2025年高考一輪復習第二次月考卷03

（滿分150分，考試用時120分鐘）

測試范圍：集合+不等式+函數+三角+導數+平面向量+復數

一、選擇題

1.若集合/=]1—<()},B={x\2-x<}},則/門3=()

A.[1,2)B.[-1,0)C.(2,+8)D.(-8,0)

【答案】C

【分析】首先解分式不等式求出集合A,再化簡集合3,最后根據交集的定義計算可得.

【解析】由7，一<Y0,等價于X（/2-x、）<0,解得X>2或x<0,

X

所以/---<{%[%<0或x>2},

又3={x12-xV1}={x|x21},

所以4C5=（2,+8）.

故選：C

2.設i是虛數單位，則復數z=（g-曰i>的共鈍復數彳=（）

A1石.n1A/3.r1V3.n173.

A.---1---1B.-------1C.—H----1D.-------1

22222222

【答案】A

【分析】利用復數的乘方運算，結合共輾復數的意義求解即得.

【解析】復數z=d-3評=」-3i,所以』=」+0i.

222222

故選：A

3.已知:3為單位向量，且（4，小,G+3前則展工夾角的余弦值為（）

【答案】B

【分析】根據（4〉辦,日+3小，得到（4〉加日+3小=0，將等式展開由平面向量數量積的定義即可得到

答案.

【解析】設：工的夾角為e,因為（4,2RG+3小，:工為單位向量，

所以（4不一辦（1+33）=43?-3^2+11萬了=4升11*lxlxcos0=1+11cos^=0,所以cos6=-1.

故選:B.

4.若。>0,b>0,。+26=3,則之+9的最小值為（）

ab

A.9B.18C.24D.27

【答案】A

【分析】利用基本不等式中“1〃的妙用即可求得最小值.

■不『■…口口工小一,口361/2、（36、1（6a6bd1f、16a6b）八

［解析］根據題思可得一+工=彳（〃+26）—+工=T3+^+——+12--15+2\/-7------=9；

ab3\abJ3<ba）3\ba

當且僅當華=色，即。=l,b=l時，等號成立；

ba

此時的最小值為9.

ab

故選：A.

5.若sin［a-1）=；,貝ljcos［：—2a］=（）

A_ZR4V2r4V2n7

9999

【答案】D

【分析】利用余弦函數奇偶性和二倍角余弦公式直接求解即可.

【解析】cos］：-2“=cosjtz=l-2sin2=l-2x［=（.

故選：D.

6.已知火箭在/時刻的速度為廠（。（單位：千米/秒），質量為機?）（單位：千克），滿足%?）=%+wln奇

（“為常數），（、/分別為火箭初始速度和質量.假設一小型火箭初始質量%=1000千克，其中包含燃

料質量為500千克，初始速度為匕=0,經過4秒后的速度“匕）=2千米/秒，此時火箭質量機,）=800千克,

當火箭燃料耗盡時的速度大約為（）（ln2?0.69,ln5~1.61）.

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根據題意，得到2="ln之和/=〃ln2,結合對數的運算性質，即可求解.

【解析】由題意知，火箭在/時刻的速度為外。，質量為機⑺，滿足憶0=

因為經過0秒后的速度「?)=2千米/秒，此時火箭質量加&)=800千克，

可得2=〃In黑="In1火箭耗盡燃料時速度為r=Mln^=Mln2,

8004500

ln2_21n22x0.69

兩式相除得X=In5-21n2^~oW=.

4

故選：C.

7.若至少存在一條直線與曲線〃x)=2f+3和g(x)=3Tlnx?w0)均相切，貝騰的取值范圍是()

A.[-4e,0)B.[2e,+oo)

C.(-4e,0)U(0,+oo)D.[-4e,0)U(0,+(?)

【答案】D

【分析】分別假設公切線的切點，然后根據題意列出方程并化簡，進而轉化為兩個函數有交點即可.

【解析】/'(x)=4x,g'(x)=-;，設公切線與曲線y=/(x)相切于點(±,2x；+3),與曲線y=g(x)相切于點

(x2,3-dnx2)(x2>0),

貝U切線方程分另|J為y=4/X_2x；+3,y=-—x+t+3-t1nx2,

-+3=/+3-/lux2(2),

一產

由①得X；=R,

代入②得t=8xflnx2-8xf.

