PAGE1（北師大版）七年級下冊數學《第2章相交線與平行線》專題與相交線有關的計算問題(解答題)題型一直接利用相交線的性質求角度1．（2024秋?高新區校級期末）如圖所示，直線AB、CD相交于點O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度數．【分析】根據∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，求出∠EOC30°，根據對頂角的性質得∠BOC＝∠AOD＝80°，即可求出∠EOB的度數．【解答】解：∵∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，∴∠EOC=1∵∠AOD＝80°，∴∠BOC＝∠AOD＝80°，∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝30°+80°＝110°．【點評】本題考查對頂角的性質和角的計算，掌握對頂角相等是解題的關鍵．2．（2024秋?慶陽期末）如圖，已知直線AB和CD相交于點O，∠COE＝89°，OF平分∠AOE，∠COF＝31°，求∠BOD的度數．【分析】先求出∠EOF，然后根據角平分線的定義求出∠AOE，再求出∠AOC的度數，然后根據對頂角相等解答即可．【解答】解：∵∠COE＝89°，∠COF＝31°，∴∠EOF＝89°﹣31°＝58°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝116°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣116°＝64°，∴∠BOD＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝180°﹣89°﹣64°＝27°．【點評】本題考查了角平分線的定義，對頂角相等的性質，角的計算，是基礎題，準確識圖，理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．3．（2024秋?天河區校級期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE是∠BOC的平分線，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度數．【分析】設∠BOC＝x°，則∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由鄰補角的性質，求出x的值，再根據角平分線，計算出∠COE的度數，計算即可．【解答】解：設∠BOC＝x°，則∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由題意得：x+4x＝180，解得：x＝36，∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，∵OE是∠BOC的平分線，∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC【點評】此題主要考查了補角、垂直、以及角的計算，關鍵是理清圖中角之間的和差關系．4．（2024春?廣州期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOE＝90°，OF平分∠BOC，∠1＝2∠2，求∠COF的度數．【分析】先根據鄰補角的定義求出∠BOE＝90°，再根據∠1＝2∠2可求出∠2＝30°，然后根據對頂角的性質得∠AOC＝∠2＝60°，則可得∠BOC＝120°，最后根據角平分線的定義可得出∠COF的度數．【解答】解：∵直線AB，CD相交于點O，∠AOE＝90°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝90°，∵∴∠BOE＝∠1+∠2，∠1＝2∠2，∴3∠2＝90°，∴∠2＝30°，∵∠AOC＝∠2＝30°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝150°，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠【點評】此題主要考查了角平分線的定義，鄰補角的定義，對頂角的性質，角的計算，理解角平分線的定義，鄰補角的定義，對頂角的性質，熟練掌握角的計算是解決問題的關鍵．5．（2024春?青秀區校級期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE把∠BOD分成兩部分．（1）∠AOC的對頂角為，∠BOE的鄰補角為；（2）若∠AOC＝70°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，求∠DOE的度數．【分析】（1）根據對頂角，鄰補角的定義求解即可；（2）根據對頂角相等，鄰補角互補求解即可．【解答】解：（1）由題意得：∠AOC的對頂角為∠BOD；∠BOE的鄰補角為∠AOE，故答案為：∠BOD，∠AOE；（2）設∠BOE＝2x，∵∠BOE：∠EOD＝2：3，∴∠EOD＝3x，∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠EOD+BOE＝∠AOC＝70°，∴2x+3x＝70°，∴x＝14°，∴∠DOE＝3x＝42°．【點評】本題考查了對頂角，鄰補角，解題的關鍵是掌握對頂角相等，鄰補角互補．6．（2024秋?定邊縣期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°，（1）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠BOD的度數；（2）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度數．【分析】（1）根據OE平分∠BOC，可得∠COE＝∠BOE，再結合∠BOD：∠BOE＝1：2可得∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，最后利用平角的定義即可求解；（2）由∠BOE＝70°可求得∠BOD＝40°，根據對頂角的定義可得∠AOC＝40°，然后根據∠COF＝90°，即可求得結果．