重難點(diǎn)11解三角形的圖形類問題和重要模型【九大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1兩次使用余弦定理】...................................................................3

【題型2等面積法】...........................................................................3

【題型3解三角形中的中線模型】..............................................................4

【題型4解三角形中的倍角模型】..............................................................5

【題型5解三角中的角平分線模型】............................................................6

【題型6解三角中的高模型】...................................................................8

【題型7解三角形中的等分點(diǎn)模型】............................................................9

【題型8三角形的重心問題】..................................................................10

【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問題】........................................................11

?命題規(guī)律

1、解三角形的圖形類問題和重要模型

解三角形是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，正、余弦定理解三

角形在選擇題、填空題中考查較多，難度較易；解答題中解三角形的圖形類問題和一些重要模型也是考查

的重要內(nèi)容，中等難度，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合考查，解題方法多種多樣，需要靈活

求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1三角形圖形類問題的解題策略】

1.解決三角形圖形類問題的常用方法：

(1)兩次使用余弦定理：兩次使用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理

的性質(zhì)解題；

(2)等面積法：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問

題，相似是三角形中的常用思路；

(3)正、余弦定理結(jié)合：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

(4)相似三角形：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的

不錯(cuò)選擇；

(5)平面向量：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法

則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

(6)建系：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更

加直觀化.

【知識(shí)點(diǎn)2解三角形中的重要模型】

1.中線模型

(1)中線長定理：在AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,AD是BC邊上的中線，則

AB2+AC2=2{BD-+AD1}.

(2)向量法：AD2=^b2+c2A-1bccosA).

2.倍角模型

B=2Aob?=〃(a+c)

C=2B^c2=bCb+a),這樣的三角形稱為“倍角三角形

A=2Coa?=c(c+b)

+a'A,or>abc,cic

sin2BsinBsin3B2cos53-4sin2B

推論2：A=23O￡=1+2COSAO/?+C=2QCOSB.

b

3.角平分線模型

14r)

角平分線張角定理：如圖，AO為4L4C平分線，貝！JcosZBAD=▲(絲+把)

2bc

斯庫頓定理：如圖，是人針。的角平分線，貝—可記憶：中方二上積-下積.

4.等分點(diǎn)模型

如圖，若尸在邊5。上，且滿足定=%旃，\AP\=m,則延長AP至。，使力=4屈，連接CD.

易知AB〃DC,且OC=2c,|AD|=(1+A)|AP|,

ZBAC+ZACD=1SQ0.

A舉一反三

【題型1兩次使用余弦定理】

【例1】（2024?河南?三模）在AaBC中，AB=3VxeOSNBAC=1XC,且2。交8C于點(diǎn)。，AD=3,

貝UsinC=（）

A.iB.更C.漁D.這

3333

【變式1-1］（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知A4BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且a=g,BC邊上中

線AD長為1,則be最大值為（）

A.-B.-C.V3D.2V3

42

【變式1-2］（2024?浙江臺(tái)州?二模）在△力BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若acosC=2ccosA,則

筲的最大值為（）

a2

A.V3B.-C.—D.3

22

【變式1-3］（2024?陜西咸陽?三模）在△48C中，a、6、c分別為△48C的內(nèi)角4B、C的對(duì)邊，M為邊4C上

一點(diǎn)，滿足MC=34M,若a?+c?-七2+ac=0,c=2,a=4,則忸M=（）

A.立B.立C.三D.包

2772

【題型2等面積法】

【例2】（2024?海南?模擬預(yù)測）在△ABC中，乙4cB的平分線與對(duì)邊4B交于點(diǎn)D,若△C4D的面積為△CBD的

2倍，且CD=2/ACB=120°,則BC=（）

A.3B.4C.6D.8

【變式2-1］（2024?遼寧丹東?二模）在△力BC中，點(diǎn)。在BC邊上，4D平分ABAC,NB4C=120°,AB=28,

AD=誓，則AC=（）

A.2B.V3C.3D.2V3

【變式2-2］（2024?湖南長沙?三模）記△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=2,b=4.