令〃(x)=8x2lnx—8X2(X>0),

則/z'(x)=8x(2hu-l),

所以當0<x<y[e時,h(x)<0,當x〉Ve時，h(%)>0，

所以八(久)在區間(o,能)內單調遞減，在區間(五,+e)內單調遞增,

所以"OOmin="(/)=*,

又當Xf+oo時，

所以八(久)的值域為[-4e,+(?),

所以/的取值范圍是[-4e,O)u(O,+s).

故選：D.

8.已知函數〃無)的定義域為[1,2],對定義域內任意的石應，當x產超時，都有，(幻-/安卜左卜-司，

則下列說法正確的是()

A.若/(x)=x2+無，貝！]左<10

B.若/(x)=，貝Qvawg

C.若〃1)=〃2),則|〃網)-"xjvg

D.函數了=/(x)和y=〃x)一質在[1,2]上有相同的單調性

【答案】C

【分析】根據函數不等式恒成立分別應用各個選項判斷即可.

2

【解析】對于A：f{x}=x+x,|/(x1)-/(x2)|=|x^-x|+x1-x2|=|(x1-x2)(x1+x2+l)|=|x1-x2||x1+x2+l|,

因為玉廣2e[l,2],所以|/(%)-〃々)|=|再-引|西+了2+1閆再一刃(西+乃+1)<6西一司，

因為|西一引>0,所以上>%+%+1恒成立，

又因為國不相等，所以先上5,A選項錯誤；

對于B：|/(西)-/(工2)|=g(片-引-(芯-引=(x/xj，X[+x)T4士-+^^+@-，

所以卜-引ga+z)-i<左忖一司恒成立，

所以后>0,又因為再,*2不相等,XJ,JC2e[l,2],

所以。(占+%)-1<k,

3^左<萬(石+%2)<5*4=2左，k—1<—(X]+%2)—1<2k—1,

|^-1|<,|2左一1|4左，

所以一左(左一14左，一左W2左一1(左，

所以1w左，B選項錯誤；

2

對于C：因為再戶2不相等，不妨設1<王<、2?2,

因為〃1)=/(2),

所以

2|/(X1)-/(X2)|=|/(X1)-/(1)+/(2)-/(X2)|+|/(X1)-/(X2)|

引/㈤-/⑴|+|〃2)-/(%)|+|/(占)-/(工2)|＜左(占-1)+左(2-工2)+左。-%)=人,

所以|/(石)-/(芍)|＜。，C選項正確，

對于D：不妨設［(X)在［1,2］上單調遞增，任取七k2,滿足1WX2＜±W2,

則〃西)＞小2),

因為|/(網)-〃X2)|〈后卜］|,

所以/(%)-/(%2)＜左(再一々),所以〃xj-g＜/(%)-生，

所以y=/(x)-丘單調遞減，D選項錯誤.

故選：C.

【點睛】方法點睛：結合已知條件及函數單調性定義判斷單調性，結合三角不等式判斷絕對值不等式范圍.

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.函數/(x)=log,(x-2)+2(°＞0且awl)的圖象恒過定點(3,2)

B.若命題"曾€艮--辦+。＞0"為真命題，則實數。的取值范圍是［0,4］

C.將函數/(x)=sin(2x-/的圖象向左平移1個單位后得到函數〉=sin2x的圖象

D./'3=尤+皿2%-2的零點所在的一個區間為(1,2)

【答案】ACD

【分析】對A,根據對數函數的定義即可求解；對B,由二次函數的性質可判斷；對C,根據三角函數的平

移原則即可判斷；對D,根據函數單調性結合零點存在性定理即可判斷.

