第01講集合

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：元素與集合...........................................................................4

知識點2:集合間的基本關系.....................................................................5

知識點3：集合的基本運算.......................................................................5

知識點4:集合的運算性質.......................................................................5

解題方法總結...................................................................................6

題型一：集合的表示：列舉法、描述法............................................................6

題型二：集合元素的三大特征....................................................................7

題型三：元素與集合間的關系....................................................................7

題型四：集合與集合之間的關系..................................................................8

題型五：集合的交、并、補運算..................................................................8

題型六：集合與排列組合的密切結合..............................................................9

題型七：容斥原理..............................................................................10

題型八：集合的創新定義運算...................................................................11

04真題練習?命題洞見...........................................................12

05課本典例?高考素材...........................................................13

06易錯分析?答題模板...........................................................14

易錯點：在解含參數集合問題時忽視空集.........................................................14

答題模板......................................................................................14

考情透視.目標導航

考點要求考題統計考情分析

本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主，

2023年I卷第1題，5分考查內容、頻率、題型、難度均變化不大.重點是

(1)集合的概念與表示2023年n卷第2題，5分集合間的基本運算，主要考查集合的交、并、補

(2)集合的基本關系2022年I卷H卷第1題，5分運算，常與一元二次不等式解法、一元一次不等

(3)集合的基本運算2021年I卷n卷第1題，5分式解法、分式不等式解法、指數、對數不等式解

2020年I卷H卷第1題，5分法結合.同時適當關注集合與充要條件相結合的解

題方法.

復習目標：

1、了解集合的含義，了解全集、空集的含義.

2、理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.

3、會求兩個集合的并集、交集與補集.

4、能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本

運算.

//二知識導圖?思維引航\\

確定性］

元素

互異性

特性

無序慢）

屬于

Y元素與集合的關系

不屬于

元素與集W）Y列舉法）

T集合的表示方法）--（描述法）

不常見數斷數學相

如果集合Z中任意一個元素都是集合5中的兀素，我們就說這兩個集合有包含關系,

稱集合N為集合笈的子集，記作ZG5（或574）

如果集合但存在元素x￡氏Fir時,

真子集

我們稱集合力是集合△的真子集，記作力

集合間的基本關系

集合如果集合力是集合△的子集，且集合△是集合力的子集

我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0

0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

交集/（1笈=住比￡4小￡5}

集合的基本運算4UB={X|X￡/,X￡5}

I/n(CM)=0，NU(Ci/)=U，CL(CLA)=A.

集合的運算性質A(JA=A,A(J0-A,A\JB-B\JA.

A[\A-A,/lf|0=0,A(}B-B^\A.

X./

考點突確.題理輝寶

知識固本

知識點1:元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對象的部分或全體構成一個集合.構成集合的元素除了常見的數、點等數學對象外，還可以

是其他對象.

2、集合元素的特征

（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.

（2）互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復出現.

（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關.

3、元素與集合的關系

元素與集合之間的關系包括屬于（記作aeA）和不屬于（記作a箔A）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

知識點詮釋：

（1）列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號括起來.

（2）描述法

在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合

中元素所具有的共同特征.

5、常用數集的表示

數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集

符號NN*或N.ZQR

【診斷自測】（2024?廣東惠州?一模）設集合M={xeZ|100<2，<1000}，則”的元素個數為（）

A.3B.4C.9D.無窮多個

知識點2：集合間的基本關系

（1）子集：一般地，對于兩個集合A、B'如果集合A中任意一個元素都是集合5中的元素，我們

就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合3的子集，記作4=8（或824），讀作“A包含于3”

（或“臺包含人”）.

（2）真子集：對于兩個集合A與3，若4=8，且存在但6走A，則集合A是集合3的真子

集，記作AU8（或8袁4）.讀作“A真包含于3”或“3真包含A”?

（3）相等：對于兩個集合A與臺，如果A=8，同時8=A，那么集合A與3相等，記作A=3.

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真

子集.

【診斷自測】（2024.高三?四川成都?階段練習）已知集合A={1,2},2={2,3},則集合

C={z[z=x+y,xwA,ye國的子集個數為（）

A.5B.6C.7D.8

知識點3：集合的基本運算

（1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合3的元素組成的集合，叫做A與3的交集，記作Ac3,

即Ac2={x|xeAJiLxe2}.

（2）并集：由所有屬于集合A或屬于集合3的元素組成的集合，叫做A與5的并集，記作AuB,

即Au8={x|xeA或xeB}.

（3）補集：對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全

集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作QA,即C0A={x|xeU,且xeA}.

