第02講常用邏輯用語

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：充分條件、必要條件、充要條件........................................................4

知識點2:全稱量詞與存在量詞..................................................................4

知識點3：含有一個量詞的命題的否定............................................................5

解題方法總結...................................................................................5

題型一：充分條件與必要條件的判斷..............................................................6

題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍......................................................8

題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假......................................................9

題型四：根據命題的真假求參數的取值范圍.......................................................11

題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.....................................................13

04真題練習?命題洞見...........................................................15

05課本典例?高考素材...........................................................16

06易錯分析?答題模板...........................................................19

易錯點：混淆充分條件與必要條件...............................................................19

答題模板：充分條件與必要條件的判斷...........................................................19

考情透視.目標導航

考點要求考題統計考情分析

從近幾年高考命題來看，常用邏輯用語沒有

(1)必要條件、充分條

2023年新高考I卷第7題，5分單獨命題考查，偶爾以已知條件的形式出現在其

件、充要條件；

2023年天津卷第2題，5分他考點的題目中.重點關注如下兩點：

(2)全稱量詞與存在量

2023年全國甲卷第7題，5分(1)集合與充分必要條件相結合問題的解

詞；

2022年天津卷第2題，5分題方法；

(3)全稱量詞命題與存

2021年全國甲卷第7題，5分(2)全稱命題與存在命題的否定和以全稱

在量詞命題的否定.

命題與存在命題為條件，求參數的范圍問題.

復習目標：

1、理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；

2、理解判定定理與充分條件的關系、性質定理與必要條件的關系；

3、理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定.

//二知識導圖?思維引航\\

《若pn夕且則夕是夕的充分不必要條件）

、若〃冷夕旦夕支，則〃是夕的必要不充分條件）

充分條件、必要條件、充要條件

若p=?］旦夕=p,則戶是夕的的充要條件）

《若P#夕旦夕#夕，則「是夕的既不充分也不必要條件）

全稱量詞與全稱量詞命題

全稱量詞與存在量詞

存在量詞與存在量詞命題

常用邏輯用語

全稱量詞命題夕:V.v￡M,p（x）的否定rp為WM,-?p（.v0）

含有一個量詞的命題的否定

存在量詞命題2:3x0￡M,p{x^的否定Y為VxeM,-*p(x))

設4={x|p(x)}tB=國］(x)}，若/G—則尸=q

常用結論設N={\/（丫）},5={*|貝%）},若力氣5,貝樂=4且夕今0

設4={、/(x)},5={x|q(x)},若N=笈,則°=4

老占突硒?力理慳宙

「知識育親

知識點1:充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若p,則q”為真(記作0=q),則p是q的充分條件；同時q是p的必要條件.

2、從邏輯推理關系上看

(1)若0=＞4且44p,則p是q的充分不必要條件；

(2)若pLq且qnp,則p是q的必要不充分條件；

(3)若0nq且4=則p是q的的充要條件(也說p和q等價)；

(4)若q且44p＜則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質：pnq,則p是q的充分條件，同時4是

p的必要條件.所謂“充分”是指只要p成立，q就成立；所謂“必要”是指要使得°成立，必須要q成立

(即如果q不成立，則p肯定不成立).

【診斷自測】(2024?北京西城?二模)己知aeR,》eR.則“必＞1”是""十/＞?”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當仍＞1時，則必＞2,當且僅當。=3時取等，所以充分性成立，

取。=-4,6=1,滿足〃+加＞2,但仍＜1,故必要性不成立，

所以“ab＞1”是“a2+b2＞2”的充分不必要條件.

故選：A.

知識點2：全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號

“V”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M中的任意一個x,有皿無)成立”可

用符號簡記為“VxeM,p(x)”，讀作“對任意x屬于V,有p(x)成立

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符

號“三”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在M中的一個飛,使p(x0)成立”

可用符號簡記為“上0eMjU)”，讀作“存在M中元素％,使p(x。)成立”(存在量詞命題也叫存在性命

題).

【診斷自測】下列命題中的假命題是()

A.3xeR.log2x<0B.HreR,cosx=l

C.VJTeR,x2>0D.VxeR,2X>0

【答案】C

【解析】因為Iog2：=-l,cos0=l,02=0,所以選項A、B均為真命題，選項C為假命題；

因為y=2"在R上的值域可知2">0,所以D為真命題；

故選：C

知識點3：含有一個量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題P：V兀WM，P(%)的否定力為玉。CM,-n/2(X0),

(2)存在量詞命題p:3x0cM,p(%0)的否定r?為VxwMfXx).