【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE，∵∠BOD：∠BOE＝1：2，∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，∵∠BOD+∠BOE+∠EOC＝180°，∴∠BOD=180°×1（2）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝70°，∴∠BOC＝2∠BOE＝140°，∴∠BOD＝180°﹣140°＝40°，∴∠AOC＝∠BOD＝40°，∵∠COF＝90°，∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°．【點評】本題考查了角平分線的性質、平角的定義、對頂角的定義及角的和差計算，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．7．（2024秋?海安市期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，射線OE在∠AOD的內部，∠AOC＝70°?12∠（1）如圖1，當∠AOE＝40°時，請寫出與∠BOD互余的角，并說明理由；（2）如圖2，若OF平分∠BOE，求∠DOF的度數．【分析】（1）根據角平分線的定義以及圖形中角的和差關系可求出∠BOD＝50°，再根據互為余角的定義即可得出答案；（2）根據角平分線的定義、互為補角的定義以及圖形中角的和差關系可得到∠AOE+2∠DOF+140°﹣∠AOE＝180°，進而求出∠DOF的度數．【解答】解：（1）∵∠AOC＝70°?12∠AOE，∠∴∠AOC＝70°?1∴∠BOD＝∠AOC＝50°，∴∠BOD+∠AOE＝50°+40°＝90°，即∠AOE與∠BOD互為余角；（2）∵OF平分∠BOE，∴∠BOF＝∠EOF=12∠∵∠AOE+2∠BOF＝180°，∴∠AOE+2∠DOF+2∠BOD＝180°，∵∠AOC＝70°?12∠AOE＝∠∴∠AOE+2∠DOF+140°﹣∠AOE＝180°，即∠DOF＝20°．【點評】本題考查角平分線，互為余角、互為補角以及對頂角，掌握角平分線，互為余角、互為補角的定義以及對頂角相等是正確解答的關鍵．8．（2024秋?城廂區校級期末）如圖，直線MD、CN相交于點O，OA是∠MOC內的一條射線，OB是∠NOD內的一條射線，∠MON＝70°．（1）若∠BOD=12∠COD，求∠（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度數．【分析】（1）根據對頂角的定義可得∠COD的度數，再根據∠BOD=12∠COD可得∠（2）設∠AOC＝x°，則∠BOC＝3x°，利用角的和差運算即可解得x，進而可得∠BON的度數．【解答】解：（1）∵∠MON＝70°，∴∠COD＝∠MON＝70°，∵∠BOD=12∠∴∠BOD=1∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；（2）設∠AOC＝x°，則∠BOC＝3x°，∵∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，∵∠AOD＝2∠BOD，∴x+70＝2（3x﹣70），解得x＝42，∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．【點評】此題主要考查了角的計算，關鍵是掌握鄰補角互補．題型二利用垂線的性質求角度1．（2024春?惠州期末）如圖所示，直線AB，CD相交于點O，射線OE、OF在∠AOD內，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數．【分析】由∠AOC：∠AOD＝1：5結合鄰補角互補、對頂角相等，可求出∠BOD的度數，根據OD平分∠BOE，可求出∠EOD，根據垂直的定義求出∠DOF＝90°，則∠EOF可求．【解答】解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5．∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD＝∠EOD＝30°，∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∴∠EOF＝60°．【點評】本題考查了對頂角、鄰補角，熟記概念并靈活運用是解題的關鍵，鄰補角、對頂角成對出現，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．2．（2024秋?福州期末）如圖，點B、O、C三點在同一直線上，∠DOE＝90°，（1）若AO⊥BC，∠AOE＝65°，求∠COE的度數；（2）若∠BOD：∠COE＝2：1，求∠COD的度數．【分析】（1）由垂直的定義可得∠AOC＝90°，再根據角度的和差可得出結論；（2）由∠DOE＝90°，可得∠BOD+∠COE＝90°，再結合比例關系，代入可得∠COE的度數，再根據角度的和差可得出結論．【解答】解：（1）∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∵∠AOE＝65°，∴∠COE＝90°﹣∠AOE＝25°；（2）∵∠BOD+∠DOE+∠COE＝90°，∠DOE＝90°，∴∠BOD+∠COE＝90°，∵∠BOD：∠COE＝2：1，∴∠BOD＝2∠COE，∴2∠COE+∠COE＝90°，∴∠COE＝30°，∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝120°．【點評】本題考查了余角和補角，熟練掌握余角和補角的定義是解題的關鍵．3．（2024春?大冶市期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB，垂足為O．（1）若∠COE＝35°，則∠AOD的度數為°（直接寫出結果）；（2）若∠AOD+∠COE＝170°，求∠COE的度數．【分析】（1）根據垂直定義可得∠EOB＝90°，從而求出∠COB的度數，再利用對頂角相等即可解答；（2）根據已知可得∠BOE+2∠COE＝170°，再根據∠BOE＝90°，進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵∠COE＝35°，∴∠COB＝∠COE+∠EOB＝125°，∴∠AOD＝∠COB＝125°，故答案為：125；（2）∵∠AOD+∠COE＝170°，∴∠BOC+∠COE＝170°，∴∠BOE+∠COE+∠COE＝170°，∴∠BOE+2∠COE＝170°，∵∠BOE＝90°，∴∠COE＝40°，∴∠COE的度數為40°．