難點10相似三角形的常考題型

（9大熱考題型）

麴型盤點G

題型一：比例的性質

題型二：黃金分割

題型三：相似多邊形的性質

題型四：平行線分線段成比例定理

題型五：相似三角形的判定

題型六：相似三角形的性質

題型七：相似三角形的性質與判定的綜合

題型八：相似三角形的實際應用

題型九：圖形位似

.睛淮提分

題型一：比例的性質

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?四川成都?中考真題）盒中有x枚黑棋和>枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別.從盒中隨

oY

機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是J,則一的值為______.

8y

【變式1-1］（2023?甘肅武威?中考真題）若!=：,則必=（）

2b

32

A.6B.—C.1D.一

23

【變式1-2］（2023?浙江?中考真題）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1比例線段”3節課后，發現學習內容是

一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程.圖中橫線處應填：_

當%=尸時當@=▲時

ay6—a_babI-

=b=c^

xcb~c----------------

比例線段出現比例中項線段出現特殊線段比

YY—V

【變式1-3］（2023?四川甘孜?中考真題）若二=2,則一-=.

yy

【中考模擬即學即練】

n+hh+cn+c

1.（2024.安徽蚌埠?模擬預測）已知。歷/0,M—=—==那么上的值是（）

cab

A.2B.-1C.2或0D.2或-1

2.（2024?浙江寧波?二模）已知3a=2b（ab^0）,則下列比例式正確的是（）

Aa2abb2a2

A.—=-B.—=—C.—=—D.—=—

3b32a3b3

nhc

3.（2024?廣東深圳?一模）已知一=—二一。0,且2c=6,那么6=.

654

4.（2025?上海閔行?一模）如果￡=3,那么二I的值為____.

b2a-b

abc3x+2y—z

5.（2024?江西九江?模擬預測）已知一=一二一,則^—若一（其中3%-2y+zw0）的值是__________

xyz3x-2y+z

題型二：黃金分割

【中考母題學方法】

【典例1】（2023?四川達州?中考真題）如圖，樂器的一根弦AB=80cm,兩個端點A,B固定在樂器面板上,

支撐點C是靠近點2的黃金分割點，即AC2=A9BC,支撐點。是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐

點C,。之間的距離cm.（結果保留根號）

【變式2-1］（2024?山西?中考真題）黃金分割是漢字結構最基本的規律.借助如圖的正方形習字格書寫的漢

字“晉”端莊穩重、舒展美觀.已知一條分割線的端點A,B分別在習字格的邊尸。上，且“晉”

字的筆畫“、”的位置在A3的黃金分割點C處，且生=塵二1,若NP=2cm,則2C的長為cm（結

AB2

果保留根號）.

【變式2-2］（2022?陜西?中考真題）在20世紀70年代，我國著名數學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種

“優選法”，在全國大規模推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所做所將矩形窗框ABCD分為

上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即BE2=AB.已知A3為2米,則線段BE的長為米.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?廣東?模擬預測）大自然是美的設計師，校園里一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”的美.如圖,

V5-1叵口這個無理數約是（）

2

C.0.707D.0.828

2.（2024.安徽合肥.三模）古箏是一種彈撥弦鳴樂器，又名漢箏、秦箏，是漢民族古老的民族樂器，流行于

中國各地.若古箏上有一根弦AB=90cm,支撐點C是靠近點A的一個黃金分割點，則BC=（）

A.（4575+45）cmB.（9075-45）cm

c.（454-45）cmD.（135-456）cm

3.（2024?湖南長沙?模擬預測）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與

較大部分的比值，其比值為避二L這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.如圖，

2

樂器上的一根弦長AB=80cm,兩個端點A,8固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點8的黃金分割點，支

撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C,。之間的距離為cm.（結果保留根號）

4.（2024?江蘇蘇州?一模）如圖，將。。的圓周分成五等份，依次隔一個分點相連，即成一個正五角星形.此

時點M是線段仞，砥的黃金分割點，也是線段NE,AH的黃金分割點，則MN?魯=.

