空間向量與立體幾何(知識點(diǎn)+題型)

知識點(diǎn)

知識點(diǎn)01：空間向量的有關(guān)概念

1、空間向量的有關(guān)概念

幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長度為o的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量￡長度相等而方向相反的向量，稱為￡的相反向量，記為-￡

相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量

2、空間向量的表示

表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：

(1)幾何表示法：用有向線段荏來表示，A叫向量的起點(diǎn)，8叫向量的終點(diǎn)；

(2)字母表示法：用反工表示.向量￡的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量￡也可以記作而，其模記為/或|而|.

知識點(diǎn)02：空間向量的加法、減法運(yùn)算

1、空間向量的位置：已知空間向量￡石，可以把它們平移到同一平面2內(nèi)，以任意點(diǎn)。為起點(diǎn)，作向量返=日，

2、空間向量的加法運(yùn)算(首尾相接首尾連)：作向量/=B，則向量反叫做向量2,B的和.記作￡+石，即

OC=AC=a+b

/fa。。7/

3、空間向量的減法運(yùn)算(共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量)：向量麗叫做￡與石差，記作￡-石，即

BA=OA-OB=a—b

/\/7

/a。0c/

4、空間向量的加法運(yùn)算律

(1)加法交換律：a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律：a+B+c=a+(B+c)

知識點(diǎn)03：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)力與空間向量Z的乘積4%仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.

2、數(shù)乘向量力公與向量￡的關(guān)系

2的范圍2a的方向花的模

2>0彳3與向量Z的方向相同\Aa\=\A\\a\

2=02a=0＞其方向是任意的

2<0a%與向量￡的方向相反

知識點(diǎn)04：共線向量與共面向量

1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量

或平行向量，若￡與B是共線向量，則記為

2、共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量力業(yè)的充要條件是存在實(shí)數(shù)％，使￡=

3、共面向量定義：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量.

4、共面向量定理：如果兩個(gè)向量2萬不共線，那么向量,與向量Z,石共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y）,

使p=xa+yB

5、空間共面向量的表示

如圖空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（％y）,使I?=x而+yAC.

圖3.1-15

或者等價(jià)于：對空間任意一點(diǎn)。，空間一點(diǎn)尸位于平面ABC內(nèi)（P,AB,C四點(diǎn)共面）的充要條件是存在有序?qū)?/p>

數(shù)對（尤,y）,使存=函+*而+y/,該式稱為空間平面ABC的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間

一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.

6、拓展

對于空間任意一點(diǎn)。，四點(diǎn)共面（其中C,A5不共線）的充要條件是中=兩+z而（其中

x+y+z=1）.

知識點(diǎn)05：空間兩個(gè)向量的夾角

1、定義：如圖已知兩個(gè)非零向量凡在空間任取一點(diǎn)。，作次=￡,OB=b＞則么NAO3叫做向量的夾

角，記＜￡出〉.（特別注意向量找夾角口訣：共起點(diǎn)找夾角）

2、范圍：＜a,b＞E.[0,7i].

-*-*■―?-?

特別地，（1）如果＜a/＞=—，那么向量a,b互相垂直，記作a

2

（2）由概念知兩個(gè)非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時(shí)，夾角為0；反向時(shí)，夾角為"，故＜%]〉=0（或

＜a,b〉=%）＜=＞￡/區(qū)（a/為非零向量）.

3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）

若兩個(gè)向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為8,

————7C

(1)向量夾角的范圍是O?a,b><兀，異面直線的夾角夕的范圍是。<夕<］，

—?—?__.)L

(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時(shí)，0=<a,b>；當(dāng)兩向量的夾角為,時(shí)，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時(shí)，

0=7t—<a,b>.

知識點(diǎn)06：空間向量的數(shù)量積

1、定義：已知兩個(gè)非零向量￡,b>貝1J|a||cos<a,b>叫做￡,5的數(shù)量積，記作￡%；即

a-b=\a\\b\cos<a,b>.規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.

特別提醒：兩個(gè)空間向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零；

2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

⑴利用公式131=J荔可以解決空間中有關(guān)距離或長度的問題；

一一G?h

(2)利用公式cos<a,可以解決兩向量夾角，特別是兩異面直線夾角的問題；

\a\\b\

3、向量￡的投影

①如圖(1),在空間，向量Z向向量B投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面a內(nèi)，進(jìn)而

—?—?—?—?h

利用平面上向量的投影，得到與向量B共線的向量入c=|a|cos<a">一向量"稱為向量￡在向量B上的投影

向量.類似地，可以將向量Z向直線/投影(如圖(2)).

