難點(diǎn)10相似三角形的常考題型

（9大熱考題型）

麴型盤點(diǎn)G

題型一：比例的性質(zhì)

題型二：黃金分割

題型三：相似多邊形的性質(zhì)

題型四：平行線分線段成比例定理

題型五：相似三角形的判定

題型六：相似三角形的性質(zhì)

題型七：相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合

題型八：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

題型九：圖形位似

.睛淮提分

題型一：比例的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?四川成都?中考真題）盒中有x枚黑棋和>枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別.從盒中隨

oY

機(jī)取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是J,則一的值為______.

8y

【變式1-1］（2023?甘肅武威?中考真題）若!=：,則必=（）

2b

32

A.6B.—C.1D.一

23

【變式1-2］（2023?浙江?中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是

一個逐步特殊化的過程，請?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程.圖中橫線處應(yīng)填：_

當(dāng)%=尸時當(dāng)@=▲時

ay6—a_babI-

=b=c^

xcb~c----------------

比例線段出現(xiàn)比例中項(xiàng)線段出現(xiàn)特殊線段比

YY—V

【變式1-3］（2023?四川甘孜?中考真題）若二=2,則一-=.

yy

【中考模擬即學(xué)即練】

n+hh+cn+c

1.（2024.安徽蚌埠?模擬預(yù)測）已知。歷/0,M—=—==那么上的值是（）

cab

A.2B.-1C.2或0D.2或-1

2.（2024?浙江寧波?二模）已知3a=2b（ab^0）,則下列比例式正確的是（）

Aa2abb2a2

A.—=-B.—=—C.—=—D.—=—

3b32a3b3

nhc

3.（2024?廣東深圳?一模）已知一=—二一。0,且2c=6,那么6=.

654

4.（2025?上海閔行?一模）如果￡=3,那么二I的值為____.

b2a-b

abc3x+2y—z

5.（2024?江西九江?模擬預(yù)測）已知一=一二一,則^—若一（其中3%-2y+zw0）的值是__________

xyz3x-2y+z

題型二：黃金分割

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?四川達(dá)州?中考真題）如圖，樂器的一根弦AB=80cm,兩個端點(diǎn)A,B固定在樂器面板上,

支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)2的黃金分割點(diǎn)，即AC2=A9BC,支撐點(diǎn)。是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則兩個支撐

點(diǎn)C,。之間的距離cm.（結(jié)果保留根號）

【變式2-1］（2024?山西?中考真題）黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律.借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢

字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀.已知一條分割線的端點(diǎn)A,B分別在習(xí)字格的邊尸。上，且“晉”

字的筆畫“、”的位置在A3的黃金分割點(diǎn)C處，且生=塵二1,若NP=2cm,則2C的長為cm（結(jié)

AB2

果保留根號）.

【變式2-2］（2022?陜西?中考真題）在20世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種

“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所做所將矩形窗框ABCD分為

上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點(diǎn)，即BE2=AB.已知A3為2米,則線段BE的長為米.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測）大自然是美的設(shè)計(jì)師，校園里一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”的美.如圖,

V5-1叵口這個無理數(shù)約是（）

2

C.0.707D.0.828

2.（2024.安徽合肥.三模）古箏是一種彈撥弦鳴樂器，又名漢箏、秦箏，是漢民族古老的民族樂器，流行于

中國各地.若古箏上有一根弦AB=90cm,支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)A的一個黃金分割點(diǎn)，則BC=（）

A.（4575+45）cmB.（9075-45）cm

c.（454-45）cmD.（135-456）cm

3.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與

較大部分的比值，其比值為避二L這個比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.如圖，

2

樂器上的一根弦長AB=80cm,兩個端點(diǎn)A,8固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)8的黃金分割點(diǎn)，支

撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C,。之間的距離為cm.（結(jié)果保留根號）

4.（2024?江蘇蘇州?一模）如圖，將。。的圓周分成五等份，依次隔一個分點(diǎn)相連，即成一個正五角星形.此

時點(diǎn)M是線段仞，砥的黃金分割點(diǎn)，也是線段NE,AH的黃金分割點(diǎn)，則MN?魯=.

