2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第七章統(tǒng)計(jì)與概率

7.2概率

備考指南＞

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢

考點(diǎn)1事件與概率☆☆數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)概率的部分，每年考查1道題，分

值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的其中

一種形式考查。難度不大，只要掌握概率的幾種計(jì)算

考點(diǎn)2概率的計(jì)算☆☆☆方法就能獲得滿意的分?jǐn)?shù)。但在解答里出現(xiàn)求概率問

題，一般是結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖綜合考查，所以各種統(tǒng)計(jì)圖的

意義要理解，對(duì)數(shù)據(jù)分析要熟練。

☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

[ffl知識(shí)導(dǎo)圖

隨機(jī)事件刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能

與概率?性大小的數(shù)值

巴

數(shù)

為

驗(yàn)

總結(jié)

試

p，-1VB

(A為

M〃

含

結(jié)

數(shù)

件

的

事

果種

A包

概

率

初r直接列舉法

步列舉法求|]反菽"

適合于兩個(gè)試驗(yàn)因素或分兩步進(jìn)行

5￥J|畫樹狀圖法適合于三個(gè)試驗(yàn)因素或分三步進(jìn)行

|用頻率估

頻率與概在大量重復(fù)試驗(yàn)中，頻率具有

|計(jì)概率|率的關(guān)系穩(wěn)定性時(shí)才可以用來估計(jì)概率

典夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)清單

考點(diǎn)1事件與概率

(一)確定事件和隨機(jī)事件

1.確定事件：確定事件是一定會(huì)發(fā)生或一定不會(huì)發(fā)生的事件，包括：

(1)必然發(fā)生的事件：在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件.

(2)不可能發(fā)生的事件：有的事件在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，這樣的事件叫做不可能的事件.

2.隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,稱為隨機(jī)事件.

3.隨機(jī)事件發(fā)生的可能性：一般地，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大小的，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可

能性的大小有可能不同.

對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，我們利用反復(fù)試驗(yàn)所獲取一定的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以預(yù)測它們發(fā)生機(jī)會(huì)的

大小.要評(píng)判一些游戲規(guī)則對(duì)參與游戲者是否公平，就是看它們發(fā)生的可能性是否一樣.所謂判斷事

件可能性是否相同，就是要看各事件發(fā)生的可能性的大小是否一樣，用數(shù)據(jù)來說明問題.

(-)概率

1.概率的概念：一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A,我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事

件A發(fā)生的概率，記為P(A).

2.頻率與概率的關(guān)系：當(dāng)我們大量重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，某事件出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定到某一個(gè)數(shù)值，把

這一頻率的穩(wěn)定值作為該事件發(fā)生的概率的估計(jì)值.

3.確定事件和隨機(jī)事件的概率之間的關(guān)系：

(1)確定事件概率：

①當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時(shí)，P(A)=1

②當(dāng)A是不可能發(fā)生的事件時(shí)，P(A)=0

(2)確定事件和隨機(jī)事件的概率之間的關(guān)系：

事件發(fā)生的可能性越來越小

01概率的值

II

不可肓附生-------------------?必然發(fā)生

事件發(fā)生的可能t蝴來越大

4.古典概型的定義：某個(gè)試驗(yàn)若具有：①在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)有有限多個(gè)；②在一次試

驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.我們把具有這兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為古典概型.

5.計(jì)算概率的公式

yri

P(A)=-,其中n為所有事件的總數(shù),m為事件A發(fā)生的總次數(shù).

n

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】幾何概型求法

一般是用幾何圖形的面積比來求概率，計(jì)算公式為：P(A)=解這類題除了掌

總面積

握概率的計(jì)算方法外，還應(yīng)熟練掌握幾何圖形的面積計(jì)算.

考點(diǎn)2概率的計(jì)算

1.用直接列舉法求概率

(1)直接列舉法：.即把事件可能出現(xiàn)的結(jié)果二列出.

(2)直接列舉法比較適合用于最多涉及兩個(gè)試驗(yàn)因素或分兩步進(jìn)行的試驗(yàn)，且事件總結(jié)果的種數(shù)比

較少的等可能性事件.

(3)隨機(jī)事件“同時(shí)”與“先后”的關(guān)系：“兩個(gè)相同的隨機(jī)事件同時(shí)發(fā)生”與“一個(gè)隨機(jī)事件先

后兩次發(fā)生”的結(jié)果是一樣的.