A

5.（2024.福建廈門?模擬預測）活動一：某數學興趣小組在研究“黃金比例與黃金矩形”，閱讀課本時發現可

以通過折疊得到黃金矩形.請根據每一步的操作完成以下填空.（假設原矩形紙片的寬為2cm）

如圖，已知線段。，請你根據以下步驟作出以2a為腰長的黃金三角形AAB'C.（要求：尺規作圖，保留作

圖痕跡，不寫作法）

a

步驟一：作一條線段GH,使得GH的長度等于AAB'C的腰長;

步驟二：作一條線段P。，使得P。的長度等于AA?C'的底邊長；

步驟三：作黃金三角形AA'3'C'.

6.（2024.江蘇鹽城.二模）【教材呈現】蘇科版數學九年級下冊課本P52第2題

如圖1,點P是線段的黃金分割點，且M表示以以為一邊的正方形的面積，邑表示以為

長、尸3為寬的矩形的面積，請根據教材內容，嘗試解決以下兩個問題：

（1）若AB=1O,則上4=_（結果保留根號）；

（2）HS2（填“〈”或“=”）.

【初步探究】

（3）將圖1補成矩形。EG/,如圖2,小明猜想點尸在矩形DEG/的對角線￡>G上，請幫助小明判斷其猜

想是否正確，并說明理由.

【深入探究】

（4）如圖3,已知線段A8為。。的弦，請利用無刻度直尺和圓規，在線段A3上作一點尸，在圓上作一點

.使得胃=[=空.（不寫作法’保留作圖痕跡）

DHE

P

~PA

S2

FIG

圖1圖2

DHE

\

\

\

\P

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

X

\

\

\

FIG

題型三：相似多邊形的性質

【中考母題學方法】

【典例1】（2022?廣西梧州?中考真題）如圖，以點。為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形ARC'D,已

知等=5,若四邊形的面積是2,則四邊形ABC。的面積是（）

Cz/iJ

A.4B.6C.16D.18

【變式3-1］（2023?山東?中考真題）如圖，四邊形是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊：使

D4邊落在DC邊上，點A落在點H處，折痕為OE；使CB邊落在CO邊上，點8落在點G處，折痕為CF.若

矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD=1,則CD的長為（)

C.72+1D.75+1

【中考模擬即學即練】

1.（2024?云南昆明?模擬預測）如圖口ABCD與YAEFG關于點A成位似圖形，若他們的位似比為2:3,則

645CD與YAE尸G的面積比為（）

C.2:3D.1:3

2.（2023?浙江寧波?模擬預測）如圖，裝裱一幅寬45cm、長60cm的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原

矩形畫相似，裝裱上去的上下部分寬都為12cm,若裝裱上去的左右部分的寬都為無cm（尤＜20）,則了=（）

—45f

A.9B.12C.16D.18

3.（2024?重慶渝北?模擬預測）我國習慣上對開本的命名是以幾何級數來命名的，全張紙對折后的大小為對

開，再對折為4開紙，再對折為8開紙，再對折為16開紙，以此類推，如圖，全張矩形紙A3CD沿口對

Afi

開后，再把矩形紙片皿沿G”對開，依此類推.若各種開本的矩形都相似，那么而等于（）

4.（2024?浙江寧波?一模）如圖，點。為四邊形內的一點，連結。4,08,OC,。。，若

Q/Vcn'i

*='=號=為則四邊形AB'C'D的面積與四邊形ABCD的面積比為（）

OAOBOCOD4

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

5.（2024?浙江寧波?模擬預測）如圖，已知QABCD中，點E,F,G,H分別為AB,CD,AD,BC±

的點，且EF〃臺C,GH//AB,GH分別與斯，8尸相交于點M,N,若口AEMS口EBCF,則△BHN

的面積一定可以表示為（）

A.-(^aEBCF~aAEFD)B.~(ebhn-SaGMFD)

C.3(S0AB的—S0GHeD)D.—(SaEBHN—SaAEMG)

6.(2023?海南海口?模擬預測)有一張矩形紙片ABCD(A5<3C),M、N分別是AD,BC的中點，現沿線

段MN將矩形紙片一分為二，如果所得的兩張矩形紙片與原來的矩形紙片相似，那么AB:3c的值為.

