2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專練：旋轉(zhuǎn)綜合題

1.將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)（圖①n圖②,

AD=8,AB=6,圖中的/、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、的交

⑴如圖①，當(dāng)三角板一直角邊與OD重合時，求證：CD2+CN2=BN2.

⑵如圖②中3N=5、求CM—DM的值.

（3）如圖②，連接跖V,直接寫出的最小值為.

2.【探究與證明】

【問題情境】如圖1,點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AE=2,BE=4,ZAEB=9Q°,將直

角三角形4汨繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)&度（OVaV18O。）點(diǎn)8、E的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)?、E'.

（D如圖2,在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)￡落在了AC上，求此時CB'的長；

⑵若&=90。，如圖3,得到△ADE'（此時8'與D重合），延長3E交于點(diǎn)F

①試判斷四邊形狙石，的形狀，并說明理由;

②連接CE,求CE的長.

3.已知：如圖①，在矩形A3C￡>中，AB=3,AD=4,AELBD,垂足是￡.點(diǎn)尸是點(diǎn)E

關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，連接AF、BF.

圖①圖②備用圖

⑴求AF和BE的長；

⑵若將△山汨沿著射線8。方向平移，設(shè)平移的距離為相（平移距離指點(diǎn)B沿方向所經(jīng)

過的線段長度）.當(dāng)點(diǎn)P分別平移到線段AAAD上時，求出相應(yīng)的機(jī)的值.

⑶如圖②，將尸繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)磯0°<a<180。），記旋轉(zhuǎn)中的A4B尸為VA3尸'，在

旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)4尸所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P,與直線交于點(diǎn)。.當(dāng)VOPQ為等

腰三角形時，直接寫出的長.

4.知：RtAABC^RtADBE,其中/ACS=/DEB=90。，直線DE交直線AC于點(diǎn)廠.

B

ffll圖3

(1)圖1中，點(diǎn)E在AB上，求證：AF+EF=DE；

(2)若將圖1中的DBE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2,圖3,你認(rèn)為(1)中的結(jié)論還成

立嗎？請直接寫出AF,跖與。E之間的數(shù)量關(guān)系;

(3)若AR=5,DE=8,貝|EF=

5.已知VABC和VADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE.

⑴如圖①，當(dāng)點(diǎn)。在VABC外部，點(diǎn)E在VABC內(nèi)部時，求證：DB=EC.

(2)如圖②，VABC和VADE都是等腰直角三角形，NA4C=NZME=90。，點(diǎn)C,D,E在同

一直線上，AAf為VADE中DE邊上的高.求/CD3的度數(shù)；判斷線段4%BD,CD之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖③，VABC和VADE都是等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,將VADE繞點(diǎn)A

逆時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)BE,CD.當(dāng)A3=5,49=2時，在旋轉(zhuǎn)過程中，VADE與△ADC的面

積和是否存在最大值？若存在，寫出計(jì)算過程；若不存在，請說明理由.

6.(問題提出)如圖1,在等邊VABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,PA=3,PB=4,PC=5,求/APB的

度數(shù).

(數(shù)學(xué)思考)當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來解決問題.

【嘗試解決】將△APC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△AP3,連接尸P,貝APP'為等邊

三角形=PA=3,又尸3=4,PC=5,PP'2+PB2=PC2,.?.VBP'P為一三角形，.\ZAPB

的度數(shù)為一

【類比探究】如圖2,在VABC中，ABAC=9Q°,AB=AC,其內(nèi)部有一點(diǎn)P,若出=2,

PB=1,PC=3,求/APB的度數(shù).

【聯(lián)想拓展】如圖3,在VABC中，NA4c=90。，ZBC4=30°,其內(nèi)部有一點(diǎn)P,若9=3,

PB=2,PC=4^/3,求ZAPS的度數(shù).

7.在VA2C中，AB=6,AC=BC=5,將VABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到VADE,

旋轉(zhuǎn)角為以0。＜。＜180。)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.

⑴如圖，當(dāng)戊=60。時，連接3。、BE,并延長8E交AO于點(diǎn)E則BE=_；

(2)當(dāng)a=90。時，請畫出圖形并求出BE的長；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn)D作DG垂直于直線AB,垂足為點(diǎn)G,連接CE.當(dāng)ZDAG=ZACB,

且線段DG與線段AE無公共點(diǎn)時，請猜想四邊形AEBC的形狀并說明理由.

8.如圖1,四邊形ABCD,AEFG都是正方形，E.G分別在AB.AD邊上，已知AB=4.

⑴求正方形ABCD的周長；

⑵將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)。（0。＜。＜90。）時，如圖2,求證：BE=DG.