2.用列表法求概率

(1)列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，應(yīng)不重不漏地列出所

有可能的結(jié)果，通常采用列表法求事件發(fā)生的概率.

(2)列表格方法

列表法中表格構(gòu)造特點(diǎn)：

一個(gè)因素所包含的可能情況

個(gè)

另

所

因

素

的

含

包

情

能

可

況

【注意】在何種情況下求解概率使用列表格法的歸納總結(jié)

當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素(例如擲兩個(gè)骰子)并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出

所有可能結(jié)果，通常采用列表法。

L關(guān)鍵一在于正確列舉出試驗(yàn)結(jié)果的各種可能性.

列舉法一「直接列舉法

—常用——畫樹狀圖法

方法

-列表法

|基本步驟］|適用對(duì)象|

I前提條件I

個(gè)

試驗(yàn)

①列表；兩

素或

因

確保試驗(yàn)中每種分

②確定、〃值

步進(jìn)

“1兩

結(jié)果出現(xiàn)的可能代入概率公式計(jì)行

試驗(yàn)

的

性大小相等.M.一

3.利用畫樹狀圖法求概率

(1)畫樹狀圖法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及2個(gè)或更多的因素時(shí),按事件發(fā)生的次序，列出事件可能出現(xiàn)

的結(jié)果.通常采用畫樹狀圖來求事件發(fā)生的概率.

(2)樹狀圖的畫法

如一個(gè)試驗(yàn)中涉及2個(gè)因數(shù)，第一個(gè)因數(shù)中有2種可能情況;第二個(gè)因數(shù)中有3種可能的情況.則其樹

形圖如圖。

一個(gè)試驗(yàn)

第一個(gè)因素

第二個(gè)因素

〃=2X3=6

(3)畫樹狀圖法求概率的步驟、適用范圍、注意事項(xiàng):

|①關(guān)鍵墓再清楚每一步有幾種結(jié)果；|

|②在樹狀圖下面對(duì)應(yīng)寫著所有可能

|步馬聚|

的結(jié)果;____________________________________

③利用相率公式進(jìn)彳亍計(jì)算.

是一種角翠決試馬僉有多步(或涉及多

|樹狀圖|-|用法?

個(gè)因素)的好方法.

①舁清試馬僉涉及試馬僉因素個(gè)數(shù)或試

驗(yàn)步馬聚分幾步；

|注意|

②在摸球試驗(yàn)一定要弄清“放回”還

是“不放回”.

4.利用頻率估計(jì)概率

（1）利用頻率估計(jì)概率。在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)

定到某個(gè)常數(shù)，可以估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率。

（2）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用較為簡單的試驗(yàn)方法代替實(shí)際操作中復(fù)雜的試驗(yàn)來完成概率估計(jì)，這樣的試

驗(yàn)稱為模擬實(shí)驗(yàn)。

（3）隨機(jī)數(shù)。在隨機(jī)事件中，需要用大量重復(fù)試驗(yàn)產(chǎn)生一串隨機(jī)的數(shù)據(jù)來開展統(tǒng)計(jì)工作。把這些隨

機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨機(jī)數(shù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】概率與頻率的關(guān)系

概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值。

u考點(diǎn)梳理一〉

考點(diǎn)1事件與概率

【例題1】（2024貴州省）小星同學(xué)通過大量重復(fù)的定點(diǎn)投籃練習(xí)，用頻率估計(jì)他投中的概率為0.4,

下列說法正確的是（）

A.小星定點(diǎn)投籃1次，不一定能投中B.小星定點(diǎn)投籃1次，一定可以投中

C.小星定點(diǎn)投籃10次，一定投中4次D.小星定點(diǎn)投籃4次，一定投中1次

【答案】A

【解析】本題主要考查了概率的意義，概率是反映事件發(fā)生機(jī)會(huì)的大小的概念，只是表示發(fā)生的機(jī)會(huì)

的大小，機(jī)會(huì)大也不一定發(fā)生，據(jù)此求解即可.

小星同學(xué)通過大量重復(fù)的定點(diǎn)投籃練習(xí)，用頻率估計(jì)他投中的概率為0.4,則由概率的意義可知，小

星定點(diǎn)投籃1次，不一定能投中，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

小星定點(diǎn)投籃10次，不一定投中4次，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

小星定點(diǎn)投籃4次，不一定投中1次，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤

故選；A.

