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文檔簡介
2025年浙江省杭州市高考數學一模試卷
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.每小題給出的四個選項中,只有一個選項是正確的.
請把正確的選項填涂在答題卡的相應位置。
2
1.(5分)已知集合4={1,2,3},B=(x|y=71-x)-則()
A.{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}
v—in
2.(5分)函數f(x)=是()
-x-1,x<0
A.奇函數
B.偶函數
C.既非奇函數也非偶函數
D.既是奇函數也是偶函數
3.(5分)已知直線y=2x是雙曲線C:/_4=i(b>0)的一條漸近線,則C的離心率等于()
4b2
A.近.B.返C.娓D.立■或芯
222
4.(5分)將函數y=sinx的圖像向左平移叩(0<(p<2n)個單位,得到函數y=g(x)的圖像,則“y=g
(X)是偶函數”是“。吟”的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
5.(5分)已知向量;=(i,-1),^=(2,若(ta+b)1(-2a+tb),則片()
A.1或B.-2或■1C.-1或2D.-2或1
22
6.(5分)設/(x)=ec+lnx,滿足/(a)/(b)/(c)<0(0<a<&<c).若函數/(無)存在零點尤o,則
()
A.B.xo>aC.xo〈cD.xo>c
7.(5分)已知——-------^—=4,則)=()
sinlOcoslO
A.1B.&C.V3D.2
8.(5分)對VxC[l,+°°),不等式((Inax)2-1)-Z?)NO恒成立,貝!!()
A.若(0,A),則6WeB.若(0,—)>貝U6>e
ee
C.若aCH,e),則步=e,D.若a£[A,e),則
ee
二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共計18分.每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.
全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分。
9.(6分)如圖,在正方體中,。為底面的中心,P為所在棱的中點,M,N為正方體的頂點.則滿足MN
,。尸的是()
M
oS
c."D.fi
(多選)10.(6分)已知函數/(x)=x3-x1-ax(%20),則(:)
A.若/(X)min=f(1),則Cl=1
B.若f(X)min=f(1),則4二——-
3
C.若〃=1,則/(%)在(0,1)上單調遞減
D.若二二,則/(工)在(1,3)上單調遞增
3
(多選)11.(6分)己知函數/(%)的定義域為R,若/"(x)+yz)=x+f(y)f(z),則()
A.f(1)=0B.f(/(x))=:X
C.f(xy)=f(x)f(y)D./(x+y)=/(x)于(y)
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分。
12.(5分)曲線y=歷了在點M(e,1)處切線的方程為_______
13.(5分)已知復數zi,Z2的實部和虛部都不為0,滿足①|—|=2;②|ZIZ2|=2,則zi
z2
=,Z2=.(寫出滿足條件的一組Z1和Z2)
14.(5分)己知雙曲線Ci,C2都經過點(1,1),離心率分別記為ei,e2,設雙曲線Ci,C2的漸近線分
e1
別為y=±h尤和y=±-.若kik2=l,則一-=.
e2
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
-=,
15.已知在△ABC中,sin2Asin2B=sin2C-V^sinBsinC,2cosBsinC
(1)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(2)若點。在A8邊上,MBD=2AD.若CD=2,求△ACD的面積.
16.在直角坐標系尤Oy中,拋物線C:y2^2px(p>0)的焦點為R點M在拋物線C上,若△ORW的外
接圓與拋物線C的準線相切,且該圓的面積為
64
(1)求C的方程;
(2)若點(-1,1)關于直線》=日對稱的點在C上,求上的值.
17.一設隨機變量X所有可能的取值為xi,xi,…,Xn,P(X=xD=pi>0(z=l,2,n),且pi+p2…+p〃
=1.定義事件X=??的信息量為-加為稱X的平均信息量"(X)=-(p\lnp\+p21np2++pnlnpn)
為信息端.
(1)若〃=3,pz+i=2pA(女=1,2),求此時的信息牖;
(2)最大牖原理:對一個隨機事件的概率分布進行預測時,要使得信息燧最大.信息端最大就是事物
可能的狀態數最多,復雜程度最大,概率分布最均勻,這才是風險最小(最合理)的決定.證明:"(X)
Winn,并解釋等號成立時的實際意義.
nn
(參考不等式:若/⑴=.,則£p4(xx)《f(£p1X1)
i=li=l
18.已知函數/(x)=axlnx-x3-1.
