2025年浙江省杭州市高考數學一模試卷

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.

請把正確的選項填涂在答題卡的相應位置。

2

1.（5分）已知集合4={1,2,3},B=（x|y=71-x）-則（）

A.{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

v—in

2.（5分）函數f（x）=是（）

-x-1,x<0

A.奇函數

B.偶函數

C.既非奇函數也非偶函數

D.既是奇函數也是偶函數

3.（5分）已知直線y=2x是雙曲線C：/_4=i（b>0）的一條漸近線，則C的離心率等于（）

4b2

A.近.B.返C.娓D.立■或芯

222

4.（5分）將函數y=sinx的圖像向左平移叩（0<（p<2n）個單位，得到函數y=g（x）的圖像，則“y=g

（X）是偶函數”是“。吟”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

5.(5分)已知向量;=(i,-1),^=(2,若(ta+b)1(-2a+tb)，則片()

A.1或B.-2或■1C.-1或2D.-2或1

22

6.(5分)設/(x)=ec+lnx,滿足/(a)/(b)/(c)<0(0<a<&<c).若函數/(無)存在零點尤o,則

()

A.B.xo>aC.xo〈cD.xo>c

7.(5分)已知——-------^—=4，則)=()

sinlOcoslO

A.1B.&C.V3D.2

8.(5分)對VxC[l,+°°),不等式((Inax)2-1)-Z?)NO恒成立，貝!!()

A.若(0,A),則6WeB.若(0,—)>貝U6>e

ee

C.若aCH，e)，則步=e，D.若a￡[A,e),則

ee

二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.

全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。

9.(6分)如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為正方體的頂點.則滿足MN

，。尸的是()

M

oS

c."D.fi

(多選)10.(6分)已知函數/(x)=x3-x1-ax(%20),則(:)

A.若/(X)min=f(1),則Cl=1

B.若f(X)min=f(1),則4二——-

3

C.若〃=1,則/(%)在(0,1)上單調遞減

D.若二二，則/(工)在(1，3)上單調遞增

3

(多選)11.(6分)己知函數/(%)的定義域為R,若/"(x)+yz)=x+f(y)f(z),則()

A.f(1)=0B.f(/(x))=:X

C.f(xy)=f(x)f(y)D./(x+y)=/(x)于(y)

三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)曲線y=歷了在點M(e,1)處切線的方程為_______

13.(5分)已知復數zi,Z2的實部和虛部都不為0,滿足①|—|=2；②|ZIZ2|=2,則zi

z2

=,Z2=.(寫出滿足條件的一組Z1和Z2)

14.(5分)己知雙曲線Ci,C2都經過點(1,1),離心率分別記為ei,e2,設雙曲線Ci,C2的漸近線分

e1

別為y=±h尤和y=±-.若kik2=l,則一-=.

e2

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

-=,

15.已知在△ABC中，sin2Asin2B=sin2C-V^sinBsinC,2cosBsinC

(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(2)若點。在A8邊上，MBD=2AD.若CD=2,求△ACD的面積.

16.在直角坐標系尤Oy中，拋物線C：y2^2px(p>0)的焦點為R點M在拋物線C上，若△ORW的外

接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為

64

(1)求C的方程；

(2)若點(-1,1)關于直線》=日對稱的點在C上，求上的值.

17.一設隨機變量X所有可能的取值為xi,xi,…,Xn,P(X=xD=pi>0(z=l,2,n),且pi+p2…+p〃

=1.定義事件X=??的信息量為-加為稱X的平均信息量"(X)=-(p\lnp\+p21np2++pnlnpn)

為信息端.

(1)若〃=3,pz+i=2pA(女=1,2),求此時的信息牖；

(2)最大牖原理：對一個隨機事件的概率分布進行預測時，要使得信息燧最大.信息端最大就是事物

可能的狀態數最多，復雜程度最大，概率分布最均勻，這才是風險最小(最合理)的決定.證明："(X)

Winn,并解釋等號成立時的實際意義.

nn

(參考不等式：若/⑴=.,則￡p4(xx)《f(￡p1X1)

i=li=l

18.已知函數/(x)=axlnx-x3-1.

