2025年中考數學二輪復習專題：二次函數綜合題訓練

選擇題(共10小題)

1.將拋物線y=/+2x-1向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為()

A.(-4,-1)B.(-4,2)C.(2,1)D.(2,-2)

2.如圖，已知拋物線>=加+反+,過點C(0,-2)與x軸交點的橫坐標分“

別為xi，X2，且-2<%2<3,則下列結論①a-6+c<0；②方\/

程加+6x+c+2=0有兩個不相等的實數根；③a+6>0；④a>|；⑤-’,

b2-4ac>4*,其中正確的結論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=-1,

(.c,2a-b)和點N(啟-4ac,a-6+c)的直線一定不經過(

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.已知二次函數>=/-2x(-1WxWt-1),當x=-l時，函數取得最大值；當x=l時，

函數取得最小值，則/的取值范圍是()

A.0<W2B.04W4C.2WW4D.

5.如圖，已知二次函數y=ax2+6x+c(aWO)的圖象與x軸相交于點N(-3,0),B(1,

0),則下列結論正確的個數是()

①a6c<0；

②36+2c>0；

③對任意實數"2,07*2+6加-6均成立；

④若點(-4,為)，乃)在拋物線上，則為<乃.

A.1個B.2個C.3個

6.已知拋物線y=a/+6x+c(a,b,c為常數，aWO)的頂點坐標為(7,-2),與y軸

的交點在x軸上方，下列結論正確的是()

A.a<0B.c<0C.a-b+c--2D.b1-4ac=0

7.已知二次函數y=a/+(2a-3)x+a-1(尤是自變量)的圖象經過第一、二、四象限,

則實數。的取值范圍為()

A.B.0<a<3C.0<a<9D.lWa<3

8282

8.已知二次函數尸-尚小+加與尸-6x的圖象均過點/（4,0）和坐標原點。，這

兩個函數在0WxW4時形成的封閉圖象如圖所示，P為線段。/的中點，過點尸且與x軸

不重合的直線與封閉圖象交于瓦C兩點.給出下列結論:

①6=2；

②PB=PC；

③以O,A,B,C為頂點的四邊形可以為正方形；

④若點2的橫坐標為1,點0在y軸上（Q,B,C三點不共線），則△BC。周長的最小

值為5+V13.

其中，所有正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

9.已知點/（xi，ji）在直線y=3x+19上，點8（x2）3），C（x3>乃）在拋物線y=x2+4x

-1上，若為=及=為，Xi<X2<X3,則Q+%2+、3的取值范圍是（）

A.-12<工1+工2+工3<-9B.8Vxi+、2+t3<-6

C.-9Vxi+工2+%3<0D.-6</+%2+%3V1

10.在平面直角坐標系中，直線>=b+1與拋物線>=工好交于/、3兩點，設/（X1,以），B

4

（冷，為），則下列結論正確的個數為（）

①xE=-4.

②y巾2=4廬+2.

③當線段AB長取最小值時，則△/。2的面積為2.

④若點N（0,-1）,則

A.1B.2C.3D.4

二.填空題（共6小題）

11.若二次函數>=2/-x+m的圖象與x軸有交點，則加的取值范圍

是.

12.二次函數y=ax2+6x+c（aWO）的圖象過點/（0,m）,B（1,-m）,C（2,n）,D

（3,-m）,其中加，〃為常數，則處的值為.

n

13.如圖，拋物線y蔣x2-4x+6與7軸交于點兒與X軸交于點8,線段CD在拋物線的

對稱軸上移動（點C在點。下方），且CD=3.當/D+2C的值最小

時，點、C的坐標為.

14.如圖，在平面直角坐標系中，作直線（，=1,2,3,—）

與X軸相交于點4,與拋物線yn/x2相交于點2”連接/圈+1

34+1相交于點Ci，得Ci和△4+18+1Ci，若將其面積之比記

SAApr

為——二^,則。2024=________________.

S-Cj

15.如圖，拋物線-6x+5與x軸交于點/,B,與了軸交于點C,點。（2,m）在拋

物線上，點￡在直線8c上，若/DEB=2ZDCB,則點￡的坐標

是.

