來賓高中2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二4月考試題數(shù)學(xué)滿分：150分時(shí)間：120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1若，則m等于（）A.6 B.5 C.4 D.32.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（）A.0 B. C.1 D.23.四名同學(xué)報(bào)名參加乒乓球、籃球、足球運(yùn)動(dòng)隊(duì)，每人限報(bào)一項(xiàng)，不同的報(bào)名方法的種數(shù)是（）A.64 B.81 C.24 D.124.在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B. C. D.5.曲線在點(diǎn)處的切線的方程為A. B. C. D.6已知數(shù)列滿足，則等于（）A.6 B.11 C.22 D.437.在等差數(shù)列，中，，其前項(xiàng)和為，若，則（）A.12 B.18 C.30 D.368.已知函數(shù)，，若，則取值范圍為（）A. B.C. D.二、多選題（共4小題，共20分.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分）.9.下列函數(shù)求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.10.定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極小值11.已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，公差為，是和的等比中項(xiàng)，則（）A. B.數(shù)列是遞增數(shù)列C. D.有最大值為12.丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）A. B.C D.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.在等比數(shù)列中，，則______.14.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和__________.15.6名同學(xué)排成一排，其中甲?乙兩人不相鄰的排法共有__________種方法；16.已知曲線在點(diǎn)P處的切線與在點(diǎn)Q處的切線平行，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為__________．四、解答題（共70分，第17題10分，其余每題12分）17.已知的展開式中共有9項(xiàng).（1）求的值；（2）求展開式中的系數(shù)；（3）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的極值；19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．20.已知中，角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若為中點(diǎn)，，求的面積.21.如圖，在四面體中，面ABC，.（1）求證：面面PBC；（2）若，于D，求平面和平面夾角的余弦值.22.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求四邊形EPFQ面積的取值范圍.

來賓高中2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二4月考試題數(shù)學(xué)滿分：150分時(shí)間：120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1若，則m等于（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，列式求解作答.【詳解】因，有，則，解得，所以.故選：C2.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（）A.0 B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】直接由導(dǎo)數(shù)的概念求解即可.【詳解】.故選：C.3.四名同學(xué)報(bào)名參加乒乓球、籃球、足球運(yùn)動(dòng)隊(duì)，每人限報(bào)一項(xiàng)，不同的報(bào)名方法的種數(shù)是（）A.64 B.81 C.24 D.12【答案】B【解析】【分析】由分步乘法計(jì)算原理求解【詳解】四名同學(xué)報(bào)名參加乒乓球、籃球、足球運(yùn)動(dòng)隊(duì),每人限報(bào)一項(xiàng)，

故每人有3種報(bào)名方法，共有種不同的報(bào)名方法;

故選：B4.在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法，5個(gè)因式中，4個(gè)取一次項(xiàng)x，1個(gè)取常數(shù)項(xiàng)，相乘可得項(xiàng)，進(jìn)而得到系數(shù).【詳解】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法，5個(gè)因式中，4個(gè)取一次項(xiàng)x，1個(gè)取常數(shù)項(xiàng)，相乘可得項(xiàng)．常數(shù)項(xiàng)共5種取法，合并同類項(xiàng)得項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.5.曲線在點(diǎn)處的切線的方程為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由斜截式方程即可求得答案【詳解】，,,則在點(diǎn)處的切線的方程為即故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)切線方程，屬于基礎(chǔ)題6.已知數(shù)列滿足，則等于（）A.6 B.11 C.22 D.43【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，結(jié)合的奇偶性逐步計(jì)算出的值.【詳解】已知，為奇數(shù)，根據(jù)遞推公式，可得.為偶數(shù)，根據(jù)遞推公式可得.

為奇數(shù)，根據(jù)遞推公式可得.

為偶數(shù)，根據(jù)遞推公式可得.

為奇數(shù)，根據(jù)遞推公式可得.