【解析】對于A,令工一2=1,解得x=3,y=2,

所以f(x)=log,(x-2)+2(。＞0,。w1)恒過定點(3,2),故選項A正確;

對于B,因為VXER,%2_辦+〃>(),為真命題，則Q2-4Q<O,解得0<Q<4,故B錯誤；

對于C,函數/(x)=sin(2x-j的圖象向左平移5個單位后得到函數g(x)=si“2[+曰-弓=sin2x的圖

象，故C正確；

對于D,因為y=x-2)=log2X在(0,+oo)上均單調遞增，

則/(x)=x+log2x-2在(0,-Ko)上單調遞增,

又/(1)=-1<0,/(2)=1<0,則根據零點存在性定理知其零點所在的一個區間為(1,2),故D正確.

故選：ACD

2jr

10.已知V/3C的三邊長分別為2,3,近。為V/3C內一點，ZAOB=ZBOC=ZCOA=y

OA=a,OB=b,OC=c,則

A.|a-/)|+|^-c|+1=6

B.a-b+b-C+c-a=-3

c.同+同+同=曬

D.^a+b+c|=1

【答案】BCD

【分析】假設/B=2,/C=3,3C=",然后根據向量的運算及余弦定理、三角形面積公式計算即可.

［解析】對于A,B叫+|”q+p_司=慳|+."卜|4C卜升J7,故A錯誤;

對于B,不妨設AB=2,AC=3,BC=a,

222

①六…工田h斤門.AB+AC-BC1

由余弦7E理可知cosA=---------------=一，故/

2義ABxAC2

71

c1-3百

“BC232

設同=2,

貝|展3+鼠1+亍.之二盯COSg+y2cosg+zxcos

"y=_,3+yz+zx),

1.2711.2無3百

又因為S,?=S.+S+S=-xysm—H—yzsin--1—zxsin——----,

^ADrCAAOnBR￡^DR(nJCrAC(JA?)3

23232

故孫+yz+zx=6,所以小B+己］=一3,故B正確；

27r

對于C,由余弦定理可知，AB2=x2+y2—2xycos=x2+y2+xy=4,

+z2+j?z=9,z2+x2+zx=7,

2

故％2+y2+z2+—(A7+.PZ+ZX)=10,|?|+|+|?|=x+y+z=yj(x+y+z)

yjx2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=^10+-1x6=V19,故C正確;

對于D,a+b+c^=+y2+z2-xy-yz-zx=《=1,故D正確.

故選：BCD.

11.已知〃〉g,且x=|log2同,y=|k)g2〃+l|,z=2log215+1,則()

A.若x=y,則〃>[

2

B.若》=了，則皿+〃的最大值為近

C.若x=y=z,貝I]加”+2加2-4m+1=0

3

D.若x=)=z,則〃2_2〃H—>0

4

【答案】ACD

【分析】選項A,根據條件得到RogZ加口log2（2〃）|,利用歹=log?x的性質，即可求解；選項B,根據條件,

利用基本不等式，即可求解；選項C,根據條件，得到logzIW+H〉。，從而有

-log,m=21og2{~+^\=log,f-+—Y,得到■1■=（二+，］,即可求解；選項D,利用N=z,得

12）\22m）冽（22m）

/、22

2n=\—+n\=-+—+n2<—+n2,即可求解.

（21424

【解析】對于選項A,由'=丁得，|1082加|=此2及+1|=睡2（2〃）|,又m<2n,可得”2〃=1,

所以〃二」一，又0<冽<1,所以〃〉工，故選項A正確；

2m2

對于選項B,易知，m>0,?>0,所以加+〃224^7=收，當且僅當加=〃=1時取等號，所以選項B錯誤;

對于選項C,由選項A知〃=」->），所以依+加=2+°->1,得到1嗎（2+小〉0,

2m2222m<2J

所以-log2冽=21og2+〃］=log2+］，所以!+），整理得冽4+2加2—4加+1=0,所以選

項C正確;

對于選項D,由V=z得到，2n=(-+n\=-+-+n2<-+n2,^n2-2n+->0,所以選項D正確.

1,2J4244

故選：ACD.

三、填空題

12."函數/(x)=?%2-sinx是奇函數"的充要條件是實數。=

【答案】0

【分析】結合三角函數奇偶性、幕函數奇偶性以及奇偶性的定義即可運算求解.

【解析】若函數"x)=ax2-sinx是奇函數,

貝!J當且僅當/(x)=ax?—sinx=-[a(-x『一sin(—x)]=—/(-X),

也就是2"2=0恒成立，從而只能Q=0.