（1）若cosB+2cosA=ccosC,求C的值；

（2）若。是邊AB上的一點(diǎn)，且CD平分乙4c8,COSN4CB=—3求CD的長.

【變式2-3](2024?山東泰安?模擬預(yù)測)已知△ZBC內(nèi)角48(的對(duì)邊分別為見仇c,b(sinB+sinC)=(a-

c)(sin/+sinC).

⑴求A;

(2)A的平分線AD交BC于。點(diǎn)，9b+c=64,求力。的最大值.

【題型3解三角形中的中線模型】

[例3](2024?全國?模擬預(yù)測)記△ABC的內(nèi)角NBAC/B,NC的對(duì)邊分別為a,6,c,已知2bcosBcos2c=a-

2ccosCcos2B.

⑴求乙BZC.

(2)若b+c=8,且邊BC上的中線4。=季求AABC的面積.

【變式3-1](2024?湖南長沙?三模)如圖，在AABC中，已知AB=3,4C=6,力為銳角，BC,4C邊上的兩條

中線AM,BN相交于點(diǎn)P,A4BC的面積為

(1)求BC的長度；

⑵求乙4PB的余弦值.

【變式3-2](2024?陜西西安?三模)在44B斐中，角2,B,C的對(duì)邊是a,b,c,已知b(l+cos力)=c(l-cos2B).

(1)證明:b=c;

⑵若BC邊上的高力D為2,AC邊上的中線BE為2V7,求△ABC的面積.

【變式3-3](2024?新疆烏魯木齊.二模)在△ABC中，點(diǎn)M,N分別為8C,4C的中點(diǎn)，2M與BN交于點(diǎn)G,AM=

3/M4B=45°.

(1)若AC=5近，求中線BN的長；

(2)若A4BC是銳角三角形，求四邊形GMCN面積的取值范圍.

【題型4解三角形中的倍角模型】

【例4】(2024?陜西安康.模擬預(yù)測)已知銳角△ABC中，角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中a=8,

ay,siMa—sin2c口

-=1H----------;------，且QWC.

csinzB

(1)求證：B=2C；

(2)已知點(diǎn)M在線段4C上，且乙4BM=NCBM,求BM的取值范圍.

【變式4-1](2024?內(nèi)蒙古.三模)在△ABC中，內(nèi)角力㈤。的對(duì)邊分別為a,4以且(a—&6)cosC=

c(V2cosB-cos4).

(2)若B=2C,證明：AABC為直角三角形.

【變式4-2]（2024.陜西商洛?模擬預(yù)測）在銳角AABC中.內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,己知a-

2ccosB=c.

(1)求證：B=2C；

(2)求sinB+2Bcos2c的取值范圍.

【變式4-3]（2024?天津河北?二模）在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=4,b=3.

（1）若cosC=—3求a的值和△ABC的面積；

⑵在（1）的條件下，求cosQc+f的值；

（3）若A=2B,求a的值.

【題型5解三角中的角平分線模型】

【例5】（2024?河北張家口?三模）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,點(diǎn)。為邊BC上一點(diǎn),

且滿足（前+XC）-BC=0.

（1）證明：AD=b；

（2）若4D為內(nèi)角A的平分線，且礪=：荏+|前，求sin力.

【變式5-1](2024?四川攀枝花?三模)請(qǐng)?jiān)冖?a-6=2ccosB,②且匕=tanC+tanB,

ccosB

③V5sin(2+8)=3-2cos2m三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，B,C所對(duì)的邊分別是a,6,c,E1

知.

(1)求角C；

(2)若b=4,點(diǎn)。在邊4B上，CD為NACB的平分線，求邊長a的值.

【變式5-2X2024?廣東深圳?模擬預(yù)測汜知△力BC中內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足百c+bsinA=

V3acosB.

(1)求角A的大??；

(2)若。是邊BC上一點(diǎn)，且是角A的角平分線，求器的最小值.

【變式5-3](2024.山東?模擬預(yù)測)從①=四=色空0,②也里更=土￡,③2asin2g=b6sin4這三個(gè)條

bcosBsinB+sinCa2

件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中.