故選：C.7.在等差數(shù)列，中，，其前項(xiàng)和為，若，則（）A.12 B.18 C.30 D.36【答案】D【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列前項(xiàng)和為，利用已知即可計(jì)算出，即得，從而得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，，所以，故選：D.8.已知函數(shù)，，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求函數(shù)的解析式，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式.【詳解】，得，所以，，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即，即，即，且，得且.故選：C二、多選題（共4小題，共20分.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分）.9.下列函數(shù)求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極小值【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像判斷出函數(shù)的單調(diào)性和極值，由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像可知，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，沒有極大值.所以A,B,D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值，屬于基礎(chǔ)題11.已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，公差為，是和的等比中項(xiàng)，則（）A. B.數(shù)列是遞增數(shù)列C. D.有最大值為【答案】AC【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)以及等比中項(xiàng)定義計(jì)算可得，可得A正確；由于不明確公差的符號(hào)，所以BD錯(cuò)誤，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得C正確.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是和的等比中項(xiàng)可得，可得，即，即A正確；對(duì)于B，由A可知，因?yàn)椴恢赖恼?fù)，因此公差的符號(hào)不確定，所以數(shù)列的單調(diào)性不確定，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知，所以C正確，對(duì)于D，根據(jù)B選項(xiàng)可知數(shù)列的單調(diào)性不確定，因此不一定有最大值，可得D錯(cuò)誤.故選：AC12.丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)凸函數(shù)的定義，求導(dǎo)，即可根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷.【詳解】對(duì)于A，由，得，則，因?yàn)?，所以，所以此函?shù)是凸函數(shù)；對(duì)于B，由，得，則，因?yàn)椋?，所以此函?shù)是凸函數(shù)；對(duì)于C，由，得，則，因?yàn)椋?，所以此函?shù)是凸函數(shù)；對(duì)于D，由，得，則，因?yàn)椋?，所以此函?shù)不是凸函數(shù)，故選：ABC三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.在等比數(shù)列中，，則______.【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)已知條件列方程求解即可【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，所以，解得，故答案為：14.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和__________.【答案】【解析】【分析】利用賦值法求解系數(shù)和即可.【詳解】令，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為.故答案為：15.6名同學(xué)排成一排，其中甲?乙兩人不相鄰的排法共有__________種方法；【答案】480【解析】【分析】根據(jù)不相鄰問題插空法求解即可.【詳解】先將除甲、乙之外的4人排隊(duì)，共有種不同的排法，再將甲、乙兩人份插入到已經(jīng)排好的4人形成的5個(gè)空位上，有種不同的方法，所以根據(jù)分步乘法原理，所有排法共種.故答案為：480.16.已知曲線在點(diǎn)P處的切線與在點(diǎn)Q處的切線平行，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為__________．【答案】11【解析】【分析】方法一：對(duì)求導(dǎo)，設(shè)，根據(jù)條件得到，進(jìn)而得，再得到函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，最后求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可；方法二：對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，可得存在兩實(shí)根，再求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可.【詳解】方法一：，則，設(shè)，依題意，所以，則，顯然，則，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，則，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為11.方法二：，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，令，設(shè)其根為，則.因?yàn)樵邳c(diǎn)處切線與在點(diǎn)處的切線平行，所以存在兩實(shí)根，其中一個(gè)為，設(shè)另一個(gè)為．即兩根為，由韋達(dá)定理得，則，所以，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為11.故答案：11.四、解答題（共70分，第17題10分，其余每題12分）17.已知的展開式中共有9項(xiàng).（1）求的值；（2）求展開式中的系數(shù)；（3）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】（1）（2）112（3）【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)式展開式中共有可求得的值；（2）求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為4，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，再由二項(xiàng)式定理得結(jié)論.【小問1詳解】由題意得，解得.【小問2詳解】由（1）可知展開式的通項(xiàng)為.令，解得，則.故展開式中的系數(shù)為112.【小問3詳解】根據(jù)題意可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的極值；【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）極大值為，極小值為．【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性求出函數(shù)的極值.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】由（1）可知當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為；當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由，的關(guān)系作差即可判斷；（2）由（1）求得，再由等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式即可求解；【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立①－②，可得，即，所以，又，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可得，則，，所以．20.已知中，角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若為的中點(diǎn)，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)求解即可；（2）解法一：由為的中點(diǎn)可得，兩邊平方，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式和余弦定理可得，代入三角形的面積公式即可求解；解法二：分別在，，中利用余弦定理，再結(jié)合，聯(lián)立解出，代入三角形的面積公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗?，而，所?【小問2詳解】解法一：由為的中點(diǎn)知，兩邊同時(shí)平方得，即，所以，又在，由余弦定理得，所以，所以的面積為.解法二：在中，由余弦定理可得，整理得①在中，，在中，，而，所以，故，即②,由①②得，，所以的面積為.21.如圖，在四面體中，面ABC，.（1）求證：面面PBC；（2）若，于D，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）要證明面面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明平面；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求二面角的余弦值.【小問1詳解】，，面ABC，，面，面PAC，面面PBC.【小問2詳解】由題意知，，，則.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為軸，過點(diǎn)垂直于底面的線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，設(shè)，則，，，設(shè)平面DAC的法向量為，則，令，則，，同理平面的法向量為，設(shè)平面和平面夾角為，則，平面和平面夾角的余弦值為.22.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，