故答案為：0.

1-LY

13.已知/(x)=1+10gli產，則不等式〃2工-1)+〃2幻<2的解集為.

【答案】(0,；)

【分析】先求出函數的定義域，保證/(2x-l),/(2x)有意義，再代入函數解不等式即可.

【解析】???〃x)jl+log11g.?產>0,解得所以〃尤)的定義域為(一1,1),

1-xl-x

將〃x)=1+log,產代入f(2x-1)+/(2x)<2,

1—X

,口y12%1+2%小

得1+log*T——+1+log,——<2,

2-2xl-2x

2xl+2x

即10g；2x+bgFx<0'

-1<2X-1<1

2x(l+2x)

即log嚴E<o=log/，則j-1<2X<1解得

2x(l+2x)

0<-——^-<1

(2-2x)(l-2x)

所以不等式的解集為

故答案為：［o,^.

Ix+l,x<0、

14.已知/（X）=<?c，若/（再）=/（工2）=/（工3），再<%2<%3,貝1]211+3、2+2、3的最大值為______.

[cosx,0cx<2兀一

【答案】6-2+等

6

【分析】設/'（七）=/（馬）=/（七）=乙作出y=/（x）和V=f的圖象，數形結合得出

-2<x[<0<x2<n<x3<2兀，由余弦函數圖象的對稱性得出々+工3=2兀，結合國+1=cosx2得出

2西+3%+2%3=2cos%2+%2-2+4兀（0<x2<71）,構造函數g（x）=2cosx+x-2（0<x<兀）,利用導數求出最大

值即可求解.

【解析】設/■（項）=/@2）=/（W）=，，貝1]北（-1,1）,“X）的圖象如圖所示，

即v=/（x）的圖象與v=，的圖象有3個交點，橫坐標依次為再,％2/3，且-2<芭<0<%2<兀<%3<2兀,

由余弦函數圖象的性質可知，%+工3=2兀，

所以2再+3X2+2X3=2再+%+2+工3）=2再+&+4兀，

又因為再+1=cosx2,所以2再+x2=2COSX2一2（0<々<兀），

令g(x)-2cosx+x-2(0<x<7i),

則g'(x)=l-2sinx,令g<x)=l—2sinx=0,解得％=工或學，

66

當Xe(0時，g'(x)>0,g(x)在單調遞增，

當xe俁將)時，g'(x)<0,於)在W單調遞減，

當xe1,71]時，g(x)>0,g(x)在C單調遞增，

又因為g(n)=兀-4<0,8]]=行-2+e>0,

所以gCOmax=81)=癢2+.,

以2再+3%2+2%3=2再+%+4兀(y/3—2+—\~4TC=A/S-2J~---,

66

故答案為：V3-2+^^.

6

四、解答題

15.VN8C的內角43,C所對的邊分別為。也c,已知厘=sm（/一8）.

csinC

（1）求A；

（2）若NA4C的角平分線與BC交于點。,NO=2,NC=2VJ，求a+c.

【答案】（1）/=1.

（2）a+c=3+V3

【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及三角恒等變換公式求解;

（2）利用等面積法以及余弦定理即可求解.

【解析】（1）依題意，由正弦定理可得sinCT—=sin（Nd）

sinCsinC

所以sinC—sin5=sin（4—8）,

又sinC=sin[兀一+5)]=sin(/+B),

所以sinB=sin(4+5)-sin(力-8)=2cosZsinS,

因為Be(Om),所以sin^wO,所以cos/=；,

又/€（0,兀），所以/='

（2）解法一：如圖，由題意得，S^Mn+S^ACD=S^ABC,

[71

—fe-csin—,即b=2c,

23

又b=AC=2所以c=g\

所以。2=/+/一2&ccos—=9,即a=3,

3

所以a+c=3+g.

解法二：如圖，A/CD中，因為/O=2,/C=2/,NC4D=2，

由余弦定理得，CD1=22+(2百彳-2x2x2V3COS-=4,

6

7T

所以CZ)==2,所以。=/C4D=—,

6

__jr

所以5=兀-4-。=5，

所以a=ZJCOS—=3,c=/>sin—=>/3,

66

所以a+c=3+g.