【點評】本題考查了垂線，對頂角、鄰補角，根據題目的已知條件并結合圖形分析是解題的關鍵．4．（2024秋?海口期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠AOC，EO⊥FO于點O．（1）若∠AOE＝36°，求∠AOD和∠COF的度數；（2）若∠AOE＝α（0°＜α＜90°），直接寫出∠DOF的度數（用含α的代數式表示）．【分析】（1）根據角平分線的定義求出∠COE、∠AOC的度數，根據鄰補角互補即可求出∠AOD的度數，再根據∠COF＝∠EOF﹣∠COE求解即可；（2）根據角平分線的定義求出∠COE的度數，再根據EO⊥FO求出∠COF的度數，根據鄰補角互補即可求出∠DOF的度數．【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，∠AOE＝36°，∴∠COE＝∠AOE＝36°，∴∠AOC＝2∠AOE＝72°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣72°＝108°，∵EO⊥FO，∴∠EOF＝90°，∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣36°＝54°；（2）∵OE平分∠AOC，∠AOE＝α，∴∠COE＝∠AOE＝α，∵EO⊥FO，∴∠EOF＝90°，∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣α；∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．【點評】本題考查了垂線，鄰補角，角平分線，熟練掌握垂直的定義，鄰補角互補是解題的關鍵．5．（2024秋?蒼南縣期末）如圖，直線AB與直線CD交于點O，射線OE在∠AOD內部，OF是∠EOB的平分線，且∠FOD＝20°．（1）若EO⊥OD，求∠AOC的度數．（2）若∠EOD＝2∠BOD，求∠AOD的度數．【分析】（1）先求∠EOF，再求∠BOD即可求出答案；（2）設∠BOD＝x°，根據題意列出方程式，再根據補角的定義即可解決問題，【解答】解：（1）∵EO⊥OD，∴∠EOD＝90°，∵∠FOD＝20°，∴∠EOF＝∠EOD﹣∠FOD＝70°，∵OF是∠EOB的平分線，∴∠BOF＝∠EOF＝70°，∴∠BOD＝∠BOF﹣∠FOD＝50°，∴∠AOC＝∠BOD＝50°．（2）設∠BOD＝x°，則∠EOD＝2x°，∵∠FOD＝20°，∴∠EOF＝∠EOD﹣∠FOD＝（2x﹣20）°，∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝（x+20）°，∵OF是∠EOB的平分線，∴∠BOF＝∠EOF，∴2x﹣20＝x+20，∴x＝40，∴∠BOD＝40°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝140°．【點評】本題主要考查了垂線、角平分線的定義以及角的計算，解決本題的關鍵是熟練運用這些知識點建立等量關系式．6．（2024春?船營區校級月考）如圖所示，已知直線AB與CD交于點O，EO⊥AB，垂足為O，且∠COE＝2∠AOC．（1）求∠DOE的度數；（2）過點O在AB上方作射線OF，若∠DOF＝4∠AOF，求∠COF的度數．【分析】（1）根據垂線的定義得到∠AOE＝∠BOE＝90°，根據∠COE＝2∠AOC求出∠BOD＝30°，再加上∠BOE即可；（2）先由平角得出∠AOD＝150°，根據∠DOF＝4∠AOF知∠AOF＝30°，繼而由∠FOC＝∠AOF+∠AOC可得答案．【解答】解：（1）∵EO⊥AB，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∵∠COE＝2∠AOC，∠COE+∠AOC＝90°，∴∠AOC=13∠AOE＝30°＝∠∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝120°；（2）∵∠AOC＝∠BOD＝30°，∠COD＝180°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，∵∠DOF＝4∠AOF，∴∠AOD＝∠DOF+∠AOF＝4∠AOF+∠AOF＝5∠AOF＝150°，∴∠AOF＝30°，∴∠COF＝∠AOF+∠AOC＝60°．【點評】本題主要考查垂線的定義，掌握垂線的定義及對頂角、鄰補角是解題的關鍵．7．（2024春?道外區期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠AOC．（1）若∠DOE＝130°，求∠BOC的度數；（2）過點O作OF⊥OE，請直接寫出和∠BOF互補的角．【分析】（1）根據鄰補角的定義先求出∠EOC，然后求出求出∠AOC，再根據鄰補角的定義求出∠BOC即可；（2）因為OF⊥OE，所以∠FOC+∠EOC＝90°，則∠BOF+∠AOF＝90°，而∠AOF＝∠EOC，所以∠BOF＝∠FOC，根據補角的定義寫出∠BOF的補角即可．【解答】解：（1）∵∠DOE＝130°，∴∠EOC＝50°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠EOC＝2×50°＝100°，∴∠BOC＝180°﹣100°＝80°；（2）∵OF⊥OE，∴∠FOC+∠EOC＝90°，∴∠BOF+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝∠EOC，∴∠BOF＝∠FOC，∴與∠BOF互補的角是∠AOF和∠DOF．【點評】本題考查角平分線的定義，對頂角，鄰補角，理解鄰補角、補角余角以及角平分線的定義是正確解答的前提．8．（2024春?蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如圖1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度數；（2）如圖2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度數．