難點07圓的基本性質的常考題型

（6大熱考題型）

麴型盤點G

題型一：圓的基本和最值問題

題型二：垂徑定理及其應用

題型三：圓心角'弦、弧之間的關系

題型四：圓周角定理

題型五：圓周角定理的推論和應用

題型六：圓內接四邊形

信精淮握分

題型一：圓的基本和最值問題

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，矩形ABC￡＞中，AB=5BC=\,動點E,尸分別從點A,C

同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB,CO向終點8,。運動，過點E,尸作直線/,過點A作直線

/的垂線，垂足為G,則AG的最大值為（）

A.V3B.3C.2D.1

2

【典例2】（2023?山東淄博?中考真題）在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活

動.

⑴操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成乜”形圖案，如圖①.

試判斷：△ACF的形狀為.

圖①

（2）深入探究

小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CETG繞點C旋轉，若AB=2,AD=4.

探究一：當點尸恰好落在AO的延長線上時，設CG與。/相交于點M,如圖②.求ACMR的面積.

探究二：連接AE,取AE的中點"，連接如圖③.

求線段DH長度的最大值和最小值.

圖②圖③

【變式1-1］（2024.江蘇連云港.中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在。點，另一端綁一重物.將此重

物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點.則此重物移動路徑的形狀為（）

A.傾斜直線B.拋物線C,圓弧D.水平直線

【變式1-2］（2023?江蘇宿遷?中考真題）在同一平面內，已知。。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為3,

點尸為圓上的一個動點，則點尸到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【中考模擬即學即練】

1.（2024.安徽合肥.三模）如圖，P為線段上一動點（點尸不與點A,8重合），將線段AP繞點尸順時

針旋轉45。得到線段CP,將線段BP繞點、P逆時針旋轉45。得到線段DP,連接AD,BC,交點為。.若=6,

點》是線段A5的中點，則。》的最小值為（）

A.3B.3A/2-3C.372D.2

2.（2024?浙江嘉興?一模）如圖，在矩形ABC。中，AB=3,E為3C邊上的一個動點，連接AE,點8關于

AE的對稱點為8‘，連接90.若〃。的最大值與最小值之比為2,則AD的長為.

3.（2024?江蘇南京.模擬預測）如圖，點C是。A上一動點，8為一定點，。隨著C點移動而移動，EG為BD

的垂直平分線，ZCBD=90°,BD=2BC,EG=4BC,若。A半徑為2,點B到點A的距離為4,則在C點

4.（2024.河北秦皇島.一模）某校社團實踐活動中，有若干個同學參加.先到的幾個同學均勻圍成一個以。點

為圓心，1m為半徑的圓圈，如圖所示（每個同學對應圓周上一個點）.

⑴若"=6,則相鄰兩人間的圓弧長是m.（結果保留兀）

（2）又來了兩個同學，先到的同學都沿各自所在半徑往后移。米，再左右調整位置，使這（〃+2）個同學之

間的圓弧長與原來〃個同學之間的圓弧長相等.這5+2）個同學排成圓圈后，又有一個同學要加入隊伍，重

復前面的操作，則每人須再往后移6米，才能使得這5+3）個同學之間的圓弧長與原來〃個同學之間的圓弧

b

長相同，則q=.

5.（2024?浙江?模擬預測）如圖，以點A為圓心的圓交數軸于8,C兩點（點C在點A的左側，點B在點A

的右側），若A,8兩點表示的數分別為1,日則點C表示的數是.

6.（2024.陜西.模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，筋=2,BC=3,M是平面內一動點，且8M=1，則

線段M的最大值為.

7.（2023?四川樂山?模擬預測）【發現問題】

小明在練習簿的橫線上取點。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓,

描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發現這些點的位置有一定的規律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續畫圓描點，所描的點都在某二次函數圖象上.