已知AABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c且______.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若4的角平分線交邊BC于點(diǎn)D,且4。=旄，c=2,求邊b.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【題型6解三角中的高模型】

【例6】(2024.四川.模擬預(yù)測)在AIBC中,內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且百csinB+6cosQ4+列)=b.

(1)求角C的大小;

(2)若a=8,△ABC的面積為4H，求4B邊上的高.

【變式6-1](2024?福建泉州?模擬預(yù)測)設(shè)小ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且有2bcos(力一f=

a+c,

⑴求角8：

(2)若AC邊上的高h(yuǎn)=fb,求cosAcosC.

【變式6-2](2024.河北秦皇島.三模)在△ABC中，內(nèi)角2,8,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,C=g且a+6=7,

△4BC的外接圓半徑為竽.

(1)求ANBC的面積；

(2)求44BC邊力B上的高兒

[變式6-3](2024?全國.模擬預(yù)測)已知△ABC的內(nèi)角2,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=1,sinB+V3bcosA=

0.

⑴求角4；

(2)設(shè)AM是△力BC的高，求AM的最大值.

【題型7解三角形中的等分點(diǎn)模型】

【例7】(23-24高二上?云南?期末)在AABC中，點(diǎn)。為線段BC的四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)B/B4D與ABAC互補(bǔ).

⑴求票的值;

(2)若NBA。=30°,AB=4,求4。的長.

【變式7-1](2023?湖北?模擬預(yù)測)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知小(1+cosA)=

2bcsin2A.

(1)判斷△ABC的形狀;

⑵已知。為BC上一點(diǎn)，則當(dāng)4=拳a=3V3,時(shí)，。為BC的幾等分點(diǎn)？

【變式7-2](2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測)在△ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC-

V3.

—csinBD

3

(1)求角8

(2)過B作BD1B4交線段AC于。，S.AD=2DC,求角C.

【變式7-3](23-24高三上?湖南長沙?期中)設(shè)a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，AD為BC

邊上的中線，c=l,Z.BAC=y,2csinXcosB=asinX-bsinB+|bsinC.

(1)求AD的長度；

(2)若E為48上靠近8的四等分點(diǎn)，G為AABC的重心，連接EG并延長與AC交于點(diǎn)R求AF的長度.

【題型8三角形的重心問題】

【例8】(2024?江蘇蘇州?二模)記AABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知竺=妥當(dāng)

csinA-sinB

(1)求角力;

(2)若a=6,點(diǎn)M為A4BC的重心，且4M=2B，求△48C的面積.

【變式8-1](2023?四川內(nèi)江?一模)△4BC的內(nèi)角4、8、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,a=6,bsin^=asinB.

(1)求角4的大小；

(2)M為△力BC的重心，4M的延長線交BC于點(diǎn)D,且AM=2百，求△ABC的面積.

【變式8-2](2023?江西景德鎮(zhèn)?一模)如圖，已知△A3。的重心為C,AABC三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別

為a,b,c.且cos24=^i^

22c

D

⑴求/AC8的大??；

(2)若NCAB=E,求sin/CDA的大小.

6

【變式8-3](2023?廣東佛山?模擬預(yù)測)在AdBC中，角4B,C的對(duì)邊為a,hc,c?sin4=a?cosC,設(shè)△4BC

的面積為S,S=￥bc.

(1)求角B的大小;

(2)若a=3,過A/IBC的重心點(diǎn)G的直線I與邊a,c的交點(diǎn)分別為E,凡麗=4麗，BA=f^BF,請(qǐng)計(jì)算2+〃的

值.

【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問題】

【例9】(2024?云南曲靖?二模)在A4BC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且acosC+V^csinA=b+c.

(1)求角8的取值范圍；

(2)已知△ABC內(nèi)切圓的半徑等于求△力BC周長的取值范圍.

【變式9-1](2023?河南?模擬預(yù)測)已知AABC的外心為。，點(diǎn)M,N分別在線段4B,4C上，且。恰為MN的中

點(diǎn).