題型四：平行線分線段成比例定理

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?山東濟南?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，分別以點A和3為圓心，以大于的

2

長為半徑作弧，兩弧相交于點E和尸，作直線所，再以點A為圓心，以仞的長為半徑作弧交直線即于

點G（點G在正方形A3CD內部），連接。G并延長交BC于點K.若3K=2,則正方形ABCD的邊長為（）

Q3+A/5

D.V3+1

,2

【變式4-1］（2024.山東.中考真題）如圖，點E為口ABCD的對角線AC上一點，AC=5,CE=1,連接DE

并延長至點尸，使得EF=￡）E,連接即，則所為（）

D.4

2

【變式4-2］（2024.吉林長春.中考真題）如圖，在VABC中，。是邊的中點.按下列要求作圖:

①以點8為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段80于點。，交BC于點E；

②以點。為圓心、8。長為半徑畫弧，交線段于點F;

③以點P為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G,點G與點C在直線43同側;

④作直線OG,交AC于點下列結論不一定成立的是（）

B.ZOMC+ZC=180°

C.AM=CMD.OM=-AB

2

【變式4-3］（2024?重慶?中考真題）如圖，在VABC中，延長AC至點。，使C￡?=C4,過點。作OE〃CB,

且=連接AE交2C于點尸.Z.CAB=Z.CFA,CF=1,則

D

E

力之^--------------->R

【變式4-4］（2023?湖南益陽?中考真題）如圖，在口ABC。中，AB=6f4）=4,以A為圓心，AO的長為

半徑畫弧交A3于點E,連接DE,分別以DE為圓心，以大于1。石的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作

射線AF,交。E于點M,過點M作交2C于點N.則MN的長為.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?浙江寧波?二模）如圖，已知直線a//b//c,直線m分別交直線a,b,c于點AB,C,直線”

Af!Q

分別交直線a,b,c于點、D,E,F,若—DF=22，則所=（）

BCo

2.（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖，在7ABC中，。為邊上一點，且AD平分/BAC,若=5,AC=4,

則△ABO與AACD的面積比為（）

3.（2024.湖南.二模）如圖，在VABC中，D,E分別為邊AB,AC上的點，且OE〃3C,若

AD=2,BD=6,AE=\,則AC的長為

4.（2024?湖南長沙?模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,8。相交于點。，且3C=OC.點

E為03的中點，過點E作。C的平行線，交BC于點、F.在所的延長線上取一點G,使得尸G=砂.連接

EC,BG,CG.

（1）求證：四邊形ECG3是矩形；

⑵若BD=12,EG=5,求A3的長.

5.（2024?湖北武漢.模擬預測）如圖，已知正方形ABCD,點尸是邊上的一個動點（不與點B、C重合）,

點E在DP上，滿足AE=AB,延長BE交CD于點P.

⑴求證：/BED=135。；

（2）連接CE,當CEL■時，求”的值.

題型五：相似三角形的判定

【中考母題學方法】

【典例1X2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點E,尸分別在正方形A3CD的邊2C,CO上，BE=3,EC=6,

CF=2.求證：八ABESAECF.

【變式5-1］（2023?黑龍江大慶?中考真題）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展

數學活動.有一張矩形紙片如圖所示，點N在邊AD上，現將矩形折疊，折痕為BN,點A對應的點

記為點若點M恰好落在邊。C上，則圖中與一定相似的三角形是.

【變式5-2］（2022?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在VABC與AA'3'C'中，點。、力分別在邊2C、9C'上,

DF）ID>T\>ADArDr

且△ACDS^A，CT），，若,則八42g"z，。，.請從①等=**；②言=篝；③

JLXjL-XV'JL-*

這三個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明.

BDCB'D'

【變式5-3］（2022?山東荷澤?中考真題）如圖，在必AABC中，/ABC=90。，E是邊AC上一點，且BE=3C,

過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點。，求證：△ADES^MC.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?黑龍江綏化?模擬預測）如圖，點P在VABC的邊AC上，要判斷A/WPSAACB,添加一個條件,

下列不正確的是（）

B

ApAB「APAB

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.——=——D.----=-----

ABACBPCB

2.（2024?貴州貴陽?模擬預測）如圖,AD與相交于點O,要使VAO3與△OOC相似，可添加的一個條

件是（）

A.ZA=ZDB.ZA=ZBC.ZC=ZDD.ZAOB=NDOC

3.（2023?廣東佛山?模擬預測）如圖,△ABC中，。、E分別是48、AC的點，要使AADES/CB,需添加

一個條件是.（只要寫一個條件）

由2A是公共角，根據相似三角形的判定方法，即可得要使AADES?ICB,可添加：ZADE=ZACB^

4DAF

ZA￡D=ZABC或嗎=空等.