【診斷自測】(2024?全國?模擬預測)已知命題〃:VX￡Z,X2?O,貝IJ-1P為()

A.BxeZ,x2<0B.Z,x2<0

C.GZ,x2<0D.Z,x2<0

【答案】C

【解析】由題意，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，可得：

命題p：VxGZ,X220的否定為：-1P為玉:￡Z,X2<0.

故選：C.

解題方法總結

1、從集合與集合之間的關系上看

設A={]|夕(%)},B=[x\q{x}].

(1)若則p是9的充分條件(夕=>“)，g是p的必要條件；若ASgB,則p是9的充分不必

要條件，q是p的必要不充分條件，即〃=>,且44p；

簡記：“小n大”.

(2)若則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

（3）若A=B,則p與q互為充要條件.

2、常見的一些詞語和它的否定詞如下表

原詞語等于大于小于是都是任意至多至多

（=）（＞）（＜）（所有）有一個有一個

否定詞語不等于小于等于大于等于不是不都是某個至少有一個都

（＜）（＞）兩個沒有

（1）要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合拉中的每一個元素x證明其成立，要判斷

全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合〃中的一個無。，使得其不成立即可.

（2）要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合河中能找到一個不使之成立即可，否則這

個存在量詞命題就是假命題.

/--------------HM-u

\題型洞察n

題型一：充分條件與必要條件的判斷

【典例1-1】（2024?浙江寧波?二模）已知平面。，6,7,ec尸=/,則是“a，7且分，/”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由于夕。=1,所以luajup,

若U人則a，7,?,故充分性成立，

若a_Ly,/31丫，設。,Y=m,

則存在直線au/,使得所以aJ_a,由于/ua,故a_L/,

同理存在直線6u7,使得8_L〃，所以6_LQ,由于/u尸，故6_U,

由于a,b不平行，所以。力是平面/內兩條相交直線，所以故必要性成立，

故選：C

【典例1-2]（2024?湖南?二模）已知實數a＞b＞0,則下列選項可作為的充分條件的是（）

A.y/a-y[b=1B.7--=—

ba2

C.20-2*=1D.log2a-log2Z?=l

【答案】C

【解析】取"=4,b=l,滿足y-揚=1,但是推不出。一6＜1,故排除A；

取a=2,b=l,滿足:一!=:,但是推不出。一6<1,故排除B；

ba2

取a=4,b=2,滿足Iog2a-log2b=l,但是推不出a-匕<1,故排除D；

由2"-2"=1，a>b>0,可推出2"nZ3+lvZ'+i，即a<b+l,即a—6<1,故充分性成立.

故選：C.

【方法技巧】

1、要明確推出的含義，是p成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

【變式1-1]（2024?遼寧沈陽?二模）已知向量a=（2,4）,b=（3,—l）,貝=0”是“（“+助”a-助”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

【答案】A

【解析】當（a+M）~L（a—幼）時，（a+妨）?（"一助）=0,BPa-k2b=0<

故（于+的-/[32+（一1）1=0,解得左=±忘.

故"％=0”是"+助X（?-序）”的充分不必要條件.

故選：A

ab△

【變式1-2]（2024?福建福州?模擬預測）設a,6eR,則“"<0”是“時+詞=。”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

,f?>0[a<0ab門、

【解析】當"VO時，,八或7，則可+或二°，即充分性成立；

也<0[Z?>0n

abbb

當時+帆二°時，~a=~~a>^1則即必要性成立；

ab

綜上可知，“ab<0”是“同+同=。”的充要條件.

故選：C.

【變式1-3]（多選題）已知p是r的充分而不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必

要條件，下列命題正確的是（）

A.r是q的充分條件B.p是q的充分條件

C.r是q的必要而不充分條件D.r是s的充分而不必要條件

【答案】AB

【解析】由已知得pnr,qor,ms,s=q,所以r=>q且qnr,故A正確，C不正確；〃=>4,

B正確；rns且snr,D不正確.

故選:AB.