A

5.（2024.福建廈門?模擬預(yù)測）活動一：某數(shù)學(xué)興趣小組在研究“黃金比例與黃金矩形”，閱讀課本時發(fā)現(xiàn)可

以通過折疊得到黃金矩形.請根據(jù)每一步的操作完成以下填空.（假設(shè)原矩形紙片的寬為2cm）

如圖，已知線段。，請你根據(jù)以下步驟作出以2a為腰長的黃金三角形AAB'C.（要求：尺規(guī)作圖，保留作

圖痕跡，不寫作法）

a

步驟一：作一條線段GH,使得GH的長度等于AAB'C的腰長;

步驟二：作一條線段P。，使得P。的長度等于AA?C'的底邊長；

步驟三：作黃金三角形AA'3'C'.

6.（2024.江蘇鹽城.二模）【教材呈現(xiàn)】蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊課本P52第2題

如圖1,點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且M表示以以為一邊的正方形的面積，邑表示以為

長、尸3為寬的矩形的面積，請根據(jù)教材內(nèi)容，嘗試解決以下兩個問題：

（1）若AB=1O,則上4=_（結(jié)果保留根號）；

（2）HS2（填“〈”或“=”）.

【初步探究】

（3）將圖1補(bǔ)成矩形。EG/,如圖2,小明猜想點(diǎn)尸在矩形DEG/的對角線￡>G上，請幫助小明判斷其猜

想是否正確，并說明理由.

【深入探究】

（4）如圖3,已知線段A8為。。的弦，請利用無刻度直尺和圓規(guī)，在線段A3上作一點(diǎn)尸，在圓上作一點(diǎn)

.使得胃=[=空.（不寫作法’保留作圖痕跡）

DHE

P

~PA

S2

FIG

圖1圖2

DHE

\

\

\

\P

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

X

\

\

\

FIG

題型三：相似多邊形的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2022?廣西梧州?中考真題）如圖，以點(diǎn)。為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形ARC'D,已

知等=5,若四邊形的面積是2,則四邊形ABC。的面積是（）

Cz/iJ

A.4B.6C.16D.18

【變式3-1］（2023?山東?中考真題）如圖，四邊形是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊：使

D4邊落在DC邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，折痕為OE；使CB邊落在CO邊上，點(diǎn)8落在點(diǎn)G處，折痕為CF.若

矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD=1,則CD的長為（)

C.72+1D.75+1

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）如圖口ABCD與YAEFG關(guān)于點(diǎn)A成位似圖形，若他們的位似比為2:3,則

645CD與YAE尸G的面積比為（）

C.2:3D.1:3

2.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖，裝裱一幅寬45cm、長60cm的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原

矩形畫相似，裝裱上去的上下部分寬都為12cm,若裝裱上去的左右部分的寬都為無cm（尤＜20）,則了=（）

—45f

A.9B.12C.16D.18

3.（2024?重慶渝北?模擬預(yù)測）我國習(xí)慣上對開本的命名是以幾何級數(shù)來命名的，全張紙對折后的大小為對

開，再對折為4開紙，再對折為8開紙，再對折為16開紙，以此類推，如圖，全張矩形紙A3CD沿口對

Afi

開后，再把矩形紙片皿沿G”對開，依此類推.若各種開本的矩形都相似，那么而等于（）

4.（2024?浙江寧波?一模）如圖，點(diǎn)。為四邊形內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)。4,08,OC,。。，若

Q/Vcn'i

*='=號=為則四邊形AB'C'D的面積與四邊形ABCD的面積比為（）

OAOBOCOD4

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

5.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖，已知QABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別為AB,CD,AD,BC±