16.已知函數/(x)=^——mlnx+2x,meR.

x

⑴若曲線>=/(x)在X=1處的切線與直線>=2x相互垂直，求加的值；

(2)若冽=2,求函數/(%)的極值.

【答案】(1)/?=|;

(2)極小值e+2,無極大值.

【分析】(1)求出函數〃x)的導數，利用導數的幾何意義及給定直線列式計算即得.

(2)把加=2代入，利用導數求出函數的極值.

【解析】(1)函數=I-Rtu+2x,求導得l(x)='(\T)一二+2,貝/'⑴=一〃?+2,

XXX

依題意，(一機+2)x2=T,所以機=2.

2

(2)當加=2時，函數/(x)=^--21nx+2x的定義域為(0,內)，

求導得/'(X)=、(xT)_1+2=e+2?xT),

XXX

當0<x<1時，f'(x)<0,當x>1時，f'(x)>0,

因此函數〃x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

所以函數/(x)在x=1處取得極小值e+2,無極大值.

17.太陽能板供電是節約能源的體現，其中包含電池板和蓄電池兩個重要組件，太陽能板通過電池板將太

陽能轉換為電能，再將電能儲存于蓄電池中.已知在一定條件下，入射光功率密度P=?(￡為入射光能

量且E>0,5為入射光入射有效面積)，電池板轉換效率〈100%)與入射光功率密度。成反比，且比例

系數為:

（1）若左=2,S=1.5平方米，求蓄電池電能儲存量Q與E的關系式；

⑵現有鉛酸蓄電池和鋰離子蓄電池兩種蓄電池可供選擇，且鉛酸蓄電池的放電量/=Q+ET,鋰離子蓄電池

的放電量/=四+貯.設S21,左>1,給定不同的0,請分析并討論為了使得太陽能板供電效果更好，應

該選擇哪種蓄電池？

注：①蓄電池電能儲存量。=7E；

②當S,k,0一定時，蓄電池的放電量越大，太陽能板供電效果越好.

【答案】⑴。=,3

E

⑵答案見解析

【分析】（1）利用題目所給公式及數據計算即可得;

（2）用S,k,。表示出兩種蓄電池的放電量后作差比大小即可得.

kkSkS

【解析】（I）Q=rj-E=-E=--E=—,

pEE

7Y1S3_

若左=2,S=1.5平方米，則0

E~E

（2）由。=2,即后=裝，

EQ

鉛酸蓄電池的放電量為：/1=。+/一|=。+/,

kS

鋰離子蓄電池的放電量為：/2=J0+?=J0+

0（1+⑹應（庶+左S）

貝=2+義_

12kskSkS

也（1+左S）-（底+裕）

kS

令也（1+LS）-（J店+處）=0,可得Q=，叵±竺

-k2S2+ZkS+\

(k2S2+2kS4kS+kS)

即。e---r-;----------，+0°時，A>A,此時應選擇鉛酸蓄電池,

Ik2S2+2.kS+lJ

fk2S2+2kSy[kS+kSy

22

當QekS+2kS+]時，A</2,此時應選擇鋰離子蓄電池,

1

當0=Ns：羋巫+小時,/1=72,兩種電池都可以.

左W+2左s+i

18.已知函數/(x)=sinx,g(x)=-^l.

(1)求函數尸(x)=2[/(X)]2-3/(|X|)+1的值域；

⑵設函數G(x)=/(x)+lnx,證明：了=G(尤)有且只有一個零點/，且g[/(x())]＞史；

【答案】

_O_

(2)證明見解析

【分析】(1)依題意可得尸(x)=2sin?x-3sin國+1,首先判斷尸⑺的奇偶性，再利用換元法求出函數在xW0

時的取值范圍，結合偶函數的性質得解.

(2)結合零點的存在性定理分類討論可證y=g(x)有且只有一個零點；結合零點性質與單調性放縮可得

8]/(%)]=8n％)＞言.