題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍

【典例2-1】設xeR,a<b,若"aW夕'是“爐+》_240”的充要條件，貝姐一〃的值為（）

A.0B.-3C.3D.2

【答案】C

【解析】解不等式爐+尤—240可得—,由題意可知a=—2,b=l,因此，b—a=3.

故選：C.

【典例2-2］給出如下三個條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請從中選擇補充到下面橫線上.

已知集合p=同-1〈尤45},S=［x\2-m<x<3+2m^,存在實數加使得“xeP”是“xeS”的___條件.

【答案】②，③

【解析】①“xeP”是“xeS”的充要條件，則2-加=-1,3+2m=5,此方程無解，故不存在實數加，則不

符合題意；

②"xe尸"是"xeS”的充分不必要條件時，3+2m>5,2-m<3+2m解得m23,符合題意;

③“xeP”是“xeS”的必要不充分條件時，當S=0,2-m>3+2m,得機<；；

當Sw0,需滿足2—7九V3+2〃z,3+2m<5,解集為-gw/wVl；

綜上所述，實數加的取值范圍-;4根<g.

故答案為：②，③.

【方法技巧】

1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含關系.

2、把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參

數的不等式求解.在充分必要條件求解參數取值范圍時，要注意端點能否能取到，容易出錯.

【變式2-1］已知命題P：“方程+2尤+1=0至少有一個負實根"，若"為真命題的一個必要不充分條件為

a<m+l,則實數加的取值范圍是—.

【答案】m>0

［解析】若命題P：“方程62+2尤+1=0至少有一個負實根”為真命題，

。=0時，2x+l=0,x=-，符合題意；

21

當時0時，A=4-4<7>0,且%+%=——>0,玉%2=一<。，

aa

則此時方程依2+2x+1=0有一個正根和一個負根，符合題意；

當〃>0時，由A=4—4。=0,解得〃=1,

止匕時方程為％之+2%+1=(%+1)2=0,%=—1符合題意；

21

由△=4一44>0解得0<。<1,止匕時x+x=——<0,玉9=—>。，

x2aa

則此時方程依2+2%+1=0有兩個負根，符合題意.

綜上所述，P為真命題時，。的取值范圍是

若P為真命題的一個必要不充分條件為a4加+1,

貝Um+1>1,m>0.

故答案為：相>0

22

【變式2-2】已知集合A=B={x\x-2ax+a-l<o\,若“xeA”是“xe3”的必要非充分條

件，則實數。的取值范圍是—.

【答案】{a|T〈a<3}

【解析】由題意可得4=|尤|^|<0,={司―2<》<4},B=(%|x2-2ar+<22-l<0}={x|a-l<x<a+l},

若“xeA”是“xeB”的必要非充分條件，則集合B是集合A的真子集，

貝』"一It：’且等號不能同時成立,解得-lWa<3,

[a+l<4

所以實數。的取值范圍是{a|TV“43}.

故答案為：{。|一14。43}.

【變式2-3]已知命題p:4-xV6,q:x"-l,若"是4的充要條件，則”.

【答案】-1

【解析】由題意得，p-.4-x<6,得x"2,

設4={小12},8={上加-1},由P是4的充要條件，得A=3,

即a-1=-2,得a=-1.

故答案為：-1

題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

【典例3-1】下列正確命題的個數為（）

2432

①VxeR,X+2>0；@VxeN,x>l；?3xeZ,x<1；@3xeQ,x=3.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】VxeR,尤2+222>0,①正確；當x=0時，尤4=0<1,②錯誤；

當x=0時，爐=0<1,③正確；由于（土省產=3,而-石，百都是無理數，④錯誤,

所以正確命題的個數為2.

故選:B

【典例3-2]（2024?高三?北京通州?期中）下列命題中的假命題是（）

A.VxeR,[g]>0B.HreR,J>%

C.VxeR,2兇>1D.3XGR,tanx>1

【答案】C

【解析】對于A,因為指數函數的值域為（0,+"）,所以WxeR,2）>0,A對；

對于B,當尤=9時，B對；

4⑷24

對于C,當x=0時，少=2°=1，C錯；

對于D,當時，tanx=tang=唐>1,D對.

故選：C.

【方法技巧】

1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要理解漢字意思，又要使用數學結論.

