專題16相似三角形

考情聚焦

課標(biāo)要求考點(diǎn)考向

1.了解相似三角形的判定定理:兩角分別相等的兩個(gè)三角形

考向一相似三角形的判定

相似;兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似;三邊成比例

的兩個(gè)三角形相似。*了解相似三角形判定定理的證明。相似考向二相似三角形的判定與綜合

2.了解相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等三角

考向三相似三角形的性質(zhì)

于相似比;面積比等于相似比的平方。形

3.了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個(gè)圖形放大或縮

考向四相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

小。

4.會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。考向一位似圖形

5.利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA,位似

cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函數(shù)值。考向二坐標(biāo)系與位似圖形

,真題透視,

考點(diǎn)一相似三角形

A考向一相似三角形的判定

解題技巧/易錯(cuò)易混

相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角

形相似；②三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且

夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；④兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

1.(2024?廣西中考真題)如圖1,VN2C中，D2=90。，/5=6.的垂直平分線分別交NC,于

點(diǎn)。，CO平分入4C8.

ccc

A'

圖2

⑴求證：△ABCs^CBO;

（2）如圖2,將△/OC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△HOC,旋轉(zhuǎn)角為研0。＜。＜360。）.連接4M,C'M

①求△4MU面積的最大值及此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)，并說明理由；

②當(dāng)是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù).

【答案】⑴見解析

⑵①86,a=180°;②120°或240°

【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA=OC,利用等邊對(duì)等角得出乙I=ZACO,結(jié)合角平分

線定義可得出乙（=4CO=NOC8,最后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

（2）先求出乙=4。。=/0。8=30°,然后利用含30°的直角三角開鄉(xiāng)，雌求出2。=2,AO=4,MO=2,

利用勾股定理求出聞1=26，AC=4拒，取HC'中點(diǎn)"，連接,作于N,由旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)知A/OC咨A?。。'，W為。”旋轉(zhuǎn)。所得線段，則。加」?a,A'C'=AC=4^3,OM，=OM=2,

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短知MNVMAT,三角形三邊關(guān)系得出"VVQW+QVT,故當(dāng)〃、0、M'三

點(diǎn)共線，且點(diǎn)。在線段W時(shí)，龍W取最大值，最大值為2+2=4,此時(shí)a=180。，最后根據(jù)三角形面積

公式求解即可；

②先利用三角形三邊關(guān)系判斷出MCZHU,M4'＜4C',則當(dāng)為直角三角形時(shí)，只有“胚7=90。，

然后分/和C，重合，H和C重合，兩種情況討論即可.

【詳解】（1）證明：：MO垂直平分/C,

OA=OC,

：.AA=AACO,

?.?co平分N4C5

AZACO=ZOCB,

:?/A=/OCB,

又/B=/B；

:?△ABCsXCBO;

(2)解：①???DB=90。，

.??ZS4+ZACO+ZOCB=90°,

N4=ZACO=ZOCB=30°,

BO=-CO=-AO

22'

又4B=4O+BO=6,

：.BO=2,AO=4,

?.?MO垂直平分4。，

：.OM=-AO=2,AC=2AM,

2

AM=y/AO2-MO1=273,

/./C=4百,

取4c中點(diǎn)AT,連接OAT,MM',作MV_L4。于N,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知A/OC也A/'OC',W為OW旋轉(zhuǎn)a所得線段，

OM'1A'C',A'C'=AC=4^l3,OM'=OM=2,

根據(jù)垂線段最短知MN<MM',

又MM'&OM+OM',

當(dāng)M、。、M'三點(diǎn)共線,且點(diǎn)。在線段W時(shí)，MN取最大值,最大值為2+2=4,

此時(shí)。=180。，

△4MC'面積的最大值為gx4百x4=8百；

@\*MC,<MO+OC,=2+4=6,46-

C.MC^AC,

同理MTcWC

為直角三角形時(shí)，只有NHMC=90。，

當(dāng)4和C重合時(shí)，如圖,

丁^AOC^A'OA

：.ZAf=ZCAO=30°,ZOAAf=ZOCA=30°,

：.ZAfOA=120°,

VZAMO=90°,

ZAOM=60°,

AZAfOA+ZAOM=1S00,

???/、。、河三點(diǎn)共線，

???△HMC為直角三角形，

此時(shí)旋轉(zhuǎn)角。=44'。4=120。;

