專題07帶電粒子在勻強磁場中的運動

NO.1

壓軸題解讀

帶電粒子在勻強磁場中的基本運動狀態，包括勻速直線運動、勻速圓周運動等，特別是當

粒子速度方向與磁場方向垂直時的運動情況。洛倫茲力的性質和作用，包括洛倫茲力對帶電粒

子速度大小和方向的影響，以及洛倫茲力作為向心力在勻速圓周運動中的角色。

帶電粒子在勻強磁場中的運動在2025年高考中很可能成為重要命題點。考查方向將主要

集中在帶電粒子在磁場中的運動規律、受力分析以及相關的計算問題上。相關的計算知識點，

如勻速圓周運動的半徑公式、周期公式等，以及這些公式在解決實際問題中的應用。可能會結

命題預測合有界勻強磁場的情況，考查粒子軌跡的確定、半徑和運動時間的計算方法等。

考生復習備考時，做到深入理解基本概念和原理：熟練掌握帶電粒子在勻強磁場中運動

的基本原理，包括洛倫茲力的性質、方向判斷以及帶電粒子在磁場中的運動軌跡分析。理解并

掌握帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的條件，以及相關的半徑、周期等計算公式。強化

解題技巧和方法：學會分析帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡，特別是進出磁場時的對稱性、

角度變化等關鍵點。掌握通過幾何圖形（如圓、三角形等）輔助分析帶電粒子運動軌跡的方法，

提高解題效率和準確性。

1.帶電粒子在勻強磁場中的運動

2.帶電粒子在磁場中運動的多解問題

高頻考法

3.帶電粒子在磁場中運動的臨界極值問題

4.動態圓

NO.2

壓軸題密押

考向一：帶電粒子在勻強磁場中的運動

1.帶電粒子在有界磁場中的圓心、半徑及運動時間的確定

基本思路圖例說明

O二:

①與速度方向垂直的p、初點速度方向垂線的交點

直線過圓心P1???

圓心的確定

11

②弦的垂直平分線過|XXX1

。1BI

IXxxIP點速度方向垂線與弦的垂

圓心!\!^0

|xXXX\/

ixZ直平分線交點

-L—常用解三角形法：左圖中，R

X

利用平面幾何知識求XXNxL、

半徑的確定L.取出AL\a)

R-d\sin0

半徑?。。建

19/z?+

求得穴=——

2d

利用軌跡對應圓心角

0(p2a

。或軌跡長度/求時間t=-T=—T=-T

運動時間的27r27r27r

「J”

…e

確定①尸丁7AB

2兀l

t=~=—

②t=LVV

V

2.帶電粒子在有界磁場中運動的常見情形

(1)直線邊界(進出磁場具有對稱性,如圖所示)

⑵平行邊界：往往存在臨界條件，如圖所示。

O

d=R](l-cos0)d

d=2R2d=R(l+cos6)</=R(l-cos6)

甲乙丙

⑶圓形邊界

①速度指向圓心：沿徑向射入必沿徑向射出，如圖甲所示。粒子軌跡所對應的圓心角一定等于速度的偏向

角

②速度方向不指向圓心：如圖乙所示。粒子射入磁場時速度方向與半徑夾角為仇則粒子射出磁場時速度

方向與半徑夾角也為凡

③環形磁場：如圖丙所示，帶電粒子沿徑向射入磁場，若要求粒子只在環形磁場區域內運動，則一定沿半

徑方向射出，當粒子的運動軌跡與內圓相切時，粒子有最大速度或磁場有最小磁感應強度。

考向二：帶電粒子在磁場中運動的多解問題

帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由于帶電粒子電性不確定、磁場方向不確定、臨界狀態不確

定、運動的往復性造成帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題。

1.帶電粒子電性不確定形成多解

分析圖例

XX/X)

帶電粒子可能帶正電荷，也可能帶負電荷，初速度相同時，、、/，

、.，'