⑶將正方形女FG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45。時，如圖3,延長8E交DG于點(diǎn)H,設(shè)5"與AD的

交點(diǎn)為M.

①求證：BHYDG-,

②當(dāng)AE=0時，求線段3H的長.

9.知識探究：如圖1,點(diǎn)E是正方形ABC。對角線AC上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的

直角EFG兩邊EF,EG分別角與AO,相交于M點(diǎn)，N點(diǎn).當(dāng)EF工AD時，請?zhí)骄俊?0

與硒的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

拓展探究：當(dāng)"EFG繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時，如圖2,請?zhí)骄縒與EN的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

遷移運(yùn)用：在圖2的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)石作瓦/工于點(diǎn)H,如圖3,證明H是線段3N的中點(diǎn).

圖1圖2圖3

10.已知.B4C、NBDE,其中B4=gC,BD=BE,ZABC=ZDBE=90°,將B4c繞著

點(diǎn)B旋轉(zhuǎn).

圖1圖2

⑴當(dāng).B4C旋轉(zhuǎn)到圖1位置，連接A。、CE交于點(diǎn)F,連接正；

①探究線段AO與線段CE的關(guān)系；

②證明：即平分/4FE；

(2)當(dāng)二胡C旋轉(zhuǎn)到圖2位置，連接AE、CD,過點(diǎn)8作BGLAE于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)H,

證明：AE=2BH.

11.如圖1,正方形ABC。的邊長為2,在Rt.FBE中，BF=BE(BF<BC),ZFBE=90°,

當(dāng)防13c時，恰好經(jīng)過BC的中點(diǎn)G.

DDC

G

B

圖1圖2圖3備用圖

⑴如圖2,連接FC,EC,則四邊形8ECF為形；

（2）將圖1中的RtFBE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度&（0。＜。＜360°）,得到圖3,連接AF,

CE,求證：AF=CE,AF±CE；

⑶在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C,F,E三點(diǎn)共線時，請直接寫出線段AF的長度.

12.在VABC中，AB=AC,NBAC=a,點(diǎn)尸是平面內(nèi)不與點(diǎn)A,C重合的任意一點(diǎn)，連

接尸C,將線段PC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)口得到線段尸。，連接AP、CD、BD.

AA

D

D

圖2

⑴當(dāng)a=60。時，

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在VABC的邊BC上時，線段尸C繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)。得到線段尸￡>,則AP

與BD的數(shù)量關(guān)系是；

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在VABC內(nèi)部時，線段PC繞點(diǎn)、P順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段尸。,①中AP與8。

的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請證明結(jié)論，若不成立，說明理由；

⑵當(dāng)a=90。時，

①如圖3,線段尸C繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)。得到線段PO.試判斷AP與3D的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由；

②若點(diǎn)A,C,尸在一條直線上，且AC=3PC,線段尸C繞點(diǎn)尸逆町性旋轉(zhuǎn)a得到線段￡）尸，

I、BD弘/士

求K的值.

13.如圖，在平行四邊形ABC。中，AC是對角線，AB=AC,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接

AE,將AE繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段".

⑴如圖1,若。=/B4C=90。，連接3月，BF=3,BC=8,求./WE的面積；

(2)如圖2,若a=2N3AC=120。，連接CP交48于求證：2AH+CE=AD；

⑶若在(2)的條件下，3CE=3C=9,點(diǎn)尸為A3邊上一動點(diǎn)，連接EP,將線段EP繞著

點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段硬，連接C0,當(dāng)線段C。取得最小值時，直接寫出四邊形

的面積.

14.在ABC中，AC=BC,AC=6,/ACS=c,點(diǎn)。是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E是直線

AD上一動點(diǎn)，連接3E,將5E繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段BF,連接所.

⑴如圖1,c=90。，ZBAD=15°,點(diǎn)尸在射線AD上，求防的長；

(2)如圖2,3/〃AQ,CG，AE于點(diǎn)G,2ZABF—3NEBF=4ZBAE,猜想線段GE,BE,AC

之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想：

⑶如圖3,夕=60。，點(diǎn)P在射線AO上，點(diǎn)P是8E上一點(diǎn)且滿足AF=3BP,連接AP,直

接寫出當(dāng)AP最小時，點(diǎn)P到A3的距離.

15.如圖所示，等腰直角VA5c中，ZACB=90°.

⑴如圖1所示，若。是VABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段C。繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連結(jié)AD,

BE,則線段AO、8E的關(guān)系為；

⑵如圖2所示，若。是VABC外一點(diǎn)，將線段CO繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,且AE=AB,

求證：BD=y/2.CD;

⑶如圖3所示，若OC是斜邊48的中線，M為BC下方一點(diǎn)，且。河=巨&，CM=7,

2

/BMC=45°,求出8M的長.