②如圖(3),向量￡向平面夕投影，就是分別由向量￡的起點(diǎn)A和終點(diǎn)8作平面夕的垂線，垂足分別為A，B'，得

到瓦百，向量瓦?稱為向量￡在平面夕上的投影向量.這時(shí)，向量瓦手的夾角就是向量￡所在直線與平面夕

所成的角.

4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量z，B的數(shù)量積等于Z的長度|￡|與石在Z方向上的投影|B|cos<Z,B〉的乘

積或等于b的長度㈤與￡在石方向上的投影I3Icos<日花〉的乘積.

5、數(shù)量積的運(yùn)算：

(1)(Aa)-b=/l(a-b),一

(2)a./?=〃.Q(交換律).

(3)a?(B+c)=+(分配律).

知識點(diǎn)07：空間向量基本定理

1、空間向量基本定理

如果向量三個(gè)向量a,b,c,不共面，那么對空間任意向量p,存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝，使得萬=+通+zc.

2、基底與基向量

如果向量三個(gè)向量2,瓦工,不共面，那么所有空間向量組成集合就是｛布=耘+誘+2<?,羽以2則.這個(gè)集合可看

作是由向量2，瓦2,生成的，我們把｛￡,瓦耳叫做空間的一個(gè)基底瓦2,都叫做基向量.

3、單位正交基底

如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都是1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用伍］收｝表

z5.

4、正交分解

由空間向量基本定理可知，對空間任一向量￡,均可以分解為三個(gè)向量后，yi>zt使得￡=J+y]+zG.像這

樣把一個(gè)空間向凄分解為三個(gè)兩兩垂直的向曼叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

知識點(diǎn)08：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

1、空間直角坐標(biāo)系

空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念

⑴空間直角坐標(biāo)系:在空間選定一點(diǎn)。和一個(gè)單位正交基底(i,工R，以。為原點(diǎn)，分別以工后的方向?yàn)檎较颍?/p>

以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐

標(biāo)系Oxyz.

(2)相關(guān)概念：。叫做原點(diǎn)，7,],無都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為。孫平面、

0yz平面、O玄平面，它們把空間分成八個(gè)部分.

2、空間向量的坐標(biāo)表示

①空間一點(diǎn)的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，無為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn)A,對應(yīng)一個(gè)向量方，且

點(diǎn)A的位置由向量05唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使次=需+jJ+zK

在單位正交基底｛7,下與向量次對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(尤,y,z)叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作

A(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，》叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).

②空間向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系。xyz中，給定向量作英=日.由空間向量基本定理，存在唯一的有序

實(shí)數(shù)組(x,y,z),使Z=x7+yJ+zG.有序?qū)崝?shù)組(％,y,z)叫做日在空間直角坐標(biāo)系Qxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作

a=(x,y,z).

知識點(diǎn)09：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1>設(shè)2=(%,a2,a3),b=(bvb2,b3),空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示:

運(yùn)算坐標(biāo)表示

加法a+Z?=(tz1+4,a2~\~b29%+4)

減法a—-1\,a2-b2,a3-i>3)

數(shù)乘%〃2，A%),%￡R

數(shù)量積a-b=%仇+〃2%+。3〃3

2、兩個(gè)向量的平行與垂直

a-(ava2fa3),b=(bvb2,b3)

ax=獨(dú)

d||方(方w0)=M=丸萬=<

平行(a||&)a2=Ab2(2GH)

a3=2b3

垂直(a)a_Lb<^>d-b=0<^>axbx+a2b2+a3b3=0(a,B均非零向量)

3、向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式

l22

右”二(%，a2,a3),則|〃|=f0t+a；+q?>即Ia|=+a2+a3

空間向量長度公式表示的是向量的長度，其形式與平面向量長度公式一致，它的幾何意義是表示長方體的體對角線

的長度

4、兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式

ab01bl+a2b2+a3b3

設(shè)。二(%,a,a\b=(bb,b),貝！Icos<￡,)>=

23v23|a||b|《a；+〃；+〃；Qb；+b；+b；

5、兩點(diǎn)間的距離公式

已知A(%，X，ZI),5(X2，%，Z2)，則4AB=|通|=J(%—%)2+(%-%)2+(Z2-ZJ2

6、中點(diǎn)坐標(biāo)公式

*產(chǎn)+%2

2

M+%

設(shè)點(diǎn)尸(x,y,z)為《(%,%,zj,￡(%,%，Z2)的中點(diǎn)，則，y=

2

Z]+z

z=2

2

知識點(diǎn)10：用向量表示點(diǎn)、直線、平面的位置

1、用向量表示點(diǎn)的位置：

在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)。作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量而表示.我們把向量存稱為點(diǎn)P的位

置向量.如圖.