【分析】（1）根據角平分線的意義，得到∠COM=12∠AOC，∠CON=1（2）先求出∠MON，再根據∠MON：∠AOC＝2：7，求出∠AOC，再根據角平分線的意義得出∠AOM，進而求出答案．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°；（2）∵∠COM=12∠AOC，∠CON=1∴∠MON=12（∠AOC﹣∠BOC）=1∵∠MON：∠AOC＝2：7，∴∠AOC＝140°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠∴∠AON＝∠AOM+∠MON＝70°+40°＝110°【點評】考查角平分線的意義，理清圖形中各個角之間的關系是正確解答的關鍵．題型三通過計算說明兩角的數量關系1．（2024春?渭城區期中）將下面的解答過程補充完整：已知：如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠AOF，∠COE＝90°．試說明：∠FOB＝2∠AOC．解：因為OE平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（）因為∠COE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因為直線AB，CD相交于點O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝（）．因為直線AB，CD相交于點O，所以（），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．【分析】根據角平分線的定義、對頂角相等、角平分線的定義解答即可．【解答】解：因為OE平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（角平分線的定義）因為∠COE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因為直線AB，CD相交于點O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝∠FOD（等角的余角相等）．因為直線AB，CD相交于點O，所以∠AOC＝∠BOD（對頂角相等），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．2．（2024秋?蓮都區期末）如圖，直線AE與CD相交于點B，BF⊥AE．（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度數；（2）猜想∠CBE與∠DBF的數量關系，并說明理由．【分析】（1）由BF⊥AE得∠EBF＝90°，即可計算；（2）由∠CBE＝∠ABD，∠ABF＝90°，即可解決問題．【解答】（1）解：∵BF⊥AE，∴∠EBF＝∠ABF＝90°，∵∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°；（2）∠CBE﹣∠DBF＝90°．證明：∵∠ABD﹣∠FBD＝∠ABF，∴∠ABD﹣∠FBD＝90°，∵∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE﹣∠DBF＝90°．【點評】本題考查角度的計算，關鍵是掌握垂直的定義，對頂角相等．3．如圖，直線AB與CD相交于O．OF是∠BOD的平分線，OE⊥OF．（1）若∠BOE比∠DOF大38°，求∠DOF和∠AOC的度數；（2）試問∠COE與∠BOE之間有怎樣的大小關系？請說明理由．（3）∠BOE的余角是，∠BOE的補角是．【分析】（1）設∠BOF＝α，根據角平分線的定義得出∠DOF＝∠BOF＝α，得出方程38°+α+α＝90°，求出方程的解即可；（2）求出∠COE＝180°﹣∠DOE＝90°﹣∠DOF，根據垂直求出∠BOE＝90°﹣∠BOF，即可得出答案；（3）根據余角和補角定義求出即可．【解答】解：（1）設∠BOF＝α，∵OF是∠BOD的平分線，∴∠DOF＝∠BOF＝α，∵∠BOE比∠DOF大38°，∴∠BOE＝38°+∠DOF＝38°+α，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴38°+α+α＝90°，解得：α＝26°，∴∠DOF＝26°，∠AOC＝∠BOD＝∠DOF+∠BOF＝26°+26°＝52°；（2）∠COE＝∠BOE，理由是：∵∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣（90°+∠DOF）＝90°﹣∠DOF，∵OF是∠BOD的平分線，∴∠DOF＝∠BOF，∴∠COE＝90°﹣∠BOF，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠BOE＝90°﹣∠BOF，∴∠COE＝∠BOE；（3）∠BOE的余角是∠BOF和∠DOF，∠BOE的補角是∠AOE和∠DOE，故答案為：∠BOF和∠DOF，∠AOE和∠DOE．【點評】本題考查了余角、補角，對頂角、鄰補角，角平分線定義等知識點，能正確運用知識點進行推理是解此題的關鍵．4．直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O．（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度數；（2）①在∠AOD的內部作射線OG⊥OE；②試探索∠AOG與∠EOF之間有怎樣的關系？并說明理由．【分析】（1）依據OF⊥CD，∠EOF＝54°，可得∠DOE＝90°﹣54°＝36°，再根據OE平分∠BOD，即可得出∠BOD＝2∠DOE＝72°，依據對頂角相等得到∠AOC＝72°；（2）依據OE平分∠BOD，可得∠BOE＝∠DOE，再根據OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，依據等角的余角相等，可得∠EOF＝∠AOG．【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF＝54°，∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOE＝72°，∴∠AOC＝72°；（2）①如圖所示：②∠AOG＝∠EOF；理由：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，∵OF⊥CD，OG⊥OE，∴∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，∴∠EOF＝∠AOG．