當(dāng)4和C重合時(shí)，如圖，

r

AZCOC=120°f

VAO=CO,ZAOM=60°

：.ZCOM=ZAOM=60°,

AZCOM+ZCOC=1SO°,

???c、。、M三點(diǎn)共線，

又N4Mo=90。

???△HMC為直角三角形，

此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a=360°-4'CM=240°;

綜上,旋轉(zhuǎn)角e的度數(shù)為120。或240。時(shí)，△HMC為直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，

明確題意，正確畫出圖形，添加輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵.

2.（2024.廣東廣州.中考真題）如圖，點(diǎn)E,尸分別在正方形的邊8C,CD上，BE=3,EC=6,

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.根據(jù)正

ABBE

方形的性質(zhì)，得出ZB=ZC=90°AB=CB=9，進(jìn)而得出"=7^,根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角

fACCr

形相似即可證明.

【詳解】解：■.-BE=3,EC=6,

四邊形是正方形，

AB=CB=9,Z5=ZC=90°,

AS93BE_3

'EC~1>~2'CF一2"

.ABBE

"~EC~~CF

又；/B=/C=90。，

“ABESAECF.

A考向二相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比;

相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的

面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三

角形面積的比等于相似比的平方.

3.（2024浙江中考真題）如圖，已知菱形/BCD的面積是24,E,尸分別是菱形/蛇。的邊3C,CD的中

點(diǎn)，連結(jié)NE，BF,AE與BF交于點(diǎn)G,貝！］ABEG的面積為（）

AD

【答案】A

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵

是正確的作出輔助線，技巧性較強(qiáng).

延長(zhǎng)8尸交40延長(zhǎng)線于點(diǎn)W，則/，證明VBEGsVM4G，即可得出BE:/M=GE:/G=1:4,

根據(jù)菱形ABCD的面積，求出dBE的面積，然后可得出BEG的面積.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)抄"交4D延長(zhǎng)線于點(diǎn)W,

??,點(diǎn)尸是邊CD的中點(diǎn)，

:.DF=CF,

;四邊形438是菱形，

AD//BC,

：.ZFBC=ZM,ZC=ZFDM,

:.“DMF知CBF(AAS),

：.DM=BC=AD,

AD//BC,

：.VBEG^fMAG,

又.?.點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，

:.BE:AM=GE:AG=1:4,

:.S、BGE：S-AB￡=EG:AE=1:5,

?.?菱形/BCD的面積為24,

AABE的面積為6,

.?.△BGE的面積為1,

故選：A.

4.（2024河南中考真題）如圖,在口48C。中，對(duì)角線/C,5。相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn),EF//AB

交8c于點(diǎn)尸.若/2=4,則跖的長(zhǎng)為（）

A.-B.1C,-D.2

23

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段

中點(diǎn)定義可得出C￡="/C，證明尸s4c/B，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：:四邊形是平行四邊形，

OC=-AC,

2

:點(diǎn)E為。C的中點(diǎn)，

CE=-OC=-AC,

24

EF//AB,

???ACEFs^CAB,

.EFCE口押1

..方=就，即=

：.EF=\,

故選：B.

5.（2024?湖南?中考真題）如圖，在VN2C中,點(diǎn)D,E分別為邊NC的中點(diǎn).下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是

（）

A.DE//BCB.￡\ADE^/\ABCC.BC=2DED.S△./IXD/jCE*=2~SA.BC

【答案】D

【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷A、C;

由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷B、D，掌握三角形中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解:?點(diǎn)DE分別為邊NA/C的中點(diǎn)，

DE//BC,BC=2DE,故A、C正確；

DE//BC,

:.AADEsAABC,故B正確；

?；A4DES^ABC,

f組1缶11

"SAABC[BC)UJ4'

,"S"ADE=1S.ABC,故D錯(cuò)誤；

故選：D.