圖1圖2備用圖

【分析問題】

小明利用已學知識和經驗，以圓心。為原點，過點。的橫線所在直線為無軸，過點。且垂直于橫線的直線

為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2所示，當所描的點在半徑為5的

同心圓上時，其坐標為.

【解決問題】

請幫助小明驗證他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明繼續思考：設點尸（o,根），根為正整數，以OP為直徑畫。是否存在所描的點在。/上，若存在,

求機的值；若不存在，請說明理由.

8.（2024?湖南?模擬預測）如圖，在6x6的正方形網格中，小正方形的頂點叫做格點.A,8兩點均為格點,

請僅用無刻度直尺找出經過A,B兩點的圓的圓心。，并保留作圖痕跡.

9.（2025?湖北十堰?模擬預測）如圖，。。的直徑垂直弦CD于點E,尸是圓上一點，。是環的中點,

連接CF交于點G,連接BC.

(1)求證：GE=BE；

⑵若AG=6,BG=4,求CD的長.

題型二：垂徑定理及其應用

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在。。中，弦A3的長為8,圓心。到A3的距離OE=4,則O。

B.4忘C.5D.572

【變式2-1］（2024.內蒙古通遼.中考真題）如圖，圓形拱門最下端在地面上，。為A3的中點，C為拱

門最高點，線段CD經過拱門所在圓的圓心，若4B=lm,CD=2.5m,則拱門所在圓的半徑為（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【變式2-2X2024.新疆?中考真題）如圖，A3是。。的直徑，C。是。。的弦，垂足為E.若8=8,

OD=5,則助的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式2-3］（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在。。中，直徑于點E,CD=6,BE=1,貝l］弦

AC的長為.

A

【變式2-4］（2024?江西?中考真題）如圖，A8是。。的直徑，筋=2,點C在線段A3上運動，過點C的

肱DELAB,將OBE沿DE翻折交直線于點R當DE的長為正整數時，線段冏的長為.

【中考模擬即學即練】

1.（2023?廣東東莞?一模）如圖，A8是O。直徑，點C在。。上，CDJLAB垂足為。，點E是。。上動點

（不與C重合），點廠為CE的中點，若AD=3,CD=6,則。b的最大值為.

2.（2025?安徽?模擬預測）已知。。的半徑為5,A3是。。的弦,P是弦AB的延長線的一點，若PA=8,PB=2,

則圓心。到弦的距離為（）

A.aB.6C.而D.4

3.（2024?山西長治?模擬預測）明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（一種水利灌溉工

具）的工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心。為圓心的圓.已知圓心0在水面上方，且

被水面截得弦4B長為8米，。。半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦4B所在直線的距

離是（）

圖1圖2

A.2米B.4米C.（6-2君）米D.（6+2石）米

4.（2024?云南怒江?一模）如圖，A3是。。的弦，半徑OCLAB,垂足為。，設AB=6,CD=1,則。。的

B.4C.5D.6

5.（2024.四川成都?二模）如圖，A8是。。的弦，若。。的半徑。4=10,圓心。到弦的距離OC=6,

則弦A3的長為（）

C.16D.20

6.（2024?湖北武漢.模擬預測）如圖，分別是以AB,AC為直徑的兩個半圓，其中AC是半圓。的一條弦，E

是AC中點，。是半圓4OC中點.若AB=6,DE=1,且AC>3,則AC的長為（）

D.4+V2

7.（2024?湖南長沙?模擬預測）如圖，0A是。。的半徑，弦于點D,連接OB.若。。的半徑為5cm,

2c的長為8cm,則的長是cm.

8.（2024?上海嘉定?二模）如圖在圓。中，A3是直徑，弦CD與A3交于點E,如果AE=1,EB=9,ZAEC=45°,

點加是CD的中點，連接OM,并延長與圓。交于點N,那么MN=.

AC

9.（2024?湖南.二模）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分，如果C是。。中

弦A8的中點，8經過圓心。交。。于點。，且AB=8m,OC=3m,則CD=m.