【點評】本題主要考查了垂線，角平分線的定義以及余角的綜合運用，當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，解決問題的關鍵是掌握：等角的余角相等．5．如圖，直線EF，CD相交于點O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度數；（2）若∠AOE＝α，求∠BOD的度數；（用含α的代數式表示）（3）從（1）（2）的結果中能看出∠AOE和∠BOD有何關系？【分析】（1）、（2）根據平角的定義求得∠AOF，又有角平分線的定義求得∠FOC；然后根據對頂角相等求得∠EOD＝∠FOC；∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE，∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE；（3）由（1）、（2）的結果找出它們之間的倍數關系．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF＝180°（互為補角），∠AOE＝40°，∴∠AOF＝140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=12∠∴∠EOD＝∠FOC＝70°（對頂角相等）；而∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝50°，∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE＝20°；（2）∵∠AOE+∠AOF＝180°（互為補角），∠AOE＝α，∴∠AOF＝180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=12∠AOF＝90°?∴∠EOD＝∠FOC＝90°?12而∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝90°﹣α，∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE=12（3）從（1）（2）的結果中能看出∠AOE＝2∠BOD．【點評】本題利用垂直的定義，對頂角和互補的性質計算，要注意領會由垂直得直角這一要點．6．（2024春?香坊區期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，∠BOM＝∠DON＝90°．（1）如圖1，若∠COM＝35°，求∠BON的度數；（2）如圖1，請直接寫出圖中所有互余的角；（3）如圖2，若射線OE在∠MOB的內部，且12∠MON﹣∠BOE＝45°，請比較∠MOE與∠DOE【分析】（1）先求出∠AOC，根據對頂角相等求出∠BOD，已知∠DON＝90°，可求得∠BON的度數；（2）根據互余的定義判斷即可，互余的兩個角和為90度；（3）可設∠MOC＝x，則∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，根據已知可得∠BOE=12x，進而得出∠MOE和∠【解答】解：（1）∵BOM＝90°，∴∠AOM＝90°，∵∠COM＝35°，∴∠AOC＝55°，∴∠BOD＝55°，∵∠DON＝90°，∴∠BON＝∠BOD+∠DON＝55°+90°＝145°；（2）∵∠AOC+∠COM＝90°，∴∠AOC與∠COM互余，∵∠AOC+∠AON＝90°，∴∠AOC與∠AON互余，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD與∠COM互余，∠BOD與∠AON互余；（3）∠MOE＝∠DOE，∵∠BOM＝∠DON＝90°，∴∠MOC＝∠AON，設∠MOC＝x，則∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，∵12∠MON﹣∠BOE∴12（90°+x）﹣∠BOE∴∠BOE=12∴∠MOE＝90°?12∠DOE＝∠BOE+∠BOE＝90°﹣x+12x＝90°?∴∠MOE＝∠DOE．【點評】本題考查了對頂角和鄰補角，解題的關鍵是根據概念會判斷并靈活運用，鄰補角、對頂角成對出現，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．7．（2024秋?南崗區期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，過點O作OE⊥CD．（1）如圖1，求證：∠BOE﹣∠AOC＝90°；（2）如圖2，將射線OB沿著直線CD翻折得到射線OF，即∠BOD＝∠FOD，求證：OE平分∠AOF；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點O作OG⊥AB，當∠FOG：∠AOE＝2：3時，求∠COG的度數．【分析】（1）由垂直的定義及角度的和差計算可得；（2）證明OE平分∠AOF，即證明∠AOE＝∠EOF，通過題目中角度的和差運算可得；（3）設出∠FOG的度數，表示出∠AOE的度數，找到等量關系，列出等式，求出未知數的值，即可．【解答】解：（1）如圖，∵AB，CD相交于點O，∴∠AOC＝∠BOD，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°，∴∠BOE﹣∠AOC＝90°．（2）如圖，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠EOF+∠FOD＝90°，∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，∵∠BOD＝∠FOD，∴∠FOB＝2∠FOD，∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，∴∠AOE＝∠EOF，∴OE平分∠AOF．