(1)若。=1,求/(x)的單調區間；

(2)若0W〃W3,求證：f(x)<0；

(3)若h(x)=''x)+x+1,三x1卉使得力(xi)=/z(X2)=b,求證：be+\<\x\-X2\<b+1.

a12

a；

19.已知正項有窮數列A：a\,〃2,…，QN(N23),設T={x|x記T的元素個數

ai

為尸(T).

(1)若數列A：1,2,4,16,求集合T,并寫出尸(T)的值；

(2)若A是遞增數列或遞減數列，求證：“尸(T)=N-1”的充要條件是“A為等比數列”；

(3)若N=2〃+l,數列A由2,4,8,…，2”,4〃這〃+1個數組成，且這〃+1個數在數列A中每個至少

出現一次，求尸(T)的取值個數.

參考答案與試題解析

題號123456789

答案ABABDBCDC

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.

請把正確的選項填涂在答題卡的相應位置。

2

1.【解答】解：因為A={1,2,3},B=(x|y=71-x-(=?-

所以AC8={1}.

故選：A.

Y_in

2.【解答】解：根據題意，函數f(x)=',，

-x-1,x\0

當時，f(x)=x-1,貝!J/(-x)=-x-l=f(x),

當x<0時，f(x)=-x-1,則/(-x)=%-l=f(%),

綜上可得，/(-x)=f(x),

即函數f(x)為偶函數.

故選：B.

3.【解答】解：雙曲線c：21_4=1(1>>0)的漸近線方程為了=±2乂，

4b2b

直線y=2尤是雙曲線C：￡_￡=i(b〉0)的一條漸近線，

4b2

因止匕2上，故人=1,

故離心率為退正=

22

故選：A.

4.【解答］解：將函數y=sin;v的圖像向左平移cp(0V(pV如)個單位，得到函數y=g(%)的圖像,

則g(x)=sin(x+(p),

由y=g(%)是偶函數可得。二.~~山兀,k€Z，且0<<P<2TI,

當上=0時，當％=1時，。=^2匕，

甲2+2

所以由y=g(x)是偶函數可得。吟或。故充分性不滿足；

當。吟時，可得g(x)=sin(x，)=cosx為偶函數，故必要性滿足;

所以“y=g(x)是偶函數”是“”的必要不充分條件.

2

故選：B.

5?【解答】解：向量短(1,-1),b=(2,1)，

貝”ta+b=(t+2,-t+l>-2a+tb=(-2+21,2+t>

(ta+b)_L(-2a+tb)>

/.(ta+b)'(-2a+tb)=0.即(什2)(-2+2?)+(-z+1)(2+r)=?+/-2=0,

G+2)(t-1)=0,

:.t=-2或r=1.

故選：D.

6.【解答］解：易知/(x)的定義域為(0,+8)且>=",尤均為單調遞增函數,

所以函數/(x)=/+〃比在(0,+°°)上單調遞增，

因為0<a<6<c,

所以/(a)<f(b)<f(c),

滿足/(a)/(6)f(c)<0(0<a<b<c),

所以/(a),/(b),/(c)中有1個是負數一定是/(a),兩個正數或3個負數,

因為了(尤)存在零點,

所以尤0>a.

故選：B.

7.［解答］解：一J-----J-

sinlOcoslO

coslO°-4sinl00coslO°coslO°-2sin200

則X=(.-4)coslO°

sinlusinlO0sinlO0

］Vs

coslO。-2sin(30°-10°).-2X彳coslO。+2X〒sinlO°_%$壯10。

sinlOsinlOsinlO

V3.

故選：c.

8.【解答】解：根據題干((Inax)2-1)(/-/?)20可得Clnax-1)(lnax+1)(/-b)20,

對于A、B選項，如果軟￡(0,—可使&二1,那么不等式可化為(Znx-3)Qlnx-1)(^-/?)20,

ee2

當x￡[l,e]時，Inx-3<0,Inx-1^0,

要使(Inx-3)(,lnx-1)(/-/?)20恒成立，則需即恒成立，

所以(/)mm=e,

當xcM，4-oo)時，inx-3^0,Inx-l>0,

要使(加工-3)(Inx-1)(/-/?)20恒成立，那么需^-620,即6W/恒成立，

所以8面)皿$四

當(e,e3)時，Inx-3<0,Inx-1>0,

要使Clnx-3)Clnx-1)(炭-Z?)20恒成立，則需"-Z?W0,即恒成立，

所以力2(/)max,

綜上可得，不存在Z?使得不等式Qlnx-3)(Inx-1)(/-/?)20恒成立，選項A、B錯誤.