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷相對簡單，注重細節即可.

【變式3-1】下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（）

A.3x€R,l+sinx<0

B.每個等腰三角形都有內切圓

C.VxeR,x2+2x>-1

D.存在一個正整數，它既是偶數又是質數

【答案】D

【解析】B與C均為全稱量詞命題，A與D均為存在量詞命題，BC錯誤；

因為VxeR,l+sinx20,貝『勺尤€口,1+511?<0,,是假命題，A錯誤；

正整數2既是偶數又是質數，貝廣存在一個正整數，它既是偶數又是質數”是真命題，D正確.

故選：D

【變式3-2]（2024?廣東東莞?三模）已知全集U和它的兩個非空子集A,8的關系如圖所示，則下列命

題正確的是（）

B.VxgA,x^B

C.3XGB,x^AD.Xfx^B,xeA

【答案】B

【解析】由圖可知B=且A,3非空,

則根據子集的定義可得：

對于A,HxeA,xeB不正確，

對于B,VxgA,正確，

對于C,HxeB,xeA不正確，

對于D,\fx^B,xdA不正確，

故選：B.

【變式3-3]（2024?福建廈門?模擬預測）已知集合M,N滿足McN聲0,貝|（）

A.VxeM,xeNB.VxeAf,xaN

C.3x&M,xGND.Bx&M,x^N

【答案】C

【解析】對于A,^M=[1,2],N={1},滿足McNw0,而2eM,2wN,A錯誤;

對于B,^LM=[1,2},N={1},滿足MCNH。，而leM,leN,B錯誤；

對于C,根據集合交集的定義可知HxeM,xeN,故C正確，

對于D,WM={1},N={1,2},滿足McNr0,但*eM,x*N不成立，D錯誤,

故選：C

題型四：根據命題的真假求參數的取值范圍

【典例4-1]（2024?全國?模擬預測）已知命題“對于Vxe（O,"）,e*>辦+1”為真命題，寫出符合條件

的。的一個值：—.

【答案】一1（答案不唯一）

（解析】對于Vx€（0,+。），e*>1,

當a<0時，對于Vxe（0,+8）,ax+l<l,則。可取任意負數，如-1；

故答案為：-1.

—717T

【典例4-2】（2024?高三?湖北武漢?期末）若命題“V尤，tan2x0+22m”是假命題，則實數加

_86

的取值范圍是.

【答案】（3,+功

TT兀

【解析】若命題"Vx（）￡—,tan2%+22m”是真命題，可得（tan2xo+2）N機即可；

oO

兀71

易知y=tan2%o+2在％°w—上單調遞增,

86

=tan)+2=3

所以(tam+ZL可得用《3；

又因為該命題是假命題，所以可得相>3,

即實數機的取值范圍是（3,y）.

故答案為：（3,收）

【方法技巧】

1、在解決求參數的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，若哪個是假命題，去求真命題

的補集即可.

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數問題，要注意端點是否可以取到.

【變式4-1]若命題“VxeR,（a+l）/+x+G0”是真命題，則實數。的取值范圍為一.

3

【答案】——

4

【解析】因為命題（。+1卜2+%+1是真命題，

當。+1=0,即。=-1時，不等式為1+120,顯然不滿足題意，；

fa+l>03

當a+lwO,即aw—1時，所以j1_4（a+l）<0，解得

3

故答案為：^>-4，

4

【變式4?2】（2024?遼寧?三模）若“土?0,也），使f—依+4<0”是假命題，則實數。的取值范圍

為.

【答案】（—8,4]

【解析】因為“玄40,+力），使尤2一以+4<0”是假命題,

所以“\7xe（0,+oo）,Y—依+420”為真命題，

4z、

其等價于。4X+（在（0,+8）上恒成立，

4

又因為對勾函數〃尤）=x+2在（0,2］上單調遞減，在［2,+8）上單調遞增，

X

所以/（力皿=/（2）=4,

所以aW4,即實數。的取值范圍為（-雙4］.

故答案為：（-8,4］.

【變式4-3］（2024?遼寧?模擬預測）命題人存在使得函數〃力-2〃a在區間

內單調，若P的否定為真命題，則。的取值范圍是—.