(1)若。=1,求/(x)的單調區間;
(2)若0W〃W3,求證:f(x)<0;
(3)若h(x)=''x)+x+1,三x1卉使得力(xi)=/z(X2)=b,求證:be+\<\x\-X2\<b+1.
a12
a;
19.已知正項有窮數列A:a\,〃2,…,QN(N23),設T={x|x記T的元素個數
ai
為尸(T).
(1)若數列A:1,2,4,16,求集合T,并寫出尸(T)的值;
(2)若A是遞增數列或遞減數列,求證:“尸(T)=N-1”的充要條件是“A為等比數列”;
(3)若N=2〃+l,數列A由2,4,8,…,2”,4〃這〃+1個數組成,且這〃+1個數在數列A中每個至少
出現一次,求尸(T)的取值個數.
參考答案與試題解析
題號123456789
答案ABABDBCDC
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.每小題給出的四個選項中,只有一個選項是正確的.
請把正確的選項填涂在答題卡的相應位置。
2
1.【解答】解:因為A={1,2,3},B=(x|y=71-x-(=?-
所以AC8={1}.
故選:A.
Y_in
2.【解答】解:根據題意,函數f(x)=',,
-x-1,x\0
當時,f(x)=x-1,貝!J/(-x)=-x-l=f(x),
當x<0時,f(x)=-x-1,則/(-x)=%-l=f(%),
綜上可得,/(-x)=f(x),
即函數f(x)為偶函數.
故選:B.
3.【解答】解:雙曲線c:21_4=1(1>>0)的漸近線方程為了=±2乂,
4b2b
直線y=2尤是雙曲線C:£_£=i(b〉0)的一條漸近線,
4b2
因止匕2上,故人=1,
故離心率為退正=
22
故選:A.
4.【解答]解:將函數y=sin;v的圖像向左平移cp(0V(pV如)個單位,得到函數y=g(%)的圖像,
則g(x)=sin(x+(p),
由y=g(%)是偶函數可得。二.~~山兀,k€Z,且0<<P<2TI,
當上=0時,當%=1時,。=^2匕,
甲2+2
所以由y=g(x)是偶函數可得。吟或。故充分性不滿足;
當。吟時,可得g(x)=sin(x,)=cosx為偶函數,故必要性滿足;
所以“y=g(x)是偶函數”是“”的必要不充分條件.
2
故選:B.
5?【解答】解:向量短(1,-1),b=(2,1),
貝”ta+b=(t+2,-t+l>-2a+tb=(-2+21,2+t>
(ta+b)_L(-2a+tb)>
/.(ta+b)'(-2a+tb)=0.即(什2)(-2+2?)+(-z+1)(2+r)=?+/-2=0,
G+2)(t-1)=0,
:.t=-2或r=1.
故選:D.
6.【解答]解:易知/(x)的定義域為(0,+8)且>=",尤均為單調遞增函數,
所以函數/(x)=/+〃比在(0,+°°)上單調遞增,
因為0<a<6<c,
所以/(a)<f(b)<f(c),
滿足/(a)/(6)f(c)<0(0<a<b<c),
所以/(a),/(b),/(c)中有1個是負數一定是/(a),兩個正數或3個負數,
因為了(尤)存在零點,
所以尤0>a.
故選:B.
7.[解答]解:一J-----J-
sinlOcoslO
coslO°-4sinl00coslO°coslO°-2sin200
則X=(.-4)coslO°
sinlusinlO0sinlO0
]Vs
coslO。-2sin(30°-10°).-2X彳coslO。+2X〒sinlO°_%$壯10。
sinlOsinlOsinlO
V3.
故選:c.