6.（2024?陜西中考真題）如圖，正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形N8CD的邊CD上,4F與DC交于點(diǎn)H,

若/5=6,CE=2,則的長(zhǎng)為（）

58

D

3

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì).證明△尸G”,利用相似三角形的

性質(zhì)列式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：：正方形/2C。,AB=6,

：.AB=AD=CD=6,

:正方形CE尸G,CE=2,

:.CE=GF=CG=2,

/.DG=CD-CG=4,

由題意得ND〃GF,

AADHS^FGH,

.ADPH6PH

,,GF-GF，p即n4-ZW，

解得。H=3,

故選：B.

7.（2024?安徽中考真題）如圖，在RtA4BC中，N/BC=90°,AB=4,BC=2,3。是邊4C上的高.點(diǎn)

E,尸分別在邊NB,2。上（不與端點(diǎn)重合），且應(yīng),。P.設(shè)/E=x,四邊形。班廠的面積為了,貝打

【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，相似三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，過點(diǎn)E作而L/C

于點(diǎn)”，由勾股定理求出NC，根據(jù)等面積法求出AD，先證明A/BCSA/切，由相似三角形的性質(zhì)可得出

嚕,即可求出，再證明A/EDSAB即，由相似三角形的性質(zhì)可得出2=（己］,即可得出

4DABS.BFDVBD）

S"ED=4S、BFD1根據(jù)S四邊形0EBF=S^ABC~^AAED~~^e,BDF），代入可得出一次函數(shù)的解析式，最后根據(jù)自

變量的大小求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.

【詳解】解：過點(diǎn)E作EHL/C于點(diǎn)X,如下圖：

?*-AC=YJAB2+BC2=2V5,

???班是邊4。上的高.

：.-ABBC=-ACBD,

22

:.BD=-4^,

5

*.?ABAC=ZCAB,ZABC=ZADB=90°,

：.八ABCs△力。5,

.AB_AC

''AD~AB

解得：3,

oR

DC=AC-AD=2V5--=

5

?:/BDF+/BDE=/BDE+/EDA=90：ZCBD+ZDBA=ZDBA+ZA=90°,

：./DBC=乙4,ABDF=ZEDA,

"EDs^BFD,

?c—4c

,?2"ED2ABFD/

,,S四邊形DE8F=S^ABC-S&AED-(S^BOC-i^BDF)

=-AB-BC--AE-ADsmZA--DC-DB+-S

2224

V0<x<4,

???當(dāng)x=0時(shí)，S四邊形OE時(shí)-1/

4

當(dāng)X=4時(shí),S四邊形OEBF=—.

故選：A.

8.（2024?海南?中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖,支柱。河經(jīng)過45的中點(diǎn)O,OM與地面C。垂直于點(diǎn)M,

OM=40cm,當(dāng)蹺蹺板的一端/著地時(shí),另一端5離地面的高度為cm.

【答案】80

【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì).過點(diǎn)8作交4C的延長(zhǎng)線于N,求得OM〃BNI

得到△/（Ws4/gN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：過點(diǎn)8作交4C的延長(zhǎng)線于N,

OM//BN,

AAOMS^ABN,

OMAO

~^N~AB，

AO=OB,OM=40cm,

40_1

BN~2,

BN=80cm,

另一端/離地面的高度為80cm.

故答案為：80.

9.（2024?遼寧?中考真題）如圖,AB〃CD,NO與BC相交于點(diǎn)。,且V/08與△DOC的面積比是1:4,

【答案】12

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，把握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

可得△/OBsaooc,再根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解.