（3）如圖，∵∠FOG：∠AOE＝2：3，∴設∠FOG＝2α，則∠AOE＝3α，∴∠EOG＝3α﹣2α＝α，∵∠EOG+∠GOD＝90°，∠GOD+∠BOD＝90°，∴∠EOG＝∠BOD＝α，∴∠FOD＝∠BOD＝α，∵A，O，B三點在一條直線上，∴3α+α+2α+α+α＝180°，解得α＝22.5°，∴∠COG＝112.5°．【點評】本題主要考查垂直的定義，角平分線的定義，角度的和差等內容，解題關鍵是找到圖中角度之間的關系，列出等式．題型四通過計算說明兩直線垂直1．（2022春?南昌期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．（1）判斷OF與OD的位置關系，并證明；（2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度數．【分析】（1）根據角平分線的定義得到∠EOF=12∠AOE，∠EOD=1（2）根據對頂角相等、余角的概念計算即可．【解答】解：（1）OF⊥OD，理由如下：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠EOF=12∠AOE，∠EOD=1∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠EOF+∠EOD＝90°，∴OF⊥OD；（2）∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°，∴∠EOD＝∠BOD＝30°，∴∠EOF＝90°﹣∠EOD＝60°．【點評】本題考查的是對頂角、角平分線的定義、鄰補角的性質，掌握角平分線的定義是解題的關鍵．2．（2024秋?拱墅區期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，證明：ON⊥CD；（2）若∠1=13∠BOC，求∠【分析】（1）利用垂直的定義得出∠2+∠AOC＝90°，進而得出答案；（2）根據題意得出∠1的度數，即可得出∠BOD的度數．【解答】證明：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，∴ON⊥CD；（2）∵∠1=13∠∴∠BOM＝2∠1＝90°，解得：∠1＝45°，∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°【點評】此題主要考查了垂直的定義以及鄰補角、對頂角等知識，正確把握垂直的定義是解題關鍵．3．（2024秋?玄武區校級期末）如圖，直線AB和直線CD交于點E，EF、EG分別平分∠AEC和∠BEC．（1）求證：EF⊥EG；（2）若∠AEF＝66°，求∠BEG的度數．【分析】（1）根據條件可求出∠AOC和∠BOC的和，再根據角平分線的意義求出∠EFG的度數；（2）根據∠AEF＝66°，求得∠AEC的度數，利用平角的定義算出∠BEC的度數，根據角平分線的定義即可得到結論．【解答】（1）證明：∵∠AEC+∠BEC＝180°，∵EF、EG分別平分∠AEC和∠BEC，∴∠FEC+∠CEG=12（∠AEC+∠BEC）∴EF⊥EG；（2）解：∵∠AEF＝66°，EF平分∠AEC，∵∠AEC＝2∠AEF＝2×66°＝132°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣132°＝48°，∵EG平分∠BEC，∴∠BEG=1【點評】本題考查對頂角、鄰補角、角平分線的性質，正確的識圖和推理是解決問題的關鍵．4．（2024春?墨玉縣期末）如圖，直線AB．CD相交于點O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）求∠BOF的度數：（2）判斷射線OE與OF之間的位置關系．并說明理由．【分析】（1）根據對頂角相等和角平分線即可求出答案；（2）求出求出∠EOF的度數，根據垂直定義求出即可．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝28°，∴∠BOD＝28°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1（2）垂直，理由如下：∵∠AOC＝28°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣28°＝152°，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD=12∠AOD∠DOF=12∠BOD∴∠EOF＝∠EOD+∠DOF＝76°+14°＝90°，∴OE⊥OF．【點評】此題考查了對頂角及鄰補角的定義，熟記對頂角及鄰補角的性質是解題的關鍵．5．（2024春?邯鄲期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，MO⊥AB，垂足為O．（1）若∠1＝∠2，求∠AOD的度數；（2）已知N是直線AB下方的一點，且NO⊥CD，在圖中畫出NO．若∠BOC＝2∠2，求∠BON的度數．【分析】（1）由MO⊥AB得到∠BOM＝∠AOM＝90°．由∠1＝∠2，得到∠1=∠2=12∠AOM=45°（2）由∠BOC+∠2＝180°，∠BOC＝2∠2得到∠2＝60°，則∠BOD＝∠2＝60°．由NO⊥CD得到∠NOD＝90°，即可得到答案．【解答】解：（1）∵MO⊥AB，∴∠BOM＝∠AOM＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠1=∠2=1∴∠AOD＝180°﹣∠2＝135°；（2）如圖，∵∠BOC+∠2＝180°，∠BOC＝2∠2，∴3∠2＝180°，∴∠2＝60°，∴∠BOD＝∠2＝60°．∵NO⊥CD，∴∠NOD＝90°，∴∠BON＝∠BOD+∠NOD＝60°+90°＝150°．【點評】此題考查了垂直的定義、對頂角、鄰補角等知識，熟練掌握相關角之間的關系是解題的關鍵．6．（2024春?阿瓦提縣期末）如圖①，直線AB，CD相交于點O．（1）若∠AOC+∠BOD＝120°，求∠AOD的度數．（2）分別作∠AOD、∠BOD的平分線OE，OF，如圖②，請判斷OE與OF之間的位置關系，并說明理由．