【診斷自測】（2024?陜西西安?一模）已知全集[/=!<,集合知=口及=的二1}，N={-?,0,1,2,6},

則◎"）0"=（）.

A-{-72,0,1}B-{2,73}C.口,2,百}D.{2}

知識點4：集合的運算性質

⑴Ap|A=4，AC|0=0，AnBcA-AnBcB.

⑵AUA=A，A\J0=A>A\JB^B\JA>A^A\JB>BCAUB.

⑶An（q7A）=0，AU（QA）=U，CU（,CUA）=A-

（4）Ac5=AoAu3=3oA=Ar>?uB=0

【診斷自測】（2024?江西鷹潭?一模）已知集合4={》|爐-5x<6},集合於{x|x*},若Bq@A）,

則。的取值范圍為（）

A.（6,+oo）B.[6,+oo）C.（-co,-l）D.（-?,1]

解題方法總結

(1)若有限集A中有〃個元素，則人的子集有2"個，真子集有才一1個，非空子集有2"-1個，非空真

子集有2"一2個.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

⑶A^B^AC\B=A^A\JB=B^CUB^CUA.

(4)Cv(AHB)=(QA)U(QB),Q(AUB)=(QA)H(QB)?

題型洞察

題型一：集合的表示：列舉法、描述法

【典例1-1](2024?廣東江門?一模)己知集合A={-1,0,1},B={m\7rr-l^A,m-1^A\,則集合B中

所有元素之和為()

A.0B.1C.-1D.72

【典例1-2】已知集合A={-3,—2,0,1,2,3,7},_B={x|xeA,—xmA},則3=()

A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7)

【方法技巧】

1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

【變式1-1](2024?新疆?一模)己知集合4=卜11,%€?4,且04444，，則集合A的元素個數為()

A.3B.2C.4D.5

【變式1-2](2024?高三?山東泰安?期中)已知集合4={1,2,3},B={3,5},則

=A,Z?w5}中的元素個數為()

A.3B.4C.5D.6

題型二：集合元素的三大特征

【典例2-1】設集合A=12,3,1-3a,a+2+71，B={|a-2|,3）,已知4eA且4盾8,貝/的取值集合

【典例2-2】由a,-a,時，府構成的集合中，元素個數最多是

【方法技巧】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。

2、研究兩個或者多個集合的關系時，最重要的技巧是將兩集合的關系轉化為元素間的關系。

【變式2-1］（2024?高三.天津河西?期中）含有3個實數的集合既可表示成，又可表示成

儲°+反0},則齊+產

【變式2-2］（2024?高三.山東濰坊?期中）英語單詞“Mww”所含的字母組成的集合中含有個元素.

【變式2-3］（2024?云南大理?模擬預測）已知{X62-4》+1=。}=抄},其中a,%eR,貝同=（）

A.0B.—或7?C.■-D.—

4224

題型三：元素與集合間的關系

【典例3.1】已知集合A={x,=4匕左,B=|x|x=4m+l,mGZ},C=|^|x=4zz+2,neZ|

￡）={x|%=4/+3/wZ},若awB,beC,則下列說法正確的是（）

A.tz+Z?GAB.a+bGBC.a+bGCD.a+bGD

【典例3-2】（2024?高三?山東青島?開學考試）已知xe{l,2,f},貝ijx的取值為（）

A.1B.1或2C.0或2D.0或1或2

【方法技巧】

1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數集，尤其是N與N*的區別.

2、當集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數.

【變式3-1］（2024?全國.模擬預測）已知集合4={乂工=3左+l,%eZ},則下列表示正確的是（）.

A.-2eAB.2023髭A

C.3左2+1仁AD.—35更A

【變式3-2］（2024?貴州貴陽?模擬預測）若集合A={x|2如-3>0,加ER},其中2?2且1”,則實

數機的取值范圍是（）

333333

A.B.D.

了54,24,2

【變式3-3]已知4=卜,—奴+1叫，若2e/,且3走A,貝!的取值范圍是()

*出10

A.2'3)B.(2,3C.D.

題型四：集合與集合之間的關系

【典例4?1】(2024.四川德陽.三模)已知集合4={尤[1<%<2024},B={x\x<a}f若A±B,則實數

a的取值范圍是()

A.(2024,4w)B.[2024,+oo)C.(—oo,2024]D.(—8,2024)

【典例4?2】(2024.全國.模擬預測)已知集合{1,0}之8{-1,0,1,2},則滿足條件的集合6的個數為

()

A.3B.4C.5D.6

【方法技巧】

1、注意子集和真子集的聯系與區別.