對于選項C、D,若及€[―,e)，

因為x€[l,+8)

所以ax》」，

所以lnax+120,

要使不等式(Inax-1)(Zntzx+l)(/-/?)20恒成立，則需(/-/?)20,

因為函數)=/"辦-1,>="-/?在[1,+8)為增函數，

所以函數>=歷辦-1,>=產-匕有相同的零點，

由/-1=0得置建，由/-Z?=0得，x=lnb,

所以且=lnb，5Pe=alnb,

所以歷濟=/泌%

所以。"=濟，選項。正確.

故選D

、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.

全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。

9?【解答】解：對于A,設正方體棱長為2,與。尸所成角為仇

則tan8=丁」一=1,不滿足MNLOP,故A錯誤；

2

對于&如圖，作出空間直角坐標系，

設正方體棱長為2,則M(0,2,2),N(2,2,0),P(0,0,1),O(1,1,0),

/.(2,0,-2),而=(-1,-1,1),

MN-0P=-4,不滿足MNLOP,故B錯誤;

對于C,如圖，作出空間直角坐標系，

設正方體棱長為2,則M(2,2,2),N(0,2,0),O(1,1,0),P(0,0,1),

/.MN=(-2,0,-2),QP=(-h-b1),

???MN?OP=O,滿足MNLOP,故C正確;

對于。，如圖，作出空間直角坐標系，

設正方體棱長為2,則M(0,0,2),N(0,2,0),P(0,0,1),O(1,1,0),

/.MN=(0,2,-2),0P=(-1.-1，1)，

???而?而=-4,不滿足MNLOP,故。錯誤.

故選：C.

10.【解答］解:易知/(無)的定義域為［0,+8),

可得了'(無)-3X2-lx-a,

右f(X)min—f(1),

所以X=1是/(X)的極小值點，

此時，(1)=3-2-a—0,

解得a=l,

則，(x)=37-2x-l=(3x+l)(x-1)(尤20),

當0W尤<1時，f'(無)<0,f(x)單調遞減；

當x>l時，f(x)>0,f(x)單調遞增，

所以f(X)min—f(1),

則4=1,故選項A正確，選項8錯誤；

若a—\,

止匕時r(x)=3^-2x-l=C3x+1)(X-1),

當0<無<1時，f'(無)<0,f(x)單調遞減，故選項C正確；

若a=—―)

3

此時f'(x)=3x?-2xW(3x-l)2(x>0>

當1<尤<3時，f'(無)>0,f(x)單調遞增，故選項。正確.

故選：ACD.

11.【解答］解：令x=y=0,z=l,則/"(0))=f(0)/(1),①

令x=y=z=0,則/(7(0))=/(0)f(0),②

由①②可得/(0)f(0)=/(0)f(1),

所以7(0)=0或/(I)—f(0),

令x=l,y=z=O,則/(/(I))=l+f(0)f(0),

若/⑴=/(0),

則/(/(0))=l+f(0)f(0)刊(0)/(0),與②矛盾，

所以/(o)=0,則/(i)(o)=o,故A選項錯誤；

令y=z=O,則/(/(x))=x+f(0)f(0)=x,故3選項正確；

令兀=0,則/(/(O)+yz)=f(yz)=0+/(y)f(z)=/(y)/(z),

用x替換z,得/(孫)=f(x)f(y),故。選項正確；

由A、C選項中結論，令％=y=l,則/(I)=/(1)/(I)，

又了⑴W0,

則/(I)=1,

令z=L則/(/(%)+y)=x+f(y)/(1)=x+f(y)=f(/(x))+f(y),

即/(x+y)=f(x)(y),。選項錯誤.