(1)若BC=百,04=1,求AaBC面積的最大值;

(2)證明：AM-MB=AN-NC.

【變式9-2](2024?浙江?模擬預(yù)測)如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)力，B,C,D構(gòu)成的四邊形4BCD中，4B=1,

BC=2,CD=3,AD=4.

(1)求△47。面積的取值范圍；

(2)若四邊形ABCD存在外接圓，求外接圓面積.

【變式9-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知△ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,y/3b-csinA=y/3acosC.

(1)求角4的大??；

(2)若a=7,△48C外接圓的半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,求f的最小值.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024.貴州六盤水.三模）在△ABC中，AB=2,AC=3,乙4=泉?jiǎng)t△ABC外接圓的半徑為（）

V7V212V7n2信

3333

2.（2024?新疆喀什?三模）在△4BC中，AB=2,BC=^7,^BAC=120°,。是BC邊一點(diǎn)，4D是NB4C的

角平分線，貝以。=（）

A.-B.1C.2D.V3

3

3.（2024?陜西?模擬預(yù)測）在AaBC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,c（sin2-sinC）=

（a-b）（sinA+sinB）,若△力BC的面積為近，周長為3b,則AC邊上的高為（）

4

A.—B.—C.V3D.2V3

32

4.（2024?福建福州?模擬預(yù)測）在△ABC中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，若AM=

AC,cos2B=COS（T4+C）,則sin/BAC=（）

V3V6V21n2a

AA.—n15.—C.D.

3377

5.（2024?山西?三模）在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知力=g/2+02=24,AABC的外

接圓半徑R=2g,D是邊AC的中點(diǎn)，貝ijBD長為（）

A.V2+1B.2V3C.6V2D.V21

6.（2024?山東泰安?三模）在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2一。==警，延長

sin/sinA

BC至點(diǎn)、D,使得BC=CD,若4。=2百,48=2,則&=（）

A.1B.V3C.2D.3

7.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）在△4BC中，角4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若c=3,b=2,ABAC的

平分線4。的長為?，則BC邊上的中線力”的長等于（）

A.旦B.叱C.旦D.迪

2343

8.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知在△ABC中，角的對(duì)邊分別為見仇c,2sin/=acosCfc=2.若G為工ABC

的重心，貝IG/2+GB2—GC2的最小值為（）

「企

A..-1-2--4--V-2-o.-8-+-4-V--2-C.-4-7-2----2-L）.4-+--2----

9933

二、多選題

9.（2024?廣西?二模）已知AABC內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,瓦c,。為△ABC的重心，cosa=1,4O=2,則

（）

A.AO=-AB+-ACB.AB-AC<3

44

C.△ABC的面積的最大值為3份D.a的最小值為2小

10.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=2,AABC的

面積S=?宿?尼，則以下說法正確的是（）

A.2=30°

B.△ABC的周長的最大值為6

C.若be=4,則△ABC為正三角形

D.若力B邊上的中線長等于手，貝

11.（2024.云南曲靖?模擬預(yù)測）在△A8C中，AB=4,AC=6,4=或。為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.BC=2V7

B.當(dāng)4。為角4的角平分線時(shí)，力。=，^

C.當(dāng)。為邊BC中點(diǎn)時(shí)，AD=3A/2

D.若點(diǎn)P為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，同?（而+而）的最小值為—節(jié)

三、填空題

12.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知AaBC的內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,C=135。，且AABC的外接

圓半徑R=l,則△48C面積的最大值為.

13.（2024?四川自貢?三模）如圖，。為ATlBC的邊AC上一點(diǎn)，|4。|=2\DC\,/.ABC=60°,\AB\+2\BC\=4,

則|BD|的最小值為.

14.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）在鈍角△力BC中，a,b,c分別是△4BC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊，點(diǎn)G是

△4BC的重心，若4G1BG,則cosC的取值范圍是.

四、解答題

15.(2024?浙江杭州?模擬預(yù)測)已知AABC的周長為20,角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c

(1)若C=%c—7,求△ABC的面積；

(2)若△ABC的內(nèi)切圓半徑為舊，a=7,求tan4的值.