的點(diǎn)，且EF〃臺C,GH//AB,GH分別與斯，8尸相交于點(diǎn)M,N,若口AEMS口EBCF,則△BHN

的面積一定可以表示為（）

A.-(^aEBCF~aAEFD)B.~(ebhn-SaGMFD)

C.3(S0AB的—S0GHeD)D.—(SaEBHN—SaAEMG)

6.(2023?海南海口?模擬預(yù)測)有一張矩形紙片ABCD(A5<3C),M、N分別是AD,BC的中點(diǎn)，現(xiàn)沿線

段MN將矩形紙片一分為二，如果所得的兩張矩形紙片與原來的矩形紙片相似，那么AB:3c的值為.

題型四：平行線分線段成比例定理

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，分別以點(diǎn)A和3為圓心，以大于的

2

長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和尸，作直線所，再以點(diǎn)A為圓心，以仞的長為半徑作弧交直線即于

點(diǎn)G（點(diǎn)G在正方形A3CD內(nèi)部），連接。G并延長交BC于點(diǎn)K.若3K=2,則正方形ABCD的邊長為（）

Q3+A/5

D.V3+1

,2

【變式4-1］（2024.山東.中考真題）如圖，點(diǎn)E為口ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，AC=5,CE=1,連接DE

并延長至點(diǎn)尸，使得EF=￡）E,連接即，則所為（）

D.4

2

【變式4-2］（2024.吉林長春.中考真題）如圖，在VABC中，。是邊的中點(diǎn).按下列要求作圖:

①以點(diǎn)8為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧，交線段80于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E；

②以點(diǎn)。為圓心、8。長為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)F;

③以點(diǎn)P為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)G,點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線43同側(cè);

④作直線OG,交AC于點(diǎn)下列結(jié)論不一定成立的是（）

B.ZOMC+ZC=180°

C.AM=CMD.OM=-AB

2

【變式4-3］（2024?重慶?中考真題）如圖，在VABC中，延長AC至點(diǎn)。，使C￡?=C4,過點(diǎn)。作OE〃CB,

且=連接AE交2C于點(diǎn)尸.Z.CAB=Z.CFA,CF=1,則

D

E

力之^--------------->R

【變式4-4］（2023?湖南益陽?中考真題）如圖，在口ABC。中，AB=6f4）=4,以A為圓心，AO的長為

半徑畫弧交A3于點(diǎn)E,連接DE,分別以DE為圓心，以大于1。石的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作

射線AF,交。E于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作交2C于點(diǎn)N.則MN的長為.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?浙江寧波?二模）如圖，已知直線a//b//c,直線m分別交直線a,b,c于點(diǎn)AB,C,直線”

Af!Q

分別交直線a,b,c于點(diǎn)、D,E,F,若—DF=22，則所=（）

BCo

2.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，在7ABC中，。為邊上一點(diǎn)，且AD平分/BAC,若=5,AC=4,

則△ABO與AACD的面積比為（）

3.（2024.湖南.二模）如圖，在VABC中，D,E分別為邊AB,AC上的點(diǎn)，且OE〃3C,若

AD=2,BD=6,AE=\,則AC的長為

4.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，且3C=OC.點(diǎn)

E為03的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作。C的平行線，交BC于點(diǎn)、F.在所的延長線上取一點(diǎn)G,使得尸G=砂.連接

EC,BG,CG.

（1）求證：四邊形ECG3是矩形；

⑵若BD=12,EG=5,求A3的長.

5.（2024?湖北武漢.模擬預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD,點(diǎn)尸是邊上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）,

點(diǎn)E在DP上，滿足AE=AB,延長BE交CD于點(diǎn)P.

⑴求證：/BED=135。；

（2）連接CE,當(dāng)CEL■時，求”的值.

題型五：相似三角形的判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例1X2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點(diǎn)E,尸分別在正方形A3CD的邊2C,CO上，BE=3,EC=6,

CF=2.求證：八ABESAECF.