ACAB

此題考查了相似三角形的判定.此題屬于開放題，答案不唯一.注意掌握兩組對應邊的比相等且夾角對應

相等的兩個三角形相似與有兩組角對應相等的兩個三角形相似是解此題的關鍵.

解：?「NA是公共角,

AnAP

???要使△AD￡S&4CB,可添加：NAD￡；=NACB或NA￡Z)=NABC或一=——等.

ACAB

AF）Ap

故答案為：如NAD￡=NACB或NAED=NABC或——=—等（此題答案不唯一）.

ACAB

4.（2024?湖北武漢?模擬預測）如圖，將VABC繞點8逆時針旋轉得到△加?,連接AM,CN.求證：AABM

sKBN.

c

5.（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖，已知VABC,ZB>ZC,請用尺規作圖法在AC邊上作一點P,使得

△A5PsAACB.（保留作圖痕跡，不寫作法）

A

6.（2024?北京?模擬預測）如圖，四邊形為正方形，DELEF,FG±AB.

DC

AEBG

（1）證明：ADAE^AEGF

（2）不添加輔助線，添加一個角的條件，證明△ZME四△EGF

題型六：相似三角形的性質

【中考母題學方法】

【典例1】（2024.重慶?中考真題）若兩個相似三角形的相似比是1:3,則這兩個相似三角形的面積比是（）

A.1:3B.1:4C.1:6D.1:9

【典例2】（2024?四川內江?中考真題）已知VABC與△ABC相似，且相似比為1:3,則VABC與△A與G的

周長比為（）

A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9

【變式6-1］（2024?四川巴中?中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則。G=

KL

【變式6-2］（2023?山東聊城?中考真題）如圖，該幾何體是由一個大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分.若

該幾何體上、下兩個圓的半徑分別為1和2,原大圓錐高的剩余部分。為四，則其側面展開圖的面積為

（）

A.岳B.2&C.3岳D.4辰

【變式6-3］（2023?重慶?中考真題）如圖，已知AABCSAEDC,AC:￡C=2:3,若A3的長度為6,則DE的

【中考模擬即學即練】

1.（2023廣東陽江?一模）已知AABCSADEF,若VA3C與AZ無尸的相似比為2:5,則VABC與ADE尸的

面積之比為（）

A.2:5B.5:2C.25:4D.4:25

2.（2023?浙江寧波?三模）如圖。4:00=7:5,ZA=?,ZB=/3,^OAB^^ODC,△OAB與AOCD的面

積分別是距和邑，與AOCD的周長分別是G和G，則一定成立的等式是（）

A

3.（2024?上海楊浦?一模）如圖，在VABC中，點G是重心，過點G作GD〃3C,交邊AC于點。，聯結BG,

如果ABC=36,那么S四邊形BGDC=

4.（2024?江西.模擬預測）將一把直尺與VABC按如圖所示的方式擺放，與直尺的一邊重合，AC,BC

分別與直尺的另一邊交于點D,E.若點A,B,D,E分別與直尺上的刻度4.5,8.5,5,7對應，直尺

的寬為1cm,則點C到邊43的距離為cm.

C

D

'567\89

hidiiMuihi川川山川1川山川,冰山"卜”1

AB

5.（2024?浙江寧波?模擬預測）如圖，在VABC中，己知AC=4,BC=3,。是A2上一點，連接CO.若

AD=2DB,ABC4ABAC,則CD的長為.

：

6.（2024?云南?模擬預測）如圖AAOESAACB,BC=5,^^ADES四邊形5CEO-9：16,則DE為

A

7.（2024.浙江紹興.模擬預測）如圖，在6x6的正方形網格中，點A,B,C均在格點上，請按要求作圖.

⑴在圖1中畫一個格點VADE,使△ADEs^ABC.

⑵在圖2中找一點E使ZAFC=2ZABC.