正、負粒子在磁場中運動軌跡不同，形成多解

如帶正電，其軌跡為a；如帶負電，

其軌跡為人

2.磁場方向不確定形成多解

分析圖例

只知道磁感應強度大小，而未具體指出

、/

磁感應強度方向，由于磁感應強度方向

不確定而形成多解粒子帶正電，若2垂直紙面向里，其軌跡為a,若

2垂直紙面向外，其軌跡為6

3.臨界狀態不確定形成多解

分析圖例

「V__

；X

帶電粒子飛越有界磁場時，可能穿過磁場飛出，也可能轉\yx

?/

過180。從入射界面一側反向飛出，于是形成多解

考向三：帶電粒子在磁場中運動的臨界極值問題

解決帶電粒子在磁場中運動的臨界問題的關鍵是以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界

點，確定臨界狀態，根據磁場邊界和題設條件畫好軌跡，建立幾何關系求解。

1.臨界條件

剛好穿出（穿不出）磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切。

2.幾種常見的求極值問題

（1）時間極值

①當速度v一定時，弧長（弦長）越長或圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長。

②圓形邊界：公共弦為小圓直徑時，出現極值，即當運動軌跡圓半徑大于圓形磁場半徑時，以磁場直

徑的兩端點為入射點和出射點的軌跡對應的圓心角最大，粒子運動時間最長。

③最短時間：弧長最短（弦長最短），入射點確定，入射點和出射點連線與邊界垂直。

如圖，尸為入射點，M為出射點，此時在磁場中運動時間最短。

XXX

M

X-又一又、、

義乂央;工飛7

X^,x/：XXXx\

x4xXXX；iIXXX

-------V-........./—\XXX

“'J」攵

單邊界磁場平

（2）磁場區域面積極值

若磁場邊界為圓形時，從入射點到出射點連接起來的線段就是圓形磁場的一條弦，以該條弦為直徑的

圓就是最小圓，對應的圓形磁場有最小面積。

考向四：動態圓

1.“平移圓”模型

粒子源發射速度大小、方向一定，入射點不同但在同一直線上的同種

帶電粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓周運動的半徑相同，若入射

mvo

速度大小為%,則半徑如圖所示

適用條件QB

XXXXXXX

111

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線上，該直線與入

軌跡圓圓心共線

射點的連線平行

將半徑為年=一的圓進行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法

界定方法qB

叫“平移圓”法

2.“旋轉圓”模型

粒子源發射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子進入勻強磁場時，它們

在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若入射初速度大小為力,則圓周運動

mv

軌跡半徑為仁）a，如圖所示

qB

適用條件

P

如圖，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點〃為圓心、半徑

mv

0的圓上

qB

軌跡圓圓心共XX>^-^xXX

XX2XXQXXXX

圓

XX號X\^lXyX

xxxx

mv

將一半徑為仁）0的圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索出臨界條件，這

界定方法qB

種方法稱為“旋轉圓”法

3.“放縮圓”模型

粒子源發射初速度方向一定，大小不同的粒子，在磁場中做勻速圓周運動的

適用條件

軌跡半徑隨速度的變化而變化

XP'XJ又-?XX

3人

X/x'、3?-勺、X

/J'、/'

軌跡圓圓心X；X/名、夕X

\：5、、/

X*'、XXx

共線、、［二二二7P---

xxx'""xXX

帶正電粒子速度V越大，運動半徑也越大。運動軌跡的圓心在垂直初速度方

向的直線分'上

以入射點戶為定點，圓心位于用'直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索

界定方法

出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

4.“磁聚焦”與“磁發散”模型

磁發散磁聚焦

帶電粒子平行射入圓形有界勻強磁場，如果

帶電粒子從圓形有界勻強磁場邊界上同一點

軌跡半徑與磁場半徑相等，則粒子從磁場邊

射入，如果軌跡半徑與磁場半徑相等，則粒

界上同一點射出，該點切線方向與入射方向

子出射方向與入射點的切線方向平行

平行

r__________r

k"的V------------A

1x￥?義x,J-------------------LxX-xxj

_______

O題型密押

?題型01帶電粒子在直線邊界磁場中運動

1.如圖所示，在空間直角坐標系。-孫z中，zNO區域存在沿y軸正方向、磁感應強度大小為28的勻強磁

場；z<0區域存在與平面平行，與x軸、y軸正方向夾角均為45。，磁感應強度大小為亞3的勻強磁場。

一質量為〃八電荷量為+q的帶電離子（不計重力），以初速度W從。點沿z軸正方向射出，離子之后經過

xQy平面的位置坐標可能為（）

(mvQmv01

A.。，箸。B.。益。c?1謫，麗BD.