16.閱讀下面活動內(nèi)容，完成探究1-3的問題：將一個矩形ABC。繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a

(0°<<z<90°),得到矩形連結(jié)BD.

［探究1］如圖1，當(dāng)(Z=90。時，點(diǎn)。恰好在OB延長線上.若45=2,求2C的長.

［探究2］如圖2,連結(jié)AC,過點(diǎn)D作〃加〃AC交8。于點(diǎn)線段少”與ZW相等嗎?

請說明理由.

［探究3］在探究2的條件下，射線。8分別交AD,AC于點(diǎn)P,N(如圖3),發(fā)現(xiàn)線段

DN,MN,PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出這個關(guān)系式，并加以證明.

17.如圖1,Rt^ABC中，ZABC=90°,AC=5,AB=4,將VABC繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)得

到△ABC,其中4是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，且0。<乙出4'<360。，連接AA',CC.

⑴求證：力CC'=93；

AA4

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在線段A4'上時，求△CBC的面積；

(3)直線AA'與直線CC'交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接DE,在旋轉(zhuǎn)過程中，求。E的

最大值.

18.將下列三幅圖中的VABC的邊AB繞其頂點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)?得到線段AD.

(1)如圖1,將邊AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接DE1,求證：VABCgVADE；

⑵如圖2,連接80,點(diǎn)/在80上，且滿足=連接AF,點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)，連接DG

交AF于點(diǎn)若ZACB=NBDG,ZADB+ZABC^80°,求證：AM=FM.

(3)如圖3,連接CD,若/BAD=120。，VABC是等邊三角形，P,。兩點(diǎn)分別在A3,BD

上，且滿足/PCQ=/AM,請?zhí)骄烤€段DQ,BP,CO之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

19.綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手

動腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn).讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體

會活動帶給我們的樂趣.

折一折：將正方形紙片ABCZ）折疊，使邊A3、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、

圖2

⑴/￡4尸=°,寫出圖中兩個等腰三角形:（不需要添加字母）;

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn):將圖1中的一E4F繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使它的兩邊分別交邊8C、8于點(diǎn)P、。，連接尸Q,

如圖2.

（2）線段3尸、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為；（不說明理由）

（3）連接正方形對角線50,若圖2中的NPA2的邊AP、AQ分別交對角線于點(diǎn)M、點(diǎn)

N.如圖3,求「烏的值；

BM

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線8。剪開，如圖4.

（4）若8M=1，DN=3,請直接寫出線段MN的長.

20.如圖1,在VABC中，把繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)口（0。<a<180。）得到A9,把AC繞

點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)夕得到AC,連接笈C.當(dāng)&+尸=180。時，我們稱△AB'C是VABC的“旋

補(bǔ)三角形“，/\AB'C邊B'C'上的中線AD叫做7ABC的“旋補(bǔ)中線''，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.

⑴在圖2,圖3中，△AB'C'是VABC的“旋補(bǔ)三角形"，AD是VABC的“旋補(bǔ)中線”.

①如圖2,當(dāng)VABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=BC；

②如圖3,當(dāng)NBAC=90。，BC=8時，則A￡＞長為.

(2)在圖1中，當(dāng)VABC為任意三角形時，猜想與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

(3)如圖4,在四邊形ABCD,ZC=90°,ZD=150°,BC=12,CD=243,DA=6,在四

邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P,使△PDC是/的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明，并求

的“旋補(bǔ)中線''長；若不存在，說明理由.

21.如圖1,正方形A3CD對角線AC、BD交于點(diǎn)、0,E、下分別為正方形ABC。邊AB、

AD上的點(diǎn)，防，AC交于點(diǎn)Af,N為BF中點(diǎn).

“E

3CBC

圖1圖2備用圖

(1)請直接寫出ON與。M的數(shù)量關(guān)系。

(2)若將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時，(1)中的結(jié)論是否成立，若成立請證明；若

不成立，請說明理由；

⑶若AB=8,E為AB中點(diǎn)，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出點(diǎn)“與點(diǎn)C的最大距離

與最小距離之差。

22.已知，如圖1,正方形ABCD的邊長為5,WE、歹分別在邊A3、AD的延長線上，且

(2)將△AEF繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a滿足0。＜夕＜45。時，設(shè)防與射線A8交于

點(diǎn)G,與AC交于點(diǎn)如圖所示，試判斷線段EH、HG、GE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑶若將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，連接DF、BE,并延長EB交直線。尸于點(diǎn)尸，連接PC,

試說明點(diǎn)P的運(yùn)動路徑并求線段尸C的取值范圍.