【答案】

【解析】命題p的否定為：任意〃ze［T,l］，使得函數/。）=/-2如在區間［%+00）內不單調，

由函數/（尤）=/-25在（-co,：”）上單調遞減，在（根,心）上單調遞增，

則。<相，而

得av—1,

故答案為：（72,-1）

題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

【典例5-1】（2024?內蒙古赤峰?一模）命題“VxeR,3nGN",〃>爐”的否定形式是（）

A.VxeR,\/neN*,n<x2B.eR,3neN*,n<x2

C.HxeR,V"eN*,n<x2D.HxeR,V”eN*,n<x2

【答案】C

【解析】由全稱量詞命題與存在量詞命題的否定可知：命題“VxeR,3neN：〃>爐”的否定形式是

“*eR,V”eN",n<x2

故選：C

【典例5-2［（2024?陜西商洛?三模）命題“對任意的的否定是（）

A.不存在一/+］（0B.存在xeR,d-Y+ivo

C.存在xeR,尤3+1<0D.對任意的xe-尤2+1>o

【答案】C

【解析】“對任意的xeR,x'-f+lN。”的否定是：存在xeR,/-/+1<0.

故選：C.

【方法技巧】

含量詞命題的否定，一是改寫量詞，二是否定結論.

【變式5-1］（2024?四川成都?模擬預測）命題*e［T』］,x+忖<0的否定是（）

A.3XG[-1,1],X+|X|>0

B.VXG[-1,1],X+|X|>0

C.VxGU(1,+O?),A:+|X|>0

D.VxG(-a?,-1)u(1,,X+|x|<0

【答案】B

【解析】因為命題玉;?-19,九十國<0,

則其否定為v%W-u],x+Wzo.

故選:B

【變式5-2】已知命題?勺夕<0,3，(cos町%(sine)。。“則()

A.-ip：mOe]o，T，(cos6()s'n">(sind)°°'",且T7是真命題

B.「p：veqo,"(cos肛m">(sinV，且丑是假命題

C."勺公(。,：],(cos<n'>(sin0)cos\且刃是假命題

D.(cos。)?1",(sin。)。*",且W是真命題

【答案】D

【解析】由(cos。產"((sin。)。。。

則:V。e[°，：]，(cos。產'>(sin^)cose,

由Me(。,：1,貝！]有0<sin夕<cos〃<l,

(COST11。V(sin。)*等價于sin91ncose<cos91nsine

卜代IN十Ineos。/Insin。

善仇于

令〃x)=((O<x<l),貝IJ尸(x)=^^,

則0vx<l時,f")>0恒成立,

故〃x)在(0,1)上單調遞增，

又0vsin。vcos0<\,

Incos。Insin。

故>------

cos。sin。

即（cosOyi?>（Siners,

故原命題錯誤，則F是真命題.

故選：D.

【變式5-3]（2024?貴州遵義?一模）已知命題p：T無>1,In尤〉;-止，則力為（

A.Vx>19Inx—§3B.3x?1,Inx<——§3

C.3x?1,Inx<————-D.3x>1,Inx————

【答案】D

【解析】由命題0：Vx>l,lnx>]-可知，

-P為三無>1,Inx<j,故D正確；ABC錯誤;

故選:D

1.（2022年新高考天津數學高考真題）“x為整數”是“2x+l為整數”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】由x為整數能推出2x+l為整數，故"x為整數，，是“2x+l為整數”的充分條件，

由x=g,2x+l為整數不能推出x為整數，故“x為整數”是“2x+l為整數”的不必要條件，

綜上所述，“x為整數”是“2x+l為整數”的充分不必要條件，

故選：A.

1.（2022年新高考浙江數學高考真題）設XER,則“sinx=l”是“cos%=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

【答案】A

【解析】因為sin?%+cos?%=1可得：

當sinx=l時，cosx=0,充分性成立；

當cos尤=0時，sinx=±l,必要性不成立；

所以當xwR，sin%=l是cosx=0的充分不必要條件.

故選：A.

2.（2022年新高考北京數學高考真題）設｛4｝是公差不為。的無窮等差數列，貝『，｛%｝為遞增數列”是“存

在正整數N。，當〃〉N。時，。“>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】設等差數列｛%｝的公差為d,則dwo,記［司為不超過尤的最大整數.