2、直線的方向向量

如圖①,a是直線I的方向向量,在直線/上取旗=2,設(shè)P是直線/上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線I上的充要條件是存

在實(shí)數(shù)/,使得Q=扇，即?=/通

四①

3、空間直線的向量表示式

如圖②，取定空間中的任意一點(diǎn)。，可以得到點(diǎn)P在直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)/,使歷=函+啟①

或OP=OA+tAB②

①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.

國②

4、用向量表示空間平面的位置

根據(jù)平面向量基本定理，存在唯一實(shí)數(shù)對(x,y),使得Q=+如圖；取定空間任意一點(diǎn)。，空間一點(diǎn)尸位

于平面A3c內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,使9=赤+%通+以記.

知識點(diǎn)11:平面的法向量及其應(yīng)用

1、平面法向量的概念

如圖，若直線,取直線/的方向向量￡,我們稱￡為平面。的法向量；過點(diǎn)A且以￡為法向量的平面完

全確定，可以表示為集合{P|7通=0}.

2、平面的法向量的求法

求一個(gè)平面的法向量時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下：

設(shè)向量：設(shè)平面a的法向量為〃=（x,y,z）

選向量：選取兩不共線向量入瓦起

n-AB=0

列方程組：由一_.列出方程組

n-AC=0

n-AB=0

解方程組：解方程組――.

n-AC=0

賦非零值：取其中一個(gè)為非零值（常取±1）

得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量.

知識點(diǎn)12：空間中直線、平面的平行

設(shè)直線4,4的方向向量分別為￡，b＞平面a，夕的法向量分別為7，m，則

線線平行611，2||b=4b(2eR)

線面平行4Ha_LnQ].〃=0

面面平行a||尸="]|m<=>?=Am

知識點(diǎn)13：空間中直線、平面的垂直

設(shè)直線4的方向向量為￡=（q,4,q）,直線乙的方向向量為B=32，。2），平面。的法向量反=（七,%，4），平面

夕的法向量為機(jī)=（尤2，%，Z2），則

線線垂直乙_L4=Q.b=0o6%+b1b?+qQ=0

ax-

線面垂直4J_a||n=Xn今仇=4%

q=2Zj

面面垂直a_L〃_L正=3.?=00為々+%%+ZK=0一

知識點(diǎn)14：點(diǎn)到線面距離

1、點(diǎn)到直線的距離

己知直線/的單位方向向量為1，A是直線/上的定點(diǎn)，P是直線/外一點(diǎn).設(shè)Q=則向量而在直線/上的投

影向量而=(71)鼠在R/AAP。中,由勾股定理得：PQ=AP|2-I=而-(7-)2

2、點(diǎn)到平面的距離

如圖，已知平面々的法向量為反，A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面a的垂線/,交平面a

于點(diǎn)。，則反是直線/的方向向量，且點(diǎn)P到平面戊的距離就是而在直線/上的投影向量0A的長度.

PQ=|正當(dāng)=||=

I〃|\n\\n\

知識點(diǎn)15：用向量法求空間角

1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角

已知a,6為兩異面直線，A,C與B,。分別是a,6上的任意兩點(diǎn)，a,6所成的角為夕，則

ACBD

①cos<AC,BD>=

\AC\\BD\

\AC-BD\

②cos0=|cos<AC,BD>\=RR,

2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角

設(shè)直線/的方向向量為平面a的法向量為G，直線與平面所成的角為8,%與G的角為。，則有

右a-u

①COS0二一一

1列川

②sin3=|cosd(注意此公式中最后的形式是：sin。)

3、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角

如圖，若于A,P3_L/?于2,平面尸交/于E,則NAEB為二面角。-/-，的平面角，NAE3+/APB=180。.