16.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特二模)在AABC中，記角力、B、C的對(duì)邊分別為a、6、c,已知百a=V3ccosB+csinB.

⑴求角C；

(2)已知點(diǎn)。在2C邊上，且2D=2DC,BC=6,BD=2?求△48C的面積.

17.(2024?山東青島?三模)設(shè)三角形2BC的內(nèi)角力、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c且sin(B+C)=2BsiM*

(1)求角4的大小;

(2)若b=3,BC邊上的高為竽，求三角形4BC的周長.

18.(2024?西藏?模擬預(yù)測)已知△力BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且26sin(4+]-2a=c.

⑴求5

⑵若乙4BC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=2,a=3,求AABC的面積.

19.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)三角形三內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知遜=0當(dāng)

asmA

(1)求角B的大小；

⑵若A4BC的面積等于遮，。為8c邊的中點(diǎn)，當(dāng)中線4。的長最短時(shí)，求AC邊的長.

重難點(diǎn)11解三角形的圖形類問題和重要模型【九大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1兩次使用余弦定理】...................................................................3

【題型2等面積法】...........................................................................3

【題型3解三角形中的中線模型】..............................................................4

【題型4解三角形中的倍角模型】..............................................................5

【題型5解三角中的角平分線模型】............................................................6

【題型6解三角中的高模型】...................................................................8

【題型7解三角形中的等分點(diǎn)模型】............................................................9

【題型8三角形的重心問題】..................................................................10

【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問題】........................................................11

?命題規(guī)律

1、解三角形的圖形類問題和重要模型

解三角形是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，正、余弦定理解三

角形在選擇題、填空題中考查較多，難度較易；解答題中解三角形的圖形類問題和一些重要模型也是考查

的重要內(nèi)容，中等難度，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合考查，解題方法多種多樣，需要靈活

求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1三角形圖形類問題的解題策略】

1.解決三角形圖形類問題的常用方法：

(1)兩次使用余弦定理：兩次使用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理

的性質(zhì)解題；

(2)等面積法：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問

題，相似是三角形中的常用思路；

(3)正、余弦定理結(jié)合：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

(4)相似三角形：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的

不錯(cuò)選擇；

(5)平面向量：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法

則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

(6)建系：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更

加直觀化.

【知識(shí)點(diǎn)2解三角形中的重要模型】

L中線模型

(1)中線長定理：在AABC中，角A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,AD是BC邊上的中線，則

AB2+AC2=2(BD2+AD2).

(2)向量法：AD-=^-(Z?2+c2+2bccosA).

2.倍角模型

B=2Aob2=〃(a+c)

2

C=2B^c=Kb+a)f這樣的三角形稱為“倍角三角形”.

A=2C=a2=c(c+Z?)

'A14cabc.ac

推論1：A=25o-----=-----=------ob=------=----------；

sin2BsinBsin352cos33-4sin2B

推論2：A=23O￡=1+2COSAOZ?+C=2QCOSB.

b

3.角平分線模型

i4n4r)

角平分線張角定理：如圖，AD為44C平分線，貝lJcosN5W=—(——+——)

2bc

斯庫頓定理：如圖，AO是人針。的角平分線，貝|人。2=..4?！?。。，可記憶：中方二上積-下積.

4.等分點(diǎn)模型

如圖，若尸在邊5。上，且滿足定=丸而，\AP\=m,則延長AP至。，使而=丸/，連接CD.

易知AB〃DC,且OC=Xc,|AD|=(1+A)|AP|,

ZBAC+ZACD=\^°.

?舉一反三

【題型1兩次使用余弦定理】

【例1】（2024?河南?三模）在△ABC中，AB=3V2,coszBXC=一，力。1XC,且力。交8c于點(diǎn)。，AD=3,

貝UsinC=()

V6

A.B.V3

33DT

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式求出COSNB力D,再利用余弦定理求出BD及COSNADB即可得解.