8.【解答】解:根據題干((Inax)2-1)(/-/?)20可得Clnax-1)(lnax+1)(/-b)20,
對于A、B選項,如果軟£(0,—可使&二1,那么不等式可化為(Znx-3)Qlnx-1)(^-/?)20,
ee2
當x£[l,e]時,Inx-3<0,Inx-1^0,
要使(Inx-3)(,lnx-1)(/-/?)20恒成立,則需即恒成立,
所以(/)mm=e,
當xcM,4-oo)時,inx-3^0,Inx-l>0,
要使(加工-3)(Inx-1)(/-/?)20恒成立,那么需^-620,即6W/恒成立,
所以8面)皿$四
當(e,e3)時,Inx-3<0,Inx-1>0,
要使Clnx-3)Clnx-1)(炭-Z?)20恒成立,則需"-Z?W0,即恒成立,
所以力2(/)max,
綜上可得,不存在Z?使得不等式Qlnx-3)(Inx-1)(/-/?)20恒成立,選項A、B錯誤.
對于選項C、D,若及€[―,e),
因為x€[l,+8)
所以ax》」,
所以lnax+120,
要使不等式(Inax-1)(Zntzx+l)(/-/?)20恒成立,則需(/-/?)20,
因為函數)=/"辦-1,>="-/?在[1,+8)為增函數,
所以函數>=歷辦-1,>=產-匕有相同的零點,
由/-1=0得置建,由/-Z?=0得,x=lnb,
所以且=lnb,5Pe=alnb,
所以歷濟=/泌%
所以。"=濟,選項。正確.
故選D
、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共計18分.每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.
全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分。
9?【解答】解:對于A,設正方體棱長為2,與。尸所成角為仇
則tan8=丁」一=1,不滿足MNLOP,故A錯誤;
2
對于&如圖,作出空間直角坐標系,
設正方體棱長為2,則M(0,2,2),N(2,2,0),P(0,0,1),O(1,1,0),
/.(2,0,-2),而=(-1,-1,1),
MN-0P=-4,不滿足MNLOP,故B錯誤;
對于C,如圖,作出空間直角坐標系,
設正方體棱長為2,則M(2,2,2),N(0,2,0),O(1,1,0),P(0,0,1),
/.MN=(-2,0,-2),QP=(-h-b1),
???MN?OP=O,滿足MNLOP,故C正確;
對于。,如圖,作出空間直角坐標系,
設正方體棱長為2,則M(0,0,2),N(0,2,0),P(0,0,1),O(1,1,0),
/.MN=(0,2,-2),0P=(-1.-1,1),
???而?而=-4,不滿足MNLOP,故。錯誤.
故選:C.
10.【解答]解:易知/(無)的定義域為[0,+8),
可得了'(無)-3X2-lx-a,
右f(X)min—f(1),
所以X=1是/(X)的極小值點,
此時,(1)=3-2-a—0,
解得a=l,
則,(x)=37-2x-l=(3x+l)(x-1)(尤20),
當0W尤<1時,f'(無)<0,f(x)單調遞減;
當x>l時,f(x)>0,f(x)單調遞增,
所以f(X)min—f(1),
則4=1,故選項A正確,選項8錯誤;
若a—\,
止匕時r(x)=3^-2x-l=C3x+1)(X-1),
當0<無<1時,f'(無)<0,f(x)單調遞減,故選項C正確;
若a=—―)
3
此時f'(x)=3x?-2xW(3x-l)2(x>0>
當1<尤<3時,f'(無)>0,f(x)單調遞增,故選項。正確.
故選:ACD.
11.【解答]解:令x=y=0,z=l,則/"(0))=f(0)/(1),①
令x=y=z=0,則/(7(0))=/(0)f(0),②
由①②可得/(0)f(0)=/(0)f(1),
所以7(0)=0或/(I)—f(0),
令x=l,y=z=O,則/(/(I))=l+f(0)f(0),
若/⑴=/(0),
則/(/(0))=l+f(0)f(0)刊(0)/(0),與②矛盾,
所以/(o)=0,則/(i)(o)=o,故A選項錯誤;
令y=z=O,則/(/(x))=x+f(0)f(0)=x,故3選項正確;
令兀=0,則/(/(O)+yz)=f(yz)=0+/(y)f(z)=/(y)/(z),
用x替換z,得/(孫)=f(x)f(y),故。選項正確;
由A、C選項中結論,令%=y=l,則/(I)=/(1)/(I),
又了⑴W0,
則/(I)=1,
令z=L則/(/(%)+y)=x+f(y)/(1)=x+f(y)=f(/(x))+f(y),
即/(x+y)=f(x)(y),。選項錯誤.