X2-2X+3（x<2）一水

39/酚/力），B（物竺），C

qx1（02）

（X3,乃）CX!<X2<x3）.設f='7/]~X,貝!]t的取值范圍

X3V3

是_______________________

三.解答題（共10小題）

17.如圖，A.2為一次函數y=-x+5的圖象與二次函數y=/+6x+c的圖象的公共點，點

4、8的橫坐標分別為0、4.尸為二次函數y=/+6x+c的圖象上的動點，且位于直線

的下方，連接尸4PB.

（1）求6、c的值；

（2）求△P48的面積的最大值.

18.如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線＞=辦2+加+3經過點/（3,0）,與y軸

交于點2,且關于直線x=l對稱.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當-iWxWt時，y的取值范圍是1,求才的值；

（3）點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點

D,在7軸上是否存在點E,使得以8,C,D,E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出

該菱形的邊長；若不存在，說明理由.

19.已知拋物線y=--+加（6為常數）的頂點橫坐標比拋物線y=-/+2x的頂點橫坐標

大1.

（1）求6的值；

（2）點/（xi，方）在拋物線了=--+2》上，點8（xi+z,乃+〃）在拋物線＞=-j^+bx

上.

（i）若力=3t,且看》0,t＞0,求〃的值;

（ii）若xi=/-1,求力的最大值.

20.如圖，拋物線y=-2x2+bx+c與無軸交于4,2兩點，與了軸交于點C,點/坐標為

3

(-1,0),點8坐標為(3,0).

(1)求此拋物線的函數解析式.

(2)點尸是直線2c上方拋物線上一個動點，過點尸作x軸的垂線交直線2c于點。，

過點尸作y軸的垂線，垂足為點￡,請探究2PZHPE是否有最大值？若有最大值，求出

最大值及此時P點的坐標；若沒有最大值，請說明理由.

(3)點〃為該拋物線上的點，當NMC8=45°時，請直接寫出所有滿足條件的點”的

坐標.

21.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=N+6x+c與x軸交于/(-1,0),B(2,

0)兩點，與y軸交于點C,點。是拋物線上的一個動點.

(1)求拋物線的表達式；

(2)當點。在直線3c下方的拋物線上時，過點。作y軸的平行線交2c于點E,設點

。的橫坐標為f,的長為/,請寫出/關于t的函數表達式，并寫出自變量f的取值范

圍；

s

(3)連接4D,交2C于點尸，求ADEF的最大值.

SAAEF

22.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+6x-5(aNO)交x軸于/,C兩點，交y

軸于點8,5OA=OB=OC.

(1)求此拋物線的表達式；

(2)已知拋物線的對稱軸上存在一點使得的周長最小，請求出點〃的坐標

(3)連接2C,點尸是線段2C上一點，過點尸作y軸的平行線交拋物線于點0,求當

四邊形OBQP為平行四邊形時點P的坐標.

23.已知二次函數y=x2+6x+c(b,c為常數)的圖象經過點/(-2,5),對稱軸為直線

1

X~^2'

(1)求二次函數的表達式；

(2)若點2(1,7)向上平移2個單位長度，向左平移加(m>0)個單位長度后，恰好

落在y=N+6x+。的圖象上，求加的值；

(3)當-時，二次函數y=x2+fcc+c的最大值與最小值的差為、■,求〃的取值范

圍.

24.某商場以每件80元的價格購進一種商品，在一段時間內，銷售量y(單位：件)與銷

售單價x(單位：元/件)之間是一次函數關系，其部分圖象如圖所示.

(1)求這段時間內y與x之間的函數解析式；

(2)在這段時間內，若銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件的銷售任

務，當銷售單價為多少時，商場獲得利潤最大？最大利潤是多少？

0100120X

25.在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+6x+3(aWO)經過/(-1,0),B(3,0)兩點，

與y軸交于點C,點尸是拋物線上一動點，且在直線2c的上方.

(1)求拋物線的表達式.

(2)如圖1,過點尸作尸軸，交直線3C于點￡,若PE=2ED,求點尸的坐標.

(3)如圖2,連接NC、PC、AP,4P與8c交于點G,過點P作P尸〃NC交于點尸.記

SSo

△NCG、△尸CG、△PGF的面積分別為M，S2,S3.當三老一^取得最大值時，求sinN3cp

S2S1

的值.

26.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+6x+c(aWO)的圖象經過原點和點/

(4,0).經過點/的直線與該二次函數圖象交于點3(1,3),與y軸交于點C.