【詳解】解：---AB//CD,

/\AOB^Z^DOC,

：.CD=12,

故答案為：12.

10.（2024?吉林?中考真題）如圖，正方形/BCD的對(duì)角線NG8。相交于點(diǎn)。,點(diǎn)￡是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)F

FF

是。。上一點(diǎn).連接斯.若/b￡0=45°，則）的值為.

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到/。/。=45°,

EFOE1

AD=BC,再證明所〃4。,進(jìn)而可證明△。即，由相似三角形的性質(zhì)可得，即

ADOA2

EF_1

而一5,

【詳解】解：:正方形/BCD的對(duì)角線m相交于點(diǎn)O,

：.ZOAD=45°.AD=BC.

丁點(diǎn)E是。4的中點(diǎn)，

,OE

9,OA~2，

?.*/FEO=45"

：.EF//AD,

:,XOEFsMOAD,

.EFOE1—EF1

??==—/即——I

ADOA2BC2

故答案為：I.

A考向三相似三角形的性質(zhì)

11.（2024?重慶?中考真題）若兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3,則這兩個(gè)相似三角形的面積比是（）

A.1:3B,1:4C,1:6D,1:9

【答案】D

【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)”相似三角形的面積比等于相似比的平方”解答即可.

【詳解】解：兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3,則這兩個(gè)相似三角形的面積比是1：9,

故選：D.

12.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）已知V/3C與與G相似,且相似比為1:3,貝與△4與G的周長(zhǎng)

比為（）

A.1:1B.1:3C,1:6D.1:9

【答案】B

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：:V/BC與△48?相似，且相似比為1:3,

VABC與△&4G的周長(zhǎng)比為1:3,

故選B.

13.（2024?江蘇鹽城?中考真題）兩個(gè)相似多邊形的相似比為1：2,則它們的周長(zhǎng)的比為.

【答案】1：2/1

【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形周長(zhǎng)之比等于相似比即可求解，掌握相似多邊形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：兩個(gè)相似多邊形的相似比為1：2,

,它們的周長(zhǎng)的比為1：2,

故答案為：1：2.

A考向四相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

14.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，小杰從燈桿的底部點(diǎn)B處沿水平直線前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)C處，他在燈

光下的影長(zhǎng)8=3米，然后他轉(zhuǎn)身按原路返回到點(diǎn)B處，返回過程中小杰在燈光下的影長(zhǎng)可以是（）

A

DCB

A.4.5米B.4米C.3.5米D.2.5米

【答案】D

【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，設(shè)回過程中小杰身高為尸〃,連接4尸并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G,根

據(jù)題意得到C-//W，證明力CESADB4AGHFS.GB4，得到肉=而）=瓦，由2內(nèi)推

出累=粵，即可得出結(jié)論■

oL）KJD

【詳解】解：設(shè)回過程中小杰身高為打?，連接4尸并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)G,

根據(jù)題意得到CE〃尸〃〃/8,

/,力CEs力BAQGHFs?BA,

.CECDFH_GH

'AB~BD'AB~GB'

??,CE=FH

.CDGH

"BD~~GB'

?/BD>GB,

CD>GH,

??,CQ=3米，

GH<3,

??返回過程中小杰在燈光下的影長(zhǎng)可以是2.5米，

故選：D.

15.（2024.江蘇揚(yáng)州.中考真題）物理課上學(xué)過小孔成像的原理,它是一種利用光的直線傳播特性實(shí)現(xiàn)圖像

投影的方法.如圖,燃燒的蠟燭（豎直放置）48經(jīng)小孔。在屏幕（豎直放置）上成像40.設(shè)4B=36cm,

45=24cm.小孔。到45的距離為30cm,則小孔。到的距離為cm.