題型七：相似三角形的性質與判定的綜合

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?山東德州?中考真題）在VABC中，AC^BC,NACB=120°,點。是A3上一個動點（點

。不與A,8重合），以點。為中心，將線段。C順時針旋轉120。得到線

圖1圖2圖3

（D如圖1,當NACD=15。時，求N3DE的度數；

（2）如圖2,連接BE,當0。<448<90。時，NABE的大小是否發生變化？如果不變求，NABE的度數；

如果變化，請說明理由；

（3）如圖3,點加在8上，且。0:聞。=3:2,以點C為中心，將線CM逆時針轉120。得到線段CN,連接

EN,若AC=4,求線段EN的取值范圍.

【變式7-1］（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，正方形ABCD中，AB=3,點E在邊4）上，DE=2AE,F是

8E的中點，點打在CD邊上，NEFH=45。，則TH的長為（）.

.3MD375?5A/5八2M

4243

【變式7-2］（2023?四川綿陽?中考真題）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=8,將VABC繞點C按逆

時針方向旋轉得到△A'C，滿足人聲||AC,過點2作BELAC，垂足為￡，連接AE,若以,上=3S^CE，

【變式7-3］（2024?山西?中考真題）如圖，在DABCD中，AC為對角線，AE，8c于點E,點尸是AE延長

線上一點，且NACF=/C4F,線段的延長線交于點G.若AB=5AD=4,tanZABC=2,則8G的長

為.

【變式7-4］（2024.山東日照.中考真題）如圖，以口ABCD的頂點B為圓心，長為半徑畫弧，交8C于點

E,再分別以點A,E為圓心，大于:AE的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，畫射線所，交AD于點G,

交CD的延長線于點a.

H

（1）由以上作圖可知，4與N2的數量關系是

（2）求證：CB=CH

（3）若AB=4,AG=2GD,ZABC=60°,求VM的面積.

【變式7-5］（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，A3=4,BC=8,點E是邊AD上的動點,

連結CE,以CE為邊作矩形CEFG（點。，G在CE的同側），且CE=2屈F,連結郎.

（1）如圖1,當點E為AD邊的中點時，點8,E,尸在同一直線上，求跖的長.

（2）如圖2,若N3CE=30。，設CE與所交于點K.求證：BK=FK.

（3）在點E的運動過程中，郎的長是否存在最大（小）值？若存在，求出8尸的最值；若不存在，請說明理

由.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?安徽合肥.模擬預測）如圖，在QABCD中，AC,3。相交于點。，將口ABCD繞點C旋轉至口EOCF

的位置，點2的對應點恰好落在點。處，2,。,D,E四點共線.（1）己知NCQ5=a,貝叱氏刀=（用

含a的代數式表示）；（2）若30=2,則2c的長為.

2.（2025?上海普陀?一模）己知：如圖，梯形ABCD中，AD//BC,3D為對角線，BD2=ADBC.

AD

(1)求證：ZABD=ZC；

(2)E為BC的中點，作NDEF=NC,砂交邊AD于點孔求證：2AB-DE=BD-EF.

3.(2024?浙江寧波?二模)已知在等腰7ABe中，AB=AC,E是2C的三等分點且靠近點B,F是AC

的中點，過點C作CE>〃交所延長線于點。.

(1)求EF:DF的值；

(2)連接AE,若ZDEA=ZB,BE=2,求AE的值.

4.(2025?湖南婁底?一模)如圖1,在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點E是線段AD上的動點(點E不

與點A。重合)，連接CE,過點E作EFLCE,交A3于點F.

備用圖

(2)如圖2,連接CF,過點5作3GLCF,垂足為G,連接AG,點M是線段BC的中點，連接GM.

①求AG+GN的最小值；

②當AG+GN取最小值時，求線段AF的長.

5.(2025?安徽?模擬預測)如圖①，在四邊形ABCD中，ZABC=ZDCB,E為BC上一點,S.DE//AB,過

點8作時〃AD交DE的延長線于點F,連接CE,CF=BF.

圖①圖②

(1)求證：△ADE部△FCD；

(2)如圖②，連接交AE于點G.

①若AG=DC,求證：BC平分NDBF；

②若O3〃C尸，求工的值.

BD

6.(2025?廣東?模擬預測)如圖①，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等

腰直角三角形ABC中，CA=CB,ZC=90°,過點5作射線或)2AB,垂足為5,點尸在CB上.