【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024湖北孝感一模）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機(jī)事件的是（）

A.點(diǎn)數(shù)的和為1B.點(diǎn)數(shù)的和為6

C.點(diǎn)數(shù)的和大于12D.點(diǎn)數(shù)的和小于13

【答案】B

【解析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

A、點(diǎn)數(shù)和為1,是不可能事件，不符合題意；

B、點(diǎn)數(shù)和為6,是隨機(jī)事件，符合題意；

C、點(diǎn)數(shù)和大于12,是不可能事件，不符合題意；

D、點(diǎn)數(shù)的和小于13,是必然事件，不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)

生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條

件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

【對(duì)點(diǎn)變式練2］（2024遼寧一模）不透明的袋子中只有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外無其

他差別，隨機(jī)從袋子中一次摸出3個(gè)球，下列事件是不可能事件的是（）

A.3個(gè)球都是黑球B.3個(gè)球都是白球

C.三個(gè)球中有黑球D.3個(gè)球中有白球

【答案】B

【解析】根據(jù)袋子中球的個(gè)數(shù)以及每樣球的個(gè)數(shù)對(duì)摸出的3個(gè)球的顏色進(jìn)行分析即可.

【詳解】袋中一共6個(gè)球，有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，從中一次摸出3個(gè)球，可能3個(gè)都是黑球，也可

能2個(gè)黑球1個(gè)白球，也可能2個(gè)白球1個(gè)黑球，不可能3個(gè)都是白球，

故選項(xiàng)A、C、D都是可能事件，不符合題意，選項(xiàng)B是不可能事件，符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了確定事件及隨機(jī)事件，把握相關(guān)概念，正確進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

【例題2】（2024深圳）二十四節(jié)氣，它基本概括了一年中四季交替的準(zhǔn)確時(shí)間以及大自然中一些

物候等自然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，二十四個(gè)節(jié)氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），

夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），

冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個(gè)節(jié)氣中選一個(gè)節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在

夏季的概率為（）

1111

A."B.—C.—D.一

21264

【答案】D

【解析】本題考查了概率公式.根據(jù)概率公式直接得出答案.

二十四個(gè)節(jié)氣中選一個(gè)節(jié)氣，抽到的節(jié)氣在夏季的有六個(gè)，

則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為9=」，故選：D.

244

【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024上海一模）某校計(jì)劃組織研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有四個(gè)地點(diǎn)可供選擇：南鹿島、百丈

漂、楠溪江、雁蕩山.若從中隨機(jī)選擇一個(gè)地點(diǎn)，則選中“南鹿島”或“百丈襟”的概率為（）

【答案】C

【解析】根據(jù)概率公式可直接求解.

???有四個(gè)地點(diǎn)可供選擇：南鹿島、百丈襟、楠溪江、雁蕩山,

，若從中隨機(jī)選擇一個(gè)地點(diǎn)，則選中“南鹿島”或“百丈深”的概率為2=工:

42

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)概率公式求簡單事件的概率，正確理解題意是關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)變式練2]（2024天津一模）正方形ABCD的邊長為2,以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，得

到如圖所示陰影部分，若隨機(jī)向正方形ABCD內(nèi)投一粒米，求米粒落在陰影部分的概率。

【解析】求得陰影部分的面積后除以正方形的面積即可求得概率.

ABP=5X2X1=1,

由題意得：圖中陰影部分的面積=4（S?o-SAABP）

兀、

=4（------1）=2n-4,

2

米粒落在陰影部分的概率為竺二=七2

42

考點(diǎn)2概率的計(jì)算

【例題3]（2024福建省）哥德巴赫提出“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”的猜想,

我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.在質(zhì)數(shù)2,3,5中，隨機(jī)選取兩

個(gè)不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）

【答案】B

【解析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖，求和后利用概率公式計(jì)算即可.

和575878

由樹狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數(shù)的共有2種情況，故和是偶數(shù)的概率是

—,故選：B

63

【例題4】（2024江蘇鹽城）在“重走建軍路，致敬新四軍”紅色研學(xué)活動(dòng)中，學(xué)校建議間學(xué)們利

用周末時(shí)間自主到以下三個(gè)基地開展研學(xué)活動(dòng).

A.新四軍紀(jì)念館（主館區(qū)）；

B.新四軍重建軍部舊址（泰山廟）：

C.新四軍重建軍部紀(jì)念塔（大銅馬），

小明和小麗各自隨機(jī)選擇一個(gè)基地作為本次研學(xué)活動(dòng)的第一站.

（1）小明選擇基地A的概率為：

（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小麗選擇相同基地的概率.

【答案】（1）（2）5

【解析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本

題的關(guān)鍵.