前、、、、夕

BI?

|<—30cm—力

【答案】20

【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，由題意得,^AOB^^A'OB',過。作OCLN3于

點(diǎn)C,C。交于點(diǎn)C：利用已知得出，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可，熟練掌

握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】由題意得：AB//A'B',

：.AAOB^^A'OB',

如圖，過。作OC，居于點(diǎn)C,C。交/?于點(diǎn)C,

|<-30cm->|<-?cm^

：.OC'LA'B',OC=30cm,

.A'B'OC24OC

..----=----，即Q—n=-----,

ABOC3630

OC=20（cm）,

即小孔。到4?的距離為20cm,

故答案為：20.

16.（2024?湖北?中考真題）小明為了測(cè)量樹NB的高度，經(jīng)過實(shí)地測(cè)量，得到兩個(gè)解決方案：

方案一：如圖（1）,測(cè)得C地與樹相距1。米，眼睛。處觀測(cè)樹N8的頂端A的仰角為32°：

方案二：如圖（2）,測(cè)得C地與樹4B相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達(dá)點(diǎn)E,眼睛。在鏡子

C中恰好看到樹的頂端A.

已知小明身高1.6米，試選擇一個(gè)方案求出樹的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，tan32°?0.64）

【分析】本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用題，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題.

方案一:作DEJ.AB,在RtA/DE中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射規(guī)律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可.

【詳解】解：方案一:作DE1AB,垂足為￡,

A

，OE=3C=10米,

在RtA4DE中，NADE=32°,

4E=D￡-tan32。a10x0.64=6.4（米）,

樹的高度為64+1.6=8米.

方案二：根據(jù)題意可得NNC8=NOC￡,

；ZB=ZE=90°,

AACBSADCE

ABBCQnAB10

??---=---,即----=一

DECE1.62

解得:45=8米,

答：樹的高度為8米.

考點(diǎn)二位似

A考向一位似圖形

17.（2024?四J11涼山?中考真題）如圖，一塊面積為60cm2的三角形硬紙板（記為VN8C）平行于投影面時(shí)，

在點(diǎn)光源。的照射下形成的投影是△4與G,若。8：84=2：3,則與G的面積是（）

8

A.90cm2B.135cm2C.150cm2D.375cm2

【答案】D

【詳解】解：：一塊面積為60cm2的三角形硬紙板（記為V/BC）平行于投影面時(shí)，在點(diǎn)光源。的照射下

形成的投影是。反股=2:3,

OB_2

一5，

位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為2:5,

三角形硬紙板的面積為60cm2,

邑,/2J4

"⑴25'

△/4G的面積為375cm2.

故選：D.

A考向二坐標(biāo)系與位似圖形

解題技巧/易錯(cuò)易混

位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對(duì)

應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.

18.（2024浙江.市考黃題）如圖，在平面置餡坐標(biāo)系市，V/2C后A/BC是位似圖形，位似吊心五點(diǎn)。若

點(diǎn)-3,1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為/'（-6,2）,則點(diǎn)8（-2,4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（）

【答案】A

【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)點(diǎn)兒⑷的坐標(biāo)可得到位似比，再根據(jù)位似比即可求解，掌握位似變換

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:me與是位似圖形，點(diǎn)4-3,1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H（-6,2）,

...AA'BC與AABC的位似比為2,

.?.點(diǎn)2(-2,4)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕的坐標(biāo)為(-2x2,4x2),即(-4,8),

故選：A.

19.(2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖，矩形0/8C各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。(0,0),/(3,0),5(3,2),C(0,2),

以原點(diǎn)。為位似中心，將這個(gè)矩形按相似比g縮小，則頂點(diǎn)5在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(%4)B.(4,9)C.[1,|]D.[1,|]

【答案】D

【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意3橫縱的坐標(biāo)乘以;，即可求解.

【詳解】解：依題意，3(3,2),以原點(diǎn)。為位似中心，將這個(gè)矩形按相似比;縮小，則頂點(diǎn)3在第一象限

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是1，：)

故選：D.

20.(2024?山西?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi),A/EC與V/5C關(guān)于原點(diǎn)。位似，

相似比為2：1,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,2),則點(diǎn)H的坐標(biāo)為.