【答案】D

【詳解】由洛倫茲力提供向心力得

qvB=Q

R

即

R=—

qB

可知離子在zNO區域運動的軌跡半徑為

尺嗎

12qB

離子第一次進入z<0區域時速度方向沿z軸負方向，在z<0區域軌跡半徑

'JlmVg

R=

22qB

由幾何關系可知離子從z<0區域進入z>0區域時速度方向沿z軸正方向，且入射點在y軸上。故離子在z>

。區域中始終在平行xOz平面內做圓周運動，在z<0區域做圓周運動的平面始終與該區域磁場方向垂直，

運動軌跡如圖所示。

由上述分析可知，離子奇數次經過x切平面時的x坐標為

X"=等了坐標為

qB'

y=(…3,5,7,…)

n2qB

離子偶數次過xOy平面時次坐標為0,丁坐標為

%=￡^("=2,4,6,8,…)

故選Do

■題型02帶電粒子在特定邊界磁場中運動

2.如圖所示，矩形區域abed內充滿方向垂直紙面向里、磁感應強度大小為5的勻強磁場，在ad邊的中點。

處垂直磁場方向向里射入一帶正電粒子，其入射速度大小為為、方向與ad邊的夾角為30°。已知粒子的質

量為加、電荷量為g,ad邊長為L,必邊足夠長，粒子重力不計。欲使粒子不從成邊射出磁場，則磁場的

磁感應強度大小8的范圍為()