【變式5-1］（2023?黑龍江大慶?中考真題）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展

數(shù)學(xué)活動.有一張矩形紙片如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN,點(diǎn)A對應(yīng)的點(diǎn)

記為點(diǎn)若點(diǎn)M恰好落在邊。C上，則圖中與一定相似的三角形是.

【變式5-2］（2022?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在VABC與AA'3'C'中，點(diǎn)。、力分別在邊2C、9C'上,

DF）ID>T\>ADArDr

且△ACDS^A，CT），，若,則八42g"z，。，.請從①等=**；②言=篝；③

JLXjL-XV'JL-*

這三個選項(xiàng)中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明.

BDCB'D'

【變式5-3］（2022?山東荷澤?中考真題）如圖，在必AABC中，/ABC=90。，E是邊AC上一點(diǎn)，且BE=3C,

過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長線于點(diǎn)。，求證：△ADES^MC.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?黑龍江綏化?模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)P在VABC的邊AC上，要判斷A/WPSAACB,添加一個條件,

下列不正確的是（）

B

ApAB「APAB

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.——=——D.----=-----

ABACBPCB

2.（2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測）如圖,AD與相交于點(diǎn)O,要使VAO3與△OOC相似，可添加的一個條

件是（）

A.ZA=ZDB.ZA=ZBC.ZC=ZDD.ZAOB=NDOC

3.（2023?廣東佛山?模擬預(yù)測）如圖,△ABC中，。、E分別是48、AC的點(diǎn)，要使AADES/CB,需添加

一個條件是.（只要寫一個條件）

由2A是公共角，根據(jù)相似三角形的判定方法，即可得要使AADES?ICB,可添加：ZADE=ZACB^

4DAF

ZA￡D=ZABC或嗎=空等.

ACAB

此題考查了相似三角形的判定.此題屬于開放題，答案不唯一.注意掌握兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)

相等的兩個三角形相似與有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似是解此題的關(guān)鍵.

解：?「NA是公共角,

AnAP

???要使△AD￡S&4CB,可添加：NAD￡；=NACB或NA￡Z)=NABC或一=——等.

ACAB

AF）Ap

故答案為：如NAD￡=NACB或NAED=NABC或——=—等（此題答案不唯一）.

ACAB

4.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，將VABC繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)得到△加?,連接AM,CN.求證：AABM

sKBN.

c

5.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，已知VABC,ZB>ZC,請用尺規(guī)作圖法在AC邊上作一點(diǎn)P,使得

△A5PsAACB.（保留作圖痕跡，不寫作法）

A

6.（2024?北京?模擬預(yù)測）如圖，四邊形為正方形，DELEF,FG±AB.

DC

AEBG

（1）證明：ADAE^AEGF

（2）不添加輔助線，添加一個角的條件，證明△ZME四△EGF

題型六：相似三角形的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024.重慶?中考真題）若兩個相似三角形的相似比是1:3,則這兩個相似三角形的面積比是（）

A.1:3B.1:4C.1:6D.1:9

【典例2】（2024?四川內(nèi)江?中考真題）已知VABC與△ABC相似，且相似比為1:3,則VABC與△A與G的

周長比為（）

A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9

【變式6-1］（2024?四川巴中?中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則。G=

KL

【變式6-2］（2023?山東聊城?中考真題）如圖，該幾何體是由一個大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分.若

該幾何體上、下兩個圓的半徑分別為1和2,原大圓錐高的剩余部分。為四，則其側(cè)面展開圖的面積為

（）

A.岳B.2&C.3岳D.4辰

【變式6-3］（2023?重慶?中考真題）如圖，已知AABCSAEDC,AC:￡C=2:3,若A3的長度為6,則DE的

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2023廣東陽江?一模）已知AABCSADEF,若VA3C與AZ無尸的相似比為2:5,則VABC與ADE尸的