若丹?%分別為面戊，尸的法向量

①cos<4，%>=一’上

一后|⑷

②cos6根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；

若二面角為銳二面角（取正）,則cos，=|cos<4,n2>1；

若二面角為頓二面角（取負(fù)），貝!|cos8=—|cos<%,“2>1；

甲強(qiáng)型儕單

多題型一：空間向量線性運(yùn)算................................................................11

畬題型二：向量共面與四點(diǎn)共面..............................................................13

畬題型三：用基底表示向量..................................................................14

畬題型四：空間向量基本定理求數(shù)量積、模長、夾角..........................................15

畬題型五：空間直角坐標(biāo)系...................................................................16

多題型六：空間向量的平行、垂直運(yùn)算.......................................................17

畬題型七：空間向量的數(shù)量積、模長、夾角運(yùn)算..............................................18

多題型八：空間向量的投影向量..............................................................19

畬題型九：異面直線所成角..................................................................20

畬題型十：線面角............................................................................21

多題型4-一：二面角、平面與平面所成角.....................................................23

畬題型十二：點(diǎn)到線的距離...................................................................25

多題型十三：點(diǎn)到面的距離...................................................................26

畬題型十四：折疊問題.......................................................................27

畬題型十五：探索性問題.....................................................................30

【題型一：空間向量線性運(yùn)算】

一、單選題

—?1―?―?

1.（23-24高二下?甘肅?期中）在空間四邊形A3C。中，E,歹分別為8C,CO的中點(diǎn)，貝|A尸—萬043+AC）=（）

A.-EFB.BDC.EFD.-BD

2.（24-25高二上?廣東茂名?期中）在平行六面體A3cAfCQi中，AB=a,AD=b>=c,0是BD1與B】D

的交點(diǎn)，以加，力，酬為空間的一個(gè)基底，則直線。4的一個(gè)方向向量為（）

1一1一

C.一〃+Z?+cD.——a-b+c

22

3.(24-25高二上?四川成都?階段練習(xí))如圖，在平行六面體中，AB-AD+AA；=()

4.(24-25高二上?福建福州?階段練習(xí))如圖，空間四邊形OABC中，函=商,詼=反宓=—且。加=2〃A,BN=NC,

則癡=()

人/一1r-i_iri_

A.——a+—b+—cB.—a+—b——c

322222

C.--a+-b+-cD.-a-—b+—c

332232

5.(23-24高二上?山東青島?期末)已知四面體0ABe中，西=原屈=反元=心兩=2而5(2>0),N為BC中點(diǎn),

-----1-1_]_

若MN=——a+-b+-c,貝l|/l=()

422

A.3B.2

【題型二：向量共面與四點(diǎn)共面】

一、單選題

1.（24-25高三上?上海?開學(xué)考試）關(guān)于空間向量，以下說法錯(cuò)誤的是（）

A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面

B.若￡4>0,則Z與1的夾角是銳角

C.已知向量2、b>"是不共面的向量，則2入5、々也是不共面的向量

—?1—■1—?2—?

D.若對空間中任意一點(diǎn)。，^OP=-OA+-OB+-OC,則尸，A,B,C四點(diǎn)共面

1243

2.（24-25高二上?重慶?期中）在空間中，若向量@=（1,0,—2）,B=（1,2,3）,不=（1,3,利）共面，則加=（）

3.（24-25高二上?江蘇無錫?期中）設(shè)｛第反耳為空間的一個(gè)基底，OA=2a+3b+5c>OB=a+2b-2c>OC=ka+b+3c>

若兩，OB>"共面，貝必=（）

4.（24-25高二上?山東?期中）若｛為瓦可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）

A.b+c,b,b—cB.a+b,a,a-b

C.a+b,a—2b,cD.a+b,a+b+c,c

5.（24-25高二上?湖北?期中）如圖，在正四棱臺ABC。-A與G2中，AB=2AiBi,AE=^AB,DF=^DA,Afi=^A^A-

AM

直線AC1與平面E/G交于點(diǎn)則大=（）

6.（24-25高二上?河南周口?階段練習(xí)）在正三棱錐尸-ABC中，R4=AS=3,點(diǎn)M滿足

PM=xPA+yPB+（2-x-y）PC,則AM的最小值為（）

A?警B.而C.fD.2屈

【題型三：用基底表示向量】

一、單選題

1.（24-25高二上?重慶?階段練習(xí)）下列可使苕，b,1構(gòu)成空間的一個(gè)基底的條件是（）

A.a=mb+ncB.a,b,1兩兩垂直

C.g|=|B|=|乙|=1D.a+b+c=0

2.（23-24高二下?甘肅臨夏?期末）如圖，在平行六面體ABC。-AB。'。'中，點(diǎn)￡,尸分別為A8,的中點(diǎn)，貝4訪=

22

1—.1―.—.