-----------------------------------------------；b

xxxx

II

II

II

Okxxxx

%

30。uxxxx

6?'----------------------------------------------------------------------------------------------------------------」C

A,g<5<汕B.B<g

qLqLqL

「3mvn八mvn八3加%

C.B〉TD.或82T

qLqLqL

【答案】D

【詳解】粒子在磁場中做圓周運動，有

qv°B=

R

得

R①

qB

則磁場的磁感應強度越大，粒子的軌跡半徑越小。如圖所示

設粒子的軌跡剛好和cd邊相切時，軌跡的圓心為O,則有

R,-J?.sin30°=-

112

得

R[=L

則

4n

qL

故當磁場的磁感應強度小于要時，粒子將從cd邊射出磁場；設粒子的軌跡剛好與邊相切時，圓心為

qL

o2,則有

凡+凡sin30°=上

222

則

R=-

23

則

故當磁場的磁感應強度大于或等于電誓時，粒子將從ad邊射出磁場。

qL

故選D。

?題型3帶電粒子在圓形邊界磁場中運動

3.受控熱核聚變反應的裝置中溫度極高，因而帶電粒子沒有通常意義上的容器可裝，而是由磁場將帶電粒子

束縛在某個區域內。現有一個環形區域，其截面內圓半徑4=V^m,外圓半徑％=3m,區域內有垂直紙面向

外的勻強磁場，如圖所示。已知磁感應強度大小3=1QT,被束縛的帶正電粒子的比荷且=4Qxl07c/kg,中空

m

區域中的帶電粒子由內、外圓的圓心。點以不同的初速度射入磁場，不計帶電粒子的重力和它們之間的相

互作用，且不考慮相對論效應。

⑴求帶電粒子在磁場中運動的周期7和帶電粒子不能穿越磁場外邊界的最大速度v°；

(2)若中空區域中的帶電粒子以(1)中的最大速度卻從。點沿圓環半徑方向射入磁場，求帶電粒子第一次

回到。點所需要的時間；

⑶為了使束縛效果最好，在半徑為%的圓內也加上磁場，磁感應強度8=22,方向相同。求粒子不能射出

半徑為%的圓形區域的最大速度Vo

【答案】(1)1.57x10-7$,4xl07m/s

(2)1.91xl0-7s

(3)8xl07m/s

【詳解】(1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律有

V2

qvB=m—

r

v=---

T

解得帶電粒子在磁場中運動的周期為

7=1.57x10%

當帶電粒子以某一速度射入磁場時，粒子的運動軌跡恰好與外圓相切，此時粒子的速度為不能穿越磁場外

邊界的最大速度，如圖所示

根據幾何關系有

年+%2=（—。）2

解得

rQ=lm

洛倫茲力提供帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律有

qv°B=m—

解得

7

v0=4xl0m/s

（2）帶電粒子以速度V。射入磁場中時，根據幾何關系有

tan0=—=—

&3

解得

e=-

6

故其運動軌跡如圖所示

帶電粒子在磁場中運動的圓心角為在磁場中運動的時間為

44

八二工1

2乃

帶電粒子在磁場外做勻速直線運動，所用的時間為

2K

12=--------

%

故帶電粒子從。點沿圓環半徑方向射入磁場到第一次回到O點所需要的時間

t=tx+t2

解得

/=1.91xl（r,S

（3）要使束縛效果最好，則9與B的方向應相同，如圖所示

粒子在內圓區域內運動時，軌跡圓心為Q,在圓環區域內運動時，軌跡圓心為。2，設粒子在兩區域內的運

動半徑分別為尸八小因為

B'=2B

所以

馬

12

根據幾何關系有

2、cosa-Rx

OOX=耳

OO2=R2—r2

OO2=r2-rx-rx

則三角形OQQ為等腰三角形，乙OOQ2=2a,所以

2rxsina=%一弓

解得

丫2-2m

則

v=^^.=8xl07m/s

m

?題型4帶電粒子的不確定形成的多解問題

4.平面（W和平面ON之間的夾角為35。，其橫截面（紙面）如圖所示，平面上方存在勻強磁場，大

小為2,方向垂直于紙面向外。一質量為加，電荷量絕對值為q、電性未知的帶電粒子從。M上的某點向左

上方射入磁場，速度與（W成20。角，運動一會兒后從0M上另一點射出磁場。不計重力。則下列幾種情形

可能出現的是（）

B?N

271nl

A.粒子在磁場中運動的軌跡與ON只有一個公共點,在磁場中運動的時間是~9qB

B.粒子在磁場中運動的軌跡與ON只有一個公共點,在磁場中運動的時間是

9qB

27cm

C.粒子在磁場中運動的軌跡與ON共有兩個公共點,在磁場中運動的時間是~9qB

167rm

D.粒子在磁場中運動的軌跡與ON共有兩個公共點,在磁場中運動的時間是

9qB

【答案】ABD

【詳解】帶電粒子在磁場中做圓周運動，由洛倫茲力提供向心力有

qvB=mqvB=m"r

rT

得到

mv不2兀丫

——,1=--=——

qBvqB

AC.若粒子帶負電，將做逆時針方向的勻速圓周運動，粒子回到。河直線時，由圓周運動的對稱性，速度

方向必與成20。，但由于35。＞20。，則粒子軌跡與ON只可能有一個交點，故粒子偏轉角只可能為40。,

運動時間

40°27rm27m

----x---=----

360qB9qB

A正確、C錯誤。

BD.若粒子帶正電，將做順時針方向的勻速圓周運動，無論軌跡與ON有幾個交點，粒子回到直線時,

由圓周運動的對稱性，速度方向必與（W成20。，粒子偏轉角為

360°-40°=320°

則粒子運動時間為

t32—0_°___2x兀_m__\—6j_rm___

360°qB9qB

BD正確。

故選ABD?

?題型5磁場方向的不確定性成的多解問題

5.如圖甲所示，/以力是一長方形有界勻強磁場邊界，磁感應強度按圖乙規律變化，取垂直紙面向外為磁場

的正方向，圖中一質量為加、電荷量為4的帶正電粒子以速度％在f=0時從A點沿N8

方向垂直磁場射入，粒子重力不計.則下列說法中正確的是()

A.若粒子經時間恰好垂直打在上，則磁場的磁感應強度為=》

2qL

B.若粒子經時間/=恰好垂直打在8上，則粒子運動的加速度大小a=強

22￡

C.若要使粒子恰能沿DC方向通過C點，則磁場的磁感應強度的大小綜=誓(〃=1,2,3,一)

乙qL

2nI，/、

D.若要使粒子恰能沿。C方向通過C點，磁場變化的周期〃=l，2,3,…

【答案】AD

【詳解】A.若粒子經時間/=恰好垂直打在CD上，則粒子運動的半徑為

R=L

根據

qvB=m

0R

解得磁場的磁感應強度

Bo=

qL

選項A正確;

3

B.若粒子經時間看5To恰好垂直打在CD上，粒子的軌跡必定為3個四分之一圓周，如圖,

由幾何關系得，運動半徑為

1

r=-L

3

運動中的加速度為

a=—=--

rL

選項B錯誤；

CD.若要使粒子恰能沿。C方向通過C點，粒子運動的時間必定為磁感應強度變化的周期的整數倍，如圖;

根據運動的對稱性可得，軌道半徑滿足

2L=2nr

,L

r=—（n=l>2、3、…）

n

由洛倫茲力提供向心力得

4%穌="7T

r

得

nnmvr.

B-°（及-0、1、2、3、....）

oqL

粒子圓周運動周期為

T=3__=2兀L

113〃%

磁感應強度變化的周期

T0=T

得

Tg=~（H=0>1、2、3、....）

3"%

選項C錯誤，D正確；

故選AD.