【答案】(2,4)

【分析】題目主要考查位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形相似及相似比即可得出結(jié)果，熟練掌握位似圖形的

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，與"8C關(guān)于原點(diǎn)。位似，且相似比為2：1,

則CM'=2CM,

?，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（L2）,

則/的坐標(biāo)為（2,4）

故答案為：（2,4）.

,新題特訓(xùn)/

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，小明探究課本"綜合與實(shí)踐"板塊"制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測(cè)試距離為

5m時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的字高度為72.7mm,當(dāng)測(cè)試距離為3m時(shí)，最大的"。字高度為（）

C

A.4.36mmB.27.26mmC.43.62mmD.12.17mm

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解.根據(jù)

條件可得萬s4/BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由題意可得：BC//DF,BC=72.7mm,AB=5m,4D=3m,

^XADFsAABC,

BC_AB

"DF~AD'

當(dāng)測(cè)試距離為3m時(shí)，最大的"E"字高度為xmm,

5m=5000mm,3m=3000mm,

,72.75000

"3000'

解得：x=43.62,

,當(dāng)測(cè)試距離為3m時(shí)，最大的字高度為43.62mm;

故選：C.

2.（2024?重慶?三模）如圖，VN8C與△N4G是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，若。q=g。。，

的面積為1,則VABC的面積為（）

A.1B.2C.4D,8

【答案】C

【分析】本題考查位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的位似比等于相似比，面積比等于相似比的平方列式求

解即可.

【詳解】解：與是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，

s.的UcJ4

S、ABC=4s”向G=4x1=4,

故選C.

3.（2024安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，VNBC中，￡是13的中點(diǎn)，過點(diǎn)E炸ED//BC、交AC于點(diǎn)D,則

與四邊形BCDE的面積比是（）

【答案】C

【分析】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì),證明△/助sA^BC并且根據(jù)相似三角形面積的比等于

相似比的平方求出與V/2C的面積比是解題的關(guān)鍵.設(shè)V42C的面積為沉,由四〃BC證明

△NEZ）s"BC，再由￡是48的中點(diǎn)證明△4ED與VABC的面積的比為；,再用含m的式子分別表示

△力￡。的面積與四邊形BCDE的面積，再求出它們的比即可得到問題的答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)V45C的面積為加,

,.，E是4B的中點(diǎn)，

AE=BE=-AB,

2

.AE

\4B~2,

VED//BC,

:.公AEDs小4BC,

一S.ABC[AB]I2J4

.c_lc__L

-b"ED一~^^AABC_4m/

,Q_1_3

?.S四邊形BCDE一加一彳加一彳加/

1

—m

]_

。△AED4

3

：.^AED與四邊形BCDE的面積比是1:3,

故選：C.

4.（2024云南昆明?二模）如圖，已知4=/2,添加下列條件后，能判斷A/BC^AADE的是（）

ABBCABAE

A-----=-----B.-----=-----

?ADDEADAC

C./B=/DD.N3=N2

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定，先根據(jù)Nl=/2求出=,再根據(jù)相似三角形的判定方

法解答即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法：兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊

成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

【詳解】解：VZ1=Z2,

；.NDAE=NBAC,

AD

A、添加「節(jié)二六；，不能判定,此選項(xiàng)不符合題意；

ADDE

ARAT

B、添加”;二弁，不能判定△45CS44QE,此選項(xiàng)不符合題意；

ADAC

C、添加=，利用"兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似"能判定，此選項(xiàng)符合題意；

D、添加/B=N2,不能判定,此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

5.（2024?河北唐山?二模）將A/3C的各邊按如圖所示的方式向內(nèi)等距縮1cm，得到,有以下結(jié)論：

IV/2C與9跖是相似三角形；

IIVABC與GEF是位似三角形.下列判斷正確的是（）

A

A.i,n都正確都不正確

c.i正確，II不正確D.i不正確，II正確

【答案】A

【分析】本題考查了位似變換：兩個(gè)位似圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊

互相平行或共線.

