專題02整式及其運算

一、選擇題

1.（2024?貴州）計算2°+3。的結果正確的是（

A.5aB.6aC.5a2D.6a2

2.（2024?常州一模）計算（-a）3?/的結果是（)

A.-a6B.a6C.-a5D.a5

3.（2024?武威三模）下列表述正確的是（）

A.單項式ab的系數是0,次數是2

B.-2xY的系數是-2,次數是3

C.尤-1是一次二項式

D.-atr+3a-1的項是-a伊,3a,1

4.（2024?平山縣一模）化簡（-1x2y）2的結果是()

442

A.—^-xyB.-^-xyC.

5.（2024?齊齊哈爾）下列計算正確的是（）

A.4cr+2a2—6a4B.5a*2.a—lQa

C.a6-ra2=tz3D.（-a2）2=q4

6.（2024?泰安）下列運算正確的是（）

A.-3xy2=-/yB.4x8y2-i-2x2y2=2x4

3246

C.（x-y）（-x-y）=/-y2D.（/y）=X_y

7.（2024?曲阜市一模）下列因式分解正確的一項責（）

A.N+y2=（x+y）2B.x2-4=（x+2）（x-2）

C.x2-2x-1=（x-1）2D.2xy+4x=2（xy+2x）

8.（2024?包河區一模）某公司今年2月份的利潤為x萬元，3月份比2月份減少7%,4月份比3月

份增加了8%,則該公司4月份的利潤為（）（單位：萬元）

A.（x-7%）（x+8%）B.（尤-7%+8%）

C.（1-7%+8%）尤D.（1-7%）（1+8%）x

9.（2025?中原區一模）從邊長為。的大正方形紙板正中央挖去一個邊長為b的小正方形后，將其裁

成四個大小和形狀完全相同的四邊形（如圖1）,然后拼成一個平行四邊形（如圖2）,那么通過計

算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的等式為（）

ab

圖2

A.a2-b2—（a-6）2B.（a+Z?）~—cr+lab+b1

C.（A-b）2=a2-2ab+b2D.cr-b2=（a+6）（a-b）

10.（2023?重慶）在多項式x-y-z-加-〃（其中x>y>z>/">〃）中，對相鄰的兩個字母間任意添

加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算,稱此為“絕對操作”.例

如：x-y-\z-m\-n=x-y-z+m-n,\x-y\-z-\m-n\=x-y-z-m+n,….下歹！J說法：

①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；

②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；

③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果.

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

11.（2024?朔州模擬）單項式-KX2y的系數是.

12.（2024?綿陽）己知單項式301b與-2a2〃廠1是同類項，則n=.

13.（2024?甘肅）因式分解：2/-8=.

14.（2024?綿陽）因式分解：2?+8》+8=.

15.（2024?杏花嶺區校級模擬）若a+b=3,ab=2,則/+房=.

16.（2024?臺州一模）一組有序排列的數具有如下規律：任意相鄰的三個數，中間的數等于前后兩數

的積.若這組數第1個數是a,第5個數是」了，則第2028個數是（用含

a

a的式子表示）.

三、解答題

17.（2024?南充）先化簡，再求值：（x+2）2-（_?+3無）+無，其中x=-2.

18.（2024?路南區二模）老師設計了一個數學實驗，給甲、乙、丙三名同學各一張寫有已化為最簡的

代數式的卡片，規則是兩位同學的代數式相減等于第三位同學的代數式，則實驗成功.甲、乙、

丙的卡片如下，丙的卡片有一部分看不清楚了

(1)計算出甲減乙的結果，并判斷甲減乙能否使實驗成功；

(2)嘉琪發現丙減甲可以使實驗成功，請求出丙的代數式.

19.(2024?西寧)先化簡，再求值：(3a-1)2-2a(4a-1),其中a滿足/-4a+3=0.

20.(2024?濟寧)先化簡，再求值：x(j-4x)+(2x+y)(2x-y),其中x=/,y=2.

21.(2024?正定縣校級模擬)植物園工作人員選用了一塊長方形和一塊正方形花壇進行新品種花卉的

培育實驗.其中長方形花壇每排種植(2a-b)株，種植了(2a+6)排，正方形花壇每排種植a

株，種植了a排(a>&>0).