■題型6臨界狀態的不唯一形成的多解問題

6.空間存在勻強磁場，磁感應強度大小為3,方向垂直于紙面，線段血W是屏與紙面的交線，長度為

其左側有一粒子源S,可沿紙面內各個方向不斷發射質量為加、電荷量為外速率相同的粒子；SP1MN,

尸為垂足，如圖所示，已知SP=MP=L,若ACV上所有的點都能被粒子從其右側直接打中，則粒子的速率

至少為（

M

S?——,尸

N

.\ilqBL2qBL#：qBLn-JiGqBL

r\?---------D.L.----------------U?----------------

mmmm

【答案】C

【詳解】粒子要打中MN的右側所有位置，最容易的方式為粒子從s飛出，繞過距離最近的河點，從右側

打中兒W最下端的N點，粒子運動的軌跡如圖所示

為軌跡圓的弦長，。為AGV中點，SP=PQ=L,MQ=2L；粒子

運動的半徑為人根據幾何關系可知四邊形SP。。為平行四邊形，則

r2=OQ2+MQ2

解得

r=#L

粒子在勻強磁場中勻速圓周運動，洛倫茲力完全提供向心力，根據牛頓第二定律可知

V2

qvB-m——

r

解得粒子的最小速率為

y/5qBL

v=---------

m

故選C。

?題型7帶電粒子在磁場中運動的臨界極值問題

3-

7汝口圖，在'丹坐標系的第一象限內，直線V=?/-丘（左〉0）的上方有垂直紙面向外的有界勻強磁場，磁感

應強度大小為瓦在點有一粒子源，能以不同速率沿與y軸正方向成60。角發射質量為加、電荷量

為式4>0)的相同粒子。這些粒子經磁場后都沿T方向通過x軸，且速度最大的粒子通過x軸上的M點，

速度最小的粒子通過x軸上的N點。已知速度最大的粒子通過x軸前一直在磁場內運動，NM巫I,不

2

計粒子的重力，求：

(1)粒子最大速度的值與人的值;

(2)粒子從尸點到穿過x軸經歷的最長時間;

【答案】⑴一？卜當⑵t=絲祟…S5(4?3向,2

36

【詳解】(1)設粒子的最大速度為匕，由于速度最大的粒子穿過x軸前一直在磁場內運動，過尸點作速度

的垂線交x軸于Q點，就是速度為匕的粒子做圓周運動的圓心，PQ即為半徑A，由幾何關系可知

&sin60°=yp

解得

%=拒1

由洛倫茲力提供向心力，則

qvxB=m

段

解得

拒qBl

V1二-----

m

由于所有粒子離開磁場時方向均沿y軸負方向，所以它們在磁場中偏轉的角度均相同。即從磁場射出的粒

3

子，射出點一定在連線上，尸M連線即為了=1/-履直線

OMOO{+RX

解得

3

(2)所有粒子在磁場中運動的時間均相等，速度小的粒子離開磁場后再做勻速直線運動，速度最小的粒子

在磁場外運動的位移最大，時間最長。設粒子在磁場中運動的時間為。

T2兀m1

1二——，=-T

qB13

設速度最小的粒子在磁場中半徑為&，速度為修，根據幾何關系有

CN_NM

~OP~~OM

R2sm3Q°+R2=OM-MN=43l

解得

CNjR”

由洛倫茲力提供向心力，則

qvB=m

2%

解得

2/qBl

v=-----------------

23m

最小速度的粒子離開磁場后運動的時間為r2,有

CN

%2二---

%

粒子最小的粒子從離開尸點到打在X軸上經歷的時間

/=(8^+3^

12qB

（3）磁場的最小面積為圖中尸CM陰影部分面積

S=（g萬尺；一；R；sin60°）—（；兀R；-1sin60°）

解得

5（4^-373）2

3=------------/

36

?題型8“平移圓”模型

8.如圖所示，在xQy平面的I、IV象限內有一圓心為O、半徑為R的半圓形勻強磁場，線狀粒子源從y軸左

側平行于x軸正方向不斷射出質量為加、電荷量為外速度大小為V。的帶正電粒子。磁場的磁感應強度大小

為一、方向垂直平面xQy向里。不考慮粒子間的相互作用，不計粒子受到的重力。所有從不同位置進入磁

2qR

場的粒子中，在磁場中運動的時間最長為（）

TIRTIRTIRTIR

A.—B.—C.—D.—

6vo4vo3Vo2vo

【答案】c

vi

【詳解】粒子在磁場中做勻速圓周運動，有qvOB=m-,解得r=2凡如圖所示，當粒子在磁場中的運動

r

FE

軌跡對應的圓心角最大時，粒子在磁場中運動的時間最長，由于sin1=一,要使圓心角。最大，在*最長

r

經分析可知，當粒子從y