【分析】（1）由對頂角的性質得到AOC＝∠BOD，而∠AOC+∠BOD＝120°，求出∠AOC＝60°，由鄰補角的性質得到∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°；（2）由角平分線定義得到∠DOE+∠DOF=12（∠AOD+∠BOD），因此∠EOF=12∠AOB=1【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOD＝120°，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝60°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°；（2）OE⊥OF，理由如下：∵∠AOD、∠BOD的平分線分別是OE，OF，∴∠DOE=12∠AOD，∠DOF=1∴∠DOE+∠DOF=12（∠AOD+∠∴∠EOF=12∠AOB∴OE⊥OF．【點評】本題考查對頂角，鄰補角，角平分線定義，垂線，關鍵是由對頂角的性質求出∠AOC＝60°，由角平分線定義得到∠EOF=12∠AOB7．（2024春?沂水縣期中）直線AB，CD相交于點O．OE，OF，OG分別是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分線．（1）畫出這個圖形．（2）射線OE，OF在同一條直線上嗎？為什么？（3）OE與OG有什么位置關系？說明理由．【分析】（1）畫出這個圖形即可；（2）根據角平分線定義即可判斷射線OE，OF在同一條直線上；（3）由OG平分∠AOD，得∠AOG＝∠DOG，再由∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，得∠AOE+∠AOG＝90°，進而即可判斷OE與OG的位置關系．【解答】解：（1）如圖所示，（2）射線OE、射線OF在同一條直線上．理由如下：∵直線AB、CD相交于點O，∴∠AOC＝∠BOD，∠AOC+∠AOD＝180°，∵OE、OF分別是∠AOC、∠BOD的平分線，∴∠AOE=12∠AOC，∠DOF=1∴∠AOE＝∠DOF，∴∠AOE+∠DOF＝∠AOC，∴∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，∴射線OE、射線OF在同一條直線上；（3）OE⊥OG．理由如下：∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG，∵∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，∴∠AOE+∠AOG＝90°，∴OG⊥OE．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖、直線、射線、線段、角平分線的定義、對頂角、鄰補角，解決本題的關鍵是根據語句準確畫圖．題型五與相交線有關的角度計算綜合題1．（2024秋?江漢區校級期末）如圖，AB、CD交于點O．（1）可得到結論：∠AOC＝∠BOD，依據是：（直接填序號：①同角的補角相等，②同角的余角相等）；（2）若∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角是∠DOE的2倍，求∠BOC；（3）在（2）的條件下，從點O引出一條射線OP，當∠COP＝∠AOE+∠DOP時，∠BOP＝．（直接寫出結果）【分析】（1）根據同角的補角相等，即可得到答案；（2）設∠DOE＝x，則∠AOE＝4x，根據題意列出方程，進而可得∠AOD，由對頂角相等，即可得到答案；（3）分兩種情況討論：當OP在∠AOD內時，當OP在∠BOD內時，根據角的和差關系進行計算即可．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠AOD＝180°，∠BOD+∠AOD＝180°，∴∠AOC＝∠BOD，判斷依據是：同角的補角相等，故答案為：①；（2）設∠DOE＝x，則∠AOE＝4x，由題意得：90°﹣4x＝2x，解得：x＝15°，即∠DOE＝15°，∴∠AOE＝4x＝60°，∴∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝75°，∵∠BOC＝∠AOD，∴∠BOC＝75°；（3）由（2）知∠AOE＝60°，∠DOE＝15°，∠BOC＝∠AOD＝75°，∴∠AOC＝∠BOD＝180°﹣75°＝105°，設∠AOP＝α，∠BOP＝β，當OP在∠AOD內時，∴∠COP＝∠AOC+∠AOP，∴∠AOC+∠AOP＝∠AOE+∠DOP＝∠AOE+∠AOD﹣∠AOP，即105°+α＝60°+75°﹣α，解得：α＝15°，∴∠BOP＝180°﹣α＝165°；當OP在∠BOD內時，∴∠COP＝∠BOC+BOP，∴∠BOC+∠BOP＝∠AOE+∠DOP＝∠AOE+∠BOD﹣∠BOP，即75°+β＝60°+105°﹣β，解得：β＝45°，綜上，∠BOP＝45°或165°，故答案為：45°或165°．【點評】本題考查了對頂角、鄰補角，余角和補角，關鍵是角的和差計算．2．如圖，直線AB與CD相交于點E，射線EG在∠AEC內（如圖1）．（1）若∠BEC的補角是它的余角的3倍，則∠BEC＝度；（2）在（1）的條件下，若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大小；（3）若射線EF平分∠AED，∠FEG＝100°（如圖2），則∠AEG﹣∠CEG＝度．【分析】（1）設∠BEC的度數為x，根據∠BEC的補角是它的余角的3倍列方程為：180﹣x＝3（90﹣x），解方程可得；（2）設∠AEG＝x°，則∠CEG＝x﹣25，根據已知列方程為：x+（x﹣25）＝135，解方程可得；（3）根據角平分線的定義得：∠AEF＝∠DEF，根據∠FEG＝100°，得∠AEG＝100°﹣∠AEF，根據平角的定義可得∠CEG＝180°﹣100°﹣∠DEF，最后可得結論．【解答】解：（1）設∠BEC的度數為x，則180﹣x＝3（90﹣x），x＝45°，∴∠BEC＝45°，故答案為：45；（2）∵∠BEC＝45°，∴∠AEC＝135°，設∠AEG＝x°，則∠CEG＝x﹣25，由∠AEC＝135°，得x+（x﹣25）＝135，解得x＝80°，∴∠AEG＝80°；（3）∵射線EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF，∵∠FEG＝100°，∴∠AEG+∠AEF＝100°，∵∠CEG＝180°﹣100°﹣∠DEF＝80°﹣∠DEF，∴∠AEG﹣∠CEG＝100°﹣∠AEF﹣（80°﹣∠DEF）＝20°，故答案為：20．【點評】本題考查了對頂角、鄰補角，角平分線的定義，此類題目熟記概念并準確識圖是解題的關鍵．3．（2024秋?