先利用平行線的判定方法得到DE〃/3,EF//BC,DF//AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/即尸=4/C,

NDEF=AABC,從而可判斷△ABCs△。所；分別延長(zhǎng)BE、CF,它們相交于一點(diǎn)，根據(jù)位似的

定義可判斷V/8C與9斯是位似三角形.

【詳解】解：的各邊按如圖所示的方式向內(nèi)等距縮1cm得到血節(jié),

DE//AB,EF//BC,DF//AC,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

AEDF=ABAC,

同理可得：NDEF=NABC,

:AABCSADEF,所以I正確；

分別延長(zhǎng)工。、BE、CF,它們相交于一點(diǎn)。，如圖，

.?.“8C與AZ組廠是位似三角形，所以II正確.

故選：A.

6.(2024?浙江?二模)如圖，點(diǎn)光源。射出的光線沿直線傳播，將膠片上的建筑物圖片投影到與膠片平

行的屏幕上，形成影像.已知NB=0.3(dm),點(diǎn)光源到膠片的距離OE長(zhǎng)為6(dm),CD長(zhǎng)為4.3(dm),

【答案】c

【分析】本題考查中心投影，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)

AR°F

解決問題.證明，推出—==；，構(gòu)建方程求出防即可.

CDOF

【詳解】解：-AB//CD,

:.AOABs^ocD,

vOF1CD,

/.OF1AB,

AB_OE

~CD~~OF

,0.36

"43"6+EF'

.?.￡F=80（dm）,

故選：C.

7.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）若兩個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)比是1：2,則它們的周長(zhǎng)比是（）

A.2:1B,1:2C,1:3D.1:4

【答案】B

【分析】根據(jù)兩個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)比是1：2,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算周長(zhǎng)之比即可.本題考杳了三角

形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：兩個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)比是1：2,

.??兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例，

,兩個(gè)等邊三角形相似，

???它們的周長(zhǎng)比是1：2,

故選B.

8.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，V/2C與血亦是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為位似中心的位

似圖形，若/（-2,0）。（3,0）,且/C=4,則線段。尸的長(zhǎng)度為（）

【答案】A

【分析】本題考查坐標(biāo)與位似，根據(jù)兩個(gè)位似三角形一定相似，且相似比等于位似比，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???VN8C與血節(jié)是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，

AQQA

:.AABCsADEF，且——二——

DFOD

?.?4（-2,0）,。（3,0）,

：.OA=2,OD=3,

.ACOA_2

…而一訪一H'

故選A.

9.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，小明在橫格作業(yè)紙（橫線等距）上畫了個(gè)〃x〃，與橫格線交于A,B,C,

D,。五點(diǎn)，若線段,B=4cm,則線段C。的長(zhǎng)等于（）

AB

A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm

【答案】B

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,延長(zhǎng)石。交C。于點(diǎn)尸,證明

ARCF

△ABOs雙DCO,根據(jù)相似三角形的相似比等于相似三角形高線的比可得許=，代入計(jì)算即可解答.

C1J（Jr

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,延長(zhǎng)EO交C。于點(diǎn)尸，

AEB

/?\

~~C~~F~~D

：.AAEO=90°,

???作業(yè)紙中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，

AZDFO=ZAEO=9（T,

：.OFCD,

vAB//CD,

:.AABOS立）CO,

.AB_OE4_2

..---=----.即—=—.