面積之比為（）

A.2:5B.5:2C.25:4D.4:25

2.（2023?浙江寧波?三模）如圖。4:00=7:5,ZA=?,ZB=/3,^OAB^^ODC,△OAB與AOCD的面

積分別是距和邑，與AOCD的周長分別是G和G，則一定成立的等式是（）

A

3.（2024?上海楊浦?一模）如圖，在VABC中，點(diǎn)G是重心，過點(diǎn)G作GD〃3C,交邊AC于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)BG,

如果ABC=36,那么S四邊形BGDC=

4.（2024?江西.模擬預(yù)測）將一把直尺與VABC按如圖所示的方式擺放，與直尺的一邊重合，AC,BC

分別與直尺的另一邊交于點(diǎn)D,E.若點(diǎn)A,B,D,E分別與直尺上的刻度4.5,8.5,5,7對應(yīng)，直尺

的寬為1cm,則點(diǎn)C到邊43的距離為cm.

C

D

'567\89

hidiiMuihi川川山川1川山川,冰山"卜”1

AB

5.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖，在VABC中，己知AC=4,BC=3,。是A2上一點(diǎn)，連接CO.若

AD=2DB,ABC4ABAC,則CD的長為.

：

6.（2024?云南?模擬預(yù)測）如圖AAOESAACB,BC=5,^^ADES四邊形5CEO-9：16,則DE為

A

7.（2024.浙江紹興.模擬預(yù)測）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，請按要求作圖.

⑴在圖1中畫一個格點(diǎn)VADE,使△ADEs^ABC.

⑵在圖2中找一點(diǎn)E使ZAFC=2ZABC.

題型七：相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?山東德州?中考真題）在VABC中，AC^BC,NACB=120°,點(diǎn)。是A3上一個動點(diǎn)（點(diǎn)

。不與A,8重合），以點(diǎn)。為中心，將線段。C順時針旋轉(zhuǎn)120。得到線

圖1圖2圖3

（D如圖1,當(dāng)NACD=15。時，求N3DE的度數(shù)；

（2）如圖2,連接BE,當(dāng)0。<448<90。時，NABE的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，NABE的度數(shù)；

如果變化，請說明理由；

（3）如圖3,點(diǎn)加在8上，且。0:聞。=3:2,以點(diǎn)C為中心，將線CM逆時針轉(zhuǎn)120。得到線段CN,連接

EN,若AC=4,求線段EN的取值范圍.

【變式7-1］（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，正方形ABCD中，AB=3,點(diǎn)E在邊4）上，DE=2AE,F是

8E的中點(diǎn)，點(diǎn)打在CD邊上，NEFH=45。，則TH的長為（）.

.3MD375?5A/5八2M

4243

【變式7-2］（2023?四川綿陽?中考真題）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=8,將VABC繞點(diǎn)C按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'C，滿足人聲||AC,過點(diǎn)2作BELAC，垂足為￡，連接AE,若以,上=3S^CE，

【變式7-3］（2024?山西?中考真題）如圖，在DABCD中，AC為對角線，AE，8c于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是AE延長

線上一點(diǎn)，且NACF=/C4F,線段的延長線交于點(diǎn)G.若AB=5AD=4,tanZABC=2,則8G的長

為.

【變式7-4］（2024.山東日照.中考真題）如圖，以口ABCD的頂點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，交8C于點(diǎn)

E,再分別以點(diǎn)A,E為圓心，大于:AE的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，畫射線所，交AD于點(diǎn)G,

交CD的延長線于點(diǎn)a.

H

（1）由以上作圖可知，4與N2的數(shù)量關(guān)系是

（2）求證：CB=CH

（3）若AB=4,AG=2GD,ZABC=60°,求VM的面積.

【變式7-5］（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，A3=4,BC=8,點(diǎn)E是邊AD上的動點(diǎn),

連結(jié)CE,以CE為邊作矩形CEFG（點(diǎn)。，G在CE的同側(cè)），且CE=2屈F,連結(jié)郎.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為AD邊的中點(diǎn)時，點(diǎn)8,E,尸在同一直線上，求跖的長.