2、判斷集合之間關系的兩大技巧：

(1)定義法進行判斷

(2)數形結合法進行判斷

【變式4-1](2024?河南駐馬店?一模)已知集合

M=卜x=萬+7發ez},N=1x卜=工+萬,左eZ；,/eM,則5與N的關系是()

A.x0&NB.XQ^N

C.%CM且X°￡ND.不能確定

【變式4-2】已知集合M,Nu/,若McN=N,貝|()

A.砸3]NB.M7QNC.枷7]ND.M

【變式4-3](2024青海西寧.二模)設集合4={1,2。+1},3={3,4-1,3所2},若4=3,則。=()

A.-2B.-1C.1D.3

題型五：集合的交、并、補運算

【典例5-1】已知集合4={x|(x-2)(x-5)V。},B={x||3-2x|<5},則僅A)I8=()

A.（-1,2）B.[-1,2]C.[-1,2）D.（-1,2]

【典例5-2]（2024?廣東深圳.二模）對于任意集合下列關系正確的是（）

A.與U.N=MUNB.瘠3（加。M=（…加川&3陰

C.D.瘠3（加口根=（時3町網乙四川

【方法技巧】

1、注意交集與并集之間的關系

2、全集和補集是不可分離的兩個概念

【變式5-1】已知集合0=1i,A=卜卜=g^+GT},3=卜卜-尤2<0},則a（AUB）=（）

A.[0,1）B.（0,1]

C.（-00,o]u（1,4-00）D.（f0）u[l,+co）

【變式5-2]（2024.四川德陽?二模）己知集合4=何必一》—220},8=3y=hw},貝|（d4卜8=

）

A.{x|0<尤<1}B,{x[0<x<2}

C.{x|-l<x<2}D.{%|%>21

題型六：集合與排列組合的密切結合

【典例6-1】（2024?福建廈門?二模）設集合A={T,0,l},B={（^,x2,x3,x4,x5）|x;eA,?=1,2,3,4,51,那

么集合3中滿足14|玉|+國+國+聞歸3的元素的個數為（）

A.60B.100C.120D.130

【典例6-2】（2024.全國?模擬預測）已知AABC的三個頂點的橫縱坐標均在集合{1,2,3,4}內，則這樣

的三角形共有（）

A.64個B.125個

C.432個D.516個

card（A^B）=card（BQC）=card。0^）=1,且ARB門。=。，則稱（A氏。為N的“有序子集

列”.現有N={1,2,3,4,5,6},則N的“有序子集歹產的個數為（）

A.540個B.1280個C.3240個D.7680個

【方法技巧】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數的問題，需要運用分析與轉化的思想方法。

【變式6-1】設集合A={1,2,3,4},8={5,6,7},則從A集合到8集合所有不同映射的個數是（）

A.81B.64C.12D.以上都不正確

【變式6-2］已知2,3,…,2022,2023},則由集合構成的集合區耳的個數為（）

A24045_22023B24045—22022

40462022

Q24046_22023D2—2

【變式6-3］（2024?高三?四川雅安?開學考試）已知集合。=口€2|14》45},非空集合且A中

所有元素之和為奇數，則滿足條件的集合A共有（）

A.12個B.14個C.16個D.18個

【變式6-4］（2024?上海靜安?一模）已知直線狽+勿+c=0的斜率大于零，其系數“b、c是取自集合

{-2,-1,0,1,2}中的3個不同元素，那么這樣的不重合直線的條數是（）

A.11B.12C.13D.14

題型七：容斥原理

【典例7-1】（2024?高三.北京?強基計劃）一群學生參加學科夏令營，每名同學參加至少一個學科考

試.已知有100名學生參加了數學考試，50名學生參加了物理考試，48名學生參加了化學考試，學生總數

是只參加一門考試學生數的2倍，也是參加三門考試學生數的3倍，則學生總數為（）

A.108名B.120名C.125名D.前三個答案都不對

【典例7-2】“四書五經”是中國傳統文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學》《中庸》

《論語》《孟子》.某大學為了解本校學生閱讀“四書”的情況，隨機調查了200位學生，其中閱讀過《大學》

的有60位，閱讀過《論語》的有160位，閱讀過《大學》或《論語》的有180位，閱讀過《大學》且閱讀

過《論語》及《中庸》的有20位.則該校閱讀過《大學》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學生人數與

該校學生總數比值的估計值是（）

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

【方法技巧】

容斥問題本身存在包容與排斥的一種計數問題，所以我們在處理這一類問題的時候必須要注意扣除掉

重復的部分，也要保證沒有遺漏，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方

法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數

時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理.