(1)求二次函數的解析式及點C的坐標；

(2)點尸是二次函數圖象上的一個動點，當點尸在直線N8上方時，過點尸作尸軸

于點E,與直線交于點。，設點尸的橫坐標為相.

@m為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點尸，使得與△49C相似.若存在，請求出點P坐標若不存在，請

說明理由.

斗

01

2025年中考數學二輪復習專題：二次函數綜合題訓練參考答案

、選擇題

題號12345678910

答案DCCCBCADAc

二、填空題

11.若二次函數y=2/-x+加的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍是加，二.

8

【解答】解：?.?二次函數尸2x2-X+加的圖象與X軸有交點，

A=（-1）2-4X2XM20,

解得m^l,

8

即m的取值范圍為m^—.

8

故答案為：

8

12.二次函數y=Q%2+bx+c（QWO）的圖象過點4（0,冽），B（1,-加），C（2,n）,D

（3,-M,其中加，〃為常數，則典的值為J-.

n—5一

【解答】解：將4（0,加），B（1,-加），D（3,-加）代入歹=Q/+6X+C（aHO）,

'c=m

得：＜a+b+c=-m，

9a+3b+c=-m

'_2_

???丁b=/§m,

.c=m

.?.y=-2mx2--8mx+m,

33

把。（2,幾）代入

n2o

得：n3mx2RFX2+IR，

.5

??n=qir

.mm3

..—=~~-,

n55

三m

故答案為：-3.

5

13.如圖，拋物線yn￡x2-4x+6與7軸交于點/，與X軸交于點8,線段CD在拋物線的

對稱軸上移動(點C在點。下方)，且CD=3.當4D+5C的值最小時，點C的坐標為

(4,1)

【解答】解：作/點關于對稱軸的對稱點H,A1向下平移3個單位，得到/〃，連接

A"B,交對稱軸于點C,此時ND+8C的值最小，AD+BC=A"B,

在y得x2-4x+6中，令x=0,則y=6,

二點工(0,6),

令y=0,則/X2-4X+6=0，

解得x=2或x=6,

:.點B(2,0),

:拋物線的對稱軸為直線x=--^-=4,

2X.

：.A'(8,6),

：.A"(8,3),

設直線N"B的解析式為y=fcr+6,

代入/〃、8的坐標得倍+b=3,

l2k+b=0

解得*2,

,b=-l

.?.直線/〃8的解析式為尸產1,

當x=4時，y—1,

：.C(4,1).

故答案為：(4,I).

14.如圖，在平面直角坐標系中，作直線（，=1,2,3,—）與x軸相交于點4，與拋

物線y[x2相交于點2”連接45+1，瓦4+1相交于點Ci，得△/次Ci和△4+回+￡,若

將其面積之比記為則股024=_（四生）4_.

S2025

AAi+：Bi+1Ci

【解答】解：①由小（1，0）得Bi（1,工）,

4

由也（2,0）得以（2,1）,

設直線/避2的解析式為了=履+6，

代入由4（1,0）,B2（2,1）得：

[k+b=0

l2k+b=f

/.k=1,b=-1,

直線4星的解析式為y=x-1,

同理直線上當的解析式為y=

聯立得X-1=——x+—,

42

AxAx（A_i）4-ix（2-A）］=_1_=（±）4.

24551612，

②由，3（3,0）得當（3,2）,

4

同①方法得直線/m3的解析式為V=-2,

42

直線A3B2的解析式為y=-x+3,

聯立得--=-x+3,

42

?一30

??X13,

?/309\

??rCz1\—，),

1313

.-.a2=AxiX(迎-2)+[工乂旦X辿)]=①=(2)4

21324131381

,c-,2024、4

*瓦區）?

故答案為：（堊￡）4.