（1）直接利用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明和小麗選擇相同基地的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得

出答案.

【小問1詳解】

解：由題意得，小明選擇基地A的概率為工；

3

故答案為：—

3

【小問2詳解】

解：列表如下:

ABc

A(AA)(AB)(AC)

B(民⑷小網(wǎng)(B?

C(CA)S)(cc)

共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小麗選擇到相同基地的結(jié)果有3種，

31

小明和小麗選擇相同基地的概率為一=一.

93

【對(duì)點(diǎn)變式練1]（2024山東濟(jì)寧一模）某校在勞動(dòng)課上，設(shè)置了植樹、種花、除草三個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目.九

年一班和九年二班都通過抽簽的方式從這三個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取一個(gè)項(xiàng)目，則這兩個(gè)班級(jí)恰好都抽到種

花的概率是（）

【答案】D

【解析】根據(jù)列表法求概率即可求解.

設(shè)A,3,C分別表示植樹、種花、除草三個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目，列表如下,

ABC

AA4ABAC

BBABBBC

cCACBCC

共有9種等可能結(jié)果，符合題意得出有1種,

...這兩個(gè)班級(jí)恰好都抽到種花的概率是工，

9

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法求概率，熟練掌握求概率的方法是解題的關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)變式練2]（2024云南一模）某校即將舉行田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，“體育達(dá)人”小明從“跳高”“跳遠(yuǎn)”

“100米”“400米”四個(gè)項(xiàng)目中，隨機(jī)選擇兩項(xiàng)，則他選擇“100米”與“400米”兩個(gè)項(xiàng)目的概率

是（）

【答案】C

【解析】設(shè)“跳高”“跳遠(yuǎn)”“100米”“400米”四個(gè)項(xiàng)目分別為A、B、C、D,畫出樹狀圖，找

到所有情況數(shù)和滿足要求的情況數(shù)，利用概率公式求解即可.

【詳解】設(shè)“跳高”“跳遠(yuǎn)”“100米”“400米”四個(gè)項(xiàng)目分別為AB、C、D,畫樹狀圖如下:

開始

由樹狀圖可知共有12種等可能情況，他選擇“100米”與“400米”兩個(gè)項(xiàng)目即選擇C和D的情況數(shù)

共有2種,

選擇“100米”與“400米”兩個(gè)項(xiàng)目的概率為2=」,

126

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，正確畫出樹狀圖或列表，找到所有等可能情況數(shù)和滿足

要求情況數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【例題5】（2024江蘇揚(yáng)州）某學(xué)習(xí)小組做拋擲一枚瓶蓋的實(shí)驗(yàn)，整理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表:

累計(jì)拋擲次數(shù)501002003005001000200030005000

蓋面朝上次數(shù)2854106158264527105615872650

蓋面朝上頻率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.530

隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近于（精確到0.01）.

【答案】0.53

【解析】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠仔細(xì)觀察表格并了解：現(xiàn)隨著實(shí)驗(yàn)

次數(shù)的增多，頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近,可用這個(gè)常數(shù)表示概率.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)解答本題即可.

【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可得：隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53,

故答案：0.53

【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024新疆一模）甲、乙兩位同學(xué)在一次用頻率去估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)

果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)可能是（）

A.擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率

B.一個(gè)袋子中有2個(gè)白球和1個(gè)紅球，從中任取一個(gè)球，則取到紅球的概率

C.拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率

D.任意寫一個(gè)整數(shù)，它能被2整除的概率

【答案】B

【解析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動(dòng)，即其概率P心0.33,計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約

為0.33者即為正確答案.

A.擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為故此選項(xiàng)不符合題意；

6

B.一個(gè)袋子中有2個(gè)白球和1個(gè)紅球，從中任取一個(gè)球，則取到紅球的概率33,故此選項(xiàng)符合

題意；

C.擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為萬，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.任意寫出一個(gè)整數(shù)，能被2整除的概率為萬，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率

=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.同時(shí)此題在解答中要用到概率公式.