10.（2024?廣東湛江?模擬預測）如圖，在破殘的圓形殘片上，弦的垂直平分線交弧A3于點C,交弦

（1）求作此殘片所在的圓的圓心0（不寫作法，保留作圖痕跡）；

⑵求出（1）中所作圓的半徑.

11.（2024?湖南?模擬預測）某校組織九年級學生前往某蔬菜基地參觀學習，該蔬菜基地欲修建一頂大棚.如

圖，大棚跨度AB=8m,拱高CZ）=2m.

同學們討論出兩種設計方案：

方案一，設計成圓弧型，如圖1,已知圓心O,過點。作于點。交圓弧于點C.連接。1.

方案二，設計成拋物線型，如圖2,以43所在直線為x軸，線段A3的垂直平分線為y軸建立平面直角坐

標系.

（1）求方案一中圓的半徑；

（2）求方案二中拋物線的函數表達式；

（3）為擴大大概的空間，將大棚用1米高的垂直支架支撐起來，即尸=lm.在大棚內需搭建2m高的

植物攀爬竿，即GAf=H7V=2m,3"，48于點2，HNJ.AB于點、Q,GH與OC交于點、K.請問哪種設

計的種植寬度（肱V）要大些？（不考慮種植間距等其他問題，且四邊形GM?舊是矩形）

題型三：圓心角'弦'弧之間的關系

【中考母題學方法】

【典例1]（2023?河北?中考真題）如圖,點4~《是。。的八等分點.若△片八片，四邊形月心片好的周長分

別為a,b,則下列正確的是（）

尸5

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,b大小無法比較

【變式3-1]（2022?山東聊城?中考真題）如圖,AB,CD是。O的弦，延長AB,CD相交于點P.已知NP=30°,

NAOC=80。，則的度數是（）

A

P

D

A.30°B.25°C.20°D.10°

【變式3-2］（2023?山東煙臺?中考真題）如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量

角器的外弧分別交于點A,B,C,D,連接AB,則N54。的度數為

O

【變式3-3］（2021?四川巴中?中考真題）如圖，A8是。。的弦，且42=6,點C是弧A3中點，點。是優

弧上的一點，ZADC=30°,則圓心。到弦AB的距離等于（）

A

A.3A/3B.-C.V3D.且

22

【中考模擬即學即練】

1.（2025?湖北十堰?一模）“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的

形狀示意圖AB是。。的一部分，。是A8的中點，連接OD，與弦交于點C,連接OB.已知

A5=24cm,碗深CD=8cm,則。O的半徑Q4為（）

圖①圖②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

2.（2024?云南昆明?一模）如圖，AB是。。的直徑，=C￡>=Z）E.若NBOC=34。，則ZAOE的度數是（）

3.（2023?福建莆田?模擬預測）如圖，。。中A8的度數為60°,AC是。。的直徑，那么NOBC等于（）

4.（2024?山東青島?中考真題）如圖，AB,C,。是。。上的點，半徑。4=3,AB=CD，ZDBC=25°,

連接4。，則扇形A08的面積為（）

5.（2024?廣東揭陽?三模）如圖，在。。中，AB=2CD,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CD

c.AB=2CDD.AB與2C￡＞的大小關系無法比較

6.（2023?云南大理?一模）如圖，在。。中，力8是。。的直徑，AB=8cm,C、。為弧4B的三等分點，M

是力B上一動點，CM+DM的最小值是cm.

7.（2024?河南駐馬店?三模）如圖，在扇形AO3中，ZAOB=90°,30=2,C為80的中點，D為上

一點，且2BO=A￡＞，連接AGDC,在。C繞點。旋轉的過程中，當CD取最小值時，△ACO的周長

為___________.

8.（2024.浙江.模擬預測）如圖，4B是半徑為5的。。的直徑，C是的中點，連接CD交4B于點E,連

接AC,AD,OC.