CDOF'1CD3'

解得：CD=6,

經(jīng)檢驗(yàn)，C。=6是原方程的解且符合題意，

CZ）=6（cm）

故選：B.

k

10.（2024廣東模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰V/O8中，,頂點(diǎn)/為反比例函數(shù)y=-（其中x>0）

X

圖像上的一點(diǎn)，點(diǎn)8在x軸正半軸上，過點(diǎn)8作BC，OB，交反比例函數(shù)y=-的圖像于點(diǎn)C，連接OC交AB

X

于點(diǎn)。，若=8,04=4&U,則△2CQ的面積為（）

【答案】C

48

【分析】過點(diǎn)/作/〃口軸于點(diǎn)“，/〃交OC于點(diǎn)￡進(jìn)而求出加/=12,而求出反比例函數(shù)的解析y=一,

x

根據(jù)易證AO/ffisAOBCQ/DEsAmc,由相似三角形的性質(zhì)求出掰=3,/￡=9,設(shè)CD=2x,

則。￡=3x,CE=0E=5x,0C=10x,進(jìn)而求出面積即可.

【詳解】解：過點(diǎn)N作，無軸于點(diǎn)H,AH交OC于點(diǎn)E,

y

y

QOA=AB,AH±OB

，

qHBx

：.OH=BH=-OB=,

2

?.?OA=4A/10=>JOH2+AH2,

力〃=12,

，4（4,12）,

，A=4x12=48,

48

y--/

X

Q05=8,

，C（8,6）,

???ZH_Lx軸,BC_Lx軸,

AH//BC,

:AOHES八（JBCQADES小BDC,

*EH—OH—OE—\DEAE

''BC~OB~OC~2'CDBC1

0E=CE,

DFqA

EH=3,AE=AH—EH=12—3=9

CD62

設(shè)CZ）=2x,貝！J0￡=3xiCE=OE=3x,0C=\0xi

CD_1

,?,歷—

?q_1c_11Q24

??S.BCD=5S.BCO=-X-X8X6=—/

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與

性質(zhì)，熟練識(shí)記這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

11.（2024?陜西西安二模）如圖，在以A/8C中，ZABC=90°,E、尸分別為/C、BC的中點(diǎn)，連接跖，H

為/￡的中點(diǎn),過點(diǎn)*作物,交3c于點(diǎn)。，連接。E,則與V/2C相似（不含V/3C）的三角形個(gè)

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

由三角形中位線定理可得EF///B,可得△CEFsWB,由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可證

◎BSACDH,可得結(jié)論.

【詳解】解：???￡、下分別為/C、BC的中點(diǎn)，

EF//AB,

:.△CEFSAC4B,

,/HDLAC,

：.ZDHC=ZABC=90°,

又：zc=zc,

:.ACABSACDH,

故選：B.

12.（2024?河北?二模）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，圖1中小狗手影就是我們小時(shí)候

常玩的游戲.在一次游戲中，小明距離墻壁2米，爸爸拿著的光源與小明的距離為4米，如圖2所示，若

在光源不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應(yīng)（）

A.增加1米B.減少1米C.增加2米D.減少2米

【答案】D

【分析】此題考查了中心投影，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)

應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解答問題.根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)

構(gòu)建方程求解即可.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)。為光源，N2表示小明的手，CA表示小狗手影，貝（,過點(diǎn)。作,

延長(zhǎng)交C。于尸，則O尸，。，

C

。?安三二匚旦----F

萬、'、、、

'山

：AB//CD,

AOAB=ZOCD,AOBA=ZODC,

"OBs小COD,

.AB_OE

^~CD~~OF'

???跖=2米，。區(qū)=4米，貝!9=6米，

.ABOE_2

^~CD~~OF~^'

AB=2k,CD=3k,

??,在光源不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，如圖，

c'

4/

7

c，/E口，

O、------------F

即48=2斤，CD'=6k,△AO'Bs^COD,

,ABO'E'1

CD'_O'F'_3，

則。?=2米，

二光源與小明的距離減少。E-O'E'=4-2=2（米），

故選：D.

二、填空題

13.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）學(xué)習(xí)相似三角形后，小紅利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來測(cè)量一路燈的高度.如

圖，已知小紅的身高是L5米，他在路燈下的影長(zhǎng)為2米，小紅距路燈燈桿的底部4米，則路燈燈泡距地面

的高度是_________米.

【答案】|9

【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用.根據(jù)已知得