23.如圖，VABC和一。BE的頂點(diǎn)8重合，ZABC=ZDBE=90°,/BAC=/BDE=30。,

BC=3,BE=2.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)O,E分別在AB,BC上時，得出結(jié)論：—=_；直線A￡＞與直線EC的位

置關(guān)系是二

(2)如圖2,將圖1中的,DBE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，連接AD,EC,其所在直線

相交于點(diǎn)尸.

①(1)中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明，若不成立，說明理由.

②當(dāng)“'的長度最大時，求線段EC的長度.

《2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專練：旋轉(zhuǎn)綜合題》參考答案

1.(1)見詳解

⑵|

(3)5

【分析】(1)連接ND,根據(jù)矩形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)得到ON垂直平分B。，NB=ND,在ACDN中,

用勾股可得A?2=NC2+a>2,再等量代換即可求得；

(2)延長交A8于E,先證明BEgDMO,從而得出OE=OM,BE=DM,NE=NM,

再結(jié)合勾股定理證出CN2+CA〃=￡)河2+.2,根據(jù)已知線段長得出

CM--DM1=BN--CN-=52-32=16,CM+DM=6,用平方差公式轉(zhuǎn)換即可解答；

(3)根據(jù)aw?+ON2=跖/確定，當(dāng)ON_LBC,OAZ_LDC時，ACV取最小值，計(jì)算即可;

【詳解】(1)證明：連接ND,

..?矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)0,

BO=DO,ZDCN=90°,

:三角板一直角邊與重合，

/.ON1BD,即ON垂直平分BD,

NB=ND,

,：NDCN=90°,

ND2NC2+CD2,

:.CD2+CN2=BN\

(2)延長MO交48于E,

/.BO=DO,ZABC=ZDCB=90°,AB//CD,

ZABO=ZCDO,ZBEO=/DMO,

BEgDMO(AAS\

:.OE=OM,BE=DM,

MO.LON,

:.NE=NM,

ZABC=ZDCB=90°,

:.NE2=BE2+BN2,NM2=CN2+CM\

CN2+CM2=BE2+BN2,

即CN2+CM2=DM2+BN2;

BN=5,

:.CN=BC—CN=8—5=3,

/.CM2-DM1=BN2-CN2=52-32=16.

CM+DM=AB=6,

Q

:.CM-DM=16^-6=-；

3

(3)Q?MON90?,

\OM2+ON2=MN2,

故當(dāng)OM與ON最小時，MN取最小值，

即ON_L3COM_LOC時，與ON都最小,

此時ON」AB=3,OM」AT>=4,

22

MN=M=5,

故MN最小值為5.

【點(diǎn)睛】該題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知

識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是做輔助線證明三角形全等.

2.(1)2>/10-2A/5

(2)①四邊形AEFE，是正方形，理由見解析；②2石

【分析】(1)由勾股定理得AB=2百，再由正方形的性質(zhì)得AC=VLiB=2ji6,然后由旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A￡=AB=2如，即可求解；

(2)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ZEAE'=a=9G°,ZAE'D=ZAEB=90°,再證四邊形

gE'是矩形，即可得出結(jié)論；

②過點(diǎn)C作CG_L3E于點(diǎn)G,證△3CG四△ABE(AAS),得CG=BE=4,3G=AE=2,

則EG=3E-3G=2,再由勾股定理求解即可；

【詳解】(1)AE=2,BE=4,ZAEB=90°,

AB=ylAE2+BE2=42?+4?=275，

?四邊形ABCD是正方形，

BC=AB=275,ZABC=90°,

AC=-JiAB=2M,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB'=AB=245,

CB'=AC-AB'=2V10-2A/5;

(2)①四邊形但E是正方形，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE'=AE,NEAE=a=90。,ZAE'D=ZAEB=90°,

ZAEF=180°-90°=90°,

四邊形AEFE'是矩形，

又?AE'=AE,

四邊形是正方形；

②過點(diǎn)C作CGL3E于點(diǎn)G,如圖3所示：

則4GC=90。=NAES,

:.NCBG+/BCG=ZCBG+ZABE=90°,

:.ZBCG=ZABE,

在./CG和ABE^,

NBGC=/AEB

</BCG=/ABE,

BC=AB

BCGWABE(AAS),

:.CG=BE=4,BG=AE=2,

:.EG=BE—BG=4—2=2,

..CEnCG+Ed2=142+2z=26

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的判

定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合

性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，證明石(AAS)是解題的關(guān)鍵,

屬于中考常考題型.