<2025'

15.如圖，拋物線>=/-6x+5與X軸交于點，，B,與y軸交于點C,點。（2,m）在拋

物線上，點￡在直線BC上，若NDEB=2/DCB,則點￡的坐標是_（紅，區）困

55

所，以。點坐標（2,-3）,

設8c所在直線解析式為y=fcv+6,其過點C(0,5)、B(5,0),

[b=5

l5k+b=0

k=-l

解得

b=5

8C所在直線的解析式為：y=-x+5,

當E點在線段5。上時，設E(〃，-〃+5),ZDEB=ZDCE+ZCDE,而NDEB=2N

DCB,

：.NDCE=NCDE,

：?CE=DE,

因為E(Q,-Q+5),C(0,5),D(2,-3),

有《軟2+(—a+5-5)2=V(a-2)2+[-a+5-(-3)]2J

解得：a=lL,一/5=旦，所以E點的坐標為：(紅，@),

5555

當E在CB的延長線上時，

在△2DC中，BD-=(5-2)2+32=18,

5C2=52+52=50,DC2=(5+3)2+22=68,

BD2+BC2=DC2,

：.BD±BC如圖延長￡8至E,取BE'=BE,

則有△DEE為等腰三角形，DE=DE,

：.ZDEE1=ADE'E,

又：ZDEB=2ZDCB,

：.ZDE'E=2/DCB,

則皮為符合題意的點，

,：OC=OB=5,NOBC=45°,

E'的橫坐標：5+（5上）具，縱坐標為力；

555

綜上￡點的坐標為：（工工，旦）和（建■,國）.

5555

5（2-2x+3（x2）

16.如圖，函數歹=1nQ的圖象由拋物線的一部分和一條射線組成，且與直

-^-x+y（x>2）

線y=m（加為常數）相交于三個不同的點/（%1，J1）,B（》2,了2），C（無3,V3）（Xi<X2<

X3）.設1="1」—絲絲，則）的取值范圍是3</<1.

X3y35

【解答】解：由二次函數y=/-2x+3（x<2）可知：圖象開口向上，對稱軸為x=l,

...當x=l時函數有最小值為2,向+必=2,

由一次函數尸-當+言（尤22）可知當x=2時有最大值3,當尸2時尤=當，

423

?直線^=加（加為常數）相交于三個不同的點/（X1，為），B（工2，歹2），C（%3，>3）（X1

〈％2V%3），

=y2=y3=m>2V加V3,

-3〈也，

3

.,_xl+x2-2

??I----------------,

x3x3

5

故答案為：

5

三.解答題（共10小題）

17.如圖，/、8為一次函數y=-x+5的圖象與二次函數y=x2+6x+c的圖象的公共點，點

4、2的橫坐標分別為0、4.P為二次函數y=/+bx+c的圖象上的動點，且位于直線

的下方，連接上4、PB.

（1）求氏c的值；

（2）求△尸48的面積的最大值.

【解答】解：(1)當％=0時，y=-x+5=5；當x=4時，y=-x+5=1,則4(0,5),B

(4,1),

則，,

I16+4b+c=1

解得：(c=5；

lb=-5

(2)由(1)可得：y=/-5x+5,設尸(m,加2-5加+5),作PE"OA,交AB于E,

則￡Cm,-m+5),則P￡=4加-"及，

SAJ^BP=2'(4nrm2)X(4-0)=-2(m-2)2+&

當機=2時，最大值為8.

18.如圖，在平面直角坐標系xQv中，已知拋物線y=a/+6x+3經過點/(3,0),與y軸

交于點5,且關于直線x=l對稱.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當-iWxWt時，y的取值范圍是0WyW2L1,求/的值；

(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點

D,在y軸上是否存在點E,使得以8,C,D,￡為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出

該菱形的邊長；若不存在，說明理由.

【解答】解(1)A(3,0),拋物線的對稱軸為直線x=l,則拋物線和x軸的另外一個

交點為：(-1,0),

則拋物線的表達式為：y—a(x+1)(x-3)—ajr+bx+3,

解得：a=-1,

則拋物線的表達式為：y=-/+2x+3；

(2)由題意得-lWxWf,

當-l<f<l時，則-iWxWt,

x=-1時，y=-X2+2X+3=0,取得最小值，

則x=f時，2/-1=-a+2什3,

解得：，=-2或2,均不符合題意；

當lWt<3時，

則拋物線的頂點處取得最大值，

拋物線的頂點坐標為：(1,4),

即2/-1=4,

解得：t=2.5；

(3)存在，理由：

由拋物線的表達式知，點8(0,3),

①當2c為菱形對角線時，對應菱形為3DCE',

y

1

I

則2。=CD,

由點/、8的坐標得，直線N8的表達式為：y=-x+3,

設點C(x,-/+2x+3),點、D(x,-x+3),

2

貝ijCD—-/+2x+3-(-x+3)--X+3X,BD=J^x,BC—yJ^+(-x2+2x),

-/+3x=

解得：x=3-&或x=0(舍去),

則2。=、&=3&-2,

即菱形的邊長為：372-2.