【對(duì)點(diǎn)變式練2］（2024寧夏一模）某批羽毛球的質(zhì)量檢驗(yàn)結(jié)果如下：

抽取的羽毛球數(shù)a10020040060080010001200

優(yōu)等品的頻數(shù)b931923805617529411128

b

優(yōu)等品的頻率20.9300.9600.9500.9350.9400.9410.940

a

小明估計(jì)，從這批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是優(yōu)等品的概率是0.94.下列說法中，正確的

是（）

A.如果繼續(xù)對(duì)這批羽毛球進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，優(yōu)等品的頻率將在0.94附近擺動(dòng)

B.從這批羽毛球中任意抽取一只，一定是優(yōu)等品

C.從這批羽毛球中任意抽取50只，優(yōu)等品有47只

D.從這批羽毛球中任意抽取1100只，優(yōu)等品的頻率在0.940~0.941的范圍內(nèi)

【答案】A

【解析】根據(jù)頻數(shù)和頻率的關(guān)系進(jìn)行判斷即可

A.如果繼續(xù)對(duì)這批羽毛球進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，優(yōu)等品的頻率將在0.94附近擺動(dòng)，故此選項(xiàng)正確；

B.從這批羽毛球中任意抽取一只，不一定是優(yōu)等品，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.從這批羽毛球中任意抽取50只，優(yōu)等品有不一定為47只，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.從這批羽毛球中任意抽取H00只，優(yōu)等品的頻率不一定在0.940~0.941的范圍內(nèi)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，熟練掌握利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

yI真題在線〉

考點(diǎn)1.事件與概率

1.（2024武漢市）小美和小好同學(xué)做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時(shí)出相同的手勢，這個(gè)事

件是（）

A.隨機(jī)事件B.不可能事件C.必然事件D.確定性事件

【答案】A

【解析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即

可.

兩人同時(shí)出相同的手勢，，這個(gè)事件是隨機(jī)事件，故選：A.

2.（2024湖北省）下列各事件是，是必然事件的是（）

A.擲一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3B.某同學(xué)投籃球，一定投不中

C.經(jīng)過紅綠燈路口時(shí)，一定是紅燈D.畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180。

【答案】D

【解析】本題考查了隨機(jī)事件和必然事件,解題的關(guān)鍵是掌握一定會(huì)發(fā)生的是必然事件,有可能發(fā)生，

也有可能不發(fā)生的是隨機(jī)事件，據(jù)此逐個(gè)判斷即可.

【詳解】A、擲一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3,是隨機(jī)事件，不符合題意；

B、某同學(xué)投籃球，一定投不中，是隨機(jī)事件，不符合題意；

C、經(jīng)過紅綠燈路口時(shí)，一定是紅燈，是隨機(jī)事件，不符合題意；

D、畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180。，是必然事件，符合題意；故選：D.

3.（2024江蘇連云港）下列說法正確的是（）

A.10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，先摸的人摸到獎(jiǎng)票的概率較大

B.從1,2,3,4,5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，取得偶數(shù)的可能性較大

C.小強(qiáng)一次擲出3顆質(zhì)地均勻骰子，3顆全是6點(diǎn)朝上是隨機(jī)事件

D.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為連續(xù)拋此硬幣2次必有1次正面朝上

【答案】C

【解析】本題考查事件發(fā)生的可能性與概率.由題意根據(jù)事件的可能性以及事件發(fā)生的概率對(duì)各選項(xiàng)

進(jìn)行依次判斷即可.

A、“10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，先摸的人摸到獎(jiǎng)票的概率一樣”，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題

思；

B、從1,2,3,4,5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，奇數(shù)有3個(gè)，偶數(shù)有2個(gè)，取得奇數(shù)的可能性較大，故該

選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、“小強(qiáng)一次擲出3顆質(zhì)地均勻的骰子，3顆全是6點(diǎn)朝上是隨機(jī)事件”，故該選項(xiàng)正確，符合題

思；

D、拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為連續(xù)拋此硬幣2次有可能有1次正面朝上，故該

選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C.

4.（2024遼寧）一個(gè)不透明袋子中裝有4個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)綠球，1個(gè)黑球，每個(gè)球除顏色外

3

都相同.從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則下列事件發(fā)生的概率為一的是（）

10

A,摸出白球B,摸出紅球C.摸出綠球D.摸出黑球

【答案】B

【解析】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵.分別求出摸出四種顏色球的概率，即可得

到答案.

442

A、摸出白球的概率為后EW不符合題意;

33

B、摸出紅球言，符合題意;

4+3+2+1

221

C、摸出綠球不符合題意;

4+3+2+1105

]1

D、摸出黑球不符合題意;

4+3+2+110

故選：B.

5.（2024廣西）不透明袋子中裝有白球2個(gè)，紅球1個(gè)，這些球除了顏色外無其他差別.從袋子中

隨機(jī)取出1個(gè)球，取出白球的概率是（）

【答案】D

【解析】本題考查求概率，直接利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，有2+1=3種等可能的結(jié)果，其中取出白球的情況有2種，

P=—故選D.