129

3.(l)AE=y,BE=-

916

⑵當(dāng)點(diǎn)尸落在"上時，m=~,當(dāng)點(diǎn)尸落在A。上時，m=—

(3)。。的長度分別為2或?qū)W或亞一5或5-酒.

855

【分析】(1)利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；

(2)依題意畫出圖形，如圖①-1所示.利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求

出m的值；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰VOPQ有4種情形，分別畫出圖形，對于各種情形分別進(jìn)行計(jì)算

即可.

【詳解】(1)解：:四邊形AB8是矩形，

:.ZBAD=90°,

在中，AB=3,AD=4,

由勾股定理得：BD=y/AB2+AD2=A/32+42=5>

S^^BD-AE^AB-AD,

、_AB^D3412

BD55

???點(diǎn)廠是點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，

12

\AF=AE=—,BF=BE,

5

AEA.BD,

：.ZAEB=90°,

12

在RtA4BE中，AB=3,AE=y,

由勾股定理得：BE=ylAB2-AE2=

(2)解：設(shè)平移中的三角形為如圖①-1所示:

..Q

由平移性質(zhì)可知，AB//ABr,Z4=Z1,BF=B￥

①當(dāng)點(diǎn)尸落在AB上時，

AB//ABr,

.?.N3=N4,

/.Z3=Z2,

\BB逞BF?=2,即根=—；

55

②當(dāng)點(diǎn)尸落在AD上時,

AB//AB',

=/6=/2,

Z1=Z2,Z5=Z1,

Z5=Z6,

又易知A3」AD,

BED為等腰三角形，

.■c9

\B儂=BF?=—,

5

..91616

\BB^BD-BD=5--=—,即根=—；

555

(3)解：存在.理由如下：

在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰VDP。依次有以下4種情形：

①如圖③-1所示，點(diǎn)。落在30延長線上，S.PD=DQ,則NQ=/OPQ,

圖③d

N2=/Q+ZDPQ=2ZQ,

N1=N3+NQ,Z1=Z2,

，N3=NQ,

\ATQ=AB=3,

....I?27

\FQ=FA^AQ^~+3=—.

_9Vio

在中，由勾股定理得:BQ=y)FQ2+FB2=

5

\DQ=BQ-5；

②如圖③-2所示，點(diǎn)。落在8。上，且尸。=。。，則Z2=ZP,

.?.N1=N尸，

\B岫〃PD,

則此時點(diǎn)A落在5c邊上.

N3=N2,

/.Z3=Z1,

\BQ=M

\=A0=y-BQ.

在Rt/Q產(chǎn)，中，由勾股定理得：BF'2+F'Q2=BQ2,

=BQ2,

1525

\DQ=BD-BQ=5--=—

③如圖③-3所示，點(diǎn)。落在80上，且PQ=DQ,則/3=/4.

Z4=90°--Z2.

2

Z1=Z2,

Z4=90°-izi.

2

\?故2?490?1?1,

：.ZA'BQ=1800-ZA'QB-XI=90°--Z1,

：.ZA'QB=ZA'BQ,

\A^=AB=3,

....173

\FQ=AQ-AV=3--=-.

3回

在RtAB尸Q中，由勾股定理得:BQ=^FQ2+FB2=

5

DQ=BD-BQ=5-

④如圖④-4所示，點(diǎn)。落在8。上，且尸。=。。，則N2=/3.

圖④~4

N1=N2,N3=/4,/2=N3,

.-.Z1=Z4,

\BQ=BA<^=3,

\DQ=BD-BQ=5-3=2.

綜上所述，存在4組符合條件的點(diǎn)尸、點(diǎn)°,使VDPQ為等腰三角形；。。的長度分別為2

T25T9M…=3M

—34-------5或5.

855

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，主要考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)；第(3)問難度很大，解題關(guān)鍵是畫出

各種旋轉(zhuǎn)圖形，依題意進(jìn)行分類討論.

4.(1)見解析

(2)不成立，見解析

(3)3或13

【分析】(1)連接M,由ABC^DBE,可得BC=BE,AC=DE,即可證明

RtABFCRtABFE(HL),有CF=EF,從而AF+EF=DE；

(2)圖2中連接所，證明Rt△班C絲RtAB莊(HL),得CF=EF,可得AF—EF=DE；

圖3中連接即，證明Rt△班C絲RtABFE(HL),可得EF-AF=DE；

(3)分為當(dāng)尸在線段AC上時及當(dāng)尸在C4的延長線上時，兩種情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】(1)證明：連接砥，

QZACB=ZDEB=90°,

ZBCF=ZBEF=90°,

BF=BF,

.?.Rt_BRWRt_8FE(HL),

:.CF=EF,

AF+CF=AC,

:.AF+EF=DE；

(2)：(1)中的結(jié)論不成立，

圖2中AF-EFn/JE,理由如下:

連接班

△ABC冬乙DBE,

:.BC=BE,AC=DE,

QZACB=ZDEB=90°,

ZBCF=ZBEF=90。,

BF=BF,

RtBFC^RtBFE(HL),

1.CF=EF,

AF-CF=AC,

:.AF-EF=DE；

圖3中=理由如下:

QZACB=ZDEB=90°,

:.ZBCF=ZBEF=90°,

BF=BF,

RtBFC^RtBFE(HL),

:.CF=EF,

CF-AF=AC,

:.EF-AF=DE；

(3)解：當(dāng)廠在線段AC上時，由(1)知AF+EF=D石，

:.EF=DE-AF=3,

當(dāng)尸在C4的延長線上時，由(2)可知EF-AF=D石，

/=8+5=13；

綜上所述，EF的長為3或13.

故答案為：3或13.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助

線，構(gòu)造全等三角形.

5.(1)見解析

(2)ZCDB=90°,2AM+BD=CD,見解析

⑶存在，7

【分析】(1)證明絲VE4C,即可得出結(jié)論；

(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)得ZADE=ZAED=45°,則/AEC=135。，同(1)得

DAB^EAC(SAS),則ZADB=ZAEC=135°,BD=CE,然后由等腰直角三角形的性質(zhì)

得AM=EM=DM,即可解決問題；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中VADE的面積始終保持不變，而在旋轉(zhuǎn)的過程中，AADC的邊

AC始終保持不變，即可解決問題；

【詳解】(1)證明：???NgACu/ZME,

ZDAE-ZBAE=ABAC-ZBAE,

即ZDAB=ZEAC,

在和EAC中，

AD=AE

-NDAB=NEAC,

AB=AC

DAB^EAC(SAS),

DB=EC;

(2)ZCDB=90°,2AM+BD=CD,理由如下：

'.\DAE是等腰直角三角形，

???ZADE=ZAED=45°f

ZAEC=180O-ZAED=135°,

同(1)得：NDAB密EAC(SAS),

??.ZADB=ZAEC=135°,BD=CE,

：.ZCDB=ZADB-ZADE=90°,

NADE是等腰直角三角形，AM為中OE邊上的高，

AM=EM=DM,

■:DE+CE=CD,

：.2AM+BD=CD；

(3)NADE與AADC的面積和存在最大值為7,理由如下：

如圖(4)

ED

工

BC

圖④

由旋轉(zhuǎn)可知，在旋轉(zhuǎn)的過程中YADE的面積始終保持不變=|x2x2=2,

'/VADE與AADC面積的和達(dá)到最大，

AADC面積最大，

:在旋轉(zhuǎn)的過程中，AC始終保持不變，AC=AB=5,

.,.△ADC面積最大時，點(diǎn)D到AC的距離最大，

DA±AC,

/.VADE與AADC面積的和達(dá)到的最大值為：2+』AC-Ar>=2+』x2x5=2+5=7

22

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)以及三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型

6.【嘗試解決】直角，150。；【類比探究】135。；【聯(lián)想拓展】120。

【分析】嘗試解決：將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△APT?,連接尸P,根據(jù)旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)，得至UPB=5,AP尸為等邊三角形，進(jìn)而得到PP=3,ZAPP=60。，再利用勾股定

理的逆定理，證明為直角三角形，得到N3PP=90。，即可求出ZAPS的度數(shù)；

類比探究：將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△AT3,連接PP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

得到PB=3,APP'為等腰直角三角形，進(jìn)而得到NAPP=45。，PP=2亞,再利用勾股定

理的逆定理，證明尸為直角三角形，得到N3PP=90。，即可求出—APB的度數(shù)；

聯(lián)想拓展：如圖，以PA為直角邊構(gòu)造直角三角形APP,使得NAPP=30。，/R4p=90。，

4RpfAp'RAft

先證明ABC^AI^P,得出喂=篙，進(jìn)而證明MAPsC4P,得到蕓=笠，然后利用特

殊角的三角函數(shù)值，分別求出P3=4,PP'=2』,再利用勾股定理的逆定理，證明BPP是

直角三角形，得到N3PP=90。，即可求出ZAPS的度數(shù).