【解答過程】由cosNBAC=1AC,得sin/BAD=sin&BAC-今=-cosNBAC=￡

而NB力D為銳角，貝IJCOSNB4D=

在△力BD中，由余弦定理得BD=J(3V2)2+32-2x3V2x3x^=V3,

32+(6)2-(3e)2_V3

所以sinC=cosZ-ADC=—cosZ-ADB=

2x3x63'

故選：B.

【變式1-1］（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知△A8C的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,6,c,且a=b,BC邊上中

線AD長為1,則此最大值為（）

A.：B.|C.V3D.2V3

【解題思路】根據(jù)兩角互補(bǔ)余弦值之和等于0,然后分別在三角形中利用余弦定理求出兩角的余弦，列出方

程求出/+c2=］然后利用基本不等式求出最值即可.

【解答過程】由題意得N4DB+AADC=TT,

所以cosZJlDB+cosZ-ADC=0,

又a=g,且。是BC的中點(diǎn)，所以DB=DC=弓,

AD2+BD2-C2

在△力BO中,cosZ-ADB=

2ADBDV3

心+亦一匕2*

在△ZOC中,cosZ-ADC=

2ADCDV3

2

7_^2--c

所以COSZJIOC+cosZ-ADB=41——F4廣=0,

即爐+c2=1,得2bc<b2+c2=^=>be<當(dāng)且僅當(dāng)力=c=’取等號(hào),

故選：A.

【變式1-2]（2024?浙江臺(tái)州?二模）在△ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,若acosC=2ccos4則

年的最大值為（）

a2

A.V3B.-C.—D.3

22

【解題思路】根據(jù)題意，由余弦定理代入化簡，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】由余弦定理可知，COSC=可了2A=七丁,

2ab2bc

由acosC=2ccos4可得Q?0”-'=2c-b+c~a

2ab2bc

化簡可得小+h2—c2=2b2+2c2—2a2,

所以3a2=爐+3c2,即q2—匕：3c,

onbe_3bc_33_V3

1/=b2+3c2=浜—°匠=~f

cb2匕萬

當(dāng)且僅當(dāng)2=當(dāng)時(shí)，即b=^C時(shí)，等號(hào)成立，

cb

所以萍最大值為當(dāng)

故選：C.

【變式1-3]（2024?陜西咸陽.三模）在ANBC中，a、6、c分別為△ABC的內(nèi)角4B、C的對(duì)邊，M為邊北上

一點(diǎn),滿足MC=34M,若a?+C2—廬+四=0,c=2,a=4,則|BM|=（）

A.包B?立C.三D.包

2772

【解題思路】由已知條件求出b,由余弦定理求出B,再由正弦定理求出sinA,進(jìn)而求出cos4,在中，

由余弦定理即可求出|麗|

【解答過程】

BC

由已知，a2+c2—b2=—ac,貝UcosB=----------=——=——，

2ac2ac2

因?yàn)锽e(0,7t),所以B=學(xué)

又c=2,a=4,代入小+,2-爐=-QC,解得b=2夕，

因?yàn)镸為邊上一點(diǎn)，滿足碗=3前，所以4M=；AC=字，

由正弦定理上=號(hào)，即當(dāng)=*,解得sinA=手，所以cos4=§,

sinBsmAsin—sinA77

3

=X,貝I］在△ABM中，由余弦定理BM2=4^2+a“2-24B?AMcosS,

2

得％2=2?+(?)—2X2x?x『=解得％=?,BP|BM|=y.

故選：A.

【題型2等面積法】

【例2】（2024?海南?模擬預(yù)測）在△4BC中，乙4cB的平分線與對(duì)邊力B交于點(diǎn)D,若△CAD的面積為△CBD的

2倍，且CD=2,AACB=120°,貝ijBC=()

A.3B.4C.6D.8

【解題思路】借助三角形面積公式計(jì)算可得C4=2CB,再利用等面積法計(jì)算即可得解.