故選:BC.
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分。
12.【解答】解::y=/nx,;./=1,
X
,曲線在點“(e,1)處切線的斜率左=工,
e
曲線y=/zu在點M(e,1)處切線的方程為:
,-1=-(x-e^
e
整理,得x-ey=O.
故答案為:x-ey=O.
13.【解答】解:設ZI=Q+次,z2=c+diCabcd^O,a,b,c,dER),
則21_a+bi_(ac+db)+(be-ad)i
-22
、Z2c+di_c+d
ziz2=(a+bi)(c+Jz)=ac-bd+Cad+bc)i,
z
?1?_/zac+db~7^~/bc-ad7^「V(ac+db)乙+(bc-ad)”
由(z2Vc^+dc^+dc^+d
[z]z2I=V(ac-bd)2+(ad+bc)2=2
即a+b-4(c+d),
[(a2+b2)(c2+d2)=4
c2+d2=l
所以
a2+b2=4
可取a=b=&,c=d=^y->
所以Z[=A/^W^i,z2=^y--^-i-
1乙NZ
22
故答案為:z.?=V2W2i;z9=-^-(答案不唯一,只要滿足°2+廬=4,C+J=1,abcd^O
1222
即可)
14.【解答】解:雙曲線Ci,C2都經過點(1,1),離心率分別記為ei,e2,設雙曲線。,C2的漸近線分
別為y=±依x和y=±Qx.k\ki=\,
當ki=Q=l時,e\—ei,不合題意,舍去;
當匕W42時,不妨設0<總<1<42,
則Cl:(y-kix)(y+Anx)=m,
:雙曲線Ci經過點(1,1),
.9
,,m=l-ki,
22
y_x
C1:
1-k211=1,
1K1—y-l
k:
Vfo>bk2>r則雙曲線C2的焦點在x軸上,
;.ei=e2,即2-=1
e2
ei
綜上所述,_A=1.
e2
故答案為:1.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15?【解答】解:(1)ZVIBC為直角三角形,理由如下:
由sin2A-sin2B=sin2c-V§sinBsinC及正弦定理,
可得a2-b2=c2~V^bc,故近bc=c?+b2-a2,
由余弦定理,可得COSAJ'-Y=?bc委
2bc2bc2
由于Ae(0,it),故A一1,
又2cosB=sinC,A+B=ir-C,
貝“2c°sB=sin(B+A)=sin3^-sinBjccisB,
化簡可得sinB二J§ccisB,故tanB=
由于Be(0,n),故BV~,
進而C=JT-B-A哈,
故三角形ABC為直角三角形;
(2)由(1)知:B-,A->且為直角三角形,
36
設AB=2x,則AC/X,BC=x,皿蔣杷耆,
OO
故在△AC。中,由余弦定理,
可得CD2=AD-+AC1-2A£)?ACcosA,
即4=(號)+(V3x)2-2*,(V3x)
解得2受,
13
的oIfAC-=62=\^366^3
故SacD3DAOsinA—7-x一丁乂/一=飛-,
B
D
CA
16?【解答】解:(1)在直角坐標系xOy中,拋物線C:y1=2px(p>0)的焦點為E點M在拋物線C上,
若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切,且該圓的面積為空.
64
則其半徑為旦,
8
且△OEM外接圓的圓心一定在。尸的垂直平分線上,
其中焦點F(段,0)>準線方程為x=《,
所以圓心的橫坐標為艮,則圓心到準線的距離為且止=3口二,
4244P8
即D」,
P2
所以C的方程為>2X.
(2)設點(-1,1)關于直線>=依對稱的點為(a,b),
則兩點連線的中點坐標聲」)在直線y=kx上,
I2
即四_=k?a
22
化簡可得。=%(4-1)-1①,
由對稱性又可知,(-1,1)和(〃,b)所在直線與垂直,
則曰女=-1②,
a+1
聯立①②可得,*k=-r
a+1
9
解得a=k?『I
k2+l
所以b金蓍L
d+i
又因為(a,b)在拋物線y2=x上,
則廬=〃,
c2
即(k2-2k-l)_k2+2k-l,
22-2
(k+l)k+l
即/+4武-4正+1-2(必-2%)=(F+l)(必+2%-1),
即3后-必-左-1=0,
所以(3武+2%+1)(k-1)=0,
所以k-1=0,
即左=1.