（2）如圖2,若N3CE=30。，設(shè)CE與所交于點(diǎn)K.求證：BK=FK.

（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，郎的長是否存在最大（小）值？若存在，求出8尸的最值；若不存在，請說明理

由.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?安徽合肥.模擬預(yù)測）如圖，在QABCD中，AC,3。相交于點(diǎn)。，將口ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至口EOCF

的位置，點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在點(diǎn)。處，2,。,D,E四點(diǎn)共線.（1）己知NCQ5=a,貝叱氏刀=（用

含a的代數(shù)式表示）；（2）若30=2,則2c的長為.

2.（2025?上海普陀?一模）己知：如圖，梯形ABCD中，AD//BC,3D為對角線，BD2=ADBC.

AD

(1)求證：ZABD=ZC；

(2)E為BC的中點(diǎn)，作NDEF=NC,砂交邊AD于點(diǎn)孔求證：2AB-DE=BD-EF.

3.(2024?浙江寧波?二模)已知在等腰7ABe中，AB=AC,E是2C的三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)B,F是AC

的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE>〃交所延長線于點(diǎn)。.

(1)求EF:DF的值；

(2)連接AE,若ZDEA=ZB,BE=2,求AE的值.

4.(2025?湖南婁底?一模)如圖1,在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E是線段AD上的動點(diǎn)(點(diǎn)E不

與點(diǎn)A。重合)，連接CE,過點(diǎn)E作EFLCE,交A3于點(diǎn)F.

備用圖

(2)如圖2,連接CF,過點(diǎn)5作3GLCF,垂足為G,連接AG,點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，連接GM.

①求AG+GN的最小值；

②當(dāng)AG+GN取最小值時，求線段AF的長.

5.(2025?安徽?模擬預(yù)測)如圖①，在四邊形ABCD中，ZABC=ZDCB,E為BC上一點(diǎn),S.DE//AB,過

點(diǎn)8作時〃AD交DE的延長線于點(diǎn)F,連接CE,CF=BF.

圖①圖②

(1)求證：△ADE部△FCD；

(2)如圖②，連接交AE于點(diǎn)G.

①若AG=DC,求證：BC平分NDBF；

②若O3〃C尸，求工的值.

BD

6.(2025?廣東?模擬預(yù)測)如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等

腰直角三角形ABC中，CA=CB,ZC=90°,過點(diǎn)5作射線或)2AB,垂足為5,點(diǎn)尸在CB上.

如圖②，若點(diǎn)尸在線段CB上,畫出射線上4,并將射線上4繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。與3。交于點(diǎn)E,根據(jù)題

意在圖中畫出圖形，圖中NPBE的度數(shù)為度;

⑵【問題探究】

根據(jù)(1)所畫圖形，探究線段以與PE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)【拓展延伸】

如圖③，若在直角VA3C中，ZA=30°,NABC=60。，點(diǎn)尸在線段CB上，將射線PA繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。

與BD交于點(diǎn)、E,探究線段54,BP,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

7.(2025?甘肅?模擬預(yù)測)【模型建立】

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊。C,2C上，＞AE±DF,求證：DE=CF

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,在矩形ABC￡＞中，AB=3,5c=5,點(diǎn)E在邊A￡＞上，點(diǎn)M,N分別在邊AB,CD上，且

BE

求市的值;

【模型遷移】

AB_2

（3）如圖3,在四邊形A3CD中，ZS4D=90°,AB=BC,AB=BC,點(diǎn)E,尸分別在邊AB,

AD-3

圖3

8.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）在四邊形A3CD中,產(chǎn)為對角線BD延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作?EII8交

射線力。于點(diǎn)E,連接CE.過點(diǎn)尸作「F||CE交射線DC于點(diǎn)F.