(1)長方形花壇比正方形花壇多種植多少株？

(2)當a=4,b=2時，這兩塊花壇一共種植了多少株？

22.(2024?溫州三模)【觀察思考】觀察個位上的數字是5的自然數的平方(任意一個個位數字為5

的自然數靛可用代數式10”+5來表示，其中“為正整數)，會發現一些有趣的規律.請你仔細觀

察，探索其規律，并歸納猜想出一般結論.

【規律發現】

第1個等式：15?=(1X2)X100+25；

第2個等式：25?=(2X3)X100+25；

第3個等式：35?=(3X4)X100+25；

【規律應用】

(1)寫出第4個等式：；寫出你猜想的第n個等式：

(用含”的等式表示)；

(2)根據以上的規律直接寫出結果：2024X2025X100+25=2；

(3)若前2與io。”的差為4925,求w的值.

23.(2024?鹽城)發現問題

小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上

可以看成點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有〃個籽，

每列有左個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d(“左均為正整數，w>%23,d>0),

如圖1所示.

小明設計了如下三種鏟籽方案.

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為，共鏟行，則鏟除

全部籽的路徑總長為;

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為;

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價.

:??:?第I??

圖1

二三ihhhhh

圖2圖3圖4

答案與解析

一、選擇題

1.（2024?貴州）計算2"3a的結果正確的是（）

A.5aB.6aC.5a2D.6a1

【點撥】原式合并同類項即可得到結果.

【解析】解：原式=（2+3）a=5a,

故選：A.

【點睛】此題考查了合并同類項，熟練掌握合并同類項法則是解本題的關鍵.

2.（2024?常州一模）計算（-a）322的結果是（）

A.-a，B.a，C.-a，D./

【點撥】利用同底數基的乘法的法則對式子進行運算即可.

【解析】解：（-析3加2

=-a3,a2

=-a5,

故選：C.

【點睛】本題主要考查同底數基的乘法，解答的關鍵是熟記同底數塞的乘法的法則.

3.（2024?武威三模）下列表述正確的是（）

A.單項式油的系數是0,次數是2B.-2/y3的系數是-2,次數是3

C.尤-1是一次二項式D.--1的項是-3a^^

【點撥】根據單項式和單項式的有關內容逐個判斷即可.

【解析】解：4、單項式"的系數是1,次數是2,錯誤，故本選項不符合題意；

B、-2/y3的系數是-2,次數是5,錯誤，故本選項不符合題意；

C、x-1是一次二項式，正確，故本選項符合題意；

D、-"2+3。-1的項是-3a,-1,錯誤，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了多項式和單項式，能熟記單項式的系數和次數、多項式的系數、次數、項的

定義是解此題的關鍵.

4.（2024?平山縣一模）化簡（[x2y）2的結果是（）

A]4p]420]42n]4

A.-xy爪~xy-xy~^xy

【點撥】利用積的乘方法則計算即可.

【解析】解：原式=1x4y2,

故選：C.

【點睛】本題考查積的乘方，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵.

5.（2024?齊齊哈爾）下列計算正確的是（）

A.4a2+2tz2=6a4B.5a,2tz=10aC.a64-a2=a3D.（-a2）2=a4

【點撥】根據合并同類項、單項式乘單項式、同底數幕相除及塞的乘方與積的乘方進行計算，逐

一判斷即可.

【解析】解：4.4/+2/=6/,故本選項不符合題意；

B.5a,2a=10a2,故本選項不符合題意；

C.a6^a2=a4,故本選項不符合題意；

￡）.（-/）2=q4,故本選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查合并同類項、單項式乘單項式、同底數幕相除及累的乘方與積的乘方，熟

練掌握以上知識點是解題的關鍵.

6.（2024?泰安）下列運算正確的是（）

A.-3xy2--x2jB.4X8J24-T^y2—2x4C.（x-y）（-x-y）—x1-y2D.（%2）?3）2—

A6

【點撥】利用合并同類項的法則，整式的除法的法則，平方差公式，積的乘方的法則對各項進行

運算即可.