②當BD為菱形的對角線時對應菱形為菱形3CDE,

貝UCD=BC,

-%2+3x=Vx2+(-x2+2x)2,

解得：x=2或x=0(舍去)，

貝ijCD=-/+3x=-22+3X2=2,

即菱形的邊長為：2.

綜上，菱形的邊長為：3后-2或2.

19.已知拋物線y=-x2+6x(6為常數)的頂點橫坐標比拋物線y=-x2+2x的頂點橫坐標

大1.

(1)求6的值；

(2)點/(%i,%)在拋物線>=-/+2》上，點2(xi+Z,為+力)在拋物線了=-x2+bx

上.

(i)若/?=3f,且修\0,f>0,求〃的值;

(ii)若xi=「1,求/?的最大值.

【解答】解：(1)???拋物線＞=--+云的頂點橫坐標為_1_,了=-/+2x的頂點橫坐標

為1,

?b

??萬卡1，

."=4；

(2):點/(修，為)在拋物線y=-/+2x上，

.2

??y1=-x1+2xf

?:B(%i+6為+〃)在拋物線^=-X2+4X_b,

?**y1+h=-(x]+t)2+4(X]+t)，

-X|+2xi+h=-(xi+t)2+4(xiG，

:?h=--21i，+2xi+4/,

(z)?:h=3t,

3t=-於-2%i%+2%i+4/,

:?t(f+2%1)—￡+2xi,

Vxi^O,，＞0,

???什2xi＞0,

???〃=3；

(ii)將=，-1代入h--fl-2%i什2XI+4K

:.h=-3於+8%-2,

h=-3(t4)2得，

oO

???-3<0,

.?.當t=A,即x,二L時，A取最大值也■.

3133

20.如圖，拋物線y=-&2+&+0與％軸交于4,B兩點,與y軸交于點C,點/坐標為

3

(-1,0),點3坐標為(3,0).

(1)求此拋物線的函數解析式.

(2)點尸是直線8C上方拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線交直線8C于點。，

過點尸作y軸的垂線，垂足為點￡,請探究2BD+PE是否有最大值？若有最大值，求出

最大值及此時P點的坐標；若沒有最大值，請說明理由.

（3）點M為該拋物線上的點，當NMC8=45°時，請直接寫出所有滿足條件的點M的

坐標.

【解答】解：（1）:拋物線y=-^x2+bx+c與X軸交于/，5兩點，與y軸交于點C,

3

點4坐標為（-1,0）,點5坐標為（3,0）,

?,y=_|_(x+1)(x-3)=-yx2-+^x+2-

⑵當X=°時，y=-yxJ-^x+2=2?

oo

：.C(0,2),

設直線3（7為〉=履+2,

；.3左+2=0,

解得k=工，

3

直線2c為y=-1x+2，

設p（x,得X2居x+2），

.2

D（x,FX+2），

o

.,.2PD+PE=2（V'x"+^'x+2+^_x-2）+x=Vx，+5x,

當乂=-----J-4時，有最大值正，

2X（4）816

o

此時p段，瑞）?

oS/

（3）如圖，以C8為對角線作正方形CTSK,

:./BCK=/BCT=45°,

：.CK,CT與拋物線的另一個交點即為M,

如圖，過T作x軸的平行線交y軸于。，過8作8GJ_T。于G,則O8=G0=3,

.\ZCra=90°=/CQT=/QGB,

：.ZQCT+ZCTQ=90°=ZCTQ+ZBTG,

：.ZQCT=NBTG,

;CT=BT,

???△C0T也△TG5(AAS)f

：.QT=GB,CQ=TG,

設TQ=GB=m,則。0=TG=3-次，

.??。0=3-m-2=1-m,

:?TQm,m-1),

由TC=TB可得m?+-3)2=(m-3)2+(w-1)2

解得m八，

2

.zl1、

??T份，至)，

設CT為y="x+2,

解得n=~5,

，直線C7為y=-5x+2,

f224c

.y=fx+yx+2

??oO,

y=-5x+2

19

x=0,p.x丁

解得或〈

y=2_91

y--T

M(母,T(y,/)，C(0,2),B(3,0),正方形CTBK.