B.-AB+-AAf+AD

22

1—.1-.1―.

C.——AB+-AA+-AD

222

1―.1—.1—.

D.-AB+-AA,+-AD

222

3.（24-25高二上?安徽黃山?期中）如圖，在三棱錐O-ABC中，次=2,礪=反皮=2,而=—而,E是線段入￡）的

中點(diǎn)，則赤=（）

1-l1一1-11-

A.—。+—。r+一。B.—Q+—/r7+—C

236623

一1一1r「

C.—aH—bT—CD.J_￡+4+左

362263

4.（24-25高二上?山東棗莊?期中）若修最可是空間的一個(gè)基底，且｛J+晟。晟不+可不能構(gòu)成空間的一個(gè)基

底，貝心=（）

A.-1B.1C.0D.-2

5.（24-25高二上?湖北?期中）在空間直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若礪，朝，正是空間不共面的三個(gè)向量，則可

以與向量函+而和向量函-礪構(gòu)成空間一個(gè)基底的向量是（）

A.OAB.0BC.0CD.BA

【題型四：空間向量基本定理求數(shù)量積、模長、夾角】

一、單選題

1.（24-25高二上?廣東東莞?階段練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD-A與GR中，點(diǎn)加為棱CG上任意一點(diǎn)，則

AMBC=()

A.1B.2C.-1D.-2

2.（24-25高二上?貴州六盤水?期中）在空間四邊形OABC中，OA=a>OB=b<OC=c>且麗=2詬，BN=2NO,

則訴=（）

1-12-1-22-

A.——a+—b7+—cB.——a+—br——c

333333

2-l2-1-l2-

C.——a+—br——cD.——a+—br——c

333333

3.（23-24高一下?吉林延邊?階段練習(xí)）平行六面體ABCD-A與GR中

AB=AD=1^=2,ZBAD=^,ZBAAi=ZDAAl=1.pllj|BZ^|=（）

A.屈B.C.72D.V2+1

TT

4.（24-25高二上?江蘇南通?階段練習(xí)）在棱長均為1的三棱柱ABC-AB。1中，A\AB=^^0=-,則異面直線A耳

與BC1所成角的余弦值為（）

A.B.—C.如D.6

6633

5.（24-25高二上?山東煙臺?期中）在平行六面體ASCD-AZC'D'中，底面A3CD是正方形，NA'AB=NAWD=60。，

AB=2,A4'=4,M是棱AE的中點(diǎn)，AC與平面4WZ>交于點(diǎn)”，則線段的長度為（）

A.交B.迪C.72D.膽

232

6.（24-25高二上?浙江衢州?期中）已知正四面體RISC的棱長為1,動點(diǎn)M在平面ABC上運(yùn)動，且滿足

PM=-PA-PB+mPC，則可？.福的值為（）

A.-2B.-1C.0D.2

【題型五：空間直角坐標(biāo)系】

一、單選題

1.（24-25高二上?湖南?期中）在空間直角坐標(biāo)系以沖中，已知點(diǎn)4（1,1,1）,3（2,-1,0）,若點(diǎn)尸與點(diǎn)A關(guān)于Qyz平面

對稱，則麗=（）

A.（-3,2,1）B.（-1.0,1）C.（-1,0,-1）D.（3,-2,-1）

2.（24-25高二上?海南?期中）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)。是點(diǎn)尸（2,3,4）在Oyz平面內(nèi)的射影，則|og|=（）