17?【解答】解:(1)當〃=3時,pi+p2+〃3=l,且P2=2〃l,P3=2p2,
124
P2=7,P3=7
10
4v1910
H(X)=-3lnp]+p21np2+P31np3)=-ln-z")=--In_^_=ln7--z-ln2
((7'(
(2)證明:令于Qx)=lnx,則p"npi=pif(pi).
n1n1
=
:?H(X)=-(p1Inp1+p2lnp2+...+pnlnpn)EP-if(---)<f(£P:,---)=f(n)=lnrr
i=lPii=lPi
:.H(X)Wlrm,
當隨機變量中每個變量發生的概率相同的時候,這時事物中每一個結果發生的可能性相同,情況分析是
最復雜的,也是最合理的.
18.【解答】解:(1)當a=l時,f(x)=xlnx-x3-1,xE(0,+°°),
則,(x)=lnx+l-3x2,令m(x)=f(x),
L,
貝1Jm,(x)=^--6x
X
(x)>0,解得o<x〈逅,
令m'
6
(x)<0,解得X〉運
令m'
6
(x)在區間(°,近)上單調遞增,在區間
X3O)上單調遞減,
6
?,fy(x)《f’+l)<0>
:.f(x)的單調遞減區間是(0,+8),無增區間.
(2)證明:Vxe(0,+8),
當(0,1)時,f(x)V0顯然成立,
當比(1,+8)時,f'(x)=a(Znx+1)-3X2,令g(x)=f(x),
g'(x)=-^~-6x<0,
x
:.f(x)在區間(1,+8)上單調遞減,:.f(X)<f(1)=〃-3WO,
:.f(x)在區間(1,+8)上單調遞減,:.f(x)</(l)=-2<0,
綜上所述,當0WaW3時,f(x)<0.
(3)證明:h(%)=xlnx,
:?h'(x)=lnx+\,令。'(x)<0,貝!〈工
e
:.h(X)在區間(口,工)上單調遞減,在區間(工,g)上單調遞增,
ee
h(-);),
ee
b€(」?0)?
e
不妨設xi〈x2,則x£(0,—)?x9€(—>1>
1ee
先證:X2-xi>be+l,設人(小,B(1,0),
ee
易知直線。4方程為y=-x,直線A3方程為行'(x-l),
e-1
則直線。4,A5與直線y=/?交點的橫坐標為工4=-b,X5=(e-1)b+1,
?\x5-X4=be+lf
Vx4=-b=-xilnxi>xi,同理可證:X4<x2f
.'.X1<X4<X2,類似的可以證明X1<X5<X29
.*.X5-X4<X2-XI,BPbe+l<X2-XI;
再證:X2-xi<b+l,
易知/z(x)在x=l處的切線方程為y=x-1,該切線與直線y=b的交點的橫坐標為X3=b+1,
令g(x)=h(x)-(x-1)=xlnx-x+L貝Ug'(x)=lnx,
當xC(0,1)時,g'(x)<0,此時g(x)>g(1)=0,
???當比(0,1)時,y=x-l圖像在/z(x)下方.
.*.X3>X2~XI,
:.X2-Xl<X3<b+l;
綜上,be+l<\xi-X2\<b+l,即得證.
19.【解答】解:(1)因為41=1,02=2,03=4,<74=16,
故21=2,氏=4,8=16,-^-=2,紅=8,幺=4,
ala1a1a2a2a3
所以T={2,4,8,16},P(T)=4;
(2)證明:充分性:
若A是等比數列,設公比為公
不妨考慮數列A是遞增數列,所以“>1.
a-
則當/>,?時,」=qJ?
ai
所以T={q,q2,q3,…,尸與,
故P(T)=N-1,得證;
必要性:若P(T)=N-1.
因為A是遞增數列,
所以氏<!!4..<%
alalal
所以理,21,現CT且互不相等,
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