【變式7-1］（2024?高三?湖北?期末）某校高一年級有1200人，現有兩種課外實踐活動供學生選擇，要

求每個同學至少選擇一種參加.統計調查得知，選擇其中一項活動的人數占總數的60%到65%,選擇另一項

活動的人數占50%到55%,則下列說法正確的是（）

A.同時選擇兩項參加的人數可能有100人

B.同時選擇兩項參加的人數可能有180人

C.同時選擇兩項參加的人數可能有260人

D.同時選擇兩項參加的人數可能有320人

【變式7-2］（2024?高三?福建三明?期中）某班有45名同學參加語文、數學、英語興趣小組.已知僅參

加一個興趣小組的同學有20人，同時參加語文和數學興趣小組的同學有9人，同時參加數學和英語興趣小

組的同學有15人，同時參加語文和英語興趣小組的同學有11人，則同時參加這三個興趣小組的同學有

人.

【變式7-3］（2024?江西?模擬預測）2021年是中國共產黨成立100周年，電影頻道推出“經典頻傳：看

電影，學黨史”系列短視頻，傳揚中國共產黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現有《青春之歌》

《建黨偉業》《開國大典》三支短視頻，某大學社團有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建

黨偉業》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業》的有4

人，只觀看了《建黨偉業》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，

三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數為一.

題型八：集合的創新定義運算

【典例8-1】（多選題）（2024?山西?一模）群的概念由法國天才數學家伽羅瓦（1811-1832）在19世紀

30年代開創，群論雖起源于對代數多項式方程的研究，但在量子力學、晶體結構學等其他學科中也有十分

廣泛的應用.設G是一個非空集合，“。”是一個適用于G中元素的運算，若同時滿足以下四個條件，則稱G

對“。”構成一個群：（1）封閉性，即若a,beG,則存在唯一確定的ceG,使得c=。。匕；（2）結合律成立,

即對G中任意元素a,b,c都有（a°b）°c=a°（b°c）；（3）單位元存在，即存在ecG,對任意aeG,滿足

aoe=eoa=a,則e稱為單位兀；（4）逆兀存在，即任意aeG,存在使得a°6=6°a=e,則稱4

與8互為逆元，方記作人.一般地，。。方可簡記作功,。。。可簡記作。。可簡記作/，以此類推.正八邊

形4JCD跳G”的中心為O.以e表示恒等變換，即不對正八邊形作任何變換；以「表示以點。為中心，將

正八邊形逆時針旋轉2的旋轉變換；以機表示以Q4所在直線為軸，將正八邊形進行軸對稱變換.定義運算

“。”表示復合變換，即/og表示將正八邊形先進行g變換再進行了變換的變換.以形如力矮（P，qeN,并

規定r°=，〃°=e）的變換為元素，可組成集合G,則G對運算“。”可構成群，稱之為“正八邊形的對稱變換

群”，記作.則以下關于2及其元素的說法中，正確的有（）

2

A.mr'GDs,且以r=rm

B.與廠加互為逆元

C.2中有無窮多個元素

D.2中至少存在三個不同的元素，它們的逆元都是其本身

【典例8-2】已知全集。且集合A、3是非空集合，定義A?）B={x|xeAuB且彳€令（入門8）},已知

A=^x\-2<x<5^,B=^x\x<3^,則A?3=___.

【方法技巧】

1、集合的創新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數學知識，一般情況下，它所涉及到的知識和

方法并不難，難在轉化.

2、集合的創新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”,

要根據這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解。

【變式8-1］定義集合運算：AQB={Z\z=xy{x+y\x^A,y^B},集合A={0,l},8={2,3},則集合

所有元素之和為—.

【變式8-2］如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集

A,4,4（左eN*水22）,且滿足Au&ULuA*=u,那么稱子集組A,4,…4構成集合u的一個左劃

分.若集合/中含有4個元素，則集合/的所有劃分的個數為（）

A.7個B.9個C.10個D.14個

【變式8-3］（2024.上海嘉定.二模）若規定集合E={0,l,2,……,科的子集{%,電，%一，金}為石的第無

個子集，其中左=20+2a^+2%+……+2%,則E的第211個子集是—.

1.(2023年北京高考數學真題)已知集合/={尤婕+220},N={尤則McN=()

A.{x|-2<x<l}B.{x\-2<x<l}

C.{x\x>-2}D.{x|x<l}

2.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)設全集O=Z，集合

M={x\x=3k+l,keZ},N={x\x=3k+2,k&Z},6u(M9N)=()

A.{x|x=3左,ZeZ}B.[x\x=3k-l,k&Z)

C.{x|x=3k-2,k&Z}D.0

3.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)已知等差數列{%}的公差為高，集合S={cos“J"eN*},

若5={“,/?},則出?=()

A.-1B.--C.0D.1

22

4.（2023年高考全國乙卷數學