K(-1->會，

同理可得直線CK為yJx+2,

5

224c

y=-x7x+2

得+2

17

V-----------

10Tx=0

解得或

117y=2'

y=

50

??兒（元,,司117)'x

綜上，點M的坐標為（'」工，或（'」且，

k1050,、22）

21.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線了=/+阮+。與x軸交于/（-1,0）,B（2,

0）兩點，與y軸交于點C,點。是拋物線上的一個動點.

（1）求拋物線的表達式;

（2）當點。在直線2c下方的拋物線上時，過點。作y軸的平行線交3c于點E,設點

。的橫坐標為3的長為/,請寫出/關于f的函數表達式，并寫出自變量/的取值范

圍;

求》52的最大值.

（3）連接4D,交BC于點、F,

SAAEF

【解答】解：（1）由題意得,

fl_b+c=0

14+2b+c=0

*=-l,

lc=-2

拋物線的表達式為：y=/-x-2；

(2)設直線8C的函數表達式為：y=mx+n,

.(n=-2,

\2m+n=0

*=-2,

Im=l

??y^x-2,

:.E(f,f-2),

,:D(62),

：.l=(Z-2)-(?-r-2)=-fi+2t(0<i<2)；

(3)如圖1,

當0<f<2時，

^AG//DE,交BC于G,

ADEFS^AGF,

?.?--D-F---D-E-,

AFAG

把x=-1代入y=x-2得，

尸-3,

???4G=3,

9

.?.此「t+2t=_1(f,n2+工，

AF333

二?當t=1時，(DF)最大=工,

..DFSADEF

川^AAEF

.SADEF)最大=[■?

SAAEFo

22.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+bx-5(aWO)交x軸于/,C兩點，交V

軸于點8,5OA=OB=OC.

(1)求此拋物線的表達式；

(2)已知拋物線的對稱軸上存在一點使得的周長最小，請求出點〃的坐標

(3)連接2C,點尸是線段2C上一點，過點尸作y軸的平行線交拋物線于點0,求當

四邊形OBQP為平行四邊形時點P的坐標.

【解答】解：(1)由拋物線的表達式知，c=-5=油，

則OB=5=OA=OC,

則點/、C、8的坐標分別為：(1,0)、(-5,0)、(0,-5),

設拋物線的表達式為：y—a(x-1)(x+5)=a(x2+4x-5)=ax2+bx-5,

則a=l,

故拋物線的表達式為：y=/+4x-5；

(2)點/關于拋物線對稱軸得對稱點為點C,則2c交拋物線的對稱軸于點“，此時△

的周長最小，理由：

AABM=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC為最小，

由點5、C的坐標得，直線5c的表達式為：>=-尤-5,

由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線x=-2,

當x=-2時，y--x-5--3,

則點MC-2,-3)；

(3)設點P(龍，-尤-5),則點Q(x,/+4x-5),

則PQ=(-X-5)-(/+4x-5)=-/-5x,

'：PQ//OB,

故當尸0=02時，滿足題設條件，

即PQ--x2-5x=OB=5,

解得：X=-5±?5,

2___

則點尸的坐標為：(TN-,-5-^5)或「5-娓,-5忐).

2222

23.已知二次函數y=x2+6x+c⑶c為常數)的圖象經過點/(-2,5),對稱軸為直線

(1)求二次函數的表達式；

(2)若點8(1,7)向上平移2個單位長度，向左平移加(m>0)個單位長度后，恰好

落在yuN+bx+c的圖象上，求m的值；

(3)當-時，二次函數y=/+6x+c的最大值與最小值的差為今，求〃的取值范

圍.

【解答】解：(1)由題意，：二次函數為>=尤2+加+以

...拋物線的對稱軸為直線x=-2=-工.

22

，拋物線為y=/+x+c.

又圖象經過點/(-2,5),

???4-2+。=5.

，拋物線為y=/+%+3.

(2)由題意，丁點8(1,7)向上平移2個單位長度，向左平移加個單位長度(加＞0),

工平移后的點為(1-機，9).