（1）如圖1,若四邊形為正方形，求證：ABCF^ACDE

（2）若四邊形ABCD為菱形，且加C=a（CP<a<90。），連接8P并延長，交直線CE于點(diǎn)G.

①如圖2,當(dāng)G為CE中點(diǎn)，求若的值；

②如圖3,若尸點(diǎn)為射線8D上一點(diǎn)，當(dāng)ACFG為等腰三角形時，請直接寫出NE尸產(chǎn)的度數(shù)（用含。的代數(shù)

式表示）.

題型八：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?四川自貢.中考真題）為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學(xué)習(xí)小組運(yùn)用了多種測

量方法.

圖1（利用影子）圖2（利用鏡子）圖3（利用標(biāo)桿）

（1）如圖1,小張?jiān)跍y量時發(fā)現(xiàn)，自己在操場上的影長班恰好等于自己的身高OE.此時，小組同學(xué)測得旗

桿AB的影長2C為11.3m,據(jù)此可得旗桿高度為m；

（2）如圖2,小李站在操場上E點(diǎn)處，前面水平放置鏡面C,并通過鏡面觀測到旗桿頂部A.小組同學(xué)測得小

李的眼睛距地面高度DE=1.5m,小李到鏡面距離EC=2m,鏡面到旗桿的距離CB=16m.求旗桿高度；

（3）小王所在小組采用圖3的方法測量，結(jié)果誤差較大.在更新測量工具，優(yōu)化測量方法后，測量精度明顯

提高，研學(xué)旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度.方法如下：

圖4（找水平線）圖5（定標(biāo)高線）圖6（測雕塑高）

如圖4,在透明的塑料軟管內(nèi)注入適量的水，利用連通器原理，保持管內(nèi)水面M,N兩點(diǎn)始終處于同一水平

線上.

如圖5,在支架上端尸處，用細(xì)線系小重物。，標(biāo)高線P。始終垂直于水平地面.

如圖6,在江姐故里廣場上E點(diǎn)處，同學(xué)們用注水管確定與雕塑底部8處于同一水平線的￡>,G兩點(diǎn)，并標(biāo)

記觀測視線ZM與標(biāo)高線交點(diǎn)C,測得標(biāo)高CG=1.8m,ZX7=1.5m.將觀測點(diǎn)。后移24nl到露處，采用同

樣方法，測得C'G'=1.2m,DG=2m.求雕塑高度（結(jié)果精確到1m）.

【變式8-1］（2024.江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，小杰從燈桿的底部點(diǎn)B處沿水平直線前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)C處,

他在燈光下的影長CD=3米,然后他轉(zhuǎn)身按原路返回到點(diǎn)B處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是（）

A

DCB

A.4.5米B.4米C.3.5米D.2.5米

【變式8-21］（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性

實(shí)現(xiàn)圖像投影的方法.如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）A3經(jīng)小孔。在屏幕（豎直放置）上成像A9.設(shè)

AB=36cm,AB'=24cm.小孔。到A8的距離為30cm,則小孔。到AE的距離為cm.

|<—30cm―>|?-?cm-*|

【變式8-3］（2024?湖北?中考真題）小明為了測量樹A3的高度，經(jīng)過實(shí)地測量，得到兩個解決方案：

方案一：如圖（1）,測得C地與樹相距10米，眼睛。處觀測樹A3的頂端A的仰角為32。：

方案二：如圖（2）,測得C地與樹A3相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達(dá)點(diǎn)E,眼睛。在鏡子C

中恰好看到樹AB的頂端A.

已知小明身高1.6米，試選擇一個方案求出樹A3的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，tan32Oy0.64）

【變式8-4］（2023?江蘇南京?中考真題）如圖，玻璃桌面與地面平行、桌面上有一盞臺燈和一支鉛筆，點(diǎn)光

源。與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面.在燈光照射下，A3在地面上形成的影子為CD（不計(jì)折射），

AB//CD.