【詳解】嘗試解決：解：將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△AP'B,連接PP,

,-.PA=P'A=3,Z.PAP=60°,PC=P'B=5,

APP'為等邊三角形，

，PP=PA=3,Z4Ppz=60。，

PB=4,

PP'2+PB2=32+42=25,P'B2=52=25,

PP'2+PB2=P'B2，

.?.V3P尸為直角三角形，

:.ZBPP'=90°,

ZAPB=ZAPP+8Pp=60°+90°=150°,

.?.NAPS的度數(shù)為150。，

故答案為：直角，150°；

類比探究：解：如圖，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△AP'B,連接PP,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，E4=H4=2,ZPAP'=90°,PC=P'B=3,

APP'是等腰直角三角形，

ZAPP=45。,pp，=y/p^+P'A1=2五，

PB=1,

.?.尸產(chǎn)'2+P8?=（2夜）一+F=9,P'B2=32=9,

PP'2+PB2=P'B2，

;.V3尸'尸為直角三角形，

:.ZBPP'=90°,

ZAPB=ZAPP+BPP'=45°+90°=135°；

聯(lián)想拓展：解：如圖，以融為直角邊構(gòu)造直角三角形APP,使得/4PP=3。。，NR4P=90。,

ZBAC^90°,ZBCA=30°,

:.ZBAC=ZPAP',ZBCA=ZAPP,,

ABCsAPP,

.ABAC

…西-71'

.ABPrA

*AC-PA?

ZPAP,=ZBAP+ZBAP=90°,ZBAC=ZCAP+ZBAP=90°,

:.ZBAP,=ZCAP,

BAP'sCAP,

P'BAB

'PC-AC'

tanZBAC=—=tan30°=—,

AC3

P'B&

---=—,

PC3

PC=4拒,

P'B=—x4j3=4,

3

cosZAPP'=—=COS30°=—,PA=3,

PP'2

PP'=2j3,

在一5尸p中，尸3=2,PB=4,PP'=26,

PP'2+PB2=（2>/3）2+22=16,p'B2=42=16,

PP'2+PB2=P'B2，

.?.△BPP是直角三角形，

:.ZBPP'=90°,

ZAPB=ZBPP'+ZAPP1=90°+30°=120°.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理，等腰直角三

角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識，靈活運(yùn)用相關(guān)

知識解決問題是解題關(guān)鍵.

7.(1)373-4

(2)作圖見解析，V13

(3)四邊形A￡BC為菱形，理由見解析

【分析】(1)證明是等邊三角形，得到點(diǎn)2、E在AT＞的中垂線上，進(jìn)而求解；

(2)依據(jù)題意畫圖，如圖1,證明AHC^EGA(AAS),得到5G=2,EG=3,即可求解；

(3)證明CH=HE,AH=BH,則四邊形AEBC為平行四邊形，而AC=3C,從而可得

出結(jié)論.

【詳解】(1)解：：VABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到VADE,

AAB=AD,ZBAD=60°,

：.是等邊三角形，

AB=BD,

,：AABC^AADE,

：.AC=AE,BC=DE,

又「AC=BC,

***EA=ED,

:.點(diǎn)、B、E在AO的中垂線上，

/.BE是A。的中垂線，

:點(diǎn)E在BE的延長線上，

ABFLAD,AF=DF,

AF=DF=3,AD=2AF=6,

'：AE=AC=5,

EF=yjAE2-AF2=V52-32=4，

'：BF±AD,△ABD是等邊三角形，AD^6,

：.ZDBF=3Q°,BD=AD=6,

BE=^BCr-FEr=五-￥=3百，

/.BE=BF-EF=36-4,

故答案為：3^3-4；

(2)解：依據(jù)題意畫圖如圖1,過點(diǎn)E作EG_LAB于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CH_LA3于點(diǎn)H,

c

?；CA=CB,CHLAB,

：.AH=-AB=-x6=3

22f

在aACH中，AC=5,AH=3f

:?CH=NAC2—AH2='52—32=4,

NC4E=90。，

???ZCAH+ZEAG=90°,

,/CH工AB,

：.ZCAH+ZACH=90°,

???？EAG?ACH,

:AABC^AADE,

：.AC=AE,

VEG±ABfCHLAB,

：.ZEGA=ZAHC=90°,

在/AHC和中，

ZEAG=ZACH

<NEGA=NAHC,

AC=AE

：.AHC^EGA(AAS),

：.GA=CH=4fEG=AH=3f

：.BG=AB-AG=6-4=2,

?：BG=2,EG=3,

貝!=^的+叱=722+32=A/13;

(3)解：如圖，

VZDAG=ZACB9ZDAE=ZBAC,

：.ZACB+ABAC+ZABC=NZXG+ZDAE+ZABC=180。，

又「ZDAG+ZDAE+ZBAE=180°,

：?/BAE=ZABC,

;AC=BC=AE,

：.ZBAC=ZABC,

：.NBAE=ZBAC,

：.ABACE,且CH=HE」CE,

2

AC=BC,

：.AH=BH=-AB

2f

?；CH=HE,AH=BH,

???四邊形AEBC為平行四邊形，

,:AC=BC,

???四邊形AE5C為菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的

判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

8.(1)16

⑵見解析

⑶①見解析；②也

5

【分析】(1)根據(jù)周長的定義求解；

(2)由正方形，知AS=AD,AE=AG,可證，BAE空,DAG(SAS),于是BE=DG；

(3)①證明：由54E空ZMG,知NABE=NADG,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可證