【解析】(1)因為/(x)=sinx,

所以/⑺=-3/(附+1=Zsir?x-3sin國+1,

貝！|F(-X)=2sin2(-x)-3sin+1=2sin2x-3sin忖+1=b(x),

所以尸(x)為偶函數，

當xNO時尸(x)=2sin2x-3sinx+1,

令/=sinx,貝令機(f)=2/-3/+1,Ze[-l,l],

加(t)=2/-3，+l=21-|J又加(1)=0,m(-l)=6,

所以機?)e-：,6,

|_o

即當x20時尸(x)e-1,6,根據偶函數關于J軸對稱，所以當xWO時尸(尤)e-1,6,

綜上可得尸(x)€-J,6.

(2)因為G(x)=/(x)+lnx=sinx+lnx,

當時，函數y=lnx與函數y=sin尤均在上單調遞增，

故y=G（x）在（0,￡|上單調遞增，

又=-1+sin—<0,G（l）=O+sinl=sinl>0,

故V=G（x）存在唯一零點X。eU,

當工￡—,7i時，j/=Inx>0,=sinx>0,故G（x）〉O,

當工￡（兀,+8）時，j/=Inx>In7i>1,j；=sinx>-l,故G（x）〉O,

故當xw|>+00卜寸，y=G（x）無零點，

綜上所述，V=G（x）有且只有一個零點，且該零點

由上可知/,且有G（xo）=lnxo+sinxo=O,

則sinx0=-Inx0,

—+1

即g[/（%）]=g（sinx°）=g（_ln%）=,+]=號—

e°-1_L_iIfIf

%

由函數y=-l+2在區間上單調遞增，

1-x<eJ

故8[/（尤。）]=8何噸）=_1+匕>_1+二1=魯

nxi—XQ]1e—i-

e

【點睛】關鍵點睛：本題二問關鍵在于借助零點的存在性定理判定〉=G（x）有且只有一個零點，借助零點

得到G（Xo）=ln尤o+sinx。=0,將g["/）]=g（sinx（））轉化為g（-lnxo）,結合函數單調性，得到

g[/（xo）]=g（sinx（,）>y.

19.閱讀以下材料：

①設/'（無）為函數/'（x）的導函數.若/'（無）在區間D單調遞增；則稱〃尤）為區。上的凹函數；若/'（X）在區

間。上單調遞減，則稱/卜）為區間。上的凸函數.

②平面直角坐標系中的點P稱為函數/（x）的"切點”，當且僅當過點P恰好能作曲線y=/（x）的左條切線,

其中左eN.

(1)已知函數/(x)=ox4+x3-3(2fl+lk-x+3.

(i)當aWO時，討論/(x)的凹凸性；

(ii)當a=0時，點P在V軸右側且為/'(x)的"3切點”，求點P的集合；

⑵已知函數g(x)=xe，，點。在y軸左側且為g(x)的"3切點”，寫出點。的集合(不需要寫出求解過程).

f[x>l[0<x<l]

【答案】(1)(i)答案見解析；(ii)(X/)/.以「a或3222”"

![4-4x<y<x^-3x-x+3-3尤’-x+3<y<4-4尤J

[xWY[-4<x<-2f-2<x<0]

(2)點。的集合為｛(3)|匚/或x+4或1x+4J

<Ixe<j<0xe<”...-----<y<xe\

'IeIeJ

【分析】(1)(i)利用導函數并對參數進行分類討論，即可得出函數/(%)的單調性，可得其凹凸性;

(ii)根據”切點〃的定義，由切點個數轉化成方程根的個數即可得出點尸的集合；

(2)根據函數g(%)=xe'利用"切點〃的定義，得出單調性即可得出結論.

【解析】(1)因為/3=辦4+/_3(2+1,2_工+3,

所以/'(%)-4。/+3——6(2。+1)%-1,

令〃(%)=4a/+3%2-6(2a+l)x-l,

所以=IZQX?+6x-6(勿+1)=6QQX+2Q+1.

(i)當a=0時，力'(x)=6(x-l),令/z'(x)20,解得xNl；

令〃(x)V0,解得x?l；

故/(x)為區間［1,+8)上的凹函數，為區間(-嗎1］上的凸函數；

當一!<a<0時，令〃(耳20,解得

令〃(x)V0,解得x41或xN