3

6.（2024湖北省）中國古代杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之、劉徽、趙爽、秦九韶、楊輝，從中任選一個(gè)，恰

好是趙爽的概率是.

【答案】|

【解析】本題主要考查運(yùn)用概率公式求概率，根據(jù)概率公式即可得出答案.

共有5位數(shù)學(xué)家，趙爽是其中一位，

所以，從中任選一個(gè)，恰好是趙爽概率是1

7.（2024四川成都市）盒中有無枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別.從盒中隨機(jī)取出

一枚棋子，如果它是黑棋的概率是3:，則一X的值為______.

8y

【答案】|3

【解析】本題考查簡單的概率計(jì)算、比例性質(zhì)，根據(jù)隨機(jī)取出一枚棋子，它是黑棋的概率是9,可得

O

x3

——進(jìn)而利用比例性質(zhì)求解即可.

x+y8

3

..?隨機(jī)取出一枚棋子，它是黑棋的概率是2,

8

x3,x3

----=~,則一=、

x+y8y5

考點(diǎn)2.概率的計(jì)算

1.（2024甘肅臨夏）物理變化和化學(xué)變化的區(qū)別在于是否有新物質(zhì)的生成.某學(xué)習(xí)小組在延時(shí)課上

制作了A,B,C,。四張卡片，四張卡片除圖片內(nèi)容不同外，其他沒有區(qū)別，放置于暗箱中搖勻.

/

A.鐵釘生銹B.滴水成冰C.礦石粉碎D.牛奶變質(zhì)

（1）小臨從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽中C卡片的概率是;

（2）小夏從四張卡片中隨機(jī)抽取兩張，用列表法或畫樹狀圖法求小夏抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學(xué)變

化的概率.

【答案】（1）-（2）-

46

【解析】本題考查簡單的概率計(jì)算，列表法或畫樹狀圖法求概率，掌握概率公式和正確的列出表格或

畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵.

(1)直接利用概率公式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)題意列出表格或畫出樹狀圖表示出所有等可能的結(jié)果，再找出抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學(xué)

變化的結(jié)果，最后根據(jù)概率公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

解：小臨從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽中。卡片的概率是

4

故答案為：一；

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意可列表格如下,

ABCD

AA,BA,CA,D

BB,AB,CB,D

CC,AC,BC,D

DD,AD,BD,C

根據(jù)表格可知共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學(xué)變化的結(jié)果有2種,

抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學(xué)變化的概率為2=」.

126

2.(2024黑龍江大慶)“鐵人王進(jìn)喜紀(jì)念館”“龍鳳濕地公園”“濱水綠道”和“數(shù)字大慶中心”

是大慶市四個(gè)有代表性的旅游景點(diǎn).若小娜從這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇兩個(gè)景點(diǎn)游覽，則這兩個(gè)景點(diǎn)中

有“鐵人王進(jìn)喜紀(jì)念館”的概率是()

1111

A.—B.-C.-D.-■

6432

【答案】D

【解析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到選

擇兩個(gè)景點(diǎn)中有“鐵人王進(jìn)喜紀(jì)念館”的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可.

設(shè)鐵人王進(jìn)喜紀(jì)念館”“龍鳳濕地公園”“濱水綠道”和“數(shù)字大慶中心”四個(gè)景點(diǎn)分別用A、B、

C、D表示，列表如下：

\ABCD

A（B，A）(CA)(D，A)

B(AB)(CB)(D,B)

C(AC)(B?(AC)

D（A。）(BQ)CM

由表格可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中選擇“鐵人王進(jìn)喜紀(jì)念館”的結(jié)果數(shù)有6種，

???這兩個(gè)景點(diǎn)中有“鐵人王進(jìn)喜紀(jì)念館”的概率為色=L,故選：D.

122

3.（2024河北省）甲、乙、丙三張卡片正面分別寫有。+反2。+瓦。-匕，除正面的代數(shù)式不同外,

的值為負(fù)數(shù)的概率；

（2）將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，放回后重新洗勻，再隨機(jī)抽取一張.請?jiān)诒?/p>

格中補(bǔ)全兩次取出的卡片上代數(shù)式之和的所有可能結(jié)果（化為最簡），并求出和為單項(xiàng)式的概率.