/DHM=NBAM=90。,于是31/LOG；②解：連結(jié)GE交AD于點(diǎn)N,連結(jié)DE,如圖,

由正方形A￡FG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45。，得AF與EG互相垂直平分，且AF在AO上，求

得A7V=GN=1,DN=3,在RtDNG中,DG=M；由S,DEG=3GE.ND=；DG.HE,

解得aE=于是BH=BE+HE=^^.

55

【詳解】(1)解：正方形ABC。的周長=4x4=16；

(2)證明：：四邊形ABCD,AEFG都是正方形，

AAB=AD,AE=AG,

,將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)8(0。<3<90°),

ZBAE=ZDAG=0,

AB=AD

在一&和DAG,<ZBAE=ZDAG,

AE=AG

.BAE注,ZMG(SAS),

BE=DG；

(3)①證明：；BAE注DAG,

：.ZABE=ZADG,

■：ZABE+ZAMB+ZBAM=180°,ZADG+Z.DMH+Z.DHM=180°,

又■:ZAMB=ZDMH,

：.NDHM=ZBAM=90°,

：.BH±DG；

②解：連結(jié)GE交AD于點(diǎn)N,連結(jié)OE,如圖,

???正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°,

???川與石G互相垂直平分，且AF在AD上,

AE=^2，

：.AN=GN=1,

**?DN=4—1=3,

在RtDNG中，DG=yjDN2+GN2=yfw;

BE=y/10,

SZAALnftFLlrj=-2GEND=2-DGHE,

.HE63^5

VIo5

:.BH=BE+HE=^+?=^

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理；通過全等三角形求證角相

等、線段相等是解題的關(guān)鍵.

9.知識探究：EM=EN,理由見解析；拓展探究：EM=EN,理由見解析；遷移運(yùn)用：見

解析

【分析】知識探究：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得N54D=90。，AC平分再根據(jù)垂直定

義可得NAME=90。，從而可得四邊形4VEM是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)可得拉VE=90。,

從而利用角平分線的性質(zhì)即可解答.

拓展探究：過點(diǎn)E作叱，4),垂足為P,過點(diǎn)E作EQLA8,垂足為0,根據(jù)垂直定義可

ZAPE=ZAQE=90°,再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得NB4O=90。，AC平分—54。，從而可

得四邊形AQEP是矩形，進(jìn)而可得NQEP=NGE尸=90。，然后利用等式的性質(zhì)可得

ZNEQ=ZDEP,再利用角平分線的性質(zhì)可得凡2=EP,從而證明NEQ%DEP〈AAS),最

后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；

遷移運(yùn)用：連接EB,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得=AC平分從而可得

ZBAE=ZDAE,然后證明ABE￡ADE(SAS),從而可得BEuDE,進(jìn)而可得BE=NE,最

后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：知識探究：EM=EN,

理由：：四邊形AS。是正方形，

AZBAD=90°,AC平分々AD,

?/EF-LAD,

：.NAME=90。，

?/ZFEN=90°,

四邊形AA/EM是矩形，

ZANE=90°,

：.EM=EN；

拓展探究：EM=EN,

理由：過點(diǎn)E作￡P(guān)_LXD,垂足為P,過點(diǎn)E作垂足為。，

圖2

：.ZAPE=ZAQE=90°,

?.?四邊形ABCD是正方形，

：.ZBAD=90°,AC平分/BAD,

四邊形AQE尸是矩形，

/QEP=90。,

?：ZQEP=ZGEF=90°,

ZQEP-ZNEP=ZGEF-ZNEP,

/.ZNEQ=ZDEP,

平分EPLAD,EQ±AB,

：.EQ=EP,

：.NEQ^￡>￡P(guān)(AAS),

EM=EN；

遷移運(yùn)用：連接EB,

圖3

?四邊形ABCD是正方形，

AAB=AD,AC平分NEW,

ZBAE=ZDAE,

"：AE=AE,

/.ABE迫ADE(SAS),

BE=DE,

:NE=DE,

：.BE=NE,

■:EH1AB,

???8是線段BN的中點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已

知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

10.(1)①ADLCE,AD=CE,見解析；②見解析

(2)見解析

【分析】(1)①證明1M3。