【解答過程】由SACAD=2SKBD，則有:XCA-CD-sin竿=2x|xCB?CD?sin等,

即有C4=2CB,

又S4CAD+S^CBD—SAABC，

貝Ij有工xCA-CD-sin^^+-xCBCD-sin^^=-xCA-CB-sm/.ACB,

22222

即2G4+2BC=CZ-BC,即有+=即BC=3.

故選：A.

【變式2-1】（2024.遼寧丹東?二模）在△ABC中，點(diǎn)。在BC邊上，4。平分/BAGABAC=120°,AB=2A/3,

AD=誓，則AC=()

A.2B.V3C.3D.2V3

【解題思路】本題角平分線長問題，利用面積關(guān)系SMBCUSAABD+SAADC，結(jié)合面積公式，就能求解出AC的

長.

【解答過程】因?yàn)镾-BC=SAABD+^AADC9

所以工xABxACxsinl20°=-xABxADxsin60°-^--xADxACxsin60°,

222

即ABxAC=ABxAD+ADxAC,代入AB=2^3,AD=當(dāng)，

可得2日xAC=2VIx等+￥X4C,則竽工4。=4,

解得AC=A/3.

故選：B.

【變式2-2](2024?湖南長沙?三模)記△ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,己知a=2"=4.

(1)若cosB+2cos4=ccosC,求C的值；

(2)若。是邊48上的一點(diǎn)，且CD平分乙4CB,COSN4C8=—3求CD的長.

【解題思路】(1)由已知可得acosB+bcosZ=2ccosC,邊化角，可得sinZcosB+sinBcosZ=2sinCcosC,

利用三角恒等變換可求C；

,乙4cB

(2)由已知可得cos誓=|,利用S“Bc=S-oc+Swc，可得CD=°；丁可求解.

【解答過程】(1)由題意得2cosB+4cos4=2ccosC,所以acosB+bcosA=2ccosC.

由正弦定理，得sin/cosB+sinBcos^=2sinCcosC,即sinQ4+B)=2sinfcosC.

又sin(4+8)=sinC,所以sinC=2sinCcosf,又sinCH0,所以cosC=1.

因?yàn)閏w(Om),所以c=?

(2)由cosN/CB=-,,得2cos2筆-1=-2，解得cosq^=|.

由S“BC=S*DC+S^BDC，

得萍in"=|b-CDsin等+|aCD-sin等，

即2abeos------=(a+b)CD,

AACR2

2abeos---2x2x4x-16

所以CD=

【變式2-3](2024.山東泰安?模擬預(yù)測)已知△ABC內(nèi)角4SC的對(duì)邊分別為a,瓦c,b(sinB+sinC)=(a-

c)(sin/+sinC).

⑴求A;

(2)A的平分線4。交BC于。點(diǎn)，96+c=64,求4。的最大值.

【解題思路】(1)根據(jù)題意利用正弦定理可得+c)=(a-c)(a+c),再結(jié)合余弦定理可得cosA=

即可得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意結(jié)合面積關(guān)系可得AD=勺，再利用基本不等式分析求解.

b+c

【解答過程】(1)因?yàn)閎(sinB+sinC)=(a—c)(sin/+sinC)，

由正弦定理得+c)=(a—c)(a+c),整理得寶+c2—a2=—be,

由余弦定理得cosA=二=Q=J=

2bc2bc2

且4€(0刀)，所以a=g.

(2)因?yàn)?。為A的角平分線，WUBAD=ACAD=12LA=P

由SAAB。+S^ACD—S—BC，

可得工c-AD,sinZ-BAD+-h-AD-sinZ-CAD=-besinZ-BAC.

222

整理得4)(b+c)=be,

又因?yàn)?b+c=64,

當(dāng)且僅當(dāng)：=也，即c=36=16時(shí)，等號(hào)成立，

bc

所以力。的最大值為4.

【題型3解三角形中的中線模型】

【例3】(2024.全國.模擬預(yù)測)記A4BC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2bcos8cos2C=a-

2ccosCcos2B.

⑴求MAC.

(2)若b+c=8,且邊8c上的中線力。=/,求A/IBC的面積.