（1）在桌面上沿著方向平移鉛筆，試說明C。的長度不變.

（2）桌面上一點(diǎn)尸恰在點(diǎn)。的正下方，且。尸=36cm,上4=18cm,AB=18cm,桌面的高度為60cm.在點(diǎn)

。與AB所確定的平面內(nèi)，將AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得C。的長度最大.

①畫出此時A3所在位置的示意圖；

②C。的長度的最大值為一cm.

【變式8-51］（2023?四川攀枝花?中考真題）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭

縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品.某

數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的原理，來測量東塔的高度.東塔的

高度為AB,選取與塔底8在同一水平地面上的E、G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和

GH,兩標(biāo)桿間隔EG為46m,并且東塔AB、標(biāo)桿和GH在同一豎直平面內(nèi).從標(biāo)桿E77后退2m到。處

（即ED=2m）,從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D在一直線上；從標(biāo)桿G7/后退4m到C處（即CG=4m）,從

C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也在一直線上，且8、E、D、G、C在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)

據(jù)，幫助興趣小組求出東塔的高度.

A,

、、、、、

BEDGC

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖，已知箱子沿著斜面向上運(yùn)動，箱高AB=1.2m.當(dāng)3C=2.5m時，點(diǎn)8

到地面的距離3E=L5m,則點(diǎn)A到地面的距離4）為（）

C.2.46mD.2.22m

2.（2024.浙江溫州?三模）圖1是《九章算術(shù)》中記載的“測井深''示意圖，譯文指出：“如圖2,今有井直徑

CD為5尺,不知其深A(yù)D.立5尺長的木CE于井上，從木的末梢E點(diǎn)觀察井水水岸A處，測得“入徑CF”

為4寸，問井深是多少？（其中1尺=10寸）”根據(jù)譯文信息，則井深入。為（）

立木

入徑

井深

井水水面

圖2

A.500寸B.525寸C.550寸D.575寸

3.（2025?廣東深圳?一模）2022年2月20日北京冬奧會花樣滑冰表演賽，中國男單一哥金博洋登場，他使

用的地面光影直到結(jié)束后都讓人意猶未盡.如圖，設(shè)聚光燈。的底部為4金博洋的身高（3D）為1.7m,

金博洋與點(diǎn)A的距離43為10.2m,他在聚光燈下的影子8C為3.4m,則聚光燈距離地面的高度。4為

m.

4.（2024?吉林松原?三模）如圖①是液體沙漏的平面示意圖（數(shù)據(jù)如圖），經(jīng)過一段時間后的液體如圖②所

5.（2024?廣東?模擬預(yù)測）學(xué)習(xí)相似三角形后，小紅利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度.如圖，

已知小紅的身高是1.5米，他在路燈下的影長為2米，小紅距路燈燈桿的底部4米，則路燈燈泡距地面的高

度是米.

6.（2024.山西晉中?模擬預(yù)測）普救寺位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州古城內(nèi)，是我國歷史名劇《西廂記》故

事的發(fā)生地，寺廟規(guī)模宏偉，內(nèi)部有很多著名建筑.其中，最著名的便是鶯鶯塔（如圖1）.數(shù)學(xué)興趣小組根

據(jù)光的反射定律（如圖2）,把一面鏡子放在離古塔（CD）72m的點(diǎn)尸處，然后觀測者沿著直線CP后退到

點(diǎn)B處.這時恰好在鏡子里看到塔頂端。，量得3尸=3m,已知觀測者目高AB=1.5m,那么該古塔（CO）

7.（2024?廣東東莞?一模）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架4D與CB交于點(diǎn)0,

測得AO=3O=50cm,CO=DO=30cm.

（2）將桌子放平后,兩條桌腿叉開角度24如=106°,求4B距離地面的高.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)值

sin37°~0.60,cos37°?0.80)

8.（2024?江蘇蘇州?二模）【數(shù)學(xué)眼光】