（2）若3E=1,求2。的長.

（3）如圖2,作CFLAB于點以，交AD于點F,射線CB交力D的延長線于點G,若。〃=1,求AG的長.

題型四：圓周角定理

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，。。是VABC的外接圓，AO//BC,連接CO并延長交0。于

點、D.分別以點AC為圓心，以大于［AC的長為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點直線交8c于

2

點E,連接AE,下列結論一定正確的是（）

A.AB=ADB.AB=OE

C.ZAOD^ZBACD.四邊形AOCE為菱形

【變式4-1］（2024.海南?中考真題）如圖，是半圓。的直徑，點8、C在半圓上，且AB=BC=C。，點

D.70°

【變式4-2］（2024?北京?中考真題）如圖，。。的直徑A8平分弦C￡>（不是直徑）.若/。=35。，則NC=

【變式4-3］（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，A3是。。的直徑，N￡=35。，則N3OD=（）

A.800B.100°C.120°D.110°

【變式4-4］（2024?內蒙古赤峰?中考真題）如圖，AD是。。的直徑，A3是。。的弦，半徑連接C。,

交OB于點E,ZBOC=42°,則NOED的度數是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【變式4-5］（2024.湖北武漢.中考真題）如圖，四邊形ABC。內接于OO,ZABC=60°,NBA。=NC4D=45。,

QTaT

【變式4-6］（2024.江蘇鎮江?中考真題）如圖，43是。。的內接正〃邊形的一邊，點C在。。上，ZACB=18°,

貝

O

AR

【中考模擬即學即練】

1.（2023?內蒙古呼倫貝爾?一模）如圖，是。。的直徑，弦CD_LAB于點E,ZCD5=30°,。。的半徑

為2,則弦CD的長為（）

3

A.3B.-C.2A/3D.9

2

2.（2024?浙江溫州?三模）如圖，AB,DE是。。的直徑，弦。||AB,連結3C,BE,若NBCD=a,則

A.2aB.3aC.90。—eD.90°-2?

3.（2025?安徽?模擬預測）如圖，A3是。。的弦，半徑OCLAB,垂足為Z）,弦CE與交于點孔連接AE,

⑴求證：ZBAC=ZE；

⑵若AB=8,DC=2,CE=35,求CP的長.

4.（2024?貴州?模擬預測）如圖，等邊VABC內接于。。，尸是上任一點（點尸不與點A,B重合），連

接"，BP,CP,4B與PC相交于點Q,過點C作CN〃成交序的延長線于點

(1)寫出圖中一對相似三角形：;

(2)求證：AACM^ABCP；

(3)若-4=1,尸3=2,求四邊形尸3cM的面積.

5.(2023?四川綿陽?中考真題)如圖，在。。中，點A,B,C,。為圓周的四等分點，AE為切線，連接即,

并延長交。。于點尸，連接即交AC于點G.

(2)求證：^ADE^ABG；

(3)若AE=3,AG=3GC,求cos/CBb的值.

題型五：圓周角定理的推論和應用

【中考母題學方法】

【典例1】(2024?西藏?中考真題)如圖，AC為。。的直徑，點2,D在。。上，ZABD=60°,CD=2,則AD

的長為()

A.2B.2忘C.2百D.4

【變式5-1］（2024?湖北?中考真題）如圖，48是半圓。的直徑，C為半圓。上一點，以點8為圓心，適當

長為半徑畫弧，交54于點交BC于點、N,分別以點M,N為圓心，大于;的長為半徑畫弧，兩弧

在NABC的內部相交于點。，畫射線8。，連接AC.若/C4B=50。，則NCBD的度數是（）

A.30°B.25°C.20°D.15°

【變式5-2］（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，是。。的直徑，CD是。O的弦，連接AD、BC、BD.若