若｛%｝為單調遞增數列，則d>0,

若qNO,則當時，??>?1>0；若弓<0,則%=%,

由q=4+（l）d>0可得〃>1一號，取乂=a+1,則當”>N。時，a?>0,

所以，“｛4｝是遞增數列”=>“存在正整數N。，當〃>N。時，4>0”；

若存在正整數N。，當〃>N0時，%>0,取％eN*且左>乂，以>。，

彳發設。<0,令%=%+（〃一左）d<0可得〃>左一個，且左一個〉左，

當"〉k-^-+1時，??<0,與題設矛盾，假設不成立，則d>0,即數列｛風｝是遞增數列.

所以，“｛4｝是遞增數列”U“存在正整數N。，當“>乂時，風>0”.

所以，“｛%｝是遞增數列”是“存在正整數或，當〃>乂時，%>0”的充分必要條件.

故選：C.

3.（2021年天津高考數學試題）已知oeR,則“a>6”是“片>36”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由題意，若a>6,則標>36,故充分性成立；

若02>36,則a>6或"<-6,推不出。>6,故必要性不成立；

所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要條件.

故選：A.

匐5

//理本典例；高考素材\\

1.設集合A=｛x|x滿足條件p｝,2=｛x|x滿足條件4｝.

(1)如果A=那么p是q的什么條件？

(2)如果3=A,那么p是q的什么條件？

(3)如果4=3,那么p是q的什么條件？

試舉例說明.

【解析】(1)若則有xeAnxeB,即每個使p成立的元素也使“成立，

即。二夕，所以。是q的充分條件.如A={x|x>l},B={x\x>0],

B,x>l是尤>0的充分條件.

(2)若則有xeBn尤eA,即每個使q成立的元素也使p成立，

即所以。是g的必要條件.如A={x|x>。},B={x\x>\],則8gA,

*>0是》>1的必要條件.

(3)若A=3,則AgB,BA,所以〃是q的充要條件.如A=B={x|x>l},

x>l是x>l的充要條件.

2.在下列各題中，判斷p是q的什么條件(請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又

不必要條件”回答)：

(l)p:三角形是等腰三角形,4：三角形是等邊三角形；

(2)在一元二次方程中，，0?+加:+0=0有實數根，q:b2-4ac..Q-

p\a^PryQ,q\a^P\

(4)p：〃wPuQ,q:aeP；

(5)p:x>yq:J>J

【解析】(1)因為等腰三角形是特殊的等邊三角形，

故p是q的必要不充分條件.

⑵一元二次方程依2+區+。=0有實數根則判別式八=〃2—4QC.O.

故p是q的充要條件.

(3)因為a￡尸門。,故〃￡尸且〃￡。；當時Q不一定成立.

故〃是q的充分不必要條件.

(4)因為故。￡尸或所以。￡尸不一定成立；

當〃￡尸時。￡尸。0一定成立.

故〃是q的必要不充分條件.

(5)當x=1,y=-2時，滿足x>>但Y>J不成立.

當％=-2,y=1時，滿足—>J?但1>>不成立.

故〃是q的既不充分又不必要條件.

3.設。力，。分別是ABC的三條邊,且源必c.我們知道,如果，ABC為直角三角形，那么"2+b2=c2(勾股定理).

反過來，如果/+/=o2,那么ABC為直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知，二ABC為直角三角形的充要

條件是^+廿=02.請利用邊長。力,c分別給出ABC為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件，并證明.

【解析】解:⑴設a,b,c分別是的三條邊，且a<b<c,MC為銳角三角形的充要條件是a2+b2>c2.

證明如下:必要性:在ABC中,NC是銳角，作AD1BC,D為垂足，如圖(1).

顯然AB?=AD2+DB2=AC2-CD2+(CB-CD)2=AC2-CD2+CB2+CD2-2cBCD

=AC2+CB2-2CBCD<AC2+次,即c?</+/.

充分性:在ABC中,q2+62>c2,r.NC不是直角.

假設NC為鈍角，如圖(2).作ADLBC,交BC延長線于點D.

貝［JAB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BCCD

=AC2+BC2+2BCCD>AC2+BC2.

22

BPc>無+°\與>c”矛盾.

故NC為銳角，即ABC為銳角三角形.

(2)設ahc分別是，ABC的三條邊，且a<b<c,ABC為鈍角三角形的充要條件是a2