又(1-加，9)在＞=N+X+3,

，9=(1-m)2+(1-m)+3.

???加=4或加=-1(舍去).

???加=4.

???ni=n廣］，不符合題意，舍去.

122

當-工時，

2

...最大值與最小值的差為符合題意.

44

當〃＞1時，最大值與最小值的差為解得"尸1或"2=2,

2444

不符合題意.

綜上所述，〃的取值范圍為-工

2

24.某商場以每件80元的價格購進一種商品，在一段時間內，銷售量?(單位：件)與銷

售單價無(單位：元/件)之間是一次函數關系，其部分圖象如圖所示.

(1)求這段時間內y與x之間的函數解析式；

(2)在這段時間內，若銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件的銷售任

務，當銷售單價為多少時，商場獲得利潤最大？最大利潤是多少？

【解答】解：(1)由題意，設一次函數的解析式為〉=奴+從

又過(100,300),(120,200),

.(100k+b=300

'1120k+b=200'

.jk=-5

"lb=800'

所求函數解析式為y=-5x+800.

⑵由題意得，卜》10°、，

l-5x+800>220

.?.1004W116.

?商場獲得的利潤=(%-80)C-5x+800)

=-5/+1200x-64000

=-5(%-120)2+8000,

X-5<o,1OO0W116,

.?.當x=116時,利潤最大，最大值為7920.

答：當銷售單價為116時，商場獲得利潤最大，最大利潤是7920元.

25.在平面直角坐標系中，拋物線y=ov2+6x+3(aWO)經過/(-1,0),B(3,0)兩點，

與y軸交于點C,點P是拋物線上一動點，且在直線3C的上方.

(1)求拋物線的表達式.

(2)如圖1,過點尸作尸軸，交直線2c于點E,若PE=2ED,求點尸的坐標.

(3)如圖2,連接NC、PC、AP,/尸與2C交于點G,過點P作抒'〃/C交3c于點尸.記

SS

△NCG、APCG、△尸G尸的面積分別為S2,S3.當」一^取得最大值時，求sin/BCP

S2S1

的值.

c

ox

圖2

【解答】解(1)???拋物線歹="2+樂+3(qWO)與X軸交于點4(-1,0),B(3,o),

.fa-b+3=0

19a+3b+3=0

a=-l

解得:

b=2

???拋物線解析式為歹=-X2+2X+3；

(2)?.,當x=O時，y=-X2+2X+3=3,

：.C(0,3),

設直線BC的解析式為〉=H+〃，

.(3ktn=0

In=3

解得：(k=-l,

ln=3

直線BC的解析式為y=-x+3,

設尸(冽，-m2+2m+3),貝!JPZ)=-m2+2m+3,

???尸rax軸于點

:?EQm,-m+3),D(加,0),

；?DE=-加+3,

:?PE=PD-DE=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,

■:PE=2ED,

-m2+3m=2(-加+3),

解得冽1=2,加2=3(此時3,。重合，不合題意舍去),

?.加=2,

：.P(2,3)；

(3),:PF〃AC,

：.dACGsAPFG,

.AC__AG_CG

,,PF=PG"FG'

.s3_GF_PFs2_PG_PF

,?亡福K亡記T

.S3S22PF

??H------------，

S?S?AC

作。交》軸于N,作尸0〃y軸交5c于0,

???直線BC的解析式為y=-x+3,AN//BC,

，直線4N的解析式為y=-x+b'，

將4(-1,0)代入y=-x+b',得：0=-(-1)+6，，

解得：bf=-1,

???直線AN的解析式為-%-1,

當x=0時，yN=~1，

：.N(0,-1),

：.ON=3CN=ON+CO=4,

?:AN〃BC,PQ//y,

：.ZPQF=ZNCB=ZANC,ZPFC=ZACF,

VZPFC=ZFPQ+ZPQF,ZACF=ZNCB+ZACN,

：.ZFPQ=ZACNf

:?△CANsdPFQ,

???-P-F-二PQ,

ACCN

設尸(n,-〃2+2〃+3),貝ljQ(小-〃+3),

：.PQ=-"2+3%

.S3S22PF2PQ-2n2+6n1,3、29

s2ACCN42'2"8

???當奇時，卷有最大吟

此時Pf1,號),Qtf，1)>