A.3B.4C.5D.6

3.（24-25高二上?福建廈門?期中）一束光線自點(diǎn)出發(fā)，被xOy平面反射到達(dá)點(diǎn)。（3,3,6）被吸收，那么光線

所經(jīng)過的距離是（）

A.737B.733C.747D.757

4.（24-25高二上?河南許昌?階段練習(xí)）在VABC中，己知A（3,2,6）,8（5,4,0）,C（0,7,l）,則A8邊上的中線長為（）

A.742B.6C.4衣D.7

5.（24-25高二上?河南鄭州?期中）已知雙。,-3）,3（-2⑼是直線y=-3x上的兩點(diǎn)，若沿x軸將坐標(biāo)平面折成120。的

二面角，則折疊后45兩點(diǎn)間的距離是（）

A.4B.276C.6D.6立

【題型六：空間向量的平行、垂直運(yùn)算】

一、單選題

1.（24-25高二上?河南信陽?期中）已知向量：=（2,1,2）,g=（m-2,m,5）,若方，則相等于（）

A.-4B.-2C.2D.4

2.（24-25高二上?北京?期中）已知小b,"不共面,e=3a-tb-c，d=-2ta+6b+2c>若"與7共線，則實(shí)數(shù)/的

值為（）

A.-3B.1C.3D.-3或3

3.（24-25高二上?吉林長春?階段練習(xí)）已知平面a的一個(gè)法向量元=（-2,-2,1）,點(diǎn)A（-l,-3,0）在平面a內(nèi)；若點(diǎn)

0,2-7〃）在平面a內(nèi)，則加的值為（）

A.-2B.0C.1D.2

4.（23-24高二上?安徽?期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（0,0/），8（1,2,3）,C（m,n,2）,若向量質(zhì)與向量配

共線，則加的值為（）

13

A.0B.-C.1D.-

22

5.（23-24高二上?吉林延邊?期中）己知點(diǎn)4（",-3,5）,3（0,82）,C（2,7,-l）,若A,B,C三點(diǎn)共線，則a,b的值

分別是（）

A.-2,3B.-1,2C.1,3D.-2,2

6.（22-23高二上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）向量2=（2,1,1）,方=（x-l,x,0）（x>l）,且網(wǎng)=耳，若（〃必-則

實(shí)數(shù)加的值為（）

【題型七：空間向量的數(shù)量積、模長、夾角運(yùn)算】

一、單選題

1.（2024高二?全國?專題練習(xí)）已知空間向量滿足|￡|=夜,出|=1,￡，0+2為，則向量￡石的夾角為（）

2.（24-25高二上?山東青島?階段練習(xí)）向量2=（1,2,3）石=（-2,-4,-6）,|町=而,若（＜+L）E=-7,貝物與e的夾角

為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.（22-23高一下?黑龍江哈爾濱?期末）如圖，在四面體ABCD中，ZBAC=60°,ZBAD=ZCAD=45°,AD=肥,

AB=AC=3.則而.而=（）

D.3&

.2

TT

4.（23-24高一下?重慶?期末）平行六面體ABCD-ABCQi中，底面A2CD為正方形，/片4。==4,

AA1=AB=1,E為C|R的中點(diǎn)，則異面直線BE和。C所成角的余弦值為（）

。EG

M方

7

5.（24-25高二上?安徽?期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知@=（1,2,4）石=（3,6,22-2）,則4是a與石夾角為銳

O

角的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（24-25高二上?廣西?期中）如圖，邊長為4的正方形ABC。是圓柱0a的軸截面，M為上底面圓。內(nèi)一點(diǎn)，則

市?礪的最小值為（）

;''A

展......六.....珈

A.6B.8C.10D.12

7.（23-24高二下.甘肅蘭州.期中）若A（coszsina,l）,B（cos/,sin尸,1）,則口可的取值范圍是（）

A.[0,2]B.[1,73]C.（0,2）D.（1，君）

8.（24-25高二上?廣東?期中）棱長為2的正方體ABC。-A瓦GQ中，其內(nèi)部和表面上存在一點(diǎn)尸滿足

APBP=AP-4P=0,則NAB尸的取值范圍為（）

【題型八：空間向量的投影向量】

一、單選題

1.（24-25高二上?湖北?期中）已知A（2,l,3）,B（l,3,4）,C（4,-l,3）,則而在正方向上的投影向量的坐標(biāo)為（）

A.（2,-2,0）B.C.（—1,2,1）D.—,0^j

2.（24-25高二上.福建廈門?階段練習(xí)）在單位正交基底,人耳下，已知向量”1+2了+3后,b=2i+3k，則向量

沅=^+石在向量：上的投影向量為（）

A.37B.2iC.6iD.4i

3.（24-25高二上?安徽阜陽?期中）已知向量。，友*滿足冏=4,問=同=5,且1+石+不=0,則向量值一5在向量^上

的投影向量為（）

二、填空題

4.（24-25高二下?全國?課前預(yù)習(xí)）已知問=3,方在5方向上的投影為g,則a/=.

5.（23-24高二上?北京通州?期中）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知荏=（2,0,0）,AC=（0,2,0）,詬=（0,0,2）.則麗

與區(qū)的夾角的余弦值為;而在手的投影向量2=.