【解析】解：A、2?y與-3肛2不屬于同類項，不能合并，故A不符合題意；

B、4-2X2j2=2x6,故B不符合題意；

C、（x-y）（-x-y）=y2-x2,故C不符合題意；

D、（？/）2=x4y6,故。符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查整式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

7.（2024?曲阜市一模）下列因式分解正確的一項是（）

A./+/=（尤+y）2B.x2-4=（x+2）（尤-2）

C.x2-2尤-1=（元-1）2D.2孫+4x=2（孫+2尤）

【點撥】根據因式分解的定義進行判斷即可.

【解析】解：A、f+y2#（x+y）2不符合因式分解的定義，故本選項不符合題意；

3、/-4=（尤+2）（x-2）符合因式分解的定義，且因式分解正確，故本選項符合題意;

C、f-2x-1#（尤-1）2,不符合因式分解的定義，故本選項不符合題意;

D、2xy+4x=2無（y+2）,原因式分解錯誤，故本選項不符合題意;

故選：B.

【點睛】本題主要考查了因式分解的定義及因式分解，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的定義,

提公因式法、平方差公式和完全平方公式.

8.（2024?包河區一模）某公司今年2月份的利潤為x萬元，3月份比2月份減少7%,4月份比3月

份增加了8%,則該公司4月份的利潤為（）（單位：萬元）

A.(x-7%)(x+8%)B.(x-7%+8%)C.(l-7%+8%)尤D.(1-7%)(1+8%)尤

【點撥】利用減少率的意義表示出3月份的利潤，然后利用增長率的意義表示出4月份的利潤.

【解析】解：由題意得：3月份的利潤為（1-7%）x萬元,

4月份的利潤為（1+8%）（1-7%）x萬元,

故選：D.

【點睛】本題考查了列代數式，正確理解增長率與下降率的意義是解決問題的關鍵.

9.（2025?中原區一模）從邊長為。的大正方形紙板正中央挖去一個邊長為。的小正方形后，將其裁

成四個大小和形狀完全相同的四邊形（如圖1）,然后拼成一個平行四邊形（如圖2）,那么通過計

算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的等式為（）

圖2

B.(。+6)2—a2+2ab+b2

C.(a-6)2=/_2ab+b1D.cr-b2=(a+6)(a-b)

【點撥】運用不同方法表示陰影部分面積即可得到結論.

【解析】解：圖1中陰影部分的面積為：廿，圖2中陰影部分的面積為：（a+6）（a-b）,

???兩圖中陰影部分的面積相等,

2

??CLr-b=(a+b)(.a-b),

.,.可以驗證成立的公式為次-/=（〃+。）（a-以,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關鍵.

10.（2023?重慶）在多項式x-y-z-"z-"（其中x>y>z>m>"）中，對相鄰的兩個字母間任意添

加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算,稱此為“絕對操作”.例

如：x-y-\z-m\-n=x-y-z+m-n,\x-y\-z-\m-n\=x-y-z-m+n,….下歹！J說法：

①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；

②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0;

③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果.

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【點撥】根據給定的定義，舉出符合條件的說法①和②.說法③需要對絕對操作分析添加一個和

兩個絕對值的情況，并將結果進行比較排除相等的結果，匯總得出答案.

【解析】解：\x-y\~z-m-n=x-y-z-m-n,故說法①正確.

要使其運算結果與原多項式之和為0,則運算結果應為-x+y+z+?i+〃，

由x>y>z>:">w可知，無論怎樣添加絕對值符號，結果都不可能出現-x+y+z+m+w,故說法②正

確.

當添加一個絕對值時，共有4種情況，分別是|x-y\-z-m-n=x-y-z-m-n-,x-\y-z\-m-n

=x-y+z-m-n；x-y-\z-m\-n=x-y-z+m-n；x-y-z-\m-n\=x-y-z-m+n.當添力口兩

個絕對值時，共有3種情況，分別是-y\-\z-m\-n=x-y-z+m-n；\x-y\-z-\m-n\=x-y-

z-m+n-,x-|y-z|-|m-n\—x-y+z-m+n.共有7種情況；

有兩對運算結果相同，故共有5種不同運算結果，故說法③不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查新定義題型，根據多給的定義，舉出符合條件的代數式進行情況討論；

需要注意去絕對值時的符號，和所有結果可能的比較.主要考查絕對值計算和分類討論思想的應

用.