故選：BC.

三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分。

12.【解答】解：：y=/nx,；./=1,

X

，曲線在點“(e,1)處切線的斜率左=工，

e

曲線y=/zu在點M(e,1)處切線的方程為：

,-1=-(x-e^

e

整理，得x-ey=O.

故答案為：x-ey=O.

13.【解答】解：設ZI=Q+次，z2=c+diCabcd^O,a,b,c,dER),

則21_a+bi_(ac+db)+(be-ad)i

-22

、Z2c+di_c+d

ziz2=(a+bi)(c+Jz)=ac-bd+Cad+bc)i,

z

?1?_/zac+db~7^~/bc-ad7^「V(ac+db)乙+(bc-ad)”

由(z2Vc^+dc^+dc^+d

[z]z2I=V(ac-bd)2+(ad+bc)2=2

即a+b-4(c+d),

[(a2+b2)(c2+d2)=4

c2+d2=l

所以

a2+b2=4

可取a=b=&，c=d=^y->

所以Z[=A/^W^i，z2=^y--^-i-

1乙NZ

22

故答案為：z.?=V2W2i；z9=-^-(答案不唯一，只要滿足°2+廬=4,C+J=1,abcd^O

1222

即可)

14.【解答】解：雙曲線Ci,C2都經過點（1,1）,離心率分別記為ei,e2,設雙曲線。，C2的漸近線分

別為y=±依x和y=±Qx.k\ki=\,

當ki=Q=l時，e\—ei,不合題意，舍去;

當匕W42時，不妨設0<總<1<42,

則Cl：(y-kix)(y+Anx)=m,

:雙曲線Ci經過點(1,1),

.9

,,m=l-ki，

22

y_x

C1：

1-k211=1,

1K1—y-l

k：

Vfo>bk2>r則雙曲線C2的焦點在x軸上,

；.ei=e2,即2-=1

e2

ei

綜上所述，_A=1.

e2

故答案為：1.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15?【解答】解：(1)ZVIBC為直角三角形，理由如下：

由sin2A-sin2B=sin2c-V§sinBsinC及正弦定理，

可得a2-b2=c2~V^bc，故近bc=c?+b2-a2,

由余弦定理，可得COSAJ'-Y=?bc委

2bc2bc2

由于Ae(0,it),故A一1，

又2cosB=sinC,A+B=ir-C,

貝“2c°sB=sin(B+A)=sin3^-sinBjccisB，

化簡可得sinB二J§ccisB，故tanB=

由于Be(0,n),故BV~,

進而C=JT-B-A哈，

故三角形ABC為直角三角形;

(2)由(1)知：B-，A-＞且為直角三角形,

36

設AB=2x，則AC/X,BC=x,皿蔣杷耆，

OO

故在△AC。中，由余弦定理，

可得CD2=AD-+AC1-2A￡)?ACcosA,

即4=(號)+(V3x)2-2*,(V3x)

解得2受，

13

的oIfAC-=62=\^366^3

故SacD3DAOsinA—7-x一丁乂/一=飛-,

B

D

CA

16?【解答】解：（1）在直角坐標系xOy中，拋物線C：y1=2px（p＞0）的焦點為E點M在拋物線C上,

若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為空.

64

則其半徑為旦，

8

且△OEM外接圓的圓心一定在。尸的垂直平分線上，

其中焦點F（段,0）＞準線方程為x=《，

所以圓心的橫坐標為艮，則圓心到準線的距離為且止=3口二,

4244P8

即D」，

P2

所以C的方程為＞2X.

（2）設點（-1,1）關于直線＞=依對稱的點為（a,b）,

則兩點連線的中點坐標聲」）在直線y=kx上,

I2

即四_=k?a

22

化簡可得。=%（4-1）-1①,

由對稱性又可知，（-1,1）和（〃，b）所在直線與垂直,

則曰女=-1②，

a+1

聯立①②可得，*k=-r

a+1

9

解得a=k?『I

k2+l

所以b金蓍L

d+i

又因為（a,b）在拋物線y2=x上，

則廬=〃，

c2

即（k2-2k-l）_k2+2k-l,

22-2

（k+l）k+l

即/+4武-4正+1-2（必-2%）=（F+l）（必+2%-1）,

即3后-必-左-1=0,

所以（3武+2%+1）（k-1）=0,

所以k-1=0,

即左=1.