【題型九：異面直線所成角】

一、單選題

1.（24-25高二上?山東濰坊?期中）如圖，在斜三棱柱ABC-ABC1中，底面ABC為正三角形，。為AC的中點(diǎn),

AB=BB『2,/ABB】=NCBBi=120。,則異面直線8。與A耳所成角的余弦值為（）

2.（24-25高二上?福建福州?期中）在三棱錐A—5CD中,AB_L平面BCD,BC1CD,S.AB=BC=CD,M為AD

的中點(diǎn)，則異面直線5M與CD夾角的余弦值為（）

ARA/3p也D.叵

A.D.C.

3344

3.（24-25高二上?四川雅安?期中）如圖，平行六面體ABCD-A耳GA的所有棱長均相等，且NAA。=ZA.AB=ZDAB

7T

=g,則異面直線AC與。。所成角的余弦值為（）

A-TB-Ic-f

4.（24-25高二上?湖南?期中）在長方體ABCD-ABjCQ］中，已知AB=3C=2,e=4,E為A2的中點(diǎn)，則直

線CE與8。所成角的余弦值為（）

A而a5742n屈

A.D.JrU.

42214221

7T

5.（24-25高二上?山東聊城?階段練習(xí)）己知菱形ABCD,ADAB=~,將A/MC沿對角線AC折起，使以

四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大，此時(shí)異面直線A3與CD所成角的余弦值為（）

A.--B.BC.-D."

4244

【題型十：線面角】

一、解答題

1.（24-25高二上?重慶?期中）如圖，正方體中，E、F、G分別為。用自，2瓦的中點(diǎn).

DiCI

⑴證明：GP〃平面ACE；

(2)求AG與平面ACE所成角的余弦值.

2.(24-25高二上?四川甘孜?期中)在平行四邊形ABC。中，AB=BD=CD=1,AB±BD,BDLCD,將△ABD沿

8。折起，使得平面平面BC。，如圖.

C

⑴求證：AB±CD；

(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.

3.(24-25高二上?寧夏?期中)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3。是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PADY

底面ABC￡>,M是尸￡)的中點(diǎn).

(1)證明：/>3〃平面MAC；

(2)證明：平面ABAf_L平面PCD；

(3)求直線PC與平面ABM所成角的大小.

4.(24-25高二上?遼寧沈陽?期中)如圖，已知四棱錐尸-ABCD中，,側(cè)面皿>為邊長等于4的正三角形,

底面ABC。為菱形，尸為AD的中點(diǎn)，側(cè)面PAD與底面ABC。所成的二面角為120°.

⑴求點(diǎn)尸到平面ABCD的距離;

(2)已知點(diǎn)。為直線上的動點(diǎn)，若直線產(chǎn)產(chǎn)與面所成角的正弦值為逅，求線段。尸的長度.

6

5.(24-25高二上?河北邢臺?期中)如圖，在矩形ABC。中，AD=^2,取CD中點(diǎn)Af,將和分別沿

直線A",折疊，使。，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P得到三棱錐尸-ABM.

⑴當(dāng)AB=2時(shí)，求證：AM±PB；

⑵若二面角A-尸河-3的平面角為60。，是否存在A"上一點(diǎn)E,使得PE與平面所成角的正弦值為半？若

存在，請求出E點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

【題型十一：二面角、平面與平面所成角】

一、解答題

1.(24-25高二上?陜西咸陽?期中)如圖，PAJ_平面ABC,AB為圓。的直徑，E,尸分別為棱PC,尸8的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面PAC；

(2)若R4=AB=4，AC=2,求二面角E-AB—C的余弦值.

2.（24-25高二上?湖北武漢?期中）如圖，在四棱錐尸—ABCD中，PD=PC=CB=BA=-AD=2,AD//CB,

2

NCPD=/ABC=90°,平面PCD_L平面ABCD.

(1)求證：尸。_L平面PC4；

⑵點(diǎn)。在棱以上，C0與平面PDC所成角的正弦值為如，求平面PCD與平面CQQ夾角的余弦值.

3

3.(24-25高二上?湖北省直轄縣級單位?期中)如圖，在四棱錐P-ABCD中，

AB1AD,CD1AD,AB^AD=PD^^CD=1,PA=^2,PC=?,點(diǎn)。為棱尸C上一點(diǎn).