NBCD=20°,則NASD=°,

【變式5-3］（2024?山東泰安?中考真題）如圖，A3是。。的直徑，C,。是O。上兩點，BA平分NCBD,

【變式5-4］（2024?湖北?中考真題）A3為半圓。的直徑，點C為半圓上一點，且/C鉆=50。.①以點5為

圓心，適當長為半徑作弧，交AB,BC于D,E；②分別以DE為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點尸；

③作射線3P,則（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【變式5-5X2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，NABC內接于。。，4。是直徑，若々=25。，則ACAD

B

【變式5-6］（2023?浙江紹興?中考真題）如圖是6x7的網格，每個小正方形的邊長均為1,半圓ACB上的點

AB,C,O均落在格點上.請按下列要求完成作圖：要求一：僅用無刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；

要求二：保留作圖痕跡.

⑴在圖中作出弧的中點。.

（2）連結AC,作出NA4C的角平分線.

（3）在43上作出點P,使得AP=AC.

【變式5-7］（2024?寧夏?中考真題）如圖，在VABC中，點。是邊8C的中點，以A3為直徑的。。經過點。,

點尸是邊AC上一點（不與點AC重合）.請僅用無刻度直尺按要求作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.

(1)過點A作一條直線，將VABC分成面積相等的兩部分；

(2)在邊A3上找一點P,使得BP'=CP.

【變式5-8](2024.內蒙古包頭?中考真題)如圖，是。。的直徑，867,3。是0。的兩條弦，點。與點。

在A3的兩側，E是08上一點(OE>BE),連接。C,CE,且NBOC=2NBCE.

(2)如圖2,若BD=2OE,求證：BD//OC.(請用兩種證法解答)

【中考模擬即學即練】

1.(2025?湖北黃石?一模)如圖，四邊形ABCD內接于O。，AC,8D為對角線，BD經過圓心。若NB4C=44。,

A.44°B.46°C.48°D.56°

2.（2024?浙江寧波?二模）如圖，已知鈍角VABC內接于。。，過點C作CE_LAC交48于點E,若

CE=3,BC=4,AC=9,則。。的半徑為（）

回C.6D.8

3.（2024?甘肅?模擬預測）如圖，VABC內接于O。，是。。的直徑，。是。。上一點，若C是8。的中

則ZACD

4.（2024?江蘇徐州三模）如圖，以7ABe的邊BC為直徑的。。分別交AB、AC于點。、E,連接8、OE.若

ZA=62°,貝!]NDOE=

5.（2024?山西模擬預測）如圖，A3是。。的直徑，點C,。在。。上，連接AC,AD,CD,若N4DC=38。,

則ZBAC的度數為

題型六：圓內接四邊形

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，四邊形ABC3是。。的內接四邊形，是。。的直徑,

若NBEC=20。，則NADC的度數為（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【變式6-1］（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，分別延長圓內接四邊形A3。的兩組對邊，延長線相交于點

E,F.若/￡=54。41',ZF=43°19,,則NA的度數為（）

41°20'C.41°D.40°20'

【變式6-3］（2024.四川廣元?中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是。。的內接四邊形，E為AQ延長線上

則NCZJE等于（）

A.64°B.60°C.54°D.52°

【變式6-4］（2024?吉林?中考真題）如圖，四邊形ABCD內接于過點8作仍〃AD,交CD于點、E.若

ZBEC=5O°,則/ABC的度數是（）

D

A.50°B.100°C.130°D.150°

【變式6-5］（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，AB是的直徑，AACD內接于0O,CD=DB，AB,CD

的延長線相交于點E,且DE=AD.

（1）求證：△C4Ds^CE4；

⑵求NADC的度數.

【變式6-6］（2024.黑龍江大慶.中考真題）如圖，AABC為。。的內接三角形，48為。。的直徑，將AABC沿

直線4B翻折到點。在。。上.連接CD,交力B于點E,延長BD,C4兩線相交于點尸，過點A