17?【解答】解：(1)當〃=3時，pi+p2+〃3=l,且P2=2〃l,P3=2p2,

124

P2=7，P3=7

10

4v1910

H(X)=-3lnp]+p21np2+P31np3)=-ln-z")=--In_^_=ln7--z-ln2

((7'(

(2)證明：令于Qx)=lnx,則p"npi=pif(pi).

n1n1

=

:?H(X)=-(p1Inp1+p2lnp2+...+pnlnpn)EP-if(---)<f(￡P：,---)=f(n)=lnrr

i=lPii=lPi

：.H(X)Wlrm,

當隨機變量中每個變量發生的概率相同的時候，這時事物中每一個結果發生的可能性相同，情況分析是

最復雜的，也是最合理的.

18.【解答】解：(1)當a=l時，f(x)=xlnx-x3-1,xE(0,+°°),

則，(x)=lnx+l-3x2,令m(x)=f(x),

L,

貝1Jm，(x)=^--6x

X

(x)>0,解得o<x〈逅，

令m'

6

(x)<0,解得X〉運

令m'

6

(x)在區間(°,近)上單調遞增，在區間

X3O)上單調遞減,

6

?,fy(x)《f’+l)<0>

：.f(x)的單調遞減區間是(0,+8),無增區間.

(2)證明：Vxe(0,+8),

當(0,1)時，f(x)V0顯然成立，

當比(1,+8)時，f'(x)=a(Znx+1)-3X2,令g(x)=f(x),

g'(x)=-^~-6x<0，

x

：.f(x)在區間(1,+8)上單調遞減，：.f(X)<f(1)=〃-3WO,

：.f(x)在區間(1,+8)上單調遞減，：.f(x)</(l)=-2<0,

綜上所述，當0WaW3時，f(x)<0.

(3)證明：h(%)=xlnx,

:?h'(x)=lnx+\,令。'(x)<0,貝!〈工

e

：.h(X)在區間(口,工)上單調遞減，在區間(工，g)上單調遞增，

ee

h(-);)，

ee

b€(」?0)?

e

不妨設xi〈x2,則x￡(0,—)?x9€(—>1>

1ee

先證：X2-xi>be+l,設人(小，B(1,0),

ee

易知直線。4方程為y=-x,直線A3方程為行'(x-l)，

e-1

則直線。4,A5與直線y=/?交點的橫坐標為工4=-b,X5=(e-1)b+1,

?\x5-X4=be+lf

Vx4=-b=-xilnxi>xi,同理可證：X4<x2f

.'.X1<X4<X2,類似的可以證明X1<X5<X29

.*.X5-X4<X2-XI,BPbe+l<X2-XI;

再證：X2-xi<b+l,

易知/z(x)在x=l處的切線方程為y=x-1,該切線與直線y=b的交點的橫坐標為X3=b+1,

令g(x)=h(x)-(x-1)=xlnx-x+L貝Ug'(x)=lnx,

當xC(0,1)時，g'(x)<0,此時g(x)>g(1)=0,

???當比(0,1)時，y=x-l圖像在/z(x)下方.

.*.X3>X2~XI,

：.X2-Xl<X3<b+l;

綜上，be+l<\xi-X2\<b+l,即得證.

19.【解答】解：(1)因為41=1,02=2,03=4,＜74=16,

故21=2,氏=4,8=16,-^-=2,紅=8,幺=4,

ala1a1a2a2a3

所以T={2,4,8,16},P(T)=4；

(2)證明：充分性：

若A是等比數列，設公比為公

不妨考慮數列A是遞增數列，所以“>1.

a-

則當/>,?時，」=qJ?

ai

所以T={q,q2,q3,…，尸與，

故P(T)=N-1,得證；

必要性：若P(T)=N-1.

因為A是遞增數列，

所以氏＜!!4..＜%

alalal

所以理，21,現CT且互不相等，