渠縣期末）若直線AB和直線ED相交于點O，OC為∠BOE內部的射線，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度數？（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度數？（3）請猜想，∠EOF度數會改變嗎？若改變，請說明理由；若不改變，則∠EOF度數是多少？【分析】（1）由對頂角的性質，得到∠AOE＝58°，再由角平分線的定義即可求解；（2）由角平分線的定義，對頂角的性質得到，∠COE＝α，∠COF＝90°﹣α，從而求出∠EOF的度數；（3）由角平分線的定義推出∠EOF=12∠【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB∵∠AOE＝∠BOD＝58°，∴∠AOF＝∠AOF+∠EOF＝58°+90°＝148°，（2）∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOE，∵∠AOE＝∠BOD＝α，∴∠AOC＝2α，∴∠BOC＝180°﹣2α，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠BOC＝90°﹣∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝α+90°﹣α＝90°；（3）∠EOF的度數不變，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB【點評】本題考查角的計算，關鍵是掌握角平分線的定義．4．（2024秋?濱湖區期末）如圖，已知OE⊥AB，垂足為點O，直線CD經過點O．（1）若∠AOD＝35°，求∠COE的度數；（2）若∠BOC=23∠COE，求∠（3）在（2）的條件下，過點O作OF⊥CD，則∠EOF＝．（直接寫出答案）【分析】（1）根據∠AOD＝35°，得∠BOC＝35°，由OE⊥AB，得到∠COE與∠BOC互余，從而得出結果；（2）根據∠BOC=23∠COE，得到∠BOC=25∠BOE=36°，由∠（3）先過點O作OF⊥CD，再分兩種情況根據角的和差關系可求∠EOF的度數．【解答】解：（1）∵∠AOD＝35°，∴∠BOC＝∠AOD＝35°，∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠COE＝90°﹣35°＝55°；（2）∵∠BOC=2∴∠BOC=2∴∠BOC=2∴∠COE＝90°﹣36°＝54°，∵∠DOE+∠COE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣54°＝126°；（3）如圖，當OF在CD下方時，則∠COF＝90°，由（2）知∠COE＝54°，∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝144°；如圖，當OF在CD上方時，則∠COF＝90°，由（2）知∠COE＝54°，∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝36°，故答案為：36°或144°．【點評】本題考查的是垂直的性質，角平分線的定義，以及對頂角和鄰補角．5．如圖，直線AB、CD相交于點O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成兩個角，且∠AOE=23（1）求∠AOE的度數；（2）將射線OE繞點O逆時針旋轉α°（0°＜α＜360°）到OF．①如圖2，當OF平分∠BOE時，求∠DOF的度數；②若∠AOF＝120°時，直接寫出α的度數．【分析】（1）根據對頂角相等求出∠AOC的度數，設∠AOE＝2x，根據題意列出方程，解方程即可；（2）①根據角平分線的定義求出∠BOF的度數即可得結論；②分兩種情況：當OF在∠BOC的內部時，如圖2，根據α＝∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE可得結論；當OF在∠BOD的內部時，如圖3，根據周角與∠AOF和∠AOE的差可得結論．【解答】解：（1）∵∠AOE=23∠EOC，即∠AOE：∠∴設∠AOE＝2x，則∠EOC＝3x，∴∠AOC＝5x，∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∴5x＝75°，解得：x＝15°，則2x＝30°，∴∠AOE＝30°；（2）①∵∠AOE＝30°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，∵OF平分∠BOE，∴∠BOF＝75°，∵∠BOD＝75°，∴∠DOF＝75°+75°＝150°；②分兩種情況：當OF在∠BOC的內部時，如圖2，∵∠AOF＝120°，∠AOE＝30°，∴α＝∠EOF＝120°﹣30°＝90°，當OF在∠BOD的內部時，如圖3，∴α＝360°﹣∠AOF﹣∠AOE＝360°﹣120°﹣30°＝210°，綜上所述，α的度數為90°或210°．【點評】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念和性質、角平分線的定義，掌握對頂角相等、鄰補角之和等于180°是解題的關鍵，并注意分類討論的思想．6．（2024秋?上城區期末）直線AB，CD相交于點O，過點O作OE⊥CD．（1）如圖（1），若∠BOD＝27°44'，求∠AOE的度數．（2）如圖（2），作射線OF使∠EOF＝∠AOE，則OD是∠BOF的平分線．請說明理由．（3）在圖（1）上作OG⊥AB，寫出∠COG與∠AOE的數量關系，并說明理由．【分析】（1）根據垂直的定義進行計算即可；（2）根據垂直的定義，對頂角相等以及等角的余角相等可得答案；（3）根據垂直的定義，平角的定義以及對頂角相等、同角的余角相等進行計算即可．【解答】解：（1）∵OE⊥CD．∴∠COE＝90°，即∠AOC+∠AOE＝90°，∵∠BOD＝27°44'＝∠AOC，∴∠AOE＝90°﹣27°44′＝62°16′；（2）∵OE⊥CD．∴∠COE＝∠DOE＝90°，即∠AOC+∠AOE＝∠DOF+∠EOF＝90°，∵∠EOF＝∠AOE，∴∠AOC＝∠DOF，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD＝∠DOF，即OD是∠BOF的平分線；（3）如圖，∠COG+∠AOE＝18