?沖高考-----------*>

一、單選題

丫2V2,

1.（2024.廣東茂名.二模）若橢圓C:=+多=l（a>6>0）的離心率為J,兩個焦點分別為耳（-的0）,

ab乙

F2（G0）（C>0）,M為橢圓C上異于頂點的任意一點，點尸是AMFE的內心，連接MP并延長交「鳥于點Q,

則\PM胃\一

A.2B.1C.4D.；

22

2.（2024?江西?模擬預測）已知橢圓土+乙=1的左右焦點分別為小F2,P為橢圓上異于長軸端點的動點,

1612

G,/分別為工尸耳工的重心和內心，則P/.PG=（）

416

A.—B.5/3C.2D.—

33

3.（24-25高三上?黑龍江?期中）若橢圓C:上+上=1的左、右焦點分別為片，F2,點尸是橢圓C上一點，

43~

且P在第一象限，尸的尸2的內心為/，直線";與直線生的斜率分別為尤、k2,則心自=（）

134

A」R_c_D_

3443

22

4.（23-24高三上?廣東揭陽?階段練習）已知橢圓的方程為=+1=1（。>人>0）,片,凡分別為橢圓的左、右焦

ab

點，”為橢圓上在第一象限的一點，/為久耳的內心，直線,與X軸交于點N,若8MI=5MN，貝該

橢圓的離心率為（）

2r3

A.—B.—C.—D.一

5583

22序

5.（2024.陜西.一模）已知%F?分別為雙曲線r二一當=1的左、右焦點，且閨居|=幺，點尸為雙曲線右支

abla

上一'點,M為.耳尸工的內心，若S=S〃尸產2+4S崢%成立，則％的值為（）

A.q+2B.s/5-2C.2D.竽

6.（2024.河北?三模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數學發

展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質.已知拋物線

y2=4x,過焦點的弦AB的兩個端點的切線相交于點則下列說法正確的是（）

A./點必在直線x=-2上，且以48為直徑的圓過“點

B.M點必在直線％=-1上，但以AB為直徑的圓不過M點

C.M點必在直線x=-2上，但以A8為直徑的圓不過M點

D.〃點必在直線尸-1上，且以為直徑的圓過“點

二、多選題

7.（23-24高三上.江蘇連云港.期中）拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線圍成的三角形稱為阿基米德三角

形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質產生了無窮的魅力.設A,8是拋物線C：V=4y上兩個不同的

點，以A,2為切點的切線交于尸點.若弦過尸（0/），則下列說法正確的有（）

A.點P在直線丁=-1上B.AP±BP

C.AB±PFD.△段山面積的最小值為8

8.（2024高三下.江蘇?專題練習）（多選）如圖，上鉆為阿基米德三角形.拋物線/=2勿（°>0）上有兩個

不同的點4（孫月）,BO2,%），以A，B為切點的拋物線的切線PAP8相交于點尸.給出如下結論，其中正確

的為（）

A.若弦43過焦點，貝為直角三角形且NAP3=90°

B.點尸的坐標是竽J

C.B40的邊A3所在的直線方程為（％+々）彳一20;-%彳2=。

D.一R4B的邊上的中線與y軸平行（或重合）

9.（23-24高三上?四川樂山?期末）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德

三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質產生了無窮的魅力.設拋物線y?=2px（。>0）,弦A3過

焦點/，AS。為其阿基米德三角形，則下列結論一定成立的是（）

A.點。在拋物線V=2px（p>0）的準線尤=-點上

B.存在點。，使得。4QB>0

C.\QFf=\AF\-\BF\

D.面積的最小值為"

三、填空題

22

10.（23-24高三上?山西呂梁?階段練習）已知橢圓C：2+￡=l（a>b>0）,4,F?為其左、右焦點，尸為

橢圓C上任一點，耳尸工的重心為G,/是內心，且有/G