如圖②，若點尸在線段CB上,畫出射線上4,并將射線上4繞點尸逆時針旋轉90。與3。交于點E,根據題

意在圖中畫出圖形，圖中NPBE的度數為度;

⑵【問題探究】

根據(1)所畫圖形，探究線段以與PE的數量關系，并說明理由;

(3)【拓展延伸】

如圖③，若在直角VA3C中，ZA=30°,NABC=60。，點尸在線段CB上，將射線PA繞點尸逆時針旋轉90。

與BD交于點、E,探究線段54,BP,BE之間的數量關系，并說明理由.

7.(2025?甘肅?模擬預測)【模型建立】

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點E,尸分別在邊。C,2C上，＞AE±DF,求證：DE=CF

【模型應用】

(2)如圖2,在矩形ABC￡＞中，AB=3,5c=5,點E在邊A￡＞上，點M,N分別在邊AB,CD上，且

BE

求市的值;

【模型遷移】

AB_2

（3）如圖3,在四邊形A3CD中，ZS4D=90°,AB=BC,AB=BC,點E,尸分別在邊AB,

AD-3

圖3

8.（2024?廣東深圳?模擬預測）在四邊形A3CD中,產為對角線BD延長線上的一點，過點尸作?EII8交

射線力。于點E,連接CE.過點尸作「F||CE交射線DC于點F.

（1）如圖1,若四邊形為正方形，求證：ABCF^ACDE

（2）若四邊形ABCD為菱形，且加C=a（CP<a<90。），連接8P并延長，交直線CE于點G.

①如圖2,當G為CE中點，求若的值；

②如圖3,若尸點為射線8D上一點，當ACFG為等腰三角形時，請直接寫出NE尸產的度數（用含。的代數

式表示）.

題型八：相似三角形的實際應用

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?四川自貢.中考真題）為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學習小組運用了多種測

量方法.

圖1（利用影子）圖2（利用鏡子）圖3（利用標桿）

（1）如圖1,小張在測量時發現，自己在操場上的影長班恰好等于自己的身高OE.此時，小組同學測得旗

桿AB的影長2C為11.3m,據此可得旗桿高度為m；

（2）如圖2,小李站在操場上E點處，前面水平放置鏡面C,并通過鏡面觀測到旗桿頂部A.小組同學測得小

李的眼睛距地面高度DE=1.5m,小李到鏡面距離EC=2m,鏡面到旗桿的距離CB=16m.求旗桿高度；

（3）小王所在小組采用圖3的方法測量，結果誤差較大.在更新測量工具，優化測量方法后，測量精度明顯

提高，研學旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度.方法如下：

圖4（找水平線）圖5（定標高線）圖6（測雕塑高）

如圖4,在透明的塑料軟管內注入適量的水，利用連通器原理，保持管內水面M,N兩點始終處于同一水平

線上.

如圖5,在支架上端尸處，用細線系小重物。，標高線P。始終垂直于水平地面.

如圖6,在江姐故里廣場上E點處，同學們用注水管確定與雕塑底部8處于同一水平線的￡>,G兩點，并標

記觀測視線ZM與標高線交點C,測得標高CG=1.8m,ZX7=1.5m.將觀測點。后移24nl到露處，采用同

樣方法，測得C'G'=1.2m,DG=2m.求雕塑高度（結果精確到1m）.

【變式8-1］（2024.江蘇鎮江?中考真題）如圖，小杰從燈桿的底部點B處沿水平直線前進到達點C處,

他在燈光下的影長CD=3米,然后他轉身按原路返回到點B處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是（）

A

DCB

A.4.5米B.4米C.3.5米D.2.5米

【變式8-21］（2024?江蘇揚州?中考真題）物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性

實現圖像投影的方法.如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）A3經小孔。在屏幕（豎直放置）上成像A9.設

AB=36cm,AB'=24cm.小孔。到A8的距離為30cm,則小孔。到AE的距離為cm.

|<—30cm―>|?-?cm-*|

【變式8-3］（2024?湖北?中考真題）小明為了測量樹A3的高度，經過實地測量，得到兩個解決方案：

方案一：如圖（1）,測得C地與樹相距10米，眼睛。處觀測樹A3的頂端A的仰角為32。：

方案二：如圖（2）,測得C地與樹A3相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達點E,眼睛。在鏡子C

中恰好看到樹AB的頂端A.