二.填空題

11.（2024?朔州模擬）單項式-KT3的系數是-（.

【點撥】根據單項式的相關概念答題即可.

【解析】解：-n/y的系數是-m

故答案為：-Tt.

【點睛】本題考查了單項式的系數，熟練掌握單項式的定義是關鍵.

12.（2024?綿陽）已知單項式3a2%與-2/〃廠1是同類項，貝I］乃=2.

【點撥】根據同類項的定義列出方程，再求解即可.

【解析】解：由同類項定義可知1=1,

解得n=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查了同類項的定義，掌握同類項的定義：所含字母相同，相同字母的指數也相同

的項叫同類項.

13.(2024?甘肅)因式分解：2/-8=2(x+2)(x-2).

【點撥】觀察原式，找到公因式2,提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案.

【解析】解:2/-8=2(x+2)(x-2).

【點睛】本題考查提公因式法和公式法分解因式，是基礎題.

14.(2024?綿陽)因式分解：2/+8無+8=2(x+2)2.

【點撥】先提取公因式，再利用完全平方公式即可.

【解析】解：2/+8x+8

=2(/+41+4)

=2(x+2)2.

故答案為：2(x+2)2.

【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

15.(2024?杏花嶺區校級模擬)若a+%=3,ab=2,則^+廿二5.

【點撥】根據/+濟=(.+6)2-2ab,代入計算即可.

【解析】解：Va+b=3,ab=2,

.'.c^+b2=(a+6)2-2ab=9-4=5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查對完全平方公式的變形應用能力，要熟記有關完全平方的幾個變形公式.

16.(2024?臺州一模)一組有序排列的數具有如下規律：任意相鄰的三個數，中間的數等于前后兩數

的積.若這組數第1個數是。，第5個數是上，則第2028個數是1(用含。的式子表示).

a4

【點撥】設第2個數為無，第3個數為》第4個數為z,根據任意相鄰的三個數，中間的數等于

前后兩數的積，求出x,y,z,進而得到這組數每6個一組進行循環，進一步求出第2028個數即

可.

【解析】解:設第2個數為無，第3個數為y,第4個數為z,由題意，得：x=ay,y=xz=ayz,z=y-^-,

a

這組數據為a,a2，a,,a,a2，a…，即：這組數以

a焉2a

2

a,a,a,士，工6個為一組，進行循環，

aa2a

720284-6=338,

...第2028個數是工；

a

故答案為：A.

a

【點睛】本題考查數字類規律探究，解題的關鍵是找到規律.

三.解答題

17.(2024?南充)先化簡，再求值：(龍+2)2-(f+3龍)+為其中尤=-2.

【點撥】首先化簡(尤+2)2-(X3+3X)4-x；然后把x=-2代入化簡后的算式計算即可.

【解析】解：當x=-2時，

(元+2)2-(%3+3X)4-x

=(/+4*+4)-(7+3)

=f+4x+4-x2-3

=4尤+1

=4X(-2)+1

=-8+1

=-7.

【點睛】此題主要考查了整式的混合運算-化簡求值問題，解答此題的關鍵是要明確：先按運算

順序把整式化簡，再把對應字母的值代入求整式的值.

18.(2024?路南區二模)老師設計了一個數學實驗，給甲、乙、丙三名同學各一張寫有已化為最簡的

代數式的卡片，規則是兩位同學的代數式相減等于第三位同學的代數式，則實驗成功.甲、乙、

丙的卡片如下，丙的卡片有一部分看不清楚了

甲乙丙

1----------r'---------r--1

；2X2-3X-1?[X2-2X+3[JIM+2;

1---------1L--------11----------

(1)計算出甲減乙的結果，并判斷甲減乙能否使實驗成功；

(2)嘉琪發現丙減甲可以使實驗成功，請求出丙的代數式.

【點撥】(1)根據題意列出關系式，去括號合并后即可作出判斷；

(2)根據題意列出關系式，去括號合并即可確定出丙.

【解析】解：(1)根據題意得：(lx2-3x-1)-(/-2x+3)=2/-3x-1-f+2尤-3=/-x-4,

則甲減乙不能使實驗成功；

(2)根據題意得：丙表本的代數式為2x?-3x-1+/-2X+3=3%2-5x+2.