【解題思路】(1)利用正弦定理及三角公式求cosNB2C=-5根據(jù)角的范圍可得NB4C

(2)根據(jù)余弦定理可得6c=15,根據(jù)面積公式求解可得

【解答過程】(1)由已知條件及正弦定理，得2sin8cosB?cos2c=sin/B4C—2sinCcosCcos2B.

整理，得sin28cos2C+sin2Ccos28=sinZ.BAC,

BPsin(2B+2C)=sin^BAC.

又乙B+Z.C=TI-Z-BAC

所以一sin2z_BZC=sinZ.BAC,

Wfl—2sinZ-BACcosz.BAC=sinZ-BAC.

因?yàn)閟in^BACKO,所以COSNBAC=-[.

又乙BACe(0,n),所以NBAC=y.

(2)由題意得，2而=南+前，

所以4同2=屈2+芯2+2XB.AC,

即19=c2+b2+2cbeosg=(b+c)2-3bc=64—3bc,

所以be=15.

故S-BC=-besmZ-BAC=-x15xsin—=

2234

【變式3-1](2024?湖南長沙?三模)如圖，在AABC中，已知48=3,/^=6,4為銳角，BC,4C邊上的兩條

中線AM,BN相交于點(diǎn)「,△4BC的面積為第.

(1)求BC的長度；

⑵求N2P8的余弦直

【解題思路】⑴因?yàn)镾UBCSCsinNBaC,得到，由NB"=或在△48C由余弦定理即可得到BC的

長度.

(2)因?yàn)锳B?+8。2=9+27=36=4。2,所以為直角，BN=3,二8P=|BN=2.在△4BM中,

由勾股定理得4”,即得到力P,在AABP中，由余弦定理即可得到N4PB的余弦值.

【解答過程】⑴由題知，S^ABC=^AB-ACsin^BAC=所以sin/B4C=孚,

又因?yàn)镹BAC€(0,n),所以NB4C=裂冷.因?yàn)锳BAC為銳角，所以NBAC=/

在△力BC中，由余弦定理知SC?=AB2+AC2-2-AB-ACcos^BAC,

整理得Be?=9+36-2x3x6x|=27,解得BC=3百.

(2)因?yàn)?+6C2=9+27=36=AC2,

所以=BN=-AC=3?BP=-BN=2

223

在△力BM中，由勾股定理得：AB2+BM2=AM2,AM=^-,AP=^AM=V7

所以在△48P中，由余弦定理得cos/APB=="

2APBP14

所以N4PB的余弦值為羔

14

【變式3-2](2024.陜西西安.三模)在A2BC中，角4O,C的對(duì)邊是a,b,C"已知b(l+cos4)=c(l-cos2B).

(1)證明:b=c;

⑵若BC邊上的高力。為2,AC邊上的中線BE為2V7,求△ABC的面積.

【解題思路】(1)利用三角函數(shù)恒等變換以及正弦定理化簡已知等式可得cos(B-C)=1,可求B-CS

(一n,11：),可得8-C=0，即可證明b=c;

(2)由題意可求cosC=竿=弟在△BEC中，由余弦定理可得a=4次/=c=4,利用三角形的面積公式即

可求解.

【解答過程】(1)證明：因?yàn)?1+cosZ)=c(l-cos28),

則b(l+cos>l)=c-2sin2B,

由正弦定理得：sinB(l+cos/)=sinC?2sin2B,

因?yàn)锽E(0ji),sinBW0,

所以1+cosA=2sinCsinB,

又因?yàn)锽+C+A=m所以1-cos(B+C)=2sinCsinB,

所以1—cosBcosf+sinCsinB=2sinCsinB

所以cos(B—C)=1,

因?yàn)锽—CE(-TUT),

所以B—C=0所以B=C,即力=c,得證；

(2)因?yàn)锽C邊上的高AO為2,AC邊上的中線BE為2夕，所以1BC,

DC_a

所以

cosCAC~2b'

在^BEC中，由余弦定理得：BE2=BC2+EC2-2BC?ECcosC,

所以28=a2+（乎/即28=1+?