已知小明身高1.6米，試選擇一個方案求出樹A3的高度.（結果保留整數，tan32Oy0.64）

【變式8-4］（2023?江蘇南京?中考真題）如圖，玻璃桌面與地面平行、桌面上有一盞臺燈和一支鉛筆，點光

源。與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面.在燈光照射下，A3在地面上形成的影子為CD（不計折射），

AB//CD.

（1）在桌面上沿著方向平移鉛筆，試說明C。的長度不變.

（2）桌面上一點尸恰在點。的正下方，且。尸=36cm,上4=18cm,AB=18cm,桌面的高度為60cm.在點

。與AB所確定的平面內，將AB繞點A旋轉，使得C。的長度最大.

①畫出此時A3所在位置的示意圖；

②C。的長度的最大值為一cm.

【變式8-51］（2023?四川攀枝花?中考真題）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區銀川市賀蘭

縣拜寺口內，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品.某

數學興趣小組決定采用我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度.東塔的

高度為AB,選取與塔底8在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標桿EF和

GH,兩標桿間隔EG為46m,并且東塔AB、標桿和GH在同一豎直平面內.從標桿E77后退2m到。處

（即ED=2m）,從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標桿G7/后退4m到C處（即CG=4m）,從

C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且8、E、D、G、C在同一直線上，請你根據以上測量數

據，幫助興趣小組求出東塔的高度.

A,

、、、、、

BEDGC

【中考模擬即學即練】

1.（2024?浙江寧波?模擬預測）如圖，已知箱子沿著斜面向上運動，箱高AB=1.2m.當3C=2.5m時，點8

到地面的距離3E=L5m,則點A到地面的距離4）為（）

C.2.46mD.2.22m

2.（2024.浙江溫州?三模）圖1是《九章算術》中記載的“測井深''示意圖，譯文指出：“如圖2,今有井直徑

CD為5尺,不知其深AD.立5尺長的木CE于井上，從木的末梢E點觀察井水水岸A處，測得“入徑CF”

為4寸，問井深是多少？（其中1尺=10寸）”根據譯文信息，則井深入。為（）

立木

入徑

井深

井水水面

圖2

A.500寸B.525寸C.550寸D.575寸

3.（2025?廣東深圳?一模）2022年2月20日北京冬奧會花樣滑冰表演賽，中國男單一哥金博洋登場，他使

用的地面光影直到結束后都讓人意猶未盡.如圖，設聚光燈。的底部為4金博洋的身高（3D）為1.7m,

金博洋與點A的距離43為10.2m,他在聚光燈下的影子8C為3.4m,則聚光燈距離地面的高度。4為

m.

4.（2024?吉林松原?三模）如圖①是液體沙漏的平面示意圖（數據如圖），經過一段時間后的液體如圖②所

5.（2024?廣東?模擬預測）學習相似三角形后，小紅利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度.如圖，

已知小紅的身高是1.5米，他在路燈下的影長為2米，小紅距路燈燈桿的底部4米，則路燈燈泡距地面的高

度是米.

6.（2024.山西晉中?模擬預測）普救寺位于山西省運城市永濟市蒲州古城內，是我國歷史名劇《西廂記》故

事的發生地，寺廟規模宏偉，內部有很多著名建筑.其中，最著名的便是鶯鶯塔（如圖1）.數學興趣小組根

據光的反射定律（如圖2）,把一面鏡子放在離古塔（CD）72m的點尸處，然后觀測者沿著直線CP后退到

點B處.這時恰好在鏡子里看到塔頂端。，量得3尸=3m,已知觀測者目高AB=1.5m,那么該古塔（CO）

7.（2024?廣東東莞?一模）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側面結構示意圖，支架4D與CB交于點0,

測得AO=3O=50cm,CO=DO=30cm.

（2）將桌子放平后,兩條桌腿叉開角度24如=106°,求4B距離地面的高.（結果保留整數）（參考數值

sin37°~0.60,cos37°?0.80)

8.（2024?江蘇蘇州?二模）【數學眼光】