第八章圓錐曲線方程軌跡和軌跡方程第講4（第二課時）題型3代入法求軌跡方程

求經過定點A(1，2)，以x軸為準線，離心率為

的橢圓下方的頂點的軌跡方程.解：設橢圓下方的焦點為F(x0，y0)，

由定義知

所以|AF|=1，

故點F的軌跡方程為(x0-1)2+(y0-2)2=1.

又設橢圓下方頂點為P(x,y),則x0=x,y0=

y,所以點P的軌跡方程是(x-1)2+(

y-2)2=1.2.如右圖,P是拋物線C：上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ的中點M的軌跡方程.解：設P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0)，依題意知x1≠0，y1>0，y2>0.由①由①得y′=x,題型4參數法求軌跡方程所以過點P的切線的斜率k切=x1.所以直線l的斜率所以直線l的方程為②方法1：聯立①②消去y，得因為M為PQ的中點，所以消去x1，得所以PQ的中點M的軌跡方程為方法2：由得則所以將上式代入②式并整理，得所以PQ的中點M的軌跡方程為點評：本題主要考查了直線、拋物線的基礎知識，以及求軌跡方程的常用方法.本題求解的關鍵是利用導數求切線的斜率以及靈活運用數學知識分析問題、解決問題.本題先設P，Q兩點的坐標為參數，然后利用拋物線方程、切線方程等得出橫坐標的關系及中點M的坐標，再把所求點M的坐標(x0，y0)轉化為所設參數x1的式子，然后通過消去所設參數，就得到x0,y0的方程，這就是參數法求軌跡方程.應用參數法的關鍵是找到各參數之間的關系及如何代入或整體消參.

設橢圓方程為過點M(0，1)的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足點N的坐標為當l繞點M旋轉時,求的最小值與最大值.解法1：直線l過點M(0,1),設其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.記A(x1，y1)，B(x2，y2).題型

軌跡思想的應用由題設可得點A、B的坐標(x1，y1)、(x2，y2)①

是方程組的解,將①代入②并化簡,②

得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是設點P的坐標為(x，y)，則消去參數k得4x2+y2-y=0.③當k不存在時，線段AB的中點為坐標原點(0，0)，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為4x2+y2-y=0.所以又即所以所以當時，當x=時，|NP|min=.解法2：設點P的坐標為(x，y).因為A(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上，所以④⑤由④-⑤得所以當x1≠x2時,有⑥并且⑦

將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0.⑧

當x1=x2時，點A、B的坐標分別為(0，2)和(0，-2)，此時點P(0，0)也滿足⑧.

所以點P的軌跡方程是4x2+y2-y=0.

以下同解法1.1.求軌跡方程是解析幾何的基本內容，必須理解各種方法在什么情況下使用.常用方法：定義法、直接法、代入法、參數法.在解題時考慮順序使用往往是尋求解題方法的思維程序.2.求軌跡方程與求軌跡是有不同要求的，若是求軌跡則一般先求出方程，然后說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，即圖形的形狀、位置、大小都需說明、討論清楚.3.

某些最值問題常常化歸為軌跡問題來解決，即先研究動點的軌跡或軌跡方程，再在此基礎上求相關最值，這就是軌跡思想.4.

利用參數法求動點軌跡也是解決問題的常用方法，應注意如下幾點：

(1)參數的選擇要合理，應與動點坐標x、y有直接關系，且易用參數表達.可供選擇作為參數的元素很多，有點參數、角參數、線段參數、斜率參數等.(2)消參數的方法有講究，基本方法有代入法，加減法，構造公式法等，解題時應注意積累.(3)對于所選的參數，要注意其取值范圍，并注意參數范圍對x、y的取值范圍的制約.1、字體安裝與設置如果您對PPT模板中的字體風格不滿意，可進行批量替換，一次性更改各頁面字體。在“開始”選項卡中，點擊“替換”按鈕右側箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換為”下拉列表中選擇替換字體。點擊“替換”按鈕，完成。232、替換模板中的圖片模板中的圖片展示頁面，您可以根據需要替換這些圖片，下面