14

【答案】（1）-（2）填表見解析，一

39

【解析】【分析】（1）先分別求解三個(gè)代數(shù)式當(dāng)。=1乃=-2時(shí)的值，再利用概率公式計(jì)算即可；

（2）先把表格補(bǔ)充完整，結(jié)合所有可能的結(jié)果數(shù)與符合條件的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

解：當(dāng)。=1]=一2時(shí),

a+b=—l,2〃+Z?=0,Q—=1一(―2)=3,

...取出的卡片上代數(shù)式的值為負(fù)數(shù)的概率為：

3

【小問2詳解】

解：補(bǔ)全表格如下：

a+b2a+ba-b

第二收〕

a+b2a+2b3a+2b2a

2a+b3a+2b4a+2b3a

a-b2a3a2a—2b

所有等可能的結(jié)果數(shù)有9種，和為單項(xiàng)式的結(jié)果數(shù)有4種，

4

和為單項(xiàng)式的概率為一.

9

【點(diǎn)睛】本題考查的是代數(shù)式的值，正負(fù)數(shù)的含義，多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的概念，利用列表法求解簡單隨

機(jī)事件的概率，掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵.

4.(2024河南省)豫劇是國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛.正面印有豫劇經(jīng)

典劇目人物的三張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同.把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽

【答案】D

【解析】本題考查了樹狀圖法或列表法求概率，解題的關(guān)鍵是正確畫出樹狀圖得到所有的等可能的結(jié)

果數(shù).根據(jù)題意，利用樹狀圖法將所有結(jié)果都列舉出來，然后根據(jù)概率公式計(jì)算解決即可.

【詳解】把3張卡片分別記為A、B、C,

畫樹狀圖如下：

開始

共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片正面相同的結(jié)果有3種，

31

兩次抽取的卡片圖案相同的概率為§=故選：D.

5.（2024黑龍江齊齊哈爾）六月份，在“陽光大課間”活動(dòng)中，某校設(shè)計(jì)了“籃球、足球、排球、

羽毛球”四種球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，且每名學(xué)生在一個(gè)大課間只能選擇參加一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，則甲、乙兩名學(xué)

生在一個(gè)大課間參加同種球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率是（）

【答案】C

【解析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，分別用A、夙C、。表示籃球、足球、排球、羽毛

球，根據(jù)題意畫樹狀圖求解即可.

【詳解】分別用人、B、a。表示籃球、足球、排球、羽毛球，

列樹狀圖如下：

/A\/K/A\/A\

乙ABCDABCDABCDABCD

由樹狀圖可知，共有16種等可能情況，其中甲、乙兩名學(xué)生在一個(gè)大課間參加同種球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的

情況有4種，

41

即甲、乙兩名學(xué)生在一個(gè)大課間參加同種球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率是一=—,故選：C.

164

6.（2024廣州）善于提問是應(yīng)用人工智能解決問題的重要因素之一.為了解同學(xué)們的提問水平，對(duì)A,

3兩組同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對(duì)每名同學(xué)的提問水平進(jìn)行評(píng)分，得分情況如下（單位：分）：

A組75788282848687889395

3組75778083858688889296

（1）求A組同學(xué)得分的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）現(xiàn)從A、B兩組得分超過90分的4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參與訪談，求這2名同學(xué)恰好來

自同一組的概率.

【答案】(1)A組同學(xué)得分的中位數(shù)為85分，眾數(shù)為82分；(2)-

3

【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)與眾數(shù)，列表法或樹狀圖法求概率，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；

(2)由題意可知，A、B兩組得分超過90分的同學(xué)各有2名，畫樹狀圖法求出概率即可.

【小問1詳解】解：由題意可知，每組學(xué)生人數(shù)為10人，

，中位數(shù)為第5、6名同學(xué)得分的平均數(shù)，

A組同學(xué)得分的中位數(shù)為留出=85分，

2

82分出現(xiàn)了兩次，次數(shù)最多，

，眾數(shù)為82分；

【小問2詳解】解：由題意可知，A、B兩組得分超過90分的同學(xué)各有2名，

令A(yù)組的2名同學(xué)為從、4，8組的2名同學(xué)為g、B2,

畫樹狀圖如下：

開始

A|A?B|B?

/IX小

A?R?B2A?R?B2A\A】B?A?A[B]

由樹狀圖可知，共有12種等可能的情況，其中這2名同學(xué)恰好來自同一組的情況有4種，

41

,這2名同學(xué)恰好來自同一組的概率—

123

7.(2024甘肅威武)在一只不透明的布袋中，裝有質(zhì)地、大小均相同的四個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有

數(shù)字1,2,3,4.甲乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則為：兩人同時(shí)從袋中隨機(jī)各摸出1個(gè)小球，若兩球上

的數(shù)字之和為奇數(shù)，則甲勝；若兩球上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則乙勝.