【點睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

19.(2024?西寧)先化簡，再求值：(3〃-1)2-2〃(4a-1),其中〃滿足〃2一4q+3=0.

【點撥】根據整式的乘法運算和完全平方公式，展開原代數式，得到由所給條件得到

/-4〃=-3,整體代入，即可得到結果.

【解析】解：(3。-解2-2a(4a-1)

=(9〃2-6〃+1)-8a2+2a

=(9〃2-8〃2)+(-6〃+2〃)+1

=a2-44+1

Va2-4〃+3=0,

a2-4a=-3,

二?原式=/-4dt+l=-3+1=-2.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，化簡求值，熟練掌握整式的相關運算法則是解題的關鍵.

20.(2024?濟寧)先化簡，再求值：x(y-4,r)+(2尤+y)(2x-y),其中x=《，>=2.

【點撥】原式利用單項式乘多項式法則，平方差公式計算，去括號合并同類項得到最簡結果，把x

與y的值代入計算即可求出值.

【解析】解：原式=Cxy-4X2)+C4%2-/)

=xy-M+d-y2

2

=^y-y，

當》=」，y=2時，原式=1X2-22=1-4=-3.

2.2

【點睛】此題考查了整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握運算法則及公式是解本題的關鍵.

21.(2024?正定縣校級模擬)植物園工作人員選用了一塊長方形和一塊正方形花壇進行新品種花卉的

培育實驗.其中長方形花壇每排種植(2a-b)株，種植了(2a+b)排，正方形花壇每排種植a

株，種植了。排(cz>Z?>0).

(1)長方形花壇比正方形花壇多種植多少株？

(2)當a=4,6=2時，這兩塊花壇一共種植了多少株？

【點撥】(1)先計算出長方形花壇種植的株數和正方形花壇種植的株數，再相減可得答案；

(2)把0=4,6=2代入3a2-房可知答案.

【解析】解：(1)根據題意可知：(2a+b)(2a-b)-a2=4a2-b2-a2=3a2-b2.

答：長方形花壇比正方形花壇多種植(3a2-株；

(2)根據題意可知：(2a+b)(2a-6)+a1=4-a1-b2+a2=5a2-b2,

當a=4,b=2時，

原式=5X42-22

=80-4

=76(株).

答：這兩塊花壇一共種植了76株.

【點睛】本題考查了代數式求值，理解題意，列出代數式是關鍵.

22.(2024?溫州三模)【觀察思考】觀察個位上的數字是5的自然數的平方(任意一個個位數字為5

的自然數靛可用代數式10”+5來表示，其中n為正整數)，會發現一些有趣的規律.請你仔細觀

察，探索其規律，并歸納猜想出一般結論.

【規律發現】

第1個等式：152=(1X2)X100+25；

第2個等式：25?=(2X3)X100+25；

第3個等式：352=(3X4)X100+25；

【規律應用】

(1)寫出第4個等式：45?=(4X5)X100+25；寫出你猜想的第n個等式：(10〃+5)2

=100〃(w+1)+25(用含"的等式表不)；

(2)根據以上的規律直接寫出結果：2024X2025X100+25=202452；

(3)若記2與100〃的差為4925,求w的值.

【點撥】(1)根據所給等式，發現規律即可解決問題.

(2)根據(1)中發現的規律即可解決問題.

(3)根據題意，建立關于w的方程即可解決問題.

【解析】解：(1)由題知，

第4個等式為：45?=(4X5)X100+25；

依次類推，

第〃個等式為:(lOn+5)2=100〃(n+1)+25；

故答案為：452=(4X5)X100+25,(10w+5)2=100n(?+1)+25.

(2)當〃=2024時,

(10X2024+5)2=100X2024X2025+25,

即202452=2024X2025X100+25.

故答案為：20245.

(3)由而2與io。,的差為4925得，

100n(n+1)+25-100〃=4925,

解得"=7(舍負)，

故〃的值為7.

【點睛】本題考查數字變化的規律，能根據所給等式發現規律并用含n的等式表示出第n個式子

是解題的關鍵.

23.(2024?鹽城)發現問題

小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上

可以看成點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每