(1)請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率.

(2)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方公平嗎？請說明理由.

【答案】(1)-

3

(2)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方不公平，理由見解析

【解析】【小問1詳解】

解：畫樹狀圖如下：

開始

由樹狀圖可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)有8種,

Q2

???甲獲勝的概率為一=-;

123

【小問2詳解】

解：這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方不公平，理由如下:

由（1）中的樹狀圖可知，兩球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)有4種,

41

，乙獲勝的概率為一=一,

123

12

—<一,

33

甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，

這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方不公平.

8.（2024貴州省）根據(jù)《國家體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，七年級(jí)男生、女生50米短跑時(shí)間分別不超過

7.7秒、8.3秒為優(yōu)秀等次.某校在七年級(jí)學(xué)生中挑選男生、女生各5人進(jìn)行集訓(xùn)，經(jīng)多次測試得到10

名學(xué)生的平均成績（單位：秒）記錄如下:

男生成績：7.61,7.38,7.65,7.38,7.38

女生成績：8.23,8.27,8.16,8.26,8.32

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）男生成績眾數(shù)為，女生成績的中位數(shù)為

（2）判斷下列兩位同學(xué)的說法是否正確.

小星:5名男生中成小紅:5名女生的成

績最好的是7.38秒.績均為優(yōu)秀等次.

（3）教練從成績最好的3名男生（設(shè)為甲，乙，丙）中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生代表學(xué)校參加比賽，請

用畫樹狀圖或列表的方法求甲被抽中的概率.

【答案】（1）7.38,8.26（2）小星的說法正確，小紅的說法錯(cuò)誤（3）-

3

【解析】【小問1詳解】

解：男生成績7.38出現(xiàn)的次數(shù)最多，即眾數(shù)為7.38,

女生成績排列為：8.16,8.23,8.26,8.27,8.32,居于中間的數(shù)為8.26,故中位數(shù)為8.26,

故答案為：7.38,8.26；

【小問2詳解】

解：???用時(shí)越少，成績越好，

7.38是男生中成績最好的，故小星的說法正確;

???女生8.3秒為優(yōu)秀成績，8.32>8.3,

有一人成績達(dá)不到優(yōu)秀，故小紅的說法錯(cuò)誤；

【小問3詳解】

列表為：

甲乙丙

甲甲，乙甲，丙

乙乙，甲乙，丙

丙丙，甲丙，乙

由表格可知共有6種等可能結(jié)果，其中抽中甲的有4種，

42

故甲被抽中的概率為二=彳.

63

9.(2024江蘇揚(yáng)州)2024年“五一”假期，揚(yáng)州各旅游景區(qū)持續(xù)火熱.小明和小亮準(zhǔn)備到東關(guān)街、

瘦西湖、運(yùn)河三灣風(fēng)景區(qū)、個(gè)園、何園(分別記作A、B、C、D、E)參加公益講解活動(dòng).

(1)若小明在這5個(gè)景區(qū)中隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)，則選中東關(guān)街的概率是；

(2)小明和小亮在C、。、E三個(gè)景區(qū)中，各自隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)，請用畫樹狀圖或列表的方法，求

小明和小亮選到相同景區(qū)的概率.

【答案】(1)1(2)-

53

【解析】【分析】本題考查了等可能情形下的概率計(jì)算，對(duì)于結(jié)果數(shù)較少的采用列舉法，而對(duì)于兩次

抽取問題采用列表或樹狀圖；能理解“放回與不放回的區(qū)別”是解題的關(guān)鍵.

(1)直接利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)畫樹狀圖法或列表法，可得所有的結(jié)果，再利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；

【小問1詳解】

解：由題意得從這些景區(qū)隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)，選中東關(guān)街的有1種可能,

???選中東關(guān)街的概率是

故案案為：—;

【小問2詳解】

列表如下：

CDE

CCCCDCE

DDCDDDE

EECEDEE

共有9種等可能結(jié)果，其中小明和小亮選到相同景區(qū)的結(jié)果有3種，

31

.,?小明和小亮選到相同景區(qū)的概率：P=—=—；

93

答：小明和小亮選到相同景區(qū)的概率